河北省沧州市五县2024-2025学年高三下学期第一次模拟联考数学试题

2025届3月第一次模拟考试 数学试卷 一、选择题 1．已知集合,,则( ) A. B. C. D. 2．已知角的始边为x轴非负半轴,终边经过点,则( ) A.3 B. C. D. 3．已知向量，满足，且，则与的夹角为( ) A. B. C. D. 4．已知数列满足：,,则( ) A.10 B.11 C.12 D.13 5．在正三棱锥中，O为外接圆圆心，则( ) A. B. C. D. 6．抛物线的焦点坐标为( ) A. B. C. D. 7．已知函数的定义域为,其导函数是.有,则关于x的不等式的解集为( ) A. B. C. D. 8．已知函数,则下列说法中正确的是( ) A.对任意的,都有 B.当时,有两个实根 C.若关于x的方程且在上只有一个解,则a的取值范围为 D.若方程有两个不同的根,且恒成立,则 二、多项选择题 9．过抛物线的焦点F的直线与C相交于，两点，直线PQ的倾斜角为，若的最小值为4，则( ) A.F的坐标为 B.若，则 C.若，则的最小值为3 D.面积的最小值为2 10．已知实数a,b满足等式,则下列可能成立的关系式为( ) A. B. C. D. 11．泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数,也叫泰勒展开式,下面给出两个泰勒展开式 由此可以判断下列各式正确的是( ). A.(i是虚数单位) B.(i是虚数单位) C. D. 三、填空题 12．已知三棱锥的棱长均为2，且D是BC的中点，则__________. 13．已知在正四棱台中,,,,则异面直线与所成角的余弦值为_______________. 14．已知双曲线与平行于x轴的动直线交于两点，点A在点B左侧，双曲线C的左焦点为F，且当时，.则双曲线的离心率是_________；当直线运动时，延长至点P使，连接交x轴于点Q，则的值是_________. 四、解答题 15．已知幂函数是定义在R上的偶函数. (1)求函数的解析式; (2)当时,求函数的最大值,并求对应的自变量x的值. 16．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)求角A的值； (2)若点D为的中点，求的值. 17．如图，在三棱台中，平面平面，，，. (1)证明：； (2)当直线与平面所成的角最大时，求三棱台的体积. 18．已知圆，直线l过点. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的斜率； (2)线段的端点B在圆C上运动，求线段的中点M的轨迹方程. 19．若圆与圆相交于P,Q两点,,且为线段PQ的中点,则称是的m等距共轭圆,已知点,均在圆上,圆心在直线上. (1)求圆的标准方程. (2)若圆是圆的8等距共轭圆,设圆心的轨迹为. （i）求的方程. （ii）已知点,直线l与曲线交于异于点H的E,F两点,若直线HE与HF的斜率之积为3,试问直线l是否过定点？若过定点,求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由. 参考答案 1．A2．C3．C4．B5．D6．C7．B8．D 9．ACD10．BCD11．ACD 12．113．14．①.②. 15．(1) (2)当时,函数的最大值为7 解析：(1)根据题意可得,即, 所以,解得,又函数是定义在R上的偶函数, 所以,,即函数的解析式为. (2)由(1)可知 因,所以,当时,,函数的最大值为7. 16．(1) (2) 解析：(1)设，则，， 利用余弦定理可得， 又因为，所以. (2)设，则，， 因为点D为的中点，所以， 两边平方可得， 即， 所以， 可得，所以. 17．(1)证明见解析； (2). 解析：（1）在三棱台中，取的中点O， 连接，，，由，得， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，而平面，则， 又，，则四边形是菱形，， 而，平面， 因此平面，又平面，所以. （2）取中点M，则， 由平面平面，平面平面， 平面，则平面，直线，，两两垂直， 以点O原点，直线，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，，，，， 设平面的法向量， 则，取，得， 设直线与平面所成的角为， ， 当且仅当，即时取等号， 所以三棱台的体积 . 18．(1) (2) 解析：(1)已知C的圆心是，半径是， 设直线斜率为k 则直线方程是，即， 则圆心到直线距离为， 解得直线的斜率. (2)设点， 则，由点M是的中点得， 所以① 因为B在圆C上运动， 所以② ①代入②得， 化简得点M的轨迹方程是. 19．(1) (2)（i）;（ii）直线过定点 解析：(1)因为圆心在直线上,设, 且点,均在圆上,则, 可得,解得, 即圆心为,半径, 所以圆的标准方程为. (2)（i）因为,由题意可得：, 可知圆心的轨迹为是以为圆心,半径的圆, 所以的方程为; （ⅱ）若直线l的斜率存在,设直线,, 联立方程,消去y可得, 则,且, 因为, 整理可得, 则 可得,即或, 当,直线过定点; 当,直线过定点,不合题意; 可知直线l过定点; 若直线l的斜率不存在,设,,, 则,即, 且在圆上,则, 即,解得,不合题意; 综上所述：直线l过定点. 学科网（北京）股份有限公司 $$