精品解析：湖北省云学名校联盟2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题

2025年湖北云学名校联盟高一年级期中联考 数学A试卷 命题单位：云学研究院 审题单位：云学研究院 考试时间：2025年4月23日15：00－17：00时长：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，其中为虚数单位.则（ ） A. 10 B. 5 C. D. 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，点为线段的中点，点在线段上，且，若，则（ ） A B. C. D. 6. 设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 7. 已知，都是锐角，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 8. 法国数学家皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角：当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知，，分别是三个内角，，的对边，且，，若点为的费马点，则（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，则下列说法正确是（ ） A. 若复数，则 B. 若复数，则 C. 若复数，则实数或 D. 若复数满足，则 10. 已知三个内角的对边分别为，且，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则边上高的最大值为 B. 若，则周长的最小值为 C. 若角平分线长为，且，则 D. 若是锐角三角形，且，则的取值范围是 11. 已知函数，若方程有三个不相等的实根，，，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 方程有三个不相等实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则______； 13. 在中，已知，，且满足条件的三角形有两个，则边的取值范围是______； 14. 在中，边长为4，为的中点，长为，点、分别为的重心和外心，则______. 四、本题共5小题，第15小题13分，第16，17小题15分，第18，19小题17分，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步频. 15. 已知复数，.（其中为虚数单位，） （1）若为纯虚数，求的值： （2）若是关于的方程的一个根，求实数，的值. 16. 已知，，函数. （1）求函数的对称中心及单调减区间； （2）若，且，求的值. 17. 在中，已知，，.，分别是，上点，且，，与相交于点，. （1）求实数的值； （2）求的余弦值. 18. 如图，四边形ABCD中，，，，，，且. （1）求； （2）求的取值范围； （3）求四边形周长的最小值. 19. 已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径. （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，求边长的最大值； （3）若的面积为，且，求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年湖北云学名校联盟高一年级期中联考 数学A试卷 命题单位：云学研究院 审题单位：云学研究院 考试时间：2025年4月23日15：00－17：00时长：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的值域、对数函数的定义域化简集合，再求交集即可. 【详解】由题知，，则， 故选：C. 2. 若复数满足，其中为虚数单位.则（ ） A. 10 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用等式进行化简，通过复数的商的运算法则计算求得的表达式，进而可求. 【详解】由，可得， 所以， 则. 故选：C. 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，，再利用投影向量的定义求解即可. 【详解】因为向量，， 所以，， 则向量在向量上的投影向量为， 故选：A. 4. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用几何关系得，利用斜二测画法的规则来还原平面图，根据梯形面积即可求解. 【详解】如图①，过作于E， 由斜二测画法知，，可得是等腰直角三角形， 又是等腰梯形，则，所以， 还原平面图，如下图：为直角梯形， 则， 所以四边形ABCD的面积为． 故选：D 5. 在中，点为线段的中点，点在线段上，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算得，结合已知利用平面向量基本定理列式得，即可求解. 【详解】由题意， 又，所以，所以. 故选：B 6. 设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据计算得出角，因为利用正弦定理和余弦定理得到，从而判断三角形形状. 【详解】因为，所以， 则，因为，所以， 又，所以， 由，所以，， 所以为等腰直角三角形. 故选：D. 7. 已知，都是锐角，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数间的关系求得，利用二倍角的正切公式求得，进而利用两角和的正切公式可求的值. 【详解】因为，是锐角，所以， 所以，从而， 所以. 故选：A. 8. 法国数学家皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角：当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知，，分别是三个内角，，的对边，且，，若点为的费马点，则（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由三角恒等变换可得，据此判断费马点的位置，由余弦定理及条件求出，再由等面积法求出，利用费马点转化为向量数量积即可得解. 【详解】，由正弦定理得， ，， 则有， 即， ，，有，得， 因为，所以，所以，所以. 由三角形内角和性质知：内角均小于， 结合题设易知：P点一定在三角形的内部， 再由余弦定理知，， 又因为，所以， 所以 ， 所以. 由，等号左右两边同时乘以可得： ， . 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若复数，则 B. 若复数，则 C. 若复数，则实数或 D. 若复数满足，则 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，可判断；B选项，举出反例可判断；C选项，得到方程组，求出可判断；D选项，，从而根据模长公式得到方程，化简得可判断. 【详解】对于A选项，，则，故A正确； 对于B选项，不妨设，故，但，故B错误； 对于C选项，复数，则， 解得，故C错误； 对于D选项，复数满足，即， 即，化简得，故D正确. 故选：AD. 10. 已知三个内角的对边分别为，且，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则边上高的最大值为 B. 若，则周长的最小值为 C. 若的角平分线长为，且，则 D. 若是锐角三角形，且，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题中条件，得.对于A，利用余弦定理和及基本不等式，得到，再由三角形面积公式即可求解；对于B，利用余弦定理和基本不等式结合，计算周长最值；对于C，利用分割计算三角形面积，得，结合条件可得，，再利用余弦定理计算得出边长；对于D，利用正弦定理、三角形内角和和辅助角公式，结合角的范围计算得出结果. 【详解】由，可得， 又，得到, 又，所以，即，又，所以； 对于选项A，时，由余弦定理得， 所以，所以边上的高，故选项A正确， 对于选项B，因为，则， 所以，得到， 所以，则周长，周长的最大值为，所以选项B错误； 对于选项C，由，得， 又，所以， 又，得到，则， 又， 所以，所以选项C正确； 对于选项D，由正弦定理知， ， 又是锐角三角形，所以，得到， 所以，则，所以，故选项D正确， 故选：ACD. 11. 已知函数，若方程有三个不相等的实根，，，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 方程有三个不相等的实数根 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据方程有三个不相等的实根计算判断各个选项即可. 【详解】由函数，作出图象： 若方程有三个不相等的实根，，， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以当时方程有一个不相等的实根，则， 又因为关于对称， 所以，且， 则， 因为时，，因此可以取到1，所以A错误； 则，所以B正确； 又因为，所以，所以，，知，所以C正确， 当方程有三个不相等实根时，，则，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则______； 【答案】 【解析】 【分析】直接根据向量共线的坐标运算列式求解即可. 【详解】因为向量，，且，所以，解得. 故答案为： 13. 在中，已知，，且满足条件的三角形有两个，则边的取值范围是______； 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】满足三角形有两个的条件为，又因为，， 所以，所以. 故答案为：. 14. 在中，边长为4，为的中点，长为，点、分别为的重心和外心，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】利用重心性质表示出，利用向量数量积定义即可求得结果. 【详解】因为为重心，则有， 又为外心，故在方向上的投影向量为，且在方向上的投影向量为, 根据数量积的几何意义得 故， 又因为,两式平方相加得， 故,所以. 故答案为： 四、本题共5小题，第15小题13分，第16，17小题15分，第18，19小题17分，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步频. 15. 已知复数，.（其中为虚数单位，） （1）若为纯虚数，求的值： （2）若是关于的方程的一个根，求实数，的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数的定义，列方程组求解； （2）方法一：利用实系数方程的虚根成共轭对的结论，得到方程的两个根，然后利用韦达定理得结果；方法二：直接将方程的根代入方程，利用复数相等的条件得到方程组求解即可. 【小问1详解】 由为纯虚数，所以有，解得. 【小问2详解】 方法一 是关于的方程的一个根 是的另一个根， ，，. 方法二 是关于的方程的一个根，. . 即，，. 16. 已知，，函数. （1）求函数的对称中心及单调减区间； （2）若，且，求的值. 【答案】（1）对称中心为，减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积的坐标表示求得，利用整体法可求得对称中心与单调减区间； （2）由已知结合同角正余弦定理可求得，进而利用可求值. 【小问1详解】 . 由，得对称中心为. 由，解得， 所以.函数的对称中心为，单调减区间为 【小问2详解】 由，得， 又，所以，所以. . 17. 在中，已知，，.，分别是，上的点，且，，与相交于点，. （1）求实数的值； （2）求的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的基本定理以及平面向量关系定理的推论求参数； （2）利用平面向量数量积的定义以及数量积的运算法则求余弦值. 【小问1详解】 由，可得， 所以， 由得 ， 所以，解得. 【小问2详解】 因为，，，所以， 由，所以， 由（1）可知， 所以， . ， 所以. 18. 如图，四边形ABCD中，，，，，，且. （1）求； （2）求取值范围； （3）求四边形周长的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）逆用两角和的正切公式求解即可. （2）法一：先求得，进一步化切为弦，根据两角和差的正余弦公式得，根据余弦函数性质求解范围即可； 法二：先求得，进一步化切为弦，根据两角和差的正余弦公式及二倍角公式化简得，根据正弦函数性质求解范围即可. （3）法一：由正弦定理化边为角得，然后利用两角和差的余弦公式得，令，则，最后根据函数单调性求解最值； 法二：由柯西不等式，根据两角和差的正余弦公式化简得，根据正弦函数性质得，即可得解. 【小问1详解】 由，得， 知，又，所以. 【小问2详解】 设，因为，，则， 法一：. 又，，则，，. 所以. 法二： . 因为，所以，所以. 所以. 【小问3详解】 法一：在中，由正弦定理， 得，同理 所以四边形周长为 ，由，，令，. 则，由单调性性质可知在上单调递增， 所以当，有最小值，即时取得等号. 所以四边形周长的最小值为. 法二：由柯西不等式，当且仅当时等号成立. 而. 所以，当且仅当时取等号. 所以四边形周长的最小值为. 19. 已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径. （1）若，求的值； （2）在（1）的条件下，求边长的最大值； （3）若的面积为，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求出A，再由题意可求解； （2）由（1）知，由余弦定理和勾股定理得到，在中，利用余弦定理及基本不等式求解； （3）由余弦定理及面积公式转化为关于正切的三角函数，根据，利用正弦定理和正切函数求解. 【小问1详解】 中，由正弦定理，得， 又是锐角三角形，所以. 而分别是以为边的等边三角形的中心， 所以，从而. 【小问2详解】 由（1）知， 在中，设，， 由余弦定理得，即， 故，故，同理， 所以. 而中由余弦定理有， . 当且仅当时等号成立，从而， 由题意可得为等边三角形，故边长的最大值为. 【小问3详解】 由的面积为知， 在，中分别由余弦定理有 ①， ②. 联立①②，消去， 可得. 所以面积， 又， 所以. 从而得面积的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $