精品解析：山东省东营市广饶县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024－2025学年第一学期期末考试 八年级数学试题 （总分：130分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，第I卷为选择题，30分；第I卷为非选择题，100分；本试题共8页． 2．数学答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号，座号等填写在试题和答题卡上． 3．第I卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．第II卷按要求用0．5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错，不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，将四边形向下平移，再向右平移得到四边形，已知，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，菱形的对角线交于点O，且，，则菱形的高的长是（ ） A. 10 B. 96 C. 9.6 D. 以上都不对 6. 为检测学生体育锻炼效果，从某班随机抽取10名学生进行篮球定时定点投篮检测，投篮进球数统计如图所示．对于这10名学生的定时定点投篮进球数，下列说法中错误的是（ ） A. 中位数是5 B. 众数是5 C. 平均数是5.2 D. 方差是2 7. 如图，在中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，在如图所示的甲，乙，丙三种方案中，正确的方案是（ ） 甲方案：在上取，连接，，，； 乙方案：作，分别平分，，连接，； 丙方案：作于点，于点，连接，． A. 甲，乙，丙都是 B. 只有甲，乙是 C. 只有甲，丙是 D. 只有乙，丙是 8. 将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形．若，则的长为（ ） A 1 B. 2 C. D. 9. 某市为治理污水，需要铺设一段全长3000m的污水排放管道，为尽量减少施工对城市交通造成影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前30天完成这一任务，求原计划每天铺设多长管道．若设原计划每天铺设米，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论： ①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题 共100分） 二、填空题：（本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x取值范围为________． 12. 某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对4名跳高运动员进行了多次选拔比赛，他们比赛成绩平均数和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 平均数 169 168 169 168 方差 6.0 17.3 5.0 19.5 根据表中数据，要从中选择一名平均成绩好，且发挥稳定的运动员参加比赛，最合适的人选是__． 13. 如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，交于点，，．则________． 14. 如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为________． 15. 数在数轴上表示如图，则化简的结果是________． 16. 如图，在四边形中，，，连接，，点，分别是线段，的中点，若，则的长为 _____． 17. 关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 _______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1正方形OA1B1C的对角线 A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3；……依此类推，这样作的第n 个正方形对角线交点Mn的坐标为__________． 三、解答题：本大题共8小题，共72分．解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 先化简，然后在范围内，选择一个合适的整数代入求值． 20. 已知．求： （1）的值； （2）的值． 21. 月日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动，为了解竞赛情况，从两个年级各抽取名学生的成绩（满分为分），收集数据为：七年级，，，，，，，，，；八年级：，，，，，，，，，； 整理数据： 七年级 八年级 分析数据： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息回答下列问题： （1）请直接写出表格中，，，的值； （2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？说明理由； （3）该校七、八年级共人，本次竞赛成绩不低于分为“优秀”，估计这两个年级共多少名学生达到“优秀”？ 22. 如图1，的各内角的平分线分别相交于点，，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）如图2，当为矩形时， ①四边形的形状为　　　； ②若，四边形的面积为，求的长． 23. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0） （1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O； （3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标． 24. 金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 （1）用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用 25. 【问题再现】如图（），正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等．在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积（即四边形的面积）始终等于正方形面积的． 【初步探究】小明在证明上述问题时，发现题目中正方形这一条件主要用到的信息是，图中一些线段之间也有特殊的关系．深入思考后他为大家编了如下题目：如图（），中，，，是边的中点．以为顶点作，交线段于点，交线段于点．请完成以下问题： 问题（1）：四边形的面积是面积的________． 问题（2）：猜想线段之间的等量关系，并说明理由． 【延伸探究】爱动脑的小军在小明问题的基础上进行了延伸，让绕点旋转，交直线于点E，交直线于点，连接．若，，请直接写出的面积． 26. （1）如图1，，分别是的外角平分线，过点作，，垂足分别为，，连接，延长，，与直线分别交于点，，那么线段与三边之间数量关系是__________（直接写出结果）． （2）如图2，若，分别是的内角平分线，其他条件不变，那么线段与三边之间数量关系是__________． （3）如图3，若为的内角平分线，为的外角平分线，其他条件不变，那么线段与三边之间数量关系是__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年第一学期期末考试 八年级数学试题 （总分：130分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，第I卷为选择题，30分；第I卷为非选择题，100分；本试题共8页． 2．数学答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号，座号等填写在试题和答题卡上． 3．第I卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．第II卷按要求用0．5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错，不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：选项A、B、C中的图案都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项D中的图案能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的约分，二次根式的性质，二次根式的加减运算，根据相关性质和运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算错误，不符合题意； D、，原运算正确，符合题意； 故选D． 3. 如图，在平面直角坐标系中，将四边形向下平移，再向右平移得到四边形，已知，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据A和A1的坐标得出四边形ABCD先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形，则B的平移方法与A点相同，即可得到答案． 【详解】图形向下平移，纵坐标发生变化，图形向右平移，横坐标发生变化. A（－3，5）到A1（3，3）得向右平移3－（－3）＝6个单位，向下平移5－3＝2个单位.所以B（－4，3）平移后B1（2，1）. 故选B. 【点睛】此题考查图形的平移.，掌握平移的性质是解题关键 4. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程方法和步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验）求解，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 经检验是该方程的解， 故选：D． 5. 如图，菱形的对角线交于点O，且，，则菱形的高的长是（ ） A. 10 B. 96 C. 9.6 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长即可． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴，， ∴， ∵是菱形的高， ∴，即：， ∴； 故选C． 6. 为检测学生体育锻炼效果，从某班随机抽取10名学生进行篮球定时定点投篮检测，投篮进球数统计如图所示．对于这10名学生的定时定点投篮进球数，下列说法中错误的是（ ） A. 中位数是5 B. 众数是5 C. 平均数是5.2 D. 方差是2 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数、众数、平均数、方差定义逐个计算即可． 【详解】根据条形统计图可得， 从小到大排列第5和第6人投篮进球数都是5，故中位数是5，选项A不符合题意； 投篮进球数是5的人数最多，故众数是5，选项B不符合题意； 平均数，故选项C不符合题意； 方差，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数、方差和条形统计图的知识，解答本题的关键在于读懂题意，从图表中筛选出可用的数据，然后整合数据进行求解即可． 7. 如图，在中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，在如图所示甲，乙，丙三种方案中，正确的方案是（ ） 甲方案：在上取，连接，，，； 乙方案：作，分别平分，，连接，； 丙方案：作于点，于点，连接，． A. 甲，乙，丙都是 B. 只有甲，乙是 C. 只有甲，丙是 D. 只有乙，丙是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键． 对于甲方案：连接交于O，利用平行四边形的性质结合已知证明，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；对于乙方案：根据平行四边形的性质和角平分线的性质证明，，再根据角平分线的定义证得，进而证明得到，，则，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；对于丙方案：先根据平行线的判定证明，再证明得到，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；． 【详解】解：甲方案：连接交于O，如图， 在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故甲方案正确； 乙方案： 在中，，，， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故乙方案正确， 丙方案： 在中，，， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ∴， ∴，又， ∴四边形为平行四边形，故丙方案正确； 故选：A． 8. 将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质；解决问题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据的直角三角形中各边之间的关系求得的长．根据菱形及矩形的性质可得到的度数，从而根据直角三角形的性质求得的长． 【详解】解：四边形为菱形， ，， 由折叠的性质可知，， 又， ， 在中，， 又，， ，， 中，， 故选：D． 9. 某市为治理污水，需要铺设一段全长3000m的污水排放管道，为尽量减少施工对城市交通造成影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前30天完成这一任务，求原计划每天铺设多长管道．若设原计划每天铺设米，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列分式方程，根据实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前30天完成这一任务，列出分式方程进行求解即可． 【详解】解：设原计划每天铺设米，则现在每天铺设米，由题意，得： ； 故选B． 10. 如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论： ①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】延长，交于点，交于点，连接，交于点，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，再根据矩形的判定与性质可得，由此可判断①；先根据三角形全等的性质可得，再根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，由此可判断③；根据直角三角形的性质可得，从而可得，由此可判断②；先根据垂线段最短可得当时，取得最小值，再解直角三角形可得的最小值，从而可得的最小值，由此可判断④． 【详解】解：如图，延长，交于点，交于点，连接，交于点， 四边形是正方形，， ， 在和中，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，即结论①正确； ， ， ，即结论③正确； ， ， ， ，即，结论②正确； 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时在中，， 又， 的最小值与的最小值相等，即为，结论④错误； 综上，正确的结论为①②③，共有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 第II卷（非选择题 共100分） 二、填空题：（本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 12. 某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对4名跳高运动员进行了多次选拔比赛，他们比赛成绩的平均数和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 平均数 169 168 169 168 方差 6.0 17.3 5.0 19.5 根据表中数据，要从中选择一名平均成绩好，且发挥稳定的运动员参加比赛，最合适的人选是__． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查数据平均数与方差的意义，解题的关键是理解两者所代表的意义，熟练掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据平均数与方差的意义解答即可． 【详解】解：甲、丙的平均数比乙、丁大， 应从甲和丙中选， 甲的方差比丙的大， 丙的成绩较好且状态稳定，应选的是丙． 故答案为：丙． 13. 如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，交于点，，．则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，角平分线性质，等腰三角形的判定等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 根据平行四边形的性质可得，根据平行线性质和角平分线性质求出，推出，同理求出，即可证明，再根据线段的和差求解即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∵平分， ∴， ， ， 同理可得：， ， 即， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据旋转的性质，证明为等边三角形，利用含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理，求出的长，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴为等边三角形， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是证明为等边三角形． 15. 数在数轴上表示如图，则化简的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用数轴比较数的大小，化简绝对值，二次根式的化简.由数轴可得，判断，再化简二次根式与绝对值，然后合并即可. 详解】解：由题意可得：，， ∴， ∴ 故答案为：． 16. 如图，在四边形中，，，连接，，点，分别是线段，的中点，若，则的长为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接，，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接，， ，点是线段的中点， ， 点是线段的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17. 关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 _______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程的运算法则，以及分式有意义的条件， 把m当作已知数，根据解分式方程的运算法则求出x，再根据分式方程的解为非负数，即可得出m的取值范围，再根据分式方程有意义的条件即可求解， 【详解】解： ， 关于x的方程的解为非负数， 解得：， 又 即， 即， 故答案为：且 18. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线 A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线A1M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3M2，对角线A1M2和A3B3交于点M3；……依此类推，这样作的第n 个正方形对角线交点Mn的坐标为__________． 【答案】(1-，) 【解析】 【详解】设正方形的边长为1，则正方形四个顶点坐标为O（0，0），C（0，1），B1（1，1），A1（1，0）； 根据正方形对角线定理得M1的坐标为（1−,）； 同理得M2的坐标为（1−，）； …， 依此类推：Mn坐标为（1−，）. 三、解答题：本大题共8小题，共72分．解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 先化简，然后在范围内，选择一个合适的整数代入求值． 【答案】，10 【解析】 【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再结合分式有意义的条件选取合适的数代入运算即可． 【详解】解：原式 = =， ∵， ∴， ∴当时， 原式= =10． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 20. 已知．求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）先求出，，再根据进行期间即可； （2）根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴ ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确计算是解题的关键．． 21. 月日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动，为了解竞赛情况，从两个年级各抽取名学生的成绩（满分为分），收集数据为：七年级，，，，，，，，，；八年级：，，，，，，，，，； 整理数据： 七年级 八年级 分析数据： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息回答下列问题： （1）请直接写出表格中，，，的值； （2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？说明理由； （3）该校七、八年级共人，本次竞赛成绩不低于分的为“优秀”，估计这两个年级共多少名学生达到“优秀”？ 【答案】（1），，， （2）八年级，理由见解析 （3）名 【解析】 【分析】（1）根据提供数据确定八年级分的人数，利用众数、中位数及平均数分别确定其他未知数的值即可； （2）利用平均数、众数及方差确定哪个年级的成绩好即可； （3）用两个年级成绩不低于90分的人数的占比乘以600即可求解．． 【小问1详解】 解：观察八年级分的有人，故； 七年级的中位数为，故； 八年级的平均数为：，故； 八年级中分的最多，故， ，，，； 【小问2详解】 八年级的成绩比较好，理由如下： 七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更稳定，综上，八年级的学生成绩好； 【小问3详解】 （名）， 答：估计这两个年级共名学生达到“优秀”． 【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数、方差等统计基础知识，明确相关统计量表示的意义及相关计算方法是解题的关键． 22. 如图1，的各内角的平分线分别相交于点，，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）如图2，当为矩形时， ①四边形的形状为　　　； ②若，四边形的面积为，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）①正方形；证明见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了特殊平行四边形综合， （1）根据平行四边形的邻角互补，以及角平分线平分角，得到四边形的四个内角均为，即可得证； （2）①由（1）可知，四边形为矩形，根据矩形的性质以及角平分线平分角，得到均为等腰直角三角形，进而推出，得到四边形为正方形；②根据正方形的面积为6，得到正方形的边长为，利用勾股定理和等腰三角形的性质，求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理和等腰三角形的性质，求出的长． 【小问1详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 ①四边形为正方形； 证明：同（1）法可得：四边形矩形； ∵为矩形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， 即：， 又∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形； 故答案为：正方形； ②由①得：， ∵四边形的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理．熟练掌握平行四边形的邻角互补，是解题的关键． 23. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0） （1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O； （3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标． 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）P（，0）． 【解析】 【分析】（1）分别将点A、B、C向上平移1个单位，再向右平移5个单位，然后顺次连接； （2）根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可； （3）利用最短路径问题解决，首先作A1点关于x轴的对称点A3，再连接A2A3与x轴的交点即为所求． 【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求做的三角形； （2）如图所示，△A2B2O为所求做的三角形； （3）∵A2坐标为（3，1），A3坐标为（4，﹣4）， ∴A2A3所在直线的解析式为：y=﹣5x+16， 令y=0，则x=， ∴P点的坐标（，0）． 【点睛】考点：平移变换；旋转变换；轴对称-最短路线问题． 24. 金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 （1）用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用 【答案】（1）新能源车的每千米行驶费用为元， （2）①燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；②当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低 【解析】 【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 【小问1详解】 解：由表格可得， 新能源车的每千米行驶费用为：（元）， 即新能源车的每千米行驶费用为元； 【小问2详解】 解：①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； 设每年行驶里程为， 由题意得：， 解得， 答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低． 【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． 25. 【问题再现】如图（），正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等．在正方形绕点旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积（即四边形的面积）始终等于正方形面积的． 【初步探究】小明在证明上述问题时，发现题目中正方形这一条件主要用到的信息是，图中一些线段之间也有特殊的关系．深入思考后他为大家编了如下题目：如图（），中，，，是边的中点．以为顶点作，交线段于点，交线段于点．请完成以下问题： 问题（1）：四边形的面积是面积的________． 问题（2）：猜想线段之间的等量关系，并说明理由． 【延伸探究】爱动脑的小军在小明问题的基础上进行了延伸，让绕点旋转，交直线于点E，交直线于点，连接．若，，请直接写出的面积． 【答案】（）；（），理由见解析；延伸探究：或． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，是边的中点，得，，，根据同角的余角相等得，证明，则，最后即可； （），，是边的中点，得，，，根据同角的余角相等得，证明，得即可； 延伸探究：分两种情况讨论即可； 【详解】（）如图，连接， ∵，，是边的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （），理由如下： 连接， ∵，，是边的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【延伸探究】 如图，连接，过作于点， ∴， ∵由（1）知在等腰直角中， ∴， ∵，是边的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴的面积为； 如图， 同理， ∴， ∴等腰直角三角形， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴的面积为， 综上可知：的面积为或． 26. （1）如图1，，分别是的外角平分线，过点作，，垂足分别为，，连接，延长，，与直线分别交于点，，那么线段与三边之间数量关系是__________（直接写出结果）． （2）如图2，若，分别是的内角平分线，其他条件不变，那么线段与三边之间数量关系是__________． （3）如图3，若为的内角平分线，为的外角平分线，其他条件不变，那么线段与三边之间数量关系是__________． 【答案】（1）；（2）（3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键是作辅助线构造全等三角形求解． （1）根据证明，推出，，同理，，然后根据中位线的性质即可得出答案； （2）延长，，与直线分别交于点，，与（1）类似可以证出答案； （3）延长，，与直线分别交于点，，与（1）方法类同即可证出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ∴， ∴，． 同理，，， ∴是的中位线， ∴． （2）解：． 证明：如图2，延长，，与直线分别交于点，． ∵， ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ∵ ∴， ∴，． 同理，，， ∴是的中位线， ∴． （3）解： 如图3，延长，，与直线分别交于点，． ∵， ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ∵ ∴， ∴，． 同理，，， ∴是的中位线， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$