精品解析：江苏省盐城市阜宁县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024年秋学期九年级期末学情调研 数学试题 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列函数表达式中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为6，点在外，则的长可能是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 已知，相似比为，且的面积为6，则的面积为（ ） A 12 B. 3 C. 6 D. 24 4. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，则小球最终停留在黑色方砖上的概率是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 7. 在二次函数中，若时，随的增大而减小，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点处测得自己的影长，沿方向前进到达点处测得自己的影长．设小明的身高为，则灯杆的高度为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 一元二次方程的根是___________． 10. 已知，则的值为___________． 11. 若是方程的一个根，则的值为___________． 12. 已知一组数据为1，2，3，4，5，则这组数据的方差为_____． 13. 如图，是的弦，半径，垂足为点．若，则的直径为___________． 14. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的图象的函数表达式是___________． 15. 如图，对折边长为4的正方形纸片，为折痕，以点为圆心，为半径作弧，分别交、于、两点，则扇形的面积为___________． 16. 如图，二次函数图象与轴交于、两点，顶点的坐标为，线段与轴交于点，连接、．点是抛物线上任意一点，若的面积与的面积相等，则点的坐标为___________． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以点为位似中心，在轴右侧画出的位似图形，使与的相似比为； （2）若点在内部，且坐标为，则按（1）变化后的对应点的坐标为____． 19. 某中学组织了七、八年级所有学生参加“交通安全知识”竞赛，现从这两个年级分别随机抽取10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，学生的竞赛成绩均不低于70分，用表示），并将学生的竞赛成绩分为三个组：），下面给出了部分信息： 七年级抽取的10名学生的竞赛成绩为：，，，，，，，，， 八年级抽取的10名学生的竞赛成绩在组中的所有数据为：，，，． 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：____，____，____； （2）该校八年级学生共有人，估计该校八年级学生中“交通安全知识”音寒成绩为“优秀”（）的有多少人？ 20. 在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀． （1）从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是________； （2）甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个实数根大于，求的取值范围． 22. 二次函数部分图象如图所示． （1）根据图象，回答以下问题： ①若点,在这个函数的图象上，则___；（填“”“”或“”） ②关于的方程的解是_____； （2）若该二次函数图象经过点，求它顶点坐标． 23. 古今中外，人们把黄金分割誉为“天赋”的比例法则，它是几何学中一大瑰宝． （1）如图①，若，点是线段的黄金分割点（），求线段的长． （2）如图②，在中，，，是的平分线，求证：点是线段的黄金分割点． 24. 如图，在中，点是上（异于点、）的一点，恰好经过点、，垂足为点，且平分． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，求的半径长． 25. 某服装店销售一款卫衣，这款卫衣的每件进价为80元，现在的每件售价为100元，每星期可卖出40件．经市场调查发现如下信息： 信息一：这款卫衣的每件售价每降1元，每星期可多卖出10件； 信息二：由于货源紧缺，这款卫衣每星期最多能卖100件． 设这款卫衣的每件售价降了元，每星期的销量为件． （1）写出与的函数表达式； （2）当等于多少时，该服装店每星期销售这款卫衣获得的利润最大，最大利润是多少元？ 26. 【问题呈现】 （1）如图，和都是等边三角形，连接、．则与之间的数量关系为_______； 【类比探究】 （2）如图，和都是等腰直角三角形，，连接、．则______； 【拓展提升】 （3）如图，和都是直角三角形，，且．连接，延长交于点，交于点． 求的值； 若，请求出的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，一个半圆和二次函数图像的一部分围成的封闭图形，称为“甜筒圆”，已知分别为“甜筒圆”与坐标轴的交点，其中半圆直径，圆心，二次函数的最小值为． （1）求“甜筒圆”中的二次函数的表达式； （2）如图，画直线，点是第四象限内“甜筒圆”上的一点，过点作轴的平行线与直线相交于点，求的最大值； （3）如图，连接，点为“甜筒圆”上任意一点，过作，垂足为点，是否存在点使得和相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期九年级期末学情调研 数学试题 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列函数表达式中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：是一次函数，故A选项错误； ，当时，不是二次函数，故B选项错误； 是二次函数，故C选项正确； ，分母中含有自变量，不是二次函数，故D选项错误． 故选：C． 2. 已知的半径为6，点在外，则的长可能是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据题意可知的半径为6，点在外，则，进而可得出答案． 【详解】解：∵的半径为6，点在外， ∴， 故选：D． 3. 已知，相似比为，且的面积为6，则的面积为（ ） A. 12 B. 3 C. 6 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵，相似比为， ∴与的面积比为， ∵的面积为6， ∴的面积为24， 故选：D． 4. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，则小球最终停留在黑色方砖上的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式， 根据题意可知一共有9块方砖，黑色方砖有5块，再根据概率公式得出答案． 【详解】解：根据题意可知一共有9块方砖，黑色的方砖有5块， 所以小球最终停留在黑色方砖上的概率是． 故选：A． 5. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键． 由圆内接四边形的性质得，再由圆周角定理可得． 【详解】解：，， ， ， ． 故选：B． 6. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是其两个实数根，则．解题的关键是掌握一元二次方程的两根之和、两根之积与方程系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系，得到，然后代入计算，即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根 ∴， 将，代入，则 故选C． 7. 在二次函数中，若时，随的增大而减小，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，掌握当抛物线开口向下时，在对称轴的右侧随的增大而减小是解题的关键． 根据二次函数表达式可得其对称轴为及抛物线开口向下，从而得到在对称轴的右侧随的增大而减小，再根据已知条件时，随的增大而减小，确定的取值范围． 【详解】解：在二次函数中，， 抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为， 当时，随增大而减小。 已知时，随的增大而减小， 在对称轴的右侧或与对称轴重合， 即． 故选：D． 8. 如图，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点处测得自己的影长，沿方向前进到达点处测得自己的影长．设小明的身高为，则灯杆的高度为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，理解相似三角形的对应线段成比例是解题的关键． 先设米，当小明在、两处时分别得出三角形相似，列出线段对应的比例式，求出，再代入即可求解． 【详解】解：设米， 由相似三角形性质： 当小明在处时，，则， 当小明在处时，，则， ， 解得，， 经检验，是方程的解， 将代入， 解得． 答案：A． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 一元二次方程的根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， 或， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，灵活选择合适的方法是解题的关键． 10. 已知，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式求值，由可得，将其代入即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 11. 若是方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．由方程有一个根为，将代入方程即可求出的值． 【详解】解：根据题意将代入方程得： ， 解得，． 故答案为：． 12. 已知一组数据为1，2，3，4，5，则这组数据的方差为_____． 【答案】2． 【解析】 【详解】试题分析：先根据平均数的定义确定平均数，再根据方差公式进行计算即可求出答案． 由平均数的公式得：（1+2+3+4+5）÷5=3， ∴方差=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]÷5=2． 考点：方差． 13. 如图，是的弦，半径，垂足为点．若，则的直径为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，在解答此类问题时往往先构造出直角三角形，再利用勾股定理求解． 根据垂径定理求出的长，在中由勾股定理求出半径的长，进而可得出结论． 【详解】解：连接， 半径， ， 设的半径为，则，， 在中， 根据勾股定理， 即， 解得，， 的直径为． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的图象的函数表达式是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的平移法则即可解决问题． 【详解】解：由题知， 将函数的图象向左平移3个单位长度后， 所得函数的表达式为再将所得函数图象向下平移5个单位长度后， 得到的图象的函数表达式是， 将展开： ， ， ， 即． 故答案为：或． 15. 如图，对折边长为4的正方形纸片，为折痕，以点为圆心，为半径作弧，分别交、于、两点，则扇形的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由折叠的性质可得，，再结合，可得，由正方形的性质可得，，，进而可证得四边形和是矩形，于是可得，，则，利用可证得，于是可得，再结合，即，可证得四边形是平行四边形，于是可得，进而可得，由此可证得是等边三角形，于是可得，然后根据扇形的面积公式即可求出扇形的面积． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质可得：，， 又， ， 四边形是正方形， ，，， 四边形和是矩形， ，， ， 在和中， ， ， ， 又，即， 四边形是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，求扇形面积等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 16. 如图，二次函数的图象与轴交于、两点，顶点的坐标为，线段与轴交于点，连接、．点是抛物线上任意一点，若的面积与的面积相等，则点的坐标为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与轴交点的相关知识，判断出点是如何得到的是解决本题的关键． 把抛物线的顶点代入可得抛物线的解析式，取，求得对应的的值，即可求得点的坐标，进而求得直线的解析式，根据的面积与的面积相等可得点是过点与平行的直线与二次函数的交点，判断出过点与平行的直线，与二次函数联立可得点的坐标． 【详解】解：过点作的平行线，如图所示， 二次函数的图象与轴交于、两点，顶点的坐标为， 二次函数的解析式为：， 当时，， 解得：，， 点的坐标为， 设直线的解析式为：， 把点A和点代入， 可得 解得， 直线的解析式为：， 的面积与的面积相等， 点是过点与平行的直线与二次函数的交点 点， 点是过点与平行直线解析式为：， 解得，或 点的坐标为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用平方差公式法求解即可． 小问1详解】 解： 或 ， 【小问2详解】 解： ， ， 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以点为位似中心，在轴右侧画出的位似图形，使与的相似比为； （2）若点在内部，且坐标为，则按（1）变化后的对应点的坐标为____． 【答案】（1）图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了在坐标系中画位似图形，求位似图形对应坐标等知识点，熟练掌握位似变换的性质及画位似图形的方法是解题的关键． （1）按照画位似图形的方法画出即可； （2）根据位似变换的性质及已知条件（相似比为，且在位似中心同侧）即可直接得出点的坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作； 【小问2详解】 解：根据位似变换的性质及已知条件（相似比为，且在位似中心同侧）可得： 点的坐标为， 故答案为：． 19. 某中学组织了七、八年级所有学生参加“交通安全知识”竞赛，现从这两个年级分别随机抽取10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，学生的竞赛成绩均不低于70分，用表示），并将学生的竞赛成绩分为三个组：），下面给出了部分信息： 七年级抽取的10名学生的竞赛成绩为：，，，，，，，，， 八年级抽取的10名学生的竞赛成绩在组中的所有数据为：，，，． 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：____，____，____； （2）该校八年级学生共有人，估计该校八年级学生中“交通安全知识”音寒成绩为“优秀”（）的有多少人？ 【答案】（1），，； （2）估计该校八年级学生中“交通安全知识”测试成绩为“优秀”（）的共有人． 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，众数，用样本估计总体，扇形统计图等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）根据中位数和众数的定义可求出、的值，先求出八年级组的人数，进而可求出的值； （2）用八年级的人数乘以八年级样本中优秀的人数占比求出八年级优秀人数即可． 【小问1详解】 解：七年级名学生成绩中，得分为分的人数最多， ， 八年级组的人数为：（人）， 而八年级组有4人，则把八年级名学生的成绩按照从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为分，分， ∴八年级学生成绩的中位数（分）， 由题意得，， ∴； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校八年级学生中“交通安全知识”测试成绩为“优秀”（）的共有人． 20. 在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀． （1）从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是________； （2）甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲获胜的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有3支签，写有“石头”的签有1支，且每支签被抽到的概率相同， ∴从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设分别用A、B、C表示“石头”、“剪子”、“布”，列表如下： 甲 乙 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中甲获胜的结果数有，，，共3种， ∴甲获胜的概率为． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个实数根大于，求的取值范围． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出，根据判别式的意义即可证明； （2）设方程的两个根分别为，，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可求得的取值范围． 【小问1详解】 证明：，，， ， 无论为何值，方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：由（1）知，，，，， 解方程得， ，． 由题意可知，， ． 22. 二次函数的部分图象如图所示． （1）根据图象，回答以下问题： ①若点,在这个函数的图象上，则___；（填“”“”或“”） ②关于的方程的解是_____； （2）若该二次函数图象经过点，求它的顶点坐标． 【答案】（1）①；②， （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，待定系数法求二次函数表达式，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）①根据图象和二次函数性质求解，即可解题； ②根据二次函数图象与其对称性得到二次函数图象与轴交点情况，进而推出方程的解，即可解题； （2）设二次函数表达式为．利用待定系数法求出解析式，即可得到它的顶点坐标． 【小问1详解】 解：①二次函数图象开口向上，对称轴为直线， ， ， ， 故答案为：． ②由图知，二次函数图象与轴交点为， 对称轴为直线， 二次函数图象与轴另一个交点为， 关于的方程的解是，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设二次函数表达式为． 根据题意，当时，；当时，． 解得， 二次函数表达式为（或）， 顶点坐标为． 23. 古今中外，人们把黄金分割誉为“天赋”的比例法则，它是几何学中一大瑰宝． （1）如图①，若，点是线段的黄金分割点（），求线段的长． （2）如图②，在中，，，是的平分线，求证：点是线段的黄金分割点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由点是线段的黄金分割点（）可得，设，则，于是可得，解方程即可求出线段的长； （2）由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由三角形角平分线的定义可得，进而可得，，由此可证得，于是可得，由三角形的内角和定理可得，且，由等角对等边可得，，进而可得，因而可得，于是结论得证． 【小问1详解】 解：点是线段的黄金分割点（）， ， 设，则， ， 整理，得：， 解得：或（不合题意，故舍去）， 经检验，是原分式方程的解， ， 即：线段的长为； 【小问2详解】 证明：，， ， 是的平分线， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 点是线段的黄金分割点． 【点睛】本题主要考查了黄金分割，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，分式方程的其它实际问题，三角形的内角和定理，三角形角平分线的定义等知识点，深刻理解黄金分割的定义是解题的关键． 24. 如图，在中，点是上（异于点、）的一点，恰好经过点、，垂足为点，且平分． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，求的半径长． 【答案】（1）与相切，详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定， 对于（1），根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得，即可得，再根据平行线的性质得，即可得答案； 对于（2），先设的半径为，再根据勾股定理求出，然后说明 ，接下来根据相似三角形的对应边成比例得出答案． 【小问1详解】 解：与相切． 理由如下：如图，连接， ， . 平分， ， ， ， . ， ， ， 与相切； 【小问2详解】 解：设的半径为． ， ． 由（1）知，， 又， ， ， ， ， 的半径长为． 25. 某服装店销售一款卫衣，这款卫衣的每件进价为80元，现在的每件售价为100元，每星期可卖出40件．经市场调查发现如下信息： 信息一：这款卫衣的每件售价每降1元，每星期可多卖出10件； 信息二：由于货源紧缺，这款卫衣每星期最多能卖100件． 设这款卫衣的每件售价降了元，每星期的销量为件． （1）写出与的函数表达式； （2）当等于多少时，该服装店每星期销售这款卫衣获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当时，该服装店每星期销售这款卫衣获得的利润最大，最大利润是1400元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数在销售问题中的应用，找到数量关系是解答关键． （1）根据销售量原价的销售量降价后的销售量来求解； （2）设该服装店每星期销售这款卫衣获得的利润为元，根据销售利润销售数量单件销售利润来求解． 【小问1详解】 解：与的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设该服装店每星期销售这款卫衣获得的利润为元． 每星期最多能卖100件， ， ，二次函数图象开口向下， 当时，随的增大而增大． 当时，有最大值，最大值为1400， 答：当时，该服装店每星期销售这款卫衣获得的利润最大，最大利润是1400元． 26. 【问题呈现】 （1）如图，和都是等边三角形，连接、．则与之间的数量关系为_______； 【类比探究】 （2）如图，和都是等腰直角三角形，，连接、．则______； 【拓展提升】 （3）如图，和都是直角三角形，，且．连接，延长交于点，交于点． 求的值； 若，请求出的长． 【答案】（1）；（2）；（3）； ． 【解析】 【分析】（1）证明，从而得出结论； （2）证明，从而得出结论； （3）先证明　，再证得，进而得出结果； 在的基础上得出，进而，进一步得出结果． 【详解】解：（1）和都是等边三角形， ， ， ， ， ， ； （2）和都是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ； （3）∵ ，， ，，， ， ， ， ， 设，，，， 由勾股定理：，， 相似比， ； ，，， ，， 在中， ， 由得， 又， ， ， 即，　 解得，， 答：的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，一个半圆和二次函数图像的一部分围成的封闭图形，称为“甜筒圆”，已知分别为“甜筒圆”与坐标轴的交点，其中半圆直径，圆心，二次函数的最小值为． （1）求“甜筒圆”中的二次函数的表达式； （2）如图，画直线，点是第四象限内“甜筒圆”上的一点，过点作轴的平行线与直线相交于点，求的最大值； （3）如图，连接，点为“甜筒圆”上任意一点，过作，垂足为点，是否存在点使得和相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）“甜筒圆”中的二次函数的表达式为：； （2）最大值为； （3）存在．或或或． 【解析】 【分析】（1）根据已知的圆心坐标和半圆直径可确定二次函数的顶点坐标，再利用图像过的点，设出顶点式来求解二次函数表达式． （2）先求出直线的表达式，设出点的坐标，进而得到点的坐标，通过两点纵坐标之差表示出，再根据二次函数性质求最大值； （3）根据相似三角形的性质分情况讨论，结合 “甜筒圆” 的图形特征求出点的坐标． 【小问1详解】 解：已知半圆直径，圆心， ， 则点坐标为即， 点坐标为即， 二次函数的最小值为， 二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的表达式为，把代入可得， ， 解得，， 二次函数的表达式为， 即“甜筒圆”中的二次函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：先求点坐标，令， 则， ， 已知，设直线的表达式为， 把，代入， 可得 解得 直线的表达式为， 设点的坐标为， 轴， 点的纵坐标为， 把代入， 可得 解得，即， 则， ， 当时，有最大值为； 【小问3详解】 解：存在，由点、、的坐标得，，当和相似时，则或， 当点在“甜筒圆”上时，连接，如图所示： 当时，设，则，， 当时，设，则，， 在中，则， 即或， 解得，或 (舍去)， ， 则点， 根据图形的对称性，另外一个点关于对称， 则点， 当点在抛物线上时，如图所示， 则或， 设点，则， 则或， 解得，(舍去)或或， 即点或， 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆的性质勾股定理等知识，分类求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $