精品解析：上海市曹杨中学2024-2025学年高三下学期2月考试数学试卷

2025年曹杨中学下学期高三测试 2025.02.26 一､填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分） 1. 函数的定义域为______. 【答案】； 【解析】 【分析】根据函数的解析式，列出使得函数的解析式有意义的不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数有意义，则满足，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案. 【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中根据函数的解析式有意义列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2. 双曲线的两渐近线的夹角大小为______. 【答案】； 【解析】 【分析】根据双曲线的方程，求得其见解析的方程，利用直线的夹角公式，即可求解. 【详解】由双曲线，可化为， 可得双曲线的两条渐近线的方程为， 设双曲线的两条渐近线夹角为且， 则，所以， 即两条渐近线的倾斜角分别为. 故答案为. 【点睛】本题主要考查了以双曲线为载体，求解两直线的夹角，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理可用直线的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3. 已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=__________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可． 解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20， 可得np=30，npq=20，q=，则p=， 故答案为． 点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力． 4. 已知圆柱底面圆的周长为，母线长为4，则该圆柱的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，直接求出，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果. 【详解】设圆柱的底面半径为，所以，得到， 又圆柱的母线长为，所以圆柱的体积为， 故答案为：. 5. 在的二项式展开式中，项的系数是__________. 【答案】 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于3，求的值，即可求得系数. 【详解】展开式的通项为， 令，则， 所以项的系数为. 故答案为： 6. 若无穷等比数列满足，则数列的公比为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由无穷等比数列的前项和求解即可. 【详解】设无穷等比数列的公比为， 因为无穷等比数列满足， 所以， 所以，所以， 解得：. 故答案为：. 7. 湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个直径为24cm，深为8cm的空穴，则这球的半径为______cm. 【答案】13； 【解析】 【分析】设球的半径为，得到截面圆的半径为，球心距为，再由，列出方程，即可求解. 【详解】设球的半径为，将球取出，留下空穴的直径为，深， 则截面圆的半径为，球心距为， 又由，即，化简得， 解得. 故答案为. 【点睛】本题主要考查了球的几何特征，其中解答中根据球的半径，截面圆的半径，以及球心距构造直角三角形，利用勾股定理列出方程是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 8. 已知函数的部分图像如图所示，则点的坐标为___. 【答案】 【解析】 【分析】 先利用周期算出，再代入点即可》 【详解】由题意，可得，即，所以，即， 由函数经过点且为单调递减区间的零点，所以，解得，又由，所以， 故答案为：. 【点晴】此题考根据函数图像求解析式，属于简单题. 9. 在平面直角坐标系内，曲线所围成的区域的面积为______. 【答案】33； 【解析】 【分析】在平面直角坐标系内，画出曲线所围成的区域，可得答案. 【详解】由题意，曲线， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 在平面直角坐标系内，画出曲线所围成的区域， 如图所示，其面积为. 故答案为. 【点睛】本题主要考查了绝对值的集合意义，以及平面图形的面积的计算，其中解答中利用零点的分段法，画出曲线所围成的平面区域是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 10. 设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到，，通过，求得范围，进而可求解； 【详解】由椭圆方程可得：， ， 由双曲线方程可得：，， ， 令，可知， 由，可得： 即，解得：， 综上， 所以，令， 则， 易知，单调递减； 当，，当时，， 所以， 所以， 故答案为： 11. 已知单位向量，两个不同的向量满足，且；其中，当取到最小值时，的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用和数量积知识，得到和的关系，再利用的消元思想得到与相关的两个结构对称的式子，将两个式子结合，去绝对值再利用基本不等式即可求最值. 【详解】因，则，即， 又因且，则，即， 则， 同理可得， 则， 两式相加得， 即 因，故同正， 上式即为， 因，故，当时等号成立， 故，当时等号成立， 此时，则，得 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题属于不等式和向量的综合，属于难题.本题有两个关键点，其一，向量的线性表示可通过同时乘以向量而将结构变为数量积，即实数构成的等式关系；其二，利用结构的对称性将式子的结构形式统一化. 12. 定义在区间上的函数，若存在正数，使得不等式对任意成立，则称函数在区间满足条件；已知，若函数在区间上满足条件，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性以及条件进行分析，从而求得的取值范围，进而求得的最小值. 【详解】对于函数，， 当时，，在区间上单调递增. 不妨设,则， 在区间上满足条件， 所以不等式对任意成立， 所以不等式对任意成立， 即对任意成立， 即在上单调递减， 则在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以，所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】思路点睛： 对于判断函数是否满足条件的问题，根据新定义，先对函数求导，分析函数的单调性，然后根据条件中不等式的形式，结合函数单调性进行转化，构造新的函数，再根据新函数的单调性与导数的关系，建立关于的不等式，通过求函数在给定区间上的最值来确定的取值范围.当函数单调递减时，其导数为非正数（在区间内某点处导数可以为0），利用这一性质将函数单调性问题转化为不等式恒成立问题，进而求解参数范围. 二､选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分） 13. 已知函数和在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在a到b之间的平均变化率大于在a到b之间的平均变化率 B. 在a到b之间的平均变化率小于在a到b之间的平均变化率 C. 对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率 D. 存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率 【答案】D 【解析】 【分析】 由平均变化率和瞬时变化率的概念即可判断. 【详解】解：∵在a到b之间的平均变化率是， 在a到b之间的平均变化率是， 又，， ∴， ∴A、B错误； 易知函数在处的瞬时变化率是函数在处的导数， 即函数在该点处的切线的斜率， 同理可得：函数在处的瞬时变化率是函数在该点处的导数， 即函数在该点处的切线的斜率， 由题中图象可知： 时，函数在处切线的斜率有可能大于在处切线的斜率，也有可能小于在处切线的斜率，故C错误，D正确． 故选：D． 14. 在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则（ ） A. B. 1 C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据线性相关系数的定义直接得解. 【详解】由已知样本数据所对应的点均在直线上， 则，又，所以满足负相关， 即. 故选：A． 15. 已知均为复数，则下列命题不正确的是（ ） A. 若则为实数 B. 若，则为纯虚数 C. 若，则为纯虚数 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】设复数，利用复数的基本运算，以及复数方程的运算，即可判定，得到答案. 【详解】由题意，设复数， 对于A中，由，即，解得，所以复数为实数，所以A正确； 对于B中，复数，因为，可得，所以复数为纯虚数，所以是正确的； 对于C中，当时，满足，所以复数不一定为纯虚数，所以不正确； 对于D中，由，可得，即，解得或， 所以，所以是正确的. 故选C. 【点睛】本题主要考查了复数的代数形式的乘除运算，以及复数的基本概念和复数方程的应用，其中解答中熟练利用复数的代数形式的四则运算，以及熟记复数的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 16. 给定集合和定义域为的函数，如果对于任意、及均成立，则称函数是“关联”的.对于下列两个命题： ①若是“关联”的，则一定是“关联”的（为正整数）； ②若是“关联”的（、为正整数），则一定是“关联”的.判断正确的是（ ） A. ①、②都是真命题 B. ①、②都是假命题 C. ①真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义可得都有，利用递推关系可证都有，可证命题①；对于命题②，将看成自变量每次增量为，共增了次，也可以看成自变量每次增量为，共增了次，从两方面计算，即可证明. 【详解】对命题①：对于集合使，则，而是“封闭”函数，则，即都有， 对于集合使，则， 而 所以 即，故一定是“封闭”函数，所以①是真命题； 对命题②：对于任意，我们估计的范围.一方面，考虑自变量每次增量为，共增了次，则；另一方面，考虑自变量每次增量为，共增了次，则.由此可得，即，即一定是“关联”的，所以②为真命题. 故选：A 三､解答题（共76分） 17. 如图，在正三棱柱中，，、分别为与的中点． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求四面体的体积． 【答案】(1) . (2). 【解析】 【详解】分析：（1）过点作交于点，联结、． 得到即所求异面直线所成角（或补角），然后，在中根据余弦定理求解该角即可； （2）先求解的面积，然后，结合四面体体积公式进行求解． 详解： （1）过点作交于点，联结、． 则直线所成的角就是异面直线与所成的角，且． 在中，， ， 又， 所以． 由余弦定理，得 ，． 所以，异面直线与所成角的大小是． （2）由已知得． 由题意得 平面，且． 因为 平面，所以．又因为 平面，且, 所以平面， 即是四面体的底面上的高． 因为， 所以四面体体积． 点睛：本题重点考查了空间中点线面的位置关系、空间角、体积计算等知识，考查空间想象能力，属于中档题． 18. 已知函数． （1）求函数在区间的最大值和最小值； （2）的内角所对的边分别为，且，，延长至点，使得，若，求的大小． 【答案】（1）最大值为，最小值为. （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式、二倍角公式、辅助角公式进行化简，再结合正弦函数的性质即可求解. （2）根据函数值先求出，再结合正弦定理分别表示，建立关于的三角关系，结合二倍角公式即可求解. 【小问1详解】 ， 因为， 所以， 所以， 所以在区间最大值为，最小值为. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以，所以， 又因为，所以或，解得或， 而，所以舍去，所以. 设，则，故， 在中，由正弦定理得，则， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以， 所以，即，所以或， 故的大小为或. 19. 2024年1月5日起，第40届中国·哈尔滨国际冰雪节在黑龙江省哈尔滨市举行.让大家对冰雪文化进一步了解，激发了大家对冰雪运动进一步的热爱.为了调查不同年龄层的人对“冰雪运动”的喜爱态度.某研究小组随机调查了哈尔滨市M社区年龄在的市民300人，所得结果统计如下频数分布表所示 年龄（单位：周岁） 频数 30 81 99 60 30 持喜爱态度 24 65 75 30 12 （1）求该样本中市民年龄的平均数；（同一组中的数据用该区间的中点值作代表） （2）从这300名市民中随机抽取1人，在此人喜爱冰雪运动的前提下，求其年龄小于50周岁的概率： （3）为鼓励市民积极参加这次调查，该研究小组决定给予参加调查的市民一定的奖励，奖励方案有两种： 方案一：按年龄a进行分类奖励，当时，奖励10元：当时，奖励30元：当时，奖励40元； 方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中年龄低于样本中位数的可抽1次奖，年龄不低于样本中位数的可抽2次奖.每次抽中奖励30元，未抽中奖励10元，各次抽奖间相互独立，且每次抽奖中奖的概率均为， 将频率视为概率，利用样本估计总体的思想，若该研究小组希望最终发出更多的奖金，则从期望角度出发.该研究小组应采取哪种方案 【答案】（1）44.3； （2）； （3）采取方案二. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布表，利用平均数公式求解； （2）设事件表示抽中此人喜爱冰雪运动，事件表示抽中的此人年龄在50周岁以下，根据频数分布表，利用古典概型的概率求得，再利用条件概率求解； （3）对于方案一，设每名参与调查的市民可获得的奖金为元，则的所有可能取值为，求得其对应的概率，再求期望；对于方案二，设每名参与调查的市民可获得的奖金为元，则的所有可能取值为，求得其相应概率，再求期望，对比下结论. 【小问1详解】 解：样本中市民年龄的平均数为. 【小问2详解】 设事件表示抽中的此人喜爱冰雪运动，事件表示抽中的此人年龄在50周岁以下. 则由频数分布表可知， 所以在此人喜爱冰雪运动的前提下，其年龄小于50周岁的概率为. 【小问3详解】 对于方案一，设每名参与调查的市民可获得的奖金为元，则的所有可能取值为， 其对应的概率分别为， 故. 对于方案二，设每名参与调查的市民可获得的奖金为元，则的所有可能取值为. 可得； ， ， 所以， 因为，所以从数学期望的角度分析，该研究小组应采取方案二. 20. 在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于不同的两点、，且. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线经过椭圆的右焦点，是椭圆上两点，四边形是菱形，求直线的方程； （3）已知直线不经过椭圆的右焦点，直线，，的斜率依次成等差数列，求直线在轴上截距的取值范围. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1）由已知得：，问题得解； （2）由已知可得：，设直线l方程为：，,，与椭圆方程联立可得：，由韦达定理，得：，，最后由，可得：，代入解方程即可； （3）设直线l方程为：，由已知可得：，即，化简得：，有已知可得:，联立直线与椭圆方程得：，由， 和可求b的取值范围. 【详解】（1）由可得：， 从而，所以椭圆方程为. （2）由于四边形是菱形，因此且. 由对称性，在线段上. 因此，分别关于原点对称； 并且由于菱形的对角线相互垂直，可得，即. 设直线l方程为：，且, 与椭圆方程联立可得：， ，， 由，可得： 解得，即直线方程为. （3）设直线l方程为：， ，由已知可得： ，即. ， 化简得：. 若，则经过，不符合条件， 因此. 联立直线与椭圆方程得：. 因为，即 由得： 将代入得：， 解得： 令，则 当时，， 在或上单调递减， 或 所以b的取值范围为：. 【点睛】本题考查了椭圆与直线的综合性问题，关键是联立方程组，用韦达定理进行求解，考查了分析能力和计算能力，属于难题. 21. 对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点，一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点． （1）已知，求的不动点； （2）已知函数在定义域内严格增，求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件； （3）已知，讨论函数的稳定点个数． 【答案】（1）1 （2）证明见解析； （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）设，判断该函数单调性，确定其解，即可求得答案； （2）根据函数新定义的含义，结合充分性以及必要性的证明，即可证明结论； （3）由题意可知只需研究的不动点即可，令，求出其导数，判断其单调性，然后分类讨论a的取值范围，判断的零点情况，即可判断的稳定点个数. 【小问1详解】 设，则恒成立， 故函数在R上单调递增， 又，故函数在R上有唯一零点， 即有唯一不动点1． 【小问2详解】 证明：充分性：设为函数的不动点，则， 则，即为函数的稳定点，充分性成立； 必要性：设为函数的稳定点，即． 假设，而在定义域内单调递增， 若，则，与矛盾； 若，则，与矛盾； 故必有，即 即，故为函数的不动点， 综上，“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件． 【小问3详解】 当时，函数在上单调递增， 由（2）知的稳定点与的不动点等价，故只需研究的不动点即可； 令， 则， 则在上单调递减， 当时，恒成立，即在上单调递增， 当x无限接近于0时，趋向于负无穷小，且 故存在唯一的，使得，即有唯一解， 所以此时有唯一不动点； 当时，即时， 当x趋向无穷大时，趋近于0，此时 存在唯一 使得， 此时f（x）在上单调递增，在上单调递减， 故， 当x趋近于0时，趋向于负无穷大，当x趋向正无穷大时，趋向于负无穷大， 设，则在上单调递增，且 又 在时单调递增， 故（i）当时，即 此时，方程有一个解，即有唯一不动点； （ii）当时，即 此时，方程无解，即无不动点； （iii）当时，即 此时，方程有两个解，即有两个不动点； 综上，当时或时，有唯一稳定点； 当时，无稳定点； 当时，有两个稳定点． 【点睛】方法点睛：解答时要注意理解函数新定义的含义，解答的难点是（3）中判断函数稳定点的个数，解答时要结合新定义，采用分类讨论的方法去解决问题，解答过程较为复杂，要有较强的逻辑思维能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年曹杨中学下学期高三测试 2025.02.26 一､填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分） 1. 函数的定义域为______. 2. 双曲线的两渐近线的夹角大小为______. 3. 已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=__________． 4. 已知圆柱底面圆的周长为，母线长为4，则该圆柱的体积为________． 5. 在的二项式展开式中，项的系数是__________. 6. 若无穷等比数列满足，则数列公比为__________. 7. 湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个直径为24cm，深为8cm的空穴，则这球的半径为______cm. 8. 已知函数的部分图像如图所示，则点的坐标为___. 9. 在平面直角坐标系内，曲线所围成的区域的面积为______. 10. 设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是__________. 11. 已知单位向量，两个不同的向量满足，且；其中，当取到最小值时，的值为__________. 12. 定义在区间上的函数，若存在正数，使得不等式对任意成立，则称函数在区间满足条件；已知，若函数在区间上满足条件，则的最小值是__________. 二､选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分） 13. 已知函数和在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在a到b之间的平均变化率大于在a到b之间的平均变化率 B. 在a到b之间的平均变化率小于在a到b之间的平均变化率 C. 对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率 D. 存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率 14. 在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则（ ） A. B. 1 C. D. 无法确定 15. 已知均为复数，则下列命题不正确的是（ ） A. 若则为实数 B. 若，则为纯虚数 C. 若，则纯虚数 D. 若，则 16. 给定集合和定义域为的函数，如果对于任意、及均成立，则称函数是“关联”的.对于下列两个命题： ①若是“关联”的，则一定是“关联”的（为正整数）； ②若是“关联”的（、为正整数），则一定是“关联”的.判断正确的是（ ） A. ①、②都是真命题 B. ①、②都是假命题 C. ①真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 三､解答题（共76分） 17. 如图，在正三棱柱中，，、分别为与的中点． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求四面体的体积． 18 已知函数． （1）求函数在区间的最大值和最小值； （2）内角所对的边分别为，且，，延长至点，使得，若，求的大小． 19. 2024年1月5日起，第40届中国·哈尔滨国际冰雪节在黑龙江省哈尔滨市举行.让大家对冰雪文化进一步了解，激发了大家对冰雪运动进一步的热爱.为了调查不同年龄层的人对“冰雪运动”的喜爱态度.某研究小组随机调查了哈尔滨市M社区年龄在的市民300人，所得结果统计如下频数分布表所示 年龄（单位：周岁） 频数 30 81 99 60 30 持喜爱态度 24 65 75 30 12 （1）求该样本中市民年龄的平均数；（同一组中的数据用该区间的中点值作代表） （2）从这300名市民中随机抽取1人，在此人喜爱冰雪运动的前提下，求其年龄小于50周岁的概率： （3）为鼓励市民积极参加这次调查，该研究小组决定给予参加调查的市民一定的奖励，奖励方案有两种： 方案一：按年龄a进行分类奖励，当时，奖励10元：当时，奖励30元：当时，奖励40元； 方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中年龄低于样本中位数的可抽1次奖，年龄不低于样本中位数的可抽2次奖.每次抽中奖励30元，未抽中奖励10元，各次抽奖间相互独立，且每次抽奖中奖的概率均为， 将频率视为概率，利用样本估计总体的思想，若该研究小组希望最终发出更多的奖金，则从期望角度出发.该研究小组应采取哪种方案 20. 在平面直角坐标系中，，分别是椭圆左、右焦点，直线与椭圆交于不同的两点、，且. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线经过椭圆的右焦点，是椭圆上两点，四边形是菱形，求直线的方程； （3）已知直线不经过椭圆的右焦点，直线，，的斜率依次成等差数列，求直线在轴上截距的取值范围. 21. 对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点，一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点． （1）已知，求的不动点； （2）已知函数在定义域内严格增，求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件； （3）已知，讨论函数的稳定点个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $