专题17 导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题（4大题型）-《2025年高考艺术生数学40天速提100分攻略》

专题17 导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题 【题型归纳目录】 题型一：证明不等式 题型二：零点问题 题型三：恒成立与有解问题 题型四：双变量问题 【方法技巧与总结】 一、证明不等式常用的方法和思路 作差构造函数，转化为最值问题 二、不等式恒成立问题常用的方法和思路 (1)直接法 (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； 三、零点问题常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 【典型例题】 题型一：证明不等式 【典例1-1】（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【解析】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 【典例1-2】（2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（辽宁卷））已知函数，． (1)证明：当时，在上是增函数； (2)对于给定的闭区间，试说明存在实数k，当时，在闭区间上是减函数； (3)证明：． 【解析】（1）证明： 因为，所以， 所以，， 因为，且，所以，即， 所以，即当时，在上是增函数. （2）因为是为减函数的充分条件，所以只要找到实数,使得时，，即在闭区间上成立即可. 因为的定义域为，在闭区间上不间断，故在闭区间上有最大值，设其为，于是在时，在闭区间上恒成立，即在闭区间上为减函数. （3）证明：设， ，所以； 令，则， 当时，，为增函数；当时，，为减函数； 所以有最小值，所以，且时，等号成立； 于是，且时，等号成立，即. 【变式1-1】（2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（湖北卷））已知定义在正实数集上的函数，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同． (1)用a表示b，并求b的最大值； (2)求证：． 【解析】（1）， 因为两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同， 所以， 即， 由得，（舍去）， 则， 令， 则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以在上的最大值为； （2）设， 则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以在上的最小值为， 即时，，所以. 【变式1-2】（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 【解析】（1）由，， 又是函数的极值点，所以，解得； （2）[方法一]：转化为有分母的函数 由（Ⅰ）知，，其定义域为． 要证，即证，即证． （ⅰ）当时，，，即证．令，因为，所以在区间内为增函数，所以． （ⅱ）当时，，，即证，由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以． 综合（ⅰ）（ⅱ）有． [方法二] 【最优解】：转化为无分母函数 由（1）得，，且， 当 时，要证，， ，即证，化简得； 同理，当时，要证，， ，即证，化简得； 令，再令，则，， 令，， 当时，，单减，故； 当时，，单增，故； 综上所述，在恒成立. [方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明 令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以． （ⅰ）当时，，所以，即，所以． （ⅱ）当时，，同理可证得． 综合（ⅰ）（ⅱ）得，当且时，，即． 【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当时，转化为证明，当时，转化为证明，然后构造函数，利用导数研究单调性，进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当时，成立和当时，成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数，利用导数分析单调性，证得常见常用结论（当且仅当时取等号）．然后换元得到，分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不等式，有一定的巧合性. 【变式1-3】已知函数． (1)设是的极值点．求的值，并讨论的零点个数； (2)证明：当时，． 【解析】（1）的定义域为， ， 由题设知，，所以， 从而， 当时，；当时，， 可得在上单调递减，在上单调递增， ， 由易知，由零点存在定理可得函数有两个零点 （2）证明：当时，； 设，则， 当时，；当时，， ∴是的极小值点，也是最小值， 故当时，， 因此，当时， 题型二：零点问题 【典例2-1】（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． (1)若，求a； (2)求a的取值范围． 【解析】（1）由题意知，，，，则在点处的切线方程为， 即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得； （2），则在点处的切线方程为，整理得， 设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得， 则，整理得， 令，则，令，解得或， 令，解得或，则变化时，的变化情况如下表： 0 1 0 0 0 则的值域为，故的取值范围为. 【典例2-2】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围． 【解析】（1）当时，, 令得,当时，,当时，, ∴函数在上单调递增；上单调递减； （2）[方法一]【最优解】：分离参数 ,设函数, 则,令，得, 在内,单调递增； 在上,单调递减； , 又，当趋近于时，趋近于0， 所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是, 所以的取值范围是. [方法二]：构造差函数 由与直线有且仅有两个交点知，即在区间内有两个解，取对数得方程在区间内有两个解． 构造函数，求导数得． 当时，在区间内单调递增，所以，在内最多只有一个零点，不符合题意； 当时，，令得，当时，；当时，；所以，函数的递增区间为，递减区间为． 由于， 当时，有，即，由函数在内有两个零点知，所以，即． 构造函数，则，所以的递减区间为，递增区间为，所以，当且仅当时取等号，故的解为且． 所以，实数a的取值范围为． [方法三]分离法：一曲一直 曲线与有且仅有两个交点等价为在区间内有两个不相同的解． 因为，所以两边取对数得，即，问题等价为与有且仅有两个交点． ①当时，与只有一个交点，不符合题意． ②当时，取上一点在点的切线方程为，即． 当与为同一直线时有得 直线的斜率满足：时，与有且仅有两个交点． 记，令，有．在区间内单调递增；在区间内单调递减；时，最大值为，所以当且时有． 综上所述，实数a的取值范围为． [方法四]：直接法 ． 因为，由得． 当时，在区间内单调递增，不满足题意； 当时，，由得在区间内单调递增，由得在区间内单调递减． 因为，且，所以，即，即，两边取对数，得，即． 令，则，令，则，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以，所以，则的解为，所以，即． 故实数a的范围为．] 【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题， 方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解. 方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值. 方法三：将问题取对，分成与两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线斜率与一次函数的斜率比较得到结论． 方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论. 【变式2-1】（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【解析】（1）当时，，， 令，解得，令，解得， 所以的减区间为，增区间为； （2）若有两个零点，即有两个解， 从方程可知，不成立，即有两个解， 令，则有， 令，解得，令，解得或， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 且当时，， 而时，，当时，， 所以当有两个解时，有， 所以满足条件的的取值范围是：. 【变式2-2】（2025·湖南邵阳·三模）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数有且仅有三个零点，求的取值范围． 【解析】（1）由，得， 令，得，解得． 所以的单调递增区间为 （2）令，解得或． 当变化时，，的变化情况如下表所示： 0 2 0 0 单调递减 1 单调递增 单调递减 由函数有且仅有三个零点， 得方程有且仅有三个不等的实数根， 所以函数的图象与直线有且仅有三个交点． 显然，当时，；当时，． 所以由上表可知，的极小值为，的极大值为， 故． 【变式2-3】已知函数的单调递增区间是单调递减区间是． (1)求函数的解析式； (2)若的图象与直线恰有三个公共点，求的取值范围 【解析】（1），依题意有 ,即, 解得,此时. , 由得或, 由得, 所以单调递增区间是,单调递减区间是, 所以符合题意, 函数的解析式为. （2）由条件可知，函数有极大值，极小值. 因为的图象与直线恰有三个公共点， 所以，. 【变式2-4】已知， (1)求的极值； (2)若函数存在两个零点，求的取值范围. 【解析】（1）令且，则， 当时，当时， 所以在上递增，上递减， 故的极大值为，无极小值. （2）由题设，有两个根，即与有两个交点， 由（1）知：在上递增，上递减， 在上，在上，且当趋向正无穷时趋向于0， 综上，只需，即. 【变式2-5】已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)证明：函数在上有且仅有一个零点． 【解析】（1）因为，且，， 所以切线方程为， 即所求切线方程为． （2）． 因为，所以，，， 所以，所以，当且仅当时取等号， 所以在上是减函数，且， 所以在上仅有一个零点． 题型三：恒成立与有解问题 【典例3-1】（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【解析】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 【典例3-2】（2007年普通高等学校招生考试试卷（文）试题（辽宁卷））已知函数，，且对任意的实数t均有，． (1)求函数的解析式； (2)若对任意的，恒有，求x的取值范围． 【解析】（1）因为函数，所以. 对任意的实数t均有，，所以可转化为： 对任意的实数，都有；对任意的实数，都有， 所以，即，解得：. 所以. （2）可化为，记. 对任意的，恒有， 只需，即，解得：， 即. 所以实数x的取值范围为. 【变式3-1】（2006 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（江西卷））已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值 （1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间 （2）若对，不等式恒成立，求c的取值范围. 【解析】（1），， 在与时都取得极值， ，解得， ， 令可解得或；令可解得， 的单调递增区间为和 ，单调递减区间为； （2）， 由（1）可得当时，为极大值，而， 所以， 要使对恒成立，则，解得或. 【变式3-2】（2021年天津高考数学试题）已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 【解析】（I），则， 又，则切线方程为； （II）令，则， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 当时，，，当时，，画出大致图像如下： 所以当时，与仅有一个交点，令，则，且， 当时，，则，单调递增， 当时，，则，单调递减， 为的极大值点，故存在唯一的极值点； （III）由（II）知，此时， 所以， 令， 若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即， ，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，故， 所以实数b的取值范围. 【变式3-3】（2008年普通高等学校招生考试数学（理）试题（天津卷））已知函数，其中. （1）曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式； （2）讨论函数的单调性； （3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求b的取值范围. 【解析】（1），，解得 由切点在直线上可得， 函数解析式为 （2） 当时，，函数在上单调递增， 当时，，解得 当变化时，的变化情况如下： + 0 - - 0 + 极大值 极小值 所以在和单调递增，和单调递减 （3）由（2）知，在上的最大值为和中较大者， 对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，对任意的成立，可得 【变式3-4】（2025·高三·浙江·开学考试）已知函数在处取得极值. (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意知，， 由，解得， 此时，， 令，得，令，得，故是函数的极值点， 故符合要求， 进而函数的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）由恒成立可得恒成立， 令则， 令，则， 故当时，单调递增，当时，单调递减， 而，且时，， 故当时，，当时，，故在单调递减，在单调递增，故，因此 【变式3-5】（2025·江苏南京·二模）已知函数，为的导函数. (1)若，求证：； (2)若对任意，，求的取值范围. 【解析】（1）因为，所以， 此时，所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立； 即 （2）易知, ①因为，若或，则，，所以在上单调递增， 所以，所以或； ②若，则由，得，列表： 0 所以，所以； ③若，则，，所以在上递减， 所以，此时无解； 综上，的取值范围为. 题型四：双变量问题 【典例4-1】（2004 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（重庆卷））设函数，. （1）求导数，并证明有两个不同的极值点､； （2）若不等式成立，求的取值范围. 【解析】（1）∵， ∴. 令得方程， 因，故方程有两个不同实根､， 不妨设，由可判断的符号如下： 当时，； 当时，； 当时，. 因此是极大值点，是极小值点. （2）因，故得不等式 . 即. 又由（1）知，. 代入前面不等式，两边除以，并化简得. 解不等式得或（舍去）. 因此，当时，不等式成立. 【典例4-2】已知函数，且f（x）在内有两个极值点（）． (1)求实数a的取值范围； (2)求证：． 【解析】（1）由题可知, ,令,即, 即有两个根, 令,则, 由得,,解得;由得,,解得, 所以在单调递增, 单调递减, 时, 所以要使有两个根,则, 解得,所以. （2）由(1)可知 且，所以 要证，只用证， 等价于证明， 而，即， 故等价于证明， 即证. 令，则， 于是等价于证明成立， 设， ， 所以 在上单调递增， 故，即成立， 所以，结论得证. 【变式4-1】（2025·陕西·模拟预测）已知，函数. （1）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直, 求的值； （2）设,若对任意的,且,都有，求的取值范围． 【解析】（1）,依题意有 ,且,可得,解得,或. （2）. 不妨设, 等价于. 设,则, 可得,依题意有, 对任意, 有恒成立. 由,可得. 【强化测试】 1．已知函数. (1)若的图象在点处的切线方程为，求与的值； (2)若，证明：当时，. 【解析】（1）因为，所以， 所以. 因为切线方程为，所以 解得，所以. （2）证明：若，则，令， 则， 令，得，易知在上单调递增，在和上单调递减. 因为，所以在上的最大值为6. 因为，所以在上的最小值为0， 所以当时，. 2．已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证： 【解析】（1）由题可知， ，则， 所以曲线 在点处的切线方程为； （2）令， 则，令 ，解得或， 当时，， 的变化情况如下表所示： x 2 0 单调递减 单调递增 又因为，, 所以在区间的最大值为 即当时，恒成立，亦即 . 3．已知函数. (1)求的最大值； (2)当时，证明：. 【解析】（1），令得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，取得最大值，且最大值为. （2）设，，则， 在上单调递增， ，即在上的最小值为4， ，，， 当时，. 4．（2025·高三·上海·单元测试）已知函数，（为自然对数的底数）． (1)求函数的单调区间； (2)当时，求证：． 【解析】（1）， ①若，恒成立，此时函数的单调递减区间为； ②若，令，得，令，得． 此时函数的单调增区间为，单调减区间为． 综上所述，当时，函数的单调减区间为， 当时，函数的单调增区间为，单调减区间为； （2）由（1）得，函数在处取得极小值，也是最小值，最小值为， 因为，所以， 即函数的最小值，所以． 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知. (1)求并写出的表达式； (2)证明：. 【解析】（1）由有，取得到，解得. 将代入可得. （2）设，则，故当时，当时. 所以在上递减，在上递增，故. 从而. 6．已知函数（其中是自然对数的底数），. (1)求证：； (2)当时，求证：. 【解析】（1）因为，所以. 当时，； 当时，， 所以在区间上是减函数，在区间上是增函数， 所以，所以. （2）令，则. 由（1）可得，所以， 所以函数在上是增函数． 因为，所以，所以． 7．已知函数，证明：对一切，都有成立. 【解析】当时，不等式等价于， 在在，令，， 由， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 令， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，即， 又因为当时，函数到到最小值，当时，函数到到最大值， 所以. 8．设函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由，则 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，令，解得， 时，，则在上单调递增； 时，，则在上单调递减． （2） 由题意恒成立， 因为，即得恒成立，即，， 记则， 令，得，令，得，即在上单调递减， 令可得，即在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为． 9．已知函数． (1)时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的值. 【解析】（1）函数的定义域为， 当时，. 令，得；令，得， ∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由（1）知，函数的定义域为. 当时，在上单调递增， 又，∴当时，，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， . 由恒成立，得恒成立. 令，， 当时，；当时，， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，故恒成立， 因此，所以. 10．已知函数. (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)若，时，求实数a的取值范围. 【解析】（1），， ，， 所以的图象在点处的切线方程为，即. （2），则， 当时，，即在上单调递增. 当时，，与题意不符. 当时，，，在上单调递增； ，，在上单调递减. 当时，取得最大值，且为. 由题意可得，解得. 即实数的取值范围为. 11．设函数，. (1)求方程的实数解； (2)若不等式对于一切都成立，求实数b的取值范围. 【解析】（1）由，代入方程得：， 即，解得，即. （2）不等式即， 原不等式可化为对都成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故当时，， 所以，即，解得：. 12．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若当时，，求证：． 【解析】（1）的定义域为．当时， ， 曲线在处的切线方程为 故切线方程为 （2）当时，等价于 设，则， （i）当，时，， 故在上单调递增，因此； （ii）当时，令得 ． 由和得，故当时，，在单调递减， 因此． 综上，的取值范围是 故答案为 13．（2025·吉林白山·二模）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1） ， 因此，而， 故所求切线方程为，即； （2）依题意，，故对任意恒成立. 令，则， 令，解得. 故当时，单调递增； 当时，单调递减， 则当时，取到极大值，也是最大值2. 故实数的取值范围为. 14．（2025·高三·北京通州·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值； (3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由得，又， 所以在切线为 （2）令，则，故在单调递增， 当时，单调递减， 所以当时，取极小值，无极大值， （3）由得， 故， 构造函数则，令，则， 故当时，，单调递增，时，单调递减， 故当取极小值也是最小值，， 所以，即 15．（2025·高三·江苏常州·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)对于，使得，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题设且， 当时在上递减； 当时，令， 当时在区间上递减； 当时在上递增． 所以当时，的减区间为，无增区间； 当时，的增区间为，减区间为. （2）由题设知对恒成立． 当时，此时，不合题设，舍去． 当时，在上递增，只需符合． 综上：． 16．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)过原点作图象的切线，求直线的方程； (2)若，使成立，求的最小值. 【解析】（1）         设切点坐标为，则切线方程为， 因为切线经过原点，所以，解得，     所以切线的斜率为，所以的方程为. （2），，即成立， 则得在有解， 故有时，.         令，，，         令得；令得， 故在单调递减，单调递增， 所以，         则，故的最小值为. 17．（2025·广西河池·模拟预测）已知函数 (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数与直线在上有两个不同的交点，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，， 所以， 因为， 所以切点坐标为，切线斜率为， 所以切线方程为，即. （2）由题知，函数与直线在上有两个不同的交点， 令， 所以， 因为， 所以令，得， 所以当时，，当时，， 所以在上有最大值， 因为， 又， 所以， 所以在上有最小值， 所以在上有两个不同的交点的条件是 ，解得 所以实数的取值范围为 18．（2025·北京·三模）已知函数 (1)讨论函数在区间内的单调性； (2)若函数在区间 内无零点，求的取值范围． 【解析】（1）， （Ⅰ）当，即时， ，在单调递减 （Ⅱ）当，即时， ，在单调递增 （Ⅲ）当，即时，当时， ，单调递增； 当时，，单调递减 综上所述，（Ⅰ）当时，在单调递减 （Ⅱ）当时，在单调递增 （Ⅲ）当时，在单调递增，在单调递减 （2）由（1）知：当时， 即 ，在无零点 当时， 即，在无零点 当时，在单调递增，在单调递减 ， 只需 即可 即 ， 综上所述， 19．已知函数，为自然对数的底数. (1)若，求实数的值； (2)当时，试求的单调区间； (3)若函数在上有三个不同的极值点，求实数的取值范围. 【解析】（1）. 由，得. （2）∵函数的定义域为， 当时，对于，恒成立， ∴当，，当，， 故的单调增区间为，单调减区间为. （3）由条件可知，在上有三个不同的根， ∵是的根， ∴，即在上有两个不同的根，且， 令，则， ∵当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， ∴的最大值为，且，， 又∵，即， ∴， 故. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 导数综合问题：证明不等式、恒成立问题、零点问题 【题型归纳目录】 题型一：证明不等式 题型二：零点问题 题型三：恒成立与有解问题 题型四：双变量问题 【方法技巧与总结】 一、证明不等式常用的方法和思路 作差构造函数，转化为最值问题 二、不等式恒成立问题常用的方法和思路 (1)直接法 (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； 三、零点问题常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 【典型例题】 题型一：证明不等式 【典例1-1】（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【典例1-2】（2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（辽宁卷））已知函数，． (1)证明：当时，在上是增函数； (2)对于给定的闭区间，试说明存在实数k，当时，在闭区间上是减函数； (3)证明：． 【变式1-1】（2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（湖北卷））已知定义在正实数集上的函数，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同． (1)用a表示b，并求b的最大值； (2)求证：． 【变式1-2】（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设函数，已知是函数的极值点． （1）求a； （2）设函数．证明:． 【变式1-3】已知函数． (1)设是的极值点．求的值，并讨论的零点个数； (2)证明：当时，． 题型二：零点问题 【典例2-1】（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． (1)若，求a； (2)求a的取值范围． 【典例2-2】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围． 【变式2-1】（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【变式2-2】（2025·湖南邵阳·三模）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数有且仅有三个零点，求的取值范围． 【变式2-3】已知函数的单调递增区间是单调递减区间是． (1)求函数的解析式； (2)若的图象与直线恰有三个公共点，求的取值范围 【变式2-4】已知， (1)求的极值； (2)若函数存在两个零点，求的取值范围. 【变式2-5】已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)证明：函数在上有且仅有一个零点． 题型三：恒成立与有解问题 【典例3-1】（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【典例3-2】（2007年普通高等学校招生考试试卷（文）试题（辽宁卷））已知函数，，且对任意的实数t均有，． (1)求函数的解析式； (2)若对任意的，恒有，求x的取值范围． 【变式3-1】（2006 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（江西卷））已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值 （1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间 （2）若对，不等式恒成立，求c的取值范围. 【变式3-2】（2021年天津高考数学试题）已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 【变式3-3】（2008年普通高等学校招生考试数学（理）试题（天津卷））已知函数，其中. （1）曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式； （2）讨论函数的单调性； （3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求b的取值范围. 【变式3-4】（2025·高三·浙江·开学考试）已知函数在处取得极值. (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【变式3-5】（2025·江苏南京·二模）已知函数，为的导函数. (1)若，求证：； (2)若对任意，，求的取值范围. 题型四：双变量问题 【典例4-1】（2004 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（重庆卷））设函数，. （1）求导数，并证明有两个不同的极值点､； （2）若不等式成立，求的取值范围. 【典例4-2】已知函数，且f（x）在内有两个极值点（）． (1)求实数a的取值范围； (2)求证：． 【变式4-1】（2025·陕西·模拟预测）已知，函数. （1）若曲线与曲线在它们的交点处的切线互相垂直, 求的值； （2）设,若对任意的,且,都有，求的取值范围． 【强化测试】 1．已知函数. (1)若的图象在点处的切线方程为，求与的值； (2)若，证明：当时，. 2．已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证： 3．已知函数. (1)求的最大值； (2)当时，证明：. 4．（2025·高三·上海·单元测试）已知函数，（为自然对数的底数）． (1)求函数的单调区间； (2)当时，求证：． 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知. (1)求并写出的表达式； (2)证明：. 6．已知函数（其中是自然对数的底数），. (1)求证：； (2)当时，求证：. 7．已知函数，证明：对一切，都有成立. 8．设函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 9．已知函数． (1)时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的值. 10．已知函数. (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)若，时，求实数a的取值范围. 11．设函数，. (1)求方程的实数解； (2)若不等式对于一切都成立，求实数b的取值范围. 12．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若当时，，求证：． 13．（2025·吉林白山·二模）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，求实数的取值范围. 14．（2025·高三·北京通州·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值； (3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 15．（2025·高三·江苏常州·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)对于，使得，求实数的取值范围． 16．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)过原点作图象的切线，求直线的方程； (2)若，使成立，求的最小值. 17．（2025·广西河池·模拟预测）已知函数 (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数与直线在上有两个不同的交点，求实数的取值范围． 18．（2025·北京·三模）已知函数 (1)讨论函数在区间内的单调性； (2)若函数在区间 内无零点，求的取值范围． 19．已知函数，为自然对数的底数. (1)若，求实数的值； (2)当时，试求的单调区间； (3)若函数在上有三个不同的极值点，求实数的取值范围. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$