精品解析：湖南省永州市新田县2024-2025学年七年级上学期1月期末数学试题

2024年下期期末质量监测试卷 七年级 数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（每题的四个选项中只有一个正确答案，本大题共10个小题，每小题3分．共30分） 1. 与实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是 （ ） A. 圆柱、圆锥、正方体、长方体 B. 棱锥、圆锥、棱柱、长方体 C. 棱柱、球、正方体、棱柱 D. 圆柱、球、正方体、长方体 2. 下列有理数大小关系判断正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列判断正确的是（ ） A. 是二次三项式 B. 单项式的次数是7 C. 与不是同类项 D. 的系数是 4. 下列等式变形正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 5. 把方程 去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知线段厘米，C为的中点，点D在上，E为的中点，且厘米，则的长为（ ） A. 4厘米 B. 12厘米 C. 14厘米 D. 16厘米 7. 如图，一副三角尺按不同的位置摆放，其中符合的图形共有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 8. 小明以的速度从家步行到学校上学，放学时以的速度按原路返回，结果发现比上学所花的时间多，求小明上学路上所花的时间．设上学路上所花的时间为，根据题意列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图1、图2所示．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图表示的方程组是，类似的，图2所示的算筹图表示的方程组是（ ） A. B. C. D. 10. 若，则记，例如，于是，若，，，则的值为（ ） A. 16 B. －2 C. 2或 D. 16或 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 2024年9月25日，中国人民解放军火箭军成功发射了一枚洲际弹道导弹，该导弹的射程超过了12000公里，精确命中了预定海域，展现了中国在核打击能力上的实力．将“12000”用科学记数法表示为________． 12. 若的余角是，则的补角度数是_________． 13. 若整式的值与字母的取值无关，则的值为______． 14. 若是二元一次方程的一个解，则的值为______________． 15. “二十四点游戏”的规则为：给出个有理数，用加、减、乘、除（可加括号）把给出的个有理数算成，每个数必须用一次且只能用一次（不考虑顺序），先算出结果获胜，现有四个有理数，，，，发挥你的聪明才智，运用“二十四点”游戏的规则，写出一种运算式，使其结果等于，你的运算式是 _________________． 16. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一个展开图，则在原正方体中，与“爱”字所在面相对的面上的汉字是______． 17. 已知方程组的解是，则方程组的解是________． 18. 古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，图形中的点的个数即五边形数； 将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表； 观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答题要求，写出证明步骤或解答过程） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 已知代数式， （1）求； （2）当，时，求的值． 21. 解方程： （1）； （2）； 22. 解下列方程组： （1）； （2）． 23. 如图，已知在同一平面内的四点，过两点作直线，作线段，作射线，在射线截取． （1）用尺规作出图形，并标出相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，求的长； （3）在线段上取点，使的值最小，并说明根据． 24. 某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂，分两次租用了某物流公司的、两种货车，具体信息如下表所示： 第一次 第二次 型货车辆数 型货车辆数 累计运货量 根据以上信息，解答下列问题： （1）辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运多少吨？ （2）该果园现有吨水果，计划同时租用型车辆，型车辆，可一次运完这批水果，且恰好每辆车都载满水果，请你帮该果园设计租车方案． （3）在第（2）问的条件下，若型车每辆需租金元／次，型车每辆需租金元／次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 25. 从直线上一点在同侧顺次引射线，，，，，其中点在直线上． （1）如图1，若平分，平分． ①当，时，求的度数： ②当与的大小都发生变化时，试探究与间的数量关系，并说明理由： （2）如图2，若为的一条等分线，且，为的一条等分线，，当时，此时，试直接写出的值． 26. 我们约定：在数轴上，对于不重合的三点，，，若点到点的距离是点到点的距离的3倍，我们就把点叫做的“智慧点”．例如：如图，点表示的数为，点表示的数是3，表示数2的点到的距离是3，到点的距离是1，那么是的“智慧点”；表示数0的点O到点的距离是1，到点的距离是3，那么点是的“智慧点”． 如图，已知数轴上点表示的数是，点表示的数是4． （1）判断下列各点是否是的“智慧点”（填“是”或“不是”）； ①点表示的数是（ ） ②点表示的数是2（ ） （2）若点是的“智慧点”，求点表示的数； （3）现有一点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动．问点运动多少秒时，点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点”？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下期期末质量监测试卷 七年级 数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（每题的四个选项中只有一个正确答案，本大题共10个小题，每小题3分．共30分） 1. 与实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是 （ ） A. 圆柱、圆锥、正方体、长方体 B. 棱锥、圆锥、棱柱、长方体 C. 棱柱、球、正方体、棱柱 D. 圆柱、球、正方体、长方体 【答案】D 【解析】 【分析】根据常见实物与几何体的关系解答即可． 本题考查了立体图形的识别，解题的关键是熟练的掌握立体图形的相关知识． 【详解】解：与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是：圆柱、球、正方体、长方体． 故选：D． 2. 下列有理数大小关系判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了化简绝对值，多重符号，有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题的关键． 根据绝对值的意义，化简多重符号化简各数，然后根据有理数的大小比较法则即可求解． 【详解】解：A，则，故该选项正确，符合题意； B．，故该选项不正确，不符合题意； C．，故该选项不正确，不符合题意； D．∵，∴，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 3. 下列判断正确的是（ ） A. 是二次三项式 B. 单项式的次数是7 C. 与不是同类项 D. 的系数是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式与多项式及同类项的概念，分别利用单独的一个数或一个字母是单项式，单项式中的数字因数是单项式的系数，多项式中次数最高项的次数是多项式的次数，同类项定义中的两个“相同”：（）所含字母相同；（）相同字母的指数相同．进而得出答案，正确把握相关定义是解题的关键． 【详解】A．是三次三项式，此选项判断不正确，不符合题意； B．单项式的次数是，此选项判断不正确，不符合题意； C．与是同类项，此选项判断不正确，不符合题意； D．的系数是，此选项判断正确，符合题意； 故选：D． 4. 下列等式变形正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等式的性质．熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．根据等式的性质逐项判断即可． 【详解】A．当时，，此时和不一定相等，故该选项错误，不符合题意； B．如果，那么，故该选项错误，不符合题意； C．如果，那么，故该选项错误，不符合题意； D．如果，那么，正确，符合题意． 故选：D． 5. 把方程 去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握相关方法是解题关键．根据题意可得将方程两边同时乘以6即可去掉分母，据此进一步计算判断即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 故选：B． 6. 如图，已知线段厘米，C为的中点，点D在上，E为的中点，且厘米，则的长为（ ） A. 4厘米 B. 12厘米 C. 14厘米 D. 16厘米 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算，先由线段中点的定义得到厘米，厘米，再根据线段的和差关系即可得到答案． 【详解】解：∵厘米，C为的中点， ∴厘米， ∵E为的中点，且厘米， ∴厘米， ∴厘米， 故选：C． 7. 如图，一副三角尺按不同的位置摆放，其中符合的图形共有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角板中的角度计算，根据余角和补角的性质计算出各个角的度数，即可判断． 【详解】解：第1个图中：，，符合； 第2个图中：如图， ，，因此； 第3个图中：，符合； 第4个图中：，，不符合； 综上可知，共有3个图形符合， 故选：B． 8. 小明以的速度从家步行到学校上学，放学时以的速度按原路返回，结果发现比上学所花的时间多，求小明上学路上所花的时间．设上学路上所花的时间为，根据题意列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据放学及上学路上所花时间之间的关系，可得出放学路上所花的时间小时，利用路程=速度×时间，结合从家到学校的距离不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵放学路上比上学所花的时间多小时，上学路上所花的时间为x小时， ∴放学路上所花的时间小时， 根据题意得：， 故选：C． 9. 在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图1、图2所示．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图表示的方程组是，类似的，图2所示的算筹图表示的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据图形，结合题目所给的运算法则列出方程组即可； 【详解】解：由题意可得， 图②所示的算筹图可以表述为：， 故选：B． 10. 若，则记，例如，于是，若，，，则的值为（ ） A. 16 B. －2 C. 2或 D. 16或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据题意和有理数的乘方可求出a，b的值，随之问题得解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 2024年9月25日，中国人民解放军火箭军成功发射了一枚洲际弹道导弹，该导弹的射程超过了12000公里，精确命中了预定海域，展现了中国在核打击能力上的实力．将“12000”用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数的方法，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数是关键，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：“12000”用科学记数法表示为， 故答案为：． 12. 若的余角是，则的补角度数是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了补角和余角的有关的计算，解题的关键是先根据余角的定义求出的度数，然后再根据补角的定义求出结果即可． 【详解】解：∵的余角是， ∴， ∴的补角为：． 故答案为：． 13. 若整式的值与字母的取值无关，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，解一元一次方程，代数式求值等知识点，由“整式的值与字母的取值无关”得出，是解题的关键． 先去括号，然后合并同类项，将整式整理为，由“整式的值与字母的取值无关”可得，，解方程即可求出、的值，然后将其代入求值即可． 【详解】解： ， 整式的值与字母的取值无关， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 14. 若是二元一次方程的一个解，则的值为______________． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的运用，根据题意，把解代入计算即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∴， 故答案为：2024 ． 15. “二十四点游戏”的规则为：给出个有理数，用加、减、乘、除（可加括号）把给出的个有理数算成，每个数必须用一次且只能用一次（不考虑顺序），先算出结果获胜，现有四个有理数，，，，发挥你的聪明才智，运用“二十四点”游戏的规则，写出一种运算式，使其结果等于，你的运算式是 _________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 【详解】解：根据有理数的运算可得：，，等． 故答案为：（答案不唯一）． 16. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一个展开图，则在原正方体中，与“爱”字所在面相对的面上的汉字是______． 【答案】国 【解析】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，正确掌握正方体展开图的几种形式是解题的关键．根据正方体相对面之间间隔一个正方形解答． 【详解】解：此正方体相对面分别为，“我”与“的”，“我”与“祖”，“爱”与“国”， 故答案为：国． 17. 已知方程组的解是，则方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组和二元一次方程组的解，先把化成，再根据方程组的解是，列出关于、的方程组，求解即可．解题关键是掌握二元一次方程组的解的定义：使各个方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程组的解是， ∴， 解得：， ∴方程组的解是． 故答案为：． 18. 古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，图形中的点的个数即五边形数； 将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表； 观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为_____． 【答案】1335 【解析】 【分析】观察表中图形及数字的变化规律可推导一般性规律：第n个五边形数可表示为，，计算出这个数表中的第八行从左至右第2个数是第几个五边形数即n的值，代入上面的代数式求解即可． 【详解】解：观察表中图形及数字的变化规律可推导一般性规律：第n个五边形数可表示为，， 由数表可知前七行数的个数和为：， ∴数表中的第八行从左至右第2个数是第30个五边形数即n＝30， ∴将n＝30代入得， 故答案为1335． 【点睛】本题考查了规律探究．解题的关键在于推导出一般性规律． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答题要求，写出证明步骤或解答过程） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则并准确计算是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解； （2）根据有理数的混合运算法则求解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 ． 20. 已知代数式， （1）求； （2）当，时，求的值． 【答案】（1）； （2）17． 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，正确运用运算法则是解题的关键． （1）先把式子代入再化简即可； （2）代入计算即可． 【小问1详解】 解：， 【小问2详解】 解：当，时， ． 21. 解方程： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是： （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【小问1详解】 解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； 【小问2详解】 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 22. 解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握方程组解法，根据未知数系数的特点，选择合适的方法． （1）运用代入消元法求解即可； （2）先将方程组整理后，再运用代入法求解即可． 【小问1详解】 解：， 由②得，， 把③代入①得，， ∴ 把代入③得，， 所以原方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 由①得，， 由②得，， 由④得 ， 将⑤代入③得，， ∴， 把代入⑤，得， ∴所以原方程组的解为． 23. 如图，已知在同一平面内的四点，过两点作直线，作线段，作射线，在射线截取． （1）用尺规作出图形，并标出相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，求的长； （3）在线段上取点，使的值最小，并说明根据． 【答案】（1） 如图所示：直线、线段、射线为所作； （2）8 （3） 如图所示，点即为所求： 根据：两点之间线段最短． 【解析】 【分析】本题考查简单作图，涉及线段、射线、直线的作法、尺规作图-作相等线段以及两点直接线段最短求最值，熟练掌握相关定义及作图方法是解决问题关键． （1）根据直线定义与作法、线段定义与作法、射线定义与作法、尺规作图作线段相等即可得到答案； （2）根据题意，数形结合，求出各个线段长度即可得到答案； （3）由两点之间线段最短，连接交于点，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 又， ， ； 【小问3详解】 略 24. 某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂，分两次租用了某物流公司的、两种货车，具体信息如下表所示： 第一次 第二次 型货车辆数 型货车辆数 累计运货量 根据以上信息，解答下列问题： （1）辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运多少吨？ （2）该果园现有吨水果，计划同时租用型车辆，型车辆，可一次运完这批水果，且恰好每辆车都载满水果，请你帮该果园设计租车方案． （3）在第（2）问的条件下，若型车每辆需租金元／次，型车每辆需租金元／次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】（1）辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨． （2）有种租车方案： 方案一：型车辆，型车辆； 方案二：型车辆，型车辆； 方案三：型车辆，型车辆． （3）租型车辆，型车辆，最少租车费为元． 【解析】 【分析】（1）设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，根据题意列出二元一次方程组即可得解； （2）结合两型号车的运量列出，再由，都是正整数进行方案设计即可； （3）根据（2）中的三个方案，分别计算，比较后即可得解． 【小问1详解】 解：设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意得，，解得， 答：辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨． 【小问2详解】 解：由（1）得，， ， ，都是正整数， 或或， 有种租车方案： 方案一：型车辆，型车辆； 方案二：型车辆，型车辆； 方案三：型车辆，型车辆． 【小问3详解】 解：型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次， 方案一需租金：元； 方案二需租金：元； 方案三需租金：元； ， 最省钱的租车方案是方案三，租车费用是元． 答：租型车辆，型车辆最省钱，最少租车费为元． 【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据题意正确列出二元一次方程组． 25. 从直线上一点在同侧顺次引射线，，，，，其中点在直线上． （1）如图1，若平分，平分． ①当，时，求的度数： ②当与的大小都发生变化时，试探究与间的数量关系，并说明理由： （2）如图2，若为的一条等分线，且，为的一条等分线，，当时，此时，试直接写出的值． 【答案】（1）①； ②，理由如下： ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了角的运算，角平分线的概念，解题的关键是找到角的和差关系． （1）① 由，，可得，由平分，平分，可得，，最后根据角的和差即可求解； ②，结合平分，平分，即可求解； （2）由，，，，可推出，再根据角的和差关系即可求解． 【小问1详解】 解：①，， ， 平分，平分， ，， ； ②略 【小问2详解】 ，， ， 即， ，， ， 即， ， ， ， ， ． 26. 我们约定：在数轴上，对于不重合的三点，，，若点到点的距离是点到点的距离的3倍，我们就把点叫做的“智慧点”．例如：如图，点表示的数为，点表示的数是3，表示数2的点到的距离是3，到点的距离是1，那么是的“智慧点”；表示数0的点O到点的距离是1，到点的距离是3，那么点是的“智慧点”． 如图，已知数轴上点表示的数是，点表示的数是4． （1）判断下列各点是否是的“智慧点”（填“是”或“不是”）； ①点表示的数是（ ） ②点表示的数是2（ ） （2）若点是的“智慧点”，求点表示的数； （3）现有一点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动．问点运动多少秒时，点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点”？ 【答案】（1）①不是 ②是 （2）或 （3）或或或或秒 【解析】 【分析】（1）①根据“智慧点”的定义进行判断即可；②根据“智慧点”的定义进行判断即可； （2）由数轴可得，点表示的数为，点表示的数为，则，然后分两种情况讨论：①当点在点、之间时；②当点在点的左侧时；分别根据“智慧点”的定义进行求解即可； （3）由数轴可得，点表示的数为，点表示的数为，则，设点运动秒时，点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点”，然后分四种情况讨论：①当点为的“智慧点”时；②当点为的“智慧点”时；③当点为的“智慧点”时；④当点为的“智慧点”时；分别求解即可；综合以上，即可得出的值． 【小问1详解】 解：①由题意得： ，， ， 点不是的“智慧点”， 故答案为：不是； ②由题意得： ，， ， 点是的“智慧点”， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：由数轴可得：点表示的数为，点表示的数为， ， 点是的“智慧点”， 当点在点、之间时，点到点的距离是到点的距离的倍，故此时点表示的数为：； 当点在点的左侧时，点到点的距离是到点的距离的倍， 设此时点表示的数为，则， 解得：， 故此时点表示的数为； 综上，点表示的数为或； 【小问3详解】 解：由数轴可得：点表示的数为，点表示的数为， ， 设点运动秒时，点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点”， 当点为的“智慧点”时，点到点的距离是点到点的距离的倍， 故此时点到点的距离为， 在的左侧， 点与点的距离为：， （秒）； 当点为的“智慧点”时，点到点的距离是点到点的距离的倍， 故此时点到点的距离为， 在的左侧， 点与点的距离为：或， 或（秒）； 当点为的“智慧点”时，点到点的距离是点到点的距离的倍， 故此时点到点的距离为， （秒）； 当点为的“智慧点”时，点到点的距离是点到点的距离的倍， 故此时点到点的距离为， （秒）； 综上所述，点运动或或或或秒时，点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点”， 答：点运动或或或或秒时，点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点”． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用（几何问题），用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离等知识点，运用数形结合思想及分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $