精品解析：湖北省云学名校联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试卷

2025年湖北云学名校联盟高一年级3月联考 数学试卷 命题学校：钟祥一中 命题人：李铠峰 贾晶晶 付万丽 审题人：云学研究院 考试时间：2025年3月10日15:00－17:00 时长：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试卷和管题卡一并上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别通过解不等式以及求函数的定义域可得集合A，B，再求交集即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：C. 2. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断出函数的单调性，结合零点存在定理即可判断出答案. 【详解】由题意可知函数在上单调递增， 又， 即， 故函数的零点所在区间为， 故选：B 3. 已知非零向量与共线，下列说法正确的是（ ） A. 与共线 B. 与不共线 C. 若，则 D. 若，则是一个单位向量 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线，向量相等及单位向量的定义分别判断各选项. 【详解】当，，，四点在一条直线上时，与共线，否则与可能不共线，所以AB选项错误； 若，无法确定向量方向，不能确定向量相等，C选项错误； 根据单位向量定义可知若，则是一个单位向量，D选项正确； 故选：D. 4. 已知，集合，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别化简集合和，根据充分性和必要性定义判断即可. 【详解】因为， 由 解得或， 或， 由解得或， 即或， 因为，所以， 所以， 所以是的真子集， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 5. 纸折扇是我国古代传统的工艺制品，它是以细长的竹片制成众多的扇骨，然后将扇骨叠起，其下端头部以钉铰固定，其余则展开为扇形，上裱糊以纸，作扇面，并在扇面上题诗作画.如图所示，已知折扇两端的扇骨长均为18cm且夹角为，扇面（裱糊以纸的部分）上下的弧长L与l之比为3:1，则扇面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇环的面积公式来求得正确答案. 【详解】大扇形半径为，则小扇形半径为，， 所以上弧长为，下弧长为， 所以扇环也即扇面面积为. 故选：B 6. 已知角为的一个内角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件分析的范围，再利用求出，再利用二倍角公式即可求解. 【详解】因为为三角形内角，所以，所以， 又因为，且， 所以，所以， 所以， 由二倍角公式有： . 故选：A 7. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性有在上单调递减，结合二次函数的性质求参数范围. 【详解】由题设，函数在上单调递增， 易知在上单调递减， 当时，满足题设， 当时，或， 综上，. 故选：B. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且，且当时，，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得函数关于点对称，再结合条件可得函数是周期为的周期函数，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即， 即函数关于点对称，所以， 又因为，则函数关于直线对称， 即， 所以，令，则， ，即，所以， 即，函数是周期为的周期函数， 又当时，， 则，， 则，，， 则 . 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由不等式性质可判断A；由对数函数的性质可判断BD；由幂函数性质可判断C. 【详解】对于A，因为，结合不等式性质可知，A正确； 对于B，由于，故，B正确； 对于C，，则幂函数在上单调递减， 故，C错误； 对于D，由于，故，D错误； 故选：AB 10. 函数的部分图象如图所录，则（ ） A. B. 在的值域为 C. 将的图象向左平移个单位后为奇函数 D. 的单调递增区间为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的图象，结合五点法作图求出解析式，再结合正弦函数的性质逐项分析判断. 【详解】对于，观察图象得，的最小正周期，解得， 由，得，而，则，A正确； 对于B，，由，得，，B错误； 对于C，将的图象向左平移个单位后，得，是奇函数，C正确； 对于D，， 由，解得， 因此单调递增区间为，D正确． 故选：ACD 11. 已知函数，若存在实数m使得方程有四个互不相等的实数根，，，，则下列叙述中正确的有（ ） A. B. C. D. 有最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得函数与有4个不同的交点，根据图象可求得，，进而计算可判断每个选项的正误. 【详解】若存在实数m使得方程有四个互不相等的实数根， 则函数与有4个不同的交点， 在同一坐标系中作出函数与函数的图象如图所示： 当或，，又时， 则由图象可知函数与有4个不同的交点时，可得，故A正确； 且， 当时，是方程的两个实数根， 所以是方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得，故B正确； 当时，是方程的两根， 所以，所以， 所以，， 所以，故C错误； 因为， 所以， ，当且仅当，即时，等号成立， 所认有最小值，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：D选项，关键在于利用，得到，进而结合基本不等式求得最小值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，结合是偶函数，可得，再根据单调性解不等式即可. 【详解】幂函数是偶函数， ，解得或， 当时，为奇函数，不符合题意， 当时，为偶函数，符合题意， ,在内单调递增，且为偶函数， 可化为， 两边取平方可得：， 整理的，解得， 的解集为. 故答案为：. 13. 已知函数的最小值为，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先由的正负分类讨论（可先由时函数的单调性判断），再时的函数为二次函数形式判断求解． 【详解】若，则，在上是减函数，不是最小值，不合题意； 若，则时，是增函数，因此时，，函数无最小值； 若，则时，是减函数，， 时，，因此在时是增函数， 由得，所以， 当时，，的最小值是，不是，不合题意， 综上，的取值范围是． 故答案为： 14. 已知函数在时取得最大值．且关于点中心对称，当取得最小值时，的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题设得到，讨论的取值，结合确定的最小值，从而求解. 【详解】因为函数在时取得最大值，且关于点中心对称， 所以，两式作差得， 所以， 因为，即，得，， 当时，， 将代入，得， 不满足，不合题意； 当时，， 将代入，得， 当时，，满足， 当时，， 所以的最小值为，此时， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16，17小题15分，第18，19小题17分，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的结果： （1）； （2）已知，求值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数与对数计算公式直接化简可得值； （2）利用诱导公式及同角三角函数关系式化简求值. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 由诱导公式可知， 即， 所以. 16. 已知命题，，命题，． （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p，q有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得在有解，利用对勾函数求得的最大值即可； （2）利用不等式的解集为，可求得q为真命题时，实数m的取值范围，结合已知可求得命题p，q有且仅有一个为真命题，实数m的取值范围. 【小问1详解】 因为，，可得在有解，所以， 令，由对勾函数可知函数在单调递减，在上单调递增， 又，，所以， 所以命题p为真命题时，实数m的取值范围为； 【小问2详解】 若，，则，解得． 所以q为真命题时，实数m的取值范围为； 当命题p为真命题，q为假命题时，m应满足，所以， 当命题p为假命题，q为真命题时，m应满足，所以， 综上所述：命题p，q有且仅有一个为真命题，实数m的取值范围为． 17. “绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）50；2200 【解析】 【分析】（1）由题意，分和两种情况求利润； （2）结合二次函数性质及基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意可知， 当时，， 当时，， 所以年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式为. 【小问2详解】 当时，，开口向下， 所以当时，； 当时， ， 当且仅当即时，等号成立，此时， 因为， 所以，该产品的年产量为50万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2200. 18. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）将的图象向左平移个单位，向下平移1个单位，再把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，若在内恰有3个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性质求解. （2）利用图象变换求出值，再利用正弦函数性质求出范围. 【小问1详解】 依题意， ， 由， 解得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 将的图象向左平移个单位，向下平移1个单位，得， 再把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得， 则，得， 因为，所以， 所以的解析式为， 由，得，由函数在区间上有3个零点， 得，解得， 所以的取值范围是. 19. 设函数的定义域为D，对于区间，若满足，恒有，则称函数在区间I上的增长系数为1；若满足，恒有，则称函数在区间I上的增长系数为2；若满足，恒有，则称函数在区间I上的增长系数为n． （1）求函数，在上的增长系数； （2）若3和4都是函数在上的增长系数，求a的取值范围； （3）若函数，在上的增长系数仅为n，求n的最小值及此时m的取值范围． 【答案】（1）在上的增长系数为1；在上的增长系数为2； （2） （3）n的最小值为5； 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性求出值域，结合增长系数的定义求解即可； （2）令，根据增长系数的定义得到，根据不等式求解即可； （3）根据函数的单调性求出值域，结合增长系数的定义得到，进而得到，根据不等式有解且求解即可. 【小问1详解】 因为函数在上单调递增， 当时，；当时，，所以， 而，所以函数在上的增长系数为1； 因为函数在上单调递增， 当时，；当时，，所以， 而，所以函数在上的增长系数为2； 【小问2详解】 ， 因，令，则， 因为3和4都是函数在上的增长系数， 所以， 所以，即，整理得， 因为，所以，所以； 【小问3详解】 令，易知在上单调递增， 又单调递增， 根据复合函数的单调性知函数在上单调递增， ，， 则， 因为函数在上的增长系数仅为n， 所以， 则，即， 故， 由题设可得存在唯一的正整数， 且， 所以， 解得，故，即的最小值为5， 此时且即， 所以n的最小值为5，此时. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问关键在于根据增长系数的定义列出关于的不等式，根据不等式有解确定的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年湖北云学名校联盟高一年级3月联考 数学试卷 命题学校：钟祥一中 命题人：李铠峰 贾晶晶 付万丽 审题人：云学研究院 考试时间：2025年3月10日15:00－17:00 时长：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试卷和管题卡一并上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 3. 已知非零向量与共线，下列说法正确的是（ ） A. 与共线 B. 与不共线 C. 若，则 D. 若，则是一个单位向量 4. 已知，集合，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 纸折扇是我国古代传统的工艺制品，它是以细长的竹片制成众多的扇骨，然后将扇骨叠起，其下端头部以钉铰固定，其余则展开为扇形，上裱糊以纸，作扇面，并在扇面上题诗作画.如图所示，已知折扇两端的扇骨长均为18cm且夹角为，扇面（裱糊以纸的部分）上下的弧长L与l之比为3:1，则扇面的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知角为的一个内角，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则实数a取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且，且当时，，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 函数的部分图象如图所录，则（ ） A. B. 在的值域为 C. 将的图象向左平移个单位后为奇函数 D. 的单调递增区间为 11. 已知函数，若存在实数m使得方程有四个互不相等的实数根，，，，则下列叙述中正确的有（ ） A. B. C. D. 有最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为________． 13. 已知函数的最小值为，则实数a的取值范围是________． 14. 已知函数在时取得最大值．且关于点中心对称，当取得最小值时，值为________． 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16，17小题15分，第18，19小题17分，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的结果： （1）； （2）已知，求的值． 16. 已知命题，，命题，． （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p，q有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围． 17. “绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 18. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）将的图象向左平移个单位，向下平移1个单位，再把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，若在内恰有3个零点，求的取值范围． 19. 设函数的定义域为D，对于区间，若满足，恒有，则称函数在区间I上的增长系数为1；若满足，恒有，则称函数在区间I上的增长系数为2；若满足，恒有，则称函数在区间I上的增长系数为n． （1）求函数，在上的增长系数； （2）若3和4都是函数在上的增长系数，求a的取值范围； （3）若函数，在上的增长系数仅为n，求n的最小值及此时m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$