专题15 利用导数解决单调问题（4大题型）-《2025年高考艺术生数学40天速提100分攻略》

专题15 利用导数解决单调问题 【题型归纳目录】 题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 题型二：求单调区间 题型三：已知单调性，求参数范围 题型四：参数单调性讨论 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）函数的单调区间 （2）单调性与导数的关系 2023年乙卷（文）第20题，12分 2023年乙卷（理）第16题，5分 2023年II卷第6题，5分 2022年甲卷第12题，5分 2022年I卷第7题，5分 2021年浙江卷第7题，5分 （1）结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系． （2）能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）． 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：单调性基础问题 1、函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 2、已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 【典例1-1】（2004年普通高等学校招生考试数学（理）试题（浙江卷））是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（    ）    A．   B．   C．   D．   【典例1-2】（2005年普通高等学校招生考试数学（理）试题（江西卷））已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·高三·湖南长沙·期末）已知函数的图象如下图所示，则其导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·高三·四川达州·阶段练习）已知可导函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 题型二：求单调区间 【典例2-1】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； 【典例2-2】（2023年北京高考数学真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； 【变式2-1】（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； 【变式2-2】（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； 【变式2-3】（2021年全国新高考I卷数学试题）已知函数. （1）讨论的单调性； 【变式2-4】（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； 知识点二：讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)； （4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； （5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)； （6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)； 类型二：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根； （4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； （5）导数图像定区间； 【方法技巧与总结】 1、求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； （3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； （4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数. ②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论： 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 题型三：已知单调性，求参数范围 【典例3-1】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【典例3-2】函数的单调递减区间是，则（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 【变式3-1】若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】设在上为增函数，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 题型四：参数单调性讨论 【典例4-1】（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数． (1)求的单调区间； 【典例4-2】（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数． (1)讨论的单调性； 【变式4-1】（2006 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（山东卷））设函数，其中，求的单调区间． 【变式4-2】（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数． （1）讨论的单调性； 【变式4-3】（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设函数，其中. （1）讨论的单调性； 17．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数． （1）讨论的单调性； 【变式4-4】（2025·高三·广东湛江·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【变式4-5】已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性． 【变式4-6】（2025·高三·山西晋城·期末）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性． 【强化测试】 1．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 2．若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·高三·安徽黄山·期中）已知函数与其导函数的图象的一部分如图所示，则关于函数的单调性说法正确的是（    ） A．在单调递减 B．在单调递减 C．在单调递减 D．在单调递减 4．函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 5．已知函数在上为减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若函数有三个单调区间，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·高三·青海·期末）若函数在上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·高三·黑龙江·期末）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．函数在上是减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．已知函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 13．已知定义在R上的函数满足，则（   ） A． B． C． D． 14．若，，且，则（    ） A． B． C． D． 15．若定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 16． 在上的导函数为，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 17．已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，e是自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 18．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（多选题）定义在上的函数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（多选题）已知函数，则（   ） A． B．在上为增函数 C．在上为减函数 D．的极值为 21．（多选题）（2025·高三·吉林长春·期中）已知函数 ，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则在上单调递增 D．若，则在上单调递增 22．（2025·高三·河北衡水·开学考试）已知函数，则不等式的解集为 ． 23．（2025·高三·广东·开学考试）已知函数在上单调递增，则的取值范围为 . 24．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则 25．若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 26．（2025·高三·江苏南京·开学考试）已知 (1)当时，过原点作函数的切线l，求切线l的方程； (2)讨论函数的导函数的单调性. 27．已知函数 (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)试讨论的单调性． 28．（2025·江西萍乡·一模）已知函数，其中. (1)若的图象在处的切线经过点，求a的值； (2)讨论的单调性. 29．已知函数，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)试判断函数的单调性. 30．讨论函数的单调性． 31．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，()． (1)若函数的图象在处的切线平行于x轴，求a的值； (2)讨论的单调性． 32．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 利用导数解决单调问题 【题型归纳目录】 题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 题型二：求单调区间 题型三：已知单调性，求参数范围 题型四：参数单调性讨论 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）函数的单调区间 （2）单调性与导数的关系 2023年乙卷（文）第20题，12分 2023年乙卷（理）第16题，5分 2023年II卷第6题，5分 2022年甲卷第12题，5分 2022年I卷第7题，5分 2021年浙江卷第7题，5分 （1）结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系． （2）能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）． 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：单调性基础问题 1、函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 2、已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 【典例1-1】（2004年普通高等学校招生考试数学（理）试题（浙江卷））是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】由导函数的图象可知：当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，只有选项C符合， 故选：C 【典例1-2】（2005年普通高等学校招生考试数学（理）试题（江西卷））已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题给函数的图象，可得 当时，，则，则单调递增； 当时，，则，则单调递减； 当时，，则，则单调递减； 当时，，则，则单调递增； 则单调递增区间为，；单调递减区间为 故仅选项C符合要求. 故选：C 【变式1-1】（2025·高三·湖南长沙·期末）已知函数的图象如下图所示，则其导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得函数的图象为单调递增，则其导函数恒成立， 排除A、D两个选项， 对于B，当，，对应的原函数此时斜率为零，该选项满足题意； 选项C不符合题意； 故选：B. 【变式1-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，， ∴，故在区间上为减函数，排除AB； 当时，，∴， 故在区间上为减函数，排除D. 故选：C. 【变式1-3】（2025·高三·四川达州·阶段练习）已知可导函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A.由导数的几何意义可知，，由图可知，，所以，故A成立； B.，故B成立； C.由图可知，，，但不确定与的大小关系，故C不一定成立. D.由图可知，函数在上单调递增，且增长速度越来越快，所以，故D成立. 故选：C 题型二：求单调区间 【典例2-1】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； 【解析】（1）当时，, 令得,当时，,当时，, ∴函数在上单调递增；上单调递减； 【典例2-2】（2023年北京高考数学真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； 【解析】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. 【变式2-1】（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； 【解析】（1）因为，所以， 则 ， 令，由于，所以， 所以， 因为，，， 所以在上恒成立， 所以在上单调递减. 【变式2-2】（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； 【解析】（1） 令,则 则 当 当,即. 当,即. 所以在上单调递增,在上单调递减 【变式2-3】（2021年全国新高考I卷数学试题）已知函数. （1）讨论的单调性； 【解析】(1)的定义域为． 由得，， 当时，；当时；当时，． 故在区间内为增函数，在区间内为减函数， 【变式2-4】（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； 【解析】（1）因为，所以， 即切点坐标为， 又， ∴切线斜率 ∴切线方程为： （2）因为，     所以， 令， 则， ∴在上单调递增， ∴ ∴在上恒成立， ∴在上单调递增. 知识点二：讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)； （4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； （5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)； （6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)； 类型二：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根； （4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； （5）导数图像定区间； 【方法技巧与总结】 1、求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； （3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； （4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数. ②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论： 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 题型三：已知单调性，求参数范围 【典例3-1】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【解析】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 【典例3-2】函数的单调递减区间是，则（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【解析】由可得， 由于的单调递减区间是，故和是的两个根，故，故， 故选：A 【变式3-1】若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，在区间上能成立， 即在区间上能成立， 设，则，故只需求在上的最小值， 而在时，取得最小值，故得. 故选：B. 【变式3-2】已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 因为在区间上单调递减， 所以，即，则在上恒成立， 因为在上单调递减，所以，故. 故选：A. 【变式3-3】设在上为增函数，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，在上恒成立，即恒成立， 而，故. 故选：D 【变式3-4】（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 题型四：参数单调性讨论 【典例4-1】（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数． (1)求的单调区间； 【解析】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【典例4-2】（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数． (1)讨论的单调性； 【解析】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【变式4-1】（2006 年普通高等学校招生考试数学（理）试题（山东卷））设函数，其中，求的单调区间． 【解析】函数的定义域为，. ①当时，对任意的，， 此时，函数的减区间为，无增区间； ②当时，由可得，由可得. 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. 【变式4-2】（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数． （1）讨论的单调性； 【解析】(1)由函数的解析式可得：， 当时，若，则单调递减， 若，则单调递增； 当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增； 【变式4-3】（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设函数，其中. （1）讨论的单调性； 【解析】（1）函数的定义域为， 又， 因为，故， 当时，；当时，； 所以的减区间为，增区间为. 17．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数． （1）讨论的单调性； 【解析】(1)由函数的解析式可得：， 导函数的判别式， 当时，在R上单调递增， 当时， 的解为：， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 综上可得：当时，在R上单调递增，当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【变式4-4】（2025·高三·广东湛江·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【解析】（1）当时，，则， 从而， 故所求切线方程为，即（或）. （2）由题意可得的定义域为. 当，即时， 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增. 当，即时， 由，得或，由，得， 则在上单调递减，在和上单调递增. 当，即时，恒成立，则在上单调递增. 当，即时， 由，得或，由，得， 则在上单调递减，在和上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增. 【变式4-5】已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性． 【解析】（1）由于，故， 解得或． （2）首先有． 若，则在上递减； 若，则对有， 对有． 所以在上单调递减，在上单调递增； 若，则对有， 对有． 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【变式4-6】（2025·高三·山西晋城·期末）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性． 【解析】（1）当时，，则， 则曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以曲线在点处的切线方程为． （2）的定义域为． 当时，． 令，则在上单调递减，在上单调递增， 因此，的最小值为 当时，则，此时，在上单调递增， 当时，令，得． 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增 综上，当时，在上单调递增，当时， 在上单调递增， 在上单调递减． 【强化测试】 1．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数，定义域为， 由，令，解得， 则函数的单调递减区间为. 故选：C. 2．若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数，定义域为， 由，令，解得， 则函数的单调递减区间为. 故选：C. 3．（2025·高三·安徽黄山·期中）已知函数与其导函数的图象的一部分如图所示，则关于函数的单调性说法正确的是（    ） A．在单调递减 B．在单调递减 C．在单调递减 D．在单调递减 【答案】B 【解析】从图象可以看出过点的为的图象，过点的为导函数的图象， ， 当时，，故，在上单调递减， 当时，，故，在上单调递增， ACD错误，B正确， 故选：B 4．函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】， 因为的单调递减区间为，而的定义域为， 所以的一个极值点为1， 所以，解得． 所以，， 令，，解得， 所以的单调递减区间为，符合题意， 综上， 故选：B． 5．已知函数在上为减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，由条件知当时，，即， 令，是减函数，； 故选：D. 6．若函数有三个单调区间，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，因为函数有三个单调区间，所以， 解得：. 故选：A 7．（2025·高三·青海·期末）若函数在上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 因为在上单调递减，所以对恒成立， 得到，即对恒成立， 令，则对于恒成立， 当时，由反比例函数性质得在上单调递减， 得到，即，故D正确. 故选：D 8．（2025·高三·黑龙江·期末）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得， 由于在上单调递增，故， 因此恒成立，故， 由于，故， 故选：B 9．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数，所以， 又函数在上单调递减， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则在上，，则. 当时，不恒为零，也符合题意， 所以实数的取值范围是. 故选：C 10．若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 若函数在上不单调，即，，可得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 11．函数在上是减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知在上恒成立，得， 又函数在上单调递减，所以，所以． 故选：D 12．已知函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解得， 所以的定义域是， 依题意可知在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 由于， 所以的最大值为， 所以. 故选：D. 13．已知定义在R上的函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，又 则， 因此函数是增函数， 于是得， 即， 所以，即， 故选：B 14．若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先证明，记，则， 所以在上单调递增，所以， 即在上恒成立，即成立； 由糖水不等式可得：，故； 设，，则在上恒成立， 所以在上单调递减，因为，所以，故C正确， 故选：C. 15．若定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可设，因为， 则， 所以函数在R上单调递增， 又，不等式可转化为， 所以，解得，所以不等式的解集为． 故选：A. 16． 在上的导函数为，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令， 则， ，， 在上单调递增， ，即， . 故选：A. 17．已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，e是自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意知，即，构造函数， 可得，因为，所以， 所以在上单调递增， 则，两边同乘，即． 故选:B 18．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知得， 函数在区间上单调递增， 在区间上恒成立． 对于恒成立． 而由对勾函数的单调性可知在区间上单调递减， ． 的取值范围是． 故选：D 19．（多选题）定义在上的函数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】构造函数，则， 因为，所以，故是增函数. 由得，， 即，故A正确； 由得，， 即，故B正确； 由得，， 即，故C错误； 由得，， 即，即，故D正确. 故选：ABD． 20．（多选题）已知函数，则（   ） A． B．在上为增函数 C．在上为减函数 D．的极值为 【答案】BD 【解析】，则，故A错误； 令， 所以在上单调递减，在上单调递增，故B正确，C错误； 所以的极小值为，故D正确. 故选：BD. 21．（多选题）（2025·高三·吉林长春·期中）已知函数 ，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则在上单调递增 D．若，则在上单调递增 【答案】AD 【解析】由题意知，得， 若，所以是的极小值点， 此时，解得， 则， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以，则，故A正确，B错误； 若，此时， 当时，，在上单调递减，故C错误； 若，此时， 当时，，在上单调递增，故D正确． 故选：AD． 22．（2025·高三·河北衡水·开学考试）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】因为，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数． 由， 得，即， 又，， 且，所以在上单调递增， 所以，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为：． 23．（2025·高三·广东·开学考试）已知函数在上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】解法一：由题意可得，而恒成立， 故仅有时满足题意. 解法二：令，由复合函数单调性可知外层函数在上单调递增， 故内层函数在上也要单调递增， 故时满足，其他情况均不满足， 故的取值范围为. 故答案为：. 24．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则 【答案】3 【解析】因为是幂函数，所以， 所以或，因为在上单调递增， 所以，所以. 故答案为：. 25．若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】法一：， 由题意可知在上有解，即有正实数解， 当时，显然满足要求， 当时，只需满足，即， 综上：的取值范围为. 故答案为：. 法二：， 由题意可知在上有解， 即在上有解，即在上有解， 所以，则的取值范围为. 故答案为：. 26．（2025·高三·江苏南京·开学考试）已知 (1)当时，过原点作函数的切线l，求切线l的方程； (2)讨论函数的导函数的单调性. 【解析】（1）当时，，， 设切点为，切线方程为， 因为切线过原点，所以，即，解得； 所以，因此； 即切线方程为； （2）易知， 令，则， ①当时，，则在R上递减； ②当时，令，可得； 同理的解是， 所以在区间上单调递增，在上单调递减； ③当时令，即；同理的解是， 所以在区间上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在R上递减； 当时，在区间上单调递增，在上单调递减； 当时，在区间上单调递减，在上单调递增． 27．已知函数 (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)试讨论的单调性． 【解析】（1）当，， 所以， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）因为， 所以. 当时，，令，得， 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，令，解得或. 当时，，所以在上单调递增. 当时，，令，解得或， 令，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 当时，，令，解得或， 令，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时， 在上单调递增， 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 28．（2025·江西萍乡·一模）已知函数，其中. (1)若的图象在处的切线经过点，求a的值； (2)讨论的单调性. 【解析】（1）， 因为，， 所以的图象在处的切线方程为， 将代入得，解得； （2）， 当时，，令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，，所以在上单调递增. 当时，令，得或；令，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减. 当时，令，得或；令，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 29．已知函数，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)试判断函数的单调性. 【解析】（1）当时，，则，所以，，， 故当时，函数在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，， 当时，，的减区间为，无增区间； 当时，令，， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 综上所述，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为. 30．讨论函数的单调性． 【解析】的定义域为． ①当时， 若，则在上是增函数； 若，则在上是减函数． 若，则在上是增函数． ②当时，成立当且仅当在上是增函数． ③当时， 若，则在上是增函数； 若，则在上是减函数； 若，则，在上是增函数． 31．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，()． (1)若函数的图象在处的切线平行于x轴，求a的值； (2)讨论的单调性． 【解析】（1）， 由题意可得，解得； （2），， 当时，若，则，若，则， 故在上单调递增，上单调递减； 当时，若，则， 若，则， 故在、上单调递增，上单调递减； 当时，则， 故在上单调递增； 当时，若，则， 若，则， 故在和上单调递增，上单调递减； 综上所述：若，则在上单调递增，上单调递减； 若，则在、上单调递增，上单调递减； 若，则在上单调递增； 若，则在、上单调递增，上单调递减. 32．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【解析】（1）当时，，则， 从而，， 故所求切线方程为，即（或）. （2）由题意可得. 当，即时，由，得或，由，得， 则在和上单调递增，在上单调递减； 当，即时，恒成立，则在上单调递增； 当，即时，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$