精品解析：江苏省宿迁市沭阳县2024-2025学年上学期八年级数学期末阶段测试卷

20242025学年度第一学期期末学情检测八年级数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 25算术平方根是（　　） A. 5 B. C. ﹣5 D. ±5 2. 下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 已知圆周率，用四舍五入法将精确到，得到的近似数为（　　） A. B. C. D. 4. 下列实数、、、、、中，无理数的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 若一次函数的图像经过点，且函数值随着增大而减小，则点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 6. 下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（ ） A. ①和② B. ①和③ C. ②和④ D. ③和④ 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像可能是（ ） A. B. C. D. 8. 若点满足，则称点具有性质．例如点具有性质．如图，在长方形中点，点，轴，轴．长方形边上存在两点，均具有性质，则线段长为（　　） A. 3 B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. ______0.14．（填“”、“ ”或“”） 10. 在函数 中，自变量x的取值范围是___________． 11. 已知一个正比例函数的图象经过点（﹣2，3），则这个正比例函数的表达式是______________． 12. 在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则△ABC的面积是________． 13. 在平面直角坐标系中，把点P(a−1，5)向左平移3个单位得到点Q(2−2b，5)，则2a+4b+3值为______． 14. 如图，在的斜边上截取，过点作交于点．若，，则的长为_____． 15. 已知点在一次函数的图象上，若点也在正比例函数的图象上，则______． 16. 如图，的外角的平分线与相交于点P，若点P到的距离为3，则点P到的距离为___________． 17. 如图，已知等腰直角的顶点分别在、轴上，，点的坐标是的坐标是则直线的函数关系式为_____． 18. 如图，以为顶点，轴正半轴上选点、…作边长为1、2、3、的正方形、、、，其中、…在轴的正半轴上．则点的坐标为_____． 三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，作图或画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑） 19. 计算 （1） （2） ． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 如图，已知，，，垂足分别为、、，.求证:. 22. 如图，在某条笔直的公路的同侧有两座村庄，为方便居民出行，政府决定在公路上修建一个公交站台，使得村庄到公交站台的距离相等，请用尺规作图的方法确定公交站台的位置．（保留作图痕迹，并在图形上标注点，不要求写出作法） 23. 如图，顶点的坐标分别为、、 （1）画出关于轴对称； （2）连接、，判断的形状，并说明理由． 24. 如图，在和中，，点为中点，，，点关于成轴对称，连接． （1）求证：为等边三角形； （2）连接，求的长． 25. 直线与直线相交于点. （1）求的值，并在图中画出直线. （2）根据图象，写出关于的不等式组的解集. 26. 如图，直线与坐标轴分别相交于点A，B，与直线相交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个单位的速度从点O出发向点A作匀速运动，设运动时间为，连结CQ． （1）求点C坐标． （2）若△OQC是等腰直角三角形，求t的值． （3）若CQ平分△OAC的面积，求直线CQ的函数表达式． 27. 某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为60元，售价为80元；乙商品的进价为90元，售价为120元．设购进甲种商品x件，商场售完这100件商品的总利润为y元． （1）写出y与x的函数关系式； （2）该商场计划最多投入8400元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？ （3）商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元出售，且限定商场最多购进甲种商品60件．在（2）的条件下，若商场获得最大利润为3120元，求a的值． 28. 如图1，在平面直角坐标系中，给出如下定义：等腰直角三角形，、在轴上，，是边所在直线上一点，是边所在直线上一点，点不与点重合，若，则称为点关于等腰直角三角形的“相关点”，点称为“相关中心”． （1）如图2，已知等腰直角三角形的顶点的坐标为，点与点重合，点在第一象限内． ①若点为边的中点，直接写出点关于等腰直角三角形的“相关点”的坐标_____； ②若，求点关于等腰直角三角形的“相关点”的坐标； （2）若等腰直角三角形的顶点为，，，“相关中心”在直线上，“相关点”在直线上，且．请直接写出点关于等腰直角三角形的“相关点”的横坐标的取值范围（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 20242025学年度第一学期期末学情检测八年级数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 25的算术平方根是（　　） A. 5 B. C. ﹣5 D. ±5 【答案】A 【解析】 【详解】一个正数的正的平方根为这个数的算术平方根．因为=25，则25的算术平方根为5． 故选：A． 2. 下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的概念，是解决问题的关键．轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意； D、该图形是轴对称图形，本选项符合题意． 故选：D． 3. 已知圆周率，用四舍五入法将精确到，得到的近似数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查近似数和有效数字，“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，本题对万分位四舍五入即可得． 【详解】解：用四舍五入法将π精确到，得到的近似数为， 故选：D． 4. 下列实数、、、、、中，无理数的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）得出即可． 【详解】为有理数、为无理数、为无理数、为有理数、为有理数、为无理数，其中无理数的个数为3个； 故选B． 【点睛】本题考查了无理数，能理解无理数的定义是解此题的关键． 5. 若一次函数的图像经过点，且函数值随着增大而减小，则点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得k<0，然后把k用x和y表示出来，再把4个选项的x和y分别代入可以求得k的值，根据k<0经过筛选即可得到解答． 【详解】解：由题意可得k<0，且， A、x=2，y=4，所以k=，不合题意； B、，不合题意； C、，不合题意； D、，符合题意， 故选D ． 【点睛】本题考查一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的增减性并运用逆向思维法求解是解题关键． 6. 下列四个图形中，有两个全等图形，它们是（ ） A. ①和② B. ①和③ C. ②和④ D. ③和④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案． 【详解】解：①和③可以完全重合，因此全等的图形是①和③． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分为和两种情况，利用一次函数图像的性质进行判断即可． 【详解】解：当时，两个函数的函数值：，即两个图像都过点，故选项A、C不符合题意； 当时，，一次函数经过一、二、三象限，一次函数经过一、二、三象限，都与轴正半轴有交点，故选项B不符合题意； 当时，，一次函数经过一、二、四象限，与轴正半轴有交点，一次函数经过一、三、四象限，与轴负半轴有交点，故选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性质．理解和掌握它的性质是解题的关键． 一次函数图像有四种情况： ①当，时，函数的图像经过第一、二、三象限； ②当，时，函数的图像经过第一、三、四象限； ③当，时，函数的图像经过第一、二、四象限； ④当，时，函数的图像经过第二、三、四象限． 8. 若点满足，则称点具有性质．例如点具有性质．如图，在长方形中点，点，轴，轴．长方形边上存在两点，均具有性质，则线段长为（　　） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、一次函数的图象与性质，读懂题意并熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可知点、的坐标满足，即，则点、为直线与长方形边的交点，进而求得点、的坐标，得到、的长度，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，点、的坐标满足， ， 则点、为直线与长方形边的交点，如图所示， ，， 代入得，，， ，， ，， ． 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 9. ______0.14．（填“”、“ ”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了实数比较大小，直接得出的近似值，进而得出答案．正确得出的近似值是解题关键． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 10. 在函数 中，自变量x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围．根据二次根式的被开方数是非负数，列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为：． 11. 已知一个正比例函数的图象经过点（﹣2，3），则这个正比例函数的表达式是______________． 【答案】y=﹣x． 【解析】 【分析】根据待定系数法，可得函数解析式． 【详解】解：设函数解析式为y=kx，将（﹣2，3）代入函数解析式，得 ﹣2k=3． 解得k=﹣， 函数解析式为y=﹣x， 故答案为y=﹣x． 12. 在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则△ABC的面积是________． 【答案】12 【解析】 【分析】作AH⊥BC于H，由等腰三角形的性质得BH=3，再利用勾股定理求出AH的长，从而得出面积． 【详解】解：作AH⊥BC于H， ∵AB=AC，BC=6， ∴BH=BC=3， 由勾股定理得，AH==4， ∴△ABC的面积是×BC×AH=×6×4=12， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 13. 在平面直角坐标系中，把点P(a−1，5)向左平移3个单位得到点Q(2−2b，5)，则2a+4b+3的值为______． 【答案】15 【解析】 【分析】直接利用平移中点的变化规律求得a+2b=6，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵把点P(a−1，5)向左平移3个单位得到点Q(2−2b，5)， ∴a-1-3=2-2b，即a+2b=6， ∴2a+4b+3=2(a+2b)+3=15， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律以及代数式的求值．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 14. 如图，在的斜边上截取，过点作交于点．若，，则的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．先证明，从而推出，最后利用求得答案． 【详解】解：连接，如图， ，，， ， ， ，， ， ∴． 故答案为：3． 15. 已知点在一次函数的图象上，若点也在正比例函数的图象上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先将点，代入到，求出，再将点代入中，求出值即可． 【详解】解：点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∵点也在正比例函数的图象上， ∴， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征．熟练掌握图象的点的坐标，满足函数关系式，是解题的关键． 16. 如图，的外角的平分线与相交于点P，若点P到的距离为3，则点P到的距离为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】如图，过作于，于，于，则，由的外角的平分线与相交于点P，可得，然后作答即可． 【详解】解：如图，过作于，于，于，则， ∵的外角的平分线与相交于点P， ∴， ∴点P到的距离为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了角平分线的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 17. 如图，已知等腰直角的顶点分别在、轴上，，点的坐标是的坐标是则直线的函数关系式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质．过点作轴于点，如图，先证明△△得到，，再写出，然后利用待定系数法求直线的解析式，熟知一线三等角原理是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点，如图， ，， ，， 为等腰直角三角形，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为． 故答案为：． 18. 如图，以为顶点，轴正半轴上选点、…作边长为1、2、3、的正方形、、、，其中、…在轴的正半轴上．则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，读懂题意找到点坐标的规律是解题的关键．根据可知每三个点一圈进行循环，得到点位于轴上，再根据轴上点的坐标规律即可得到． 【详解】解：， 点位于轴上， 根据图中规律，，，，…， 坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，作图或画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑） 19. 计算 （1） （2） ． 【答案】（1）－3；（2）－1 【解析】 【分析】（1）先进行乘方可开方运算以及立方根的运算，再进行乘法运算，然后进行加减运算； （2）先去绝对值以及0次幂运算，然后合并同类项即可． 【详解】解：（1）原式=2+（-2）-3 =-3 （2）原式=1-（2-）- =1-2+ =-1 【点睛】本题考查实数的运算，要掌握在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行． 20 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了根据立方根和平方根解方程，熟练掌握知识点是解题关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或 ， 解得：或； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， 解得：． 21. 如图，已知，，，垂足分别为、、，.求证:. 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】根据两直角互余可得∠CBD=∠BAE,结合已知条件证明△ABE≌△BCD即可得出结论. 【详解】证明：∵，，， ∴∠ABC=∠AEB=∠BDC=90°， ∴∠ABE+∠DBC=90°，∠BAE+∠ABE=90°， ∴∠BAE=∠CBD， 在△BAE和△CBD中， ∴△ABE≌△BCD ∴BE=CD. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，常用的判定方法有AAS，SAS，SSS，HL等，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题. 22. 如图，在某条笔直的公路的同侧有两座村庄，为方便居民出行，政府决定在公路上修建一个公交站台，使得村庄到公交站台的距离相等，请用尺规作图的方法确定公交站台的位置．（保留作图痕迹，并在图形上标注点，不要求写出作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图的应用与设计，根据线段的垂直平分线的性质作图． 【详解】解：如图所示，连接，作线段的垂直平分线交于点， ∴点即为所求． 23. 如图，顶点的坐标分别为、、 （1）画出关于轴对称的； （2）连接、，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）是直角三角形．理由见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了作图轴对称变换，以及勾股定理和逆定理，关键是正确画出图形，掌握三角形两边的平方和等于第三边的平方时，这个三角形是直角三角形是解题的关键． （1）首先确定、、三点关于轴的对称点位置，再连接即可； （2）首先利用勾股定理计算出、、的长，再利用勾股定理逆定理判定的形状即可． 【小问1详解】 解：如图所示：即为所求； 【小问2详解】 解：是直角三角形，理由如下： ， ， ， ， ， 是直角三角形． 24. 如图，在和中，，点为中点，，，点关于成轴对称，连接． （1）求证：为等边三角形； （2）连接，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． （1）首先证明，再证明即可． （2）连接，设交于点．分别求出，即可解决问题． 【小问1详解】 证明：连接，． ，点为中点， ， ， ， 是等边三角形， ，关于对称， ，， ， 是等边三角形； 【小问2详解】 解：连接，设交于点． ，都是等边三角形，边长为2， ， ， ， 根据勾股定理可得； 同理， ． 25. 直线与直线相交于点. （1）求的值，并在图中画出直线. （2）根据图象，写出关于的不等式组的解集. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）把点C的横坐标代入解析式解答即可； （2）根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案． 【详解】（1）将点代入中得. 如图所示. （2）由图象得不等式组的解为. 【点睛】此题考查一次函数与一元一次不等式问题，根据函数图象就可以求出方程组或不等式的问题，体现了方程思想．关键是把点C的横坐标代入解析式解答． 26. 如图，直线与坐标轴分别相交于点A，B，与直线相交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个单位的速度从点O出发向点A作匀速运动，设运动时间为，连结CQ． （1）求点C的坐标． （2）若△OQC是等腰直角三角形，求t的值． （3）若CQ平分△OAC的面积，求直线CQ的函数表达式． 【答案】（1）C（2，2）；（2）t的值为2或4；（3）直线CQ对应的函数关系式为：y=-2x+6． 【解析】 【分析】（1）解两函数解析式组成的方程组即可； （2）分为两种情况，画出图形，根据等腰三角形的性质求出即可； （3）求出Q的坐标，设出解析式，把Q、C的坐标代入求出即可． 【详解】解：（1）∵直线y=-x+3与直线y=x相交于点C， ∴， 解得， ∴C（2，2）； （2）①如图1，当∠CQO=90°，CQ=OQ， ∵C（2，2）， ∴OQ=CQ=2， ∴t=2； ②如图2，当∠OCQ=90°，OC=CQ，过C作CM⊥OA于M， ∵C（2，2）， ∴CM=OM=2， ∴QM=OM=2， ∴t=2+2=4， 即t的值为2或4； （3）令-x+3=0，得x=6， 即A（6，0）， ∵CQ平分△OAC的面积， ∴Q（3，0）， 设直线CQ的解析式是y=kx+b， 把C（2，2），Q（3，0）代入， 得：， 解得：， ∴直线CQ对应的函数关系式为：y=-2x+6． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，注意数形结合和分类讨论是解题的关键． 27. 某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为60元，售价为80元；乙商品的进价为90元，售价为120元．设购进甲种商品x件，商场售完这100件商品的总利润为y元． （1）写出y与x的函数关系式； （2）该商场计划最多投入8400元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？ （3）商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元出售，且限定商场最多购进甲种商品60件．在（2）的条件下，若商场获得最大利润为3120元，求a的值． 【答案】（1） （2）2800元 （3） 【解析】 【分析】（1）根据利润（售价进价）销售量进行求解即可； （2）先根据最多投入8400元列出不等式求出，再由一次函数的性质求解即可； （3）先仿照（1）求出，然后讨论的取值范围，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得， ∵， ∴y随x增大而减小， ∴当时，y最大，最大为， ∴商场可获得的最大利润是2800元； 【小问3详解】 解：由题意得，； 当，即时，y随x增大而减小， ∴当时能获得最大利润， ∴， 解得（舍去）； 当时，获得的利润为，不符合题意； 当时，则y随x增大而增大， ∴当时能获得最大利润， ∴， 解得； 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键． 28. 如图1，在平面直角坐标系中，给出如下定义：等腰直角三角形，、在轴上，，是边所在直线上一点，是边所在直线上一点，点不与点重合，若，则称为点关于等腰直角三角形的“相关点”，点称为“相关中心”． （1）如图2，已知等腰直角三角形的顶点的坐标为，点与点重合，点在第一象限内． ①若点为边的中点，直接写出点关于等腰直角三角形的“相关点”的坐标_____； ②若，求点关于等腰直角三角形的“相关点”的坐标； （2）若等腰直角三角形的顶点为，，，“相关中心”在直线上，“相关点”在直线上，且．请直接写出点关于等腰直角三角形的“相关点”的横坐标的取值范围（用含的代数式表示）． 【答案】（1）①；②点的坐标为， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线，分情况进行讨论是解题的关键． （1）①根据点是的中点，利用等腰三角形三线合一，可证明，得到，推出点，重合，即可得答案；②分两种情形讨论，情形1：根据题意当点与点重合，结合，即可得到点坐标；情形2：当点在的延长线上，过点作的延长线，垂足为，此时，根据题意可证为等腰直角三角形，利用勾股定理求得，从而求得，得到，即可得到点坐标； （2）情形1：当点在的延长线上，过点作的延长线，垂足为，根据题意先得到为等腰直角三角形，当时，利用勾股定理求得，从而得到，再由，，可得，结合即可得到点的横坐标；当时，同理可得点的横坐标，从而得到点的横坐标的取值范围；情形2：当点在的延长线上，过点作延长线于，同情形1可求得点的横坐标的取值范围． 【小问1详解】 解：①如图， 是等腰直角三角形，，点是的中点， ，，， ， ， 边所在直线上一点，点不与点重合，且， 点，重合， ， 故答案为：； ②情形1：如图，当点在上时， 点的坐标为，点与点重合， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 点与点重合， 又，点在直线上，且， 点坐标为； 情形2：如图2，当点在的延长线上，过点作的延长线，垂足为， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ，即， ， ，点与点重合， ， ， ， ， 综上所述：点点坐标为和． 【小问2详解】 解：，， ， ，， 点在的延长线上或在的延长线上； 情形1：如图，当点在的延长线上，过点作的延长线，垂足为， 是等腰直角三角形， ， ， ， 为等腰直角三角形， ； 当时，， ，即， ， ， ，， ， ， 点的横坐标； 当时，同理可得，， 此时，点的横坐标； 点的横坐标的取值范围为：； 情形2：如图，当点在的延长线上，过点作延长线于， 同理可求，点的横坐标的取值范围为：； 综上所述，点的横坐标的取值范围为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$