专题16 极值与最值（6大题型）-《2025年高考艺术生数学40天速提100分攻略》

专题16 极值与最值 【题型归纳目录】 题型一：求函数的极值与极值点 题型二：根据极值、极值点求参数 题型三：求函数的最值（不含参） 题型四：求函数的最值（含参） 题型五：根据最值求参数 题型六：函数单调性、极值、最值的综合应用 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）函数的极值 （2）函数的最值 2024年I卷第10题，6分 2024年II卷第16题，15分 2024年II卷第11题，6分 2024年甲卷第21题，12分 2023年乙卷第21题，12分 2023年II卷第22题，12分 2022年乙卷第16题，5分 2022年I卷第10题，5分 2022年甲卷第6题，5分 （1）借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件． （2）会用导数求函数的极大值、极小值． （3）会求闭区间上函数的最大值、最小值． 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：极值与最值 1、函数的极值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. 注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号. ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点. 题型一：求函数的极值与极值点 【典例1-1】（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【典例1-2】（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数． (1)当时，求的极值； 【变式1-1】（2020年天津市高考数学试卷）已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； 【变式1-2】（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（重庆卷））设函数，其中在，曲线在点处的切线垂直于轴 （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求函数极值． 题型二：根据极值、极值点求参数 【典例2-1】（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【典例2-2】（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版））若是函数的极值点，则的极小值为( ) A． B． C． D． 【变式2-2】（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷））设函数=[]． （1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求； （2）若在处取得极小值，求的取值范围． 【变式2-3】（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））设函数. （Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a； （Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围. 【变式2-4】（2006年普通高等学校招生考试数学（文）试题（陕西卷））设函数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数的极小值大于0，求k的取值范围． 【变式2-5】（2004 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（湖北卷））已知，函数的图象与函数的图象相切. (1)求b与c的关系式（用c表示b）； (2)设函数在内有极值点，求c的取值范围. 2、函数的最值 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 导函数为 （1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． （2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 题型三：求函数的最值（不含参） 【典例3-1】（2021年全国新高考I卷数学试题）函数的最小值为 . 【典例3-2】（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2004年普通高等学校招生考试数学试题（江苏卷））函数在闭区间上的最大值、最小值分别是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数． (1)当时，求的最大值； 题型四：求函数的最值（含参） 【典例4-1】已知函数． (1)求函数的极值； (2)求函数在区间上的最小值． 【典例4-2】已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论在区间上的最小值. 【变式4-1】已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数的最大值． 【变式4-2】已知函数，．讨论函数的最值； 题型五：根据最值求参数 【典例5-1】（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 【典例5-2】若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 【变式5-1】（2025·广东茂名·一模）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最大值为0，求实数的值. 【变式5-2】（2025·江苏南京·二模）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值． 【变式5-3】（2025·四川泸州·一模）已知是函数的极值点，且曲线在点处的切线斜率为． (1)求函数的解析式； (2)若在区间上存在最小值，求实数m的取值范围． 【方法技巧与总结】 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 题型六：函数单调性、极值、最值的综合应用 【典例6-1】（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【典例6-2】（2023年北京高考数学真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【变式6-1】（2021年北京市高考数学试题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【强化测试】 1．已知函数在处取得极小值，则的极大值为（   ） A．4 B．2 C． D． 2．（2025·广东湛江·一模）已知函数在区间上存在唯一个极大值点，则m的最大值为（   ）． A． B． C． D． 3．（2025·广东汕头·一模）设，若函数在内存在极值点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·高三·江苏·期末）已知函数，则在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·高三·四川乐山·期末）若函数无极值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·高三·吉林长春·开学考试）函数在区间上的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 7．（2025·新疆·模拟预测）已知函数在处有极小值，则极大值为（    ） A．32 B．1 C． D．0 8．（2025·广东·一模）已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是的极大值点 C．当时， D．在区间上单调递减 9．（2025·四川眉山·一模）若函数在时取得极小值，则的极大值为（   ） A． B． C． D． 10．函数的极值点为（    ） A．3 B． C． D． 11．（2025·四川成都·二模）若函数有极值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．如图，直线与曲线交于两点，其中A是切点，记，则下列判断正确的是（   ）    A．只有一个极值点 B．有两个极值点，且极小值点小于极大值点 C．的极小值点小于极大值点，且极小值为 D．的极小值点大于极大值点，且极大值为2 13．（2025·陕西咸阳·一模）已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 14．（2025·高三·广东·开学考试）若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．（多选题）（2025·河北·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．若在上单调递减，则的最大值为1 B．当时， C．当时， D．存在直线，使得与的图象有4个交点 16．（多选题）（2025·高三·吉林长春·期中）已知函数 ，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则在上单调递增 D．若，则在上单调递增 17．（多选题）已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（    ） A． B． C． D．0 18．（多选题）下列说法中正确的是（    ）． A．函数的最大值不一定是它的极大值 B．函数的极大值可能小于它的极小值 C．函数在某一闭区间上的极小值就是函数在这一区间的最小值 D．函数在开区间不存在最大值和最小值 19．（多选题）已知定义在上的可导函数和的导函数图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（    ）    A．有1个极大值点和2个极小值点 B．有2个极大值点和1个极小值点 C．有最大值无最小值 D．有最小值无最大值 20．（多选题）已知函数是上的可导函数，的导函数的图象如图，则下列结论不正确的是（   ） A．分别是极大值点和极小值点 B．分别是极大值点和极小值点 C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数 21．（2025·全国·一模）已知函数在上存在极值，则实数的取值范围是 ． 22．已知函数在处取得极大值，则实数的值是 . 23．（2025·山东淄博·一模）已知在等比数列中，首项，公比，，是函数的两个极值点，则数列的前9项和是 . 24．（2025·甘肃兰州·一模）函数在上的最小值为 ． 25．若函数在上的最大值为4，则 . 26．（2025·江西萍乡·一模）设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 27．（2025·高三·山东·开学考试）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的最值． 28．（2025·高三·安徽宿州·期末）已知函数（是自然对数的底数），为的导函数. (1)求函数的单调区间； (2)若函数，求在上的最小值. 29．（2025·广东茂名·一模）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最大值为0，求实数的值. 30．（2025·高三·重庆·期末）已知函数在处的切线与直线平行，其中. (1)求的值； (2)求函数在区间上的最值. 31．（2025·河北保定·模拟预测）已知函数在点处的切线与轴垂直. (1)求的值； (2)求的极值； (3)求方程的实数根的个数. 32．（2025·高三·辽宁·开学考试）已知函数 (1)若的图象在点处的切线方程为，求a与b的值； (2)若在处有极值，求a与b的值. 33．已知函数. (1)求的图象在点处的切线方程； (2)求函数的极值； 34．已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若函数在处取到极小值，求实数m的取值范围． 35．已知函数，，k为常数，e是自然对数的底数． (1)当时，求的极值； (2)若，且对于任意，恒成立，试确定实数k的取值范围． 36．（2025·海南·二模）已知函数. (1)若，求的最值； (2)若对任意，都有成立，求的取值范围. 37．已知函数在处有极值. (1)求实数的值； (2)求函数在上的最值. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 极值与最值 【题型归纳目录】 题型一：求函数的极值与极值点 题型二：根据极值、极值点求参数 题型三：求函数的最值（不含参） 题型四：求函数的最值（含参） 题型五：根据最值求参数 题型六：函数单调性、极值、最值的综合应用 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）函数的极值 （2）函数的最值 2024年I卷第10题，6分 2024年II卷第16题，15分 2024年II卷第11题，6分 2024年甲卷第21题，12分 2023年乙卷第21题，12分 2023年II卷第22题，12分 2022年乙卷第16题，5分 2022年I卷第10题，5分 2022年甲卷第6题，5分 （1）借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件． （2）会用导数求函数的极大值、极小值． （3）会求闭区间上函数的最大值、最小值． 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：极值与最值 1、函数的极值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 求可导函数极值的一般步骤 （1）先确定函数的定义域； （2）求导数； （3）求方程的根； （4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值. 注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号. ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点. 题型一：求函数的极值与极值点 【典例1-1】（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【解析】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 【典例1-2】（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数． (1)当时，求的极值； 【解析】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. 【变式1-1】（2020年天津市高考数学试卷）已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； 【解析】(Ⅰ) (i) 当k=6时，，.可得，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. (ii) 依题意，. 从而可得， 整理可得：， 令，解得. 当x变化时，的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)； g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值. 【变式1-2】（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（重庆卷））设函数，其中在，曲线在点处的切线垂直于轴 （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求函数极值． 【解析】18．（2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学卷（天津））已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间与极值． 【解析】（1）当时，，， 又，． 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）． 由于，以下分两种情况讨论． ①当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表： 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以的单调递减区间为，，单调递增区间为． 函数在处取得极小值，且， 函数在处取得极大值，且． ②当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表： 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为． 函数在处取得极大值，且． 函数在处取得极小值，且． 题型二：根据极值、极值点求参数 【典例2-1】（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 【典例2-2】（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数 的极大值点，在左右附近都是小于零的. 当时，由，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 当时，由时，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 综上所述，成立. 故选：D 【变式2-1】（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版））若是函数的极值点，则的极小值为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得， 因为，所以，，故， 令，解得或， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值为，故选A． 【变式2-2】（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷））设函数=[]． （1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求； （2）若在处取得极小值，求的取值范围． 【解析】分析：（1）先求导数，再根据得a；（2）先求导数的零点：，2；再分类讨论，根据是否满足在x=2处取得极小值，进行取舍，最后可得a的取值范围． （Ⅰ）因为=[]， 所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R） =［ax2–（2a+1）x+2］ex． f ′(1)=(1–a)e． 由题设知f ′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1． 此时f (1)=3e≠0． 所以a的值为1． （Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex． 若a>，则当x∈(，2)时，f ′(x)<0； 当x∈(2，+∞)时，f ′(x)>0． 所以f (x)<0在x=2处取得极小值． 若a≤，则当x∈(0，2)时，x–2<0，ax–1≤x–1<0， 所以f ′(x)>0． 所以2不是f (x)的极小值点． 综上可知，a的取值范围是（，+∞）． 【变式2-3】（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））设函数. （Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a； （Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围. 【解析】分析：（1）求导，构建等量关系，解方程可得参数的值；（2）对分及两种情况进行分类讨论，通过研究的变化情况可得取得极值的可能，进而可求参数的取值范围. （Ⅰ）因为， 所以. ， 由题设知，即，解得. （Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得. 若a>1，则当时，； 当时，. 所以在x=1处取得极小值. 若，则当时，， 所以. 所以1不是的极小值点. 综上可知，a的取值范围是. 方法二：. （1）当a=0时，令得x=1. 随x的变化情况如下表： x 1 + 0 − ↗ 极大值 ↘ ∴在x=1处取得极大值，不合题意. （2）当a>0时，令得. ①当，即a=1时，， ∴在上单调递增， ∴无极值，不合题意. ②当，即0<a<1时，随x的变化情况如下表： x 1 + 0 − 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴在x=1处取得极大值，不合题意. ③当，即a>1时，随x的变化情况如下表： x + 0 − 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴在x=1处取得极小值，即a>1满足题意. （3）当a<0时，令得. 随x的变化情况如下表： x − 0 + 0 − ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ ∴在x=1处取得极大值，不合题意. 综上所述，a的取值范围为. 【变式2-4】（2006年普通高等学校招生考试数学（文）试题（陕西卷））设函数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数的极小值大于0，求k的取值范围． 【解析】（1）函数的定义域为R，求导得：， 当时，当时，，当时，，因此在上递增，在上递减， 当时，当或时，，当时，，因此在，上递增，在上递减， 所以，当时，函数的增区间是，减区间是； 当时，函数的增区间是，，减区间是. （2）由（1）知，当时，函数在处取得极大值，无极小值， 当时，函数在处取得极小值，依题意，，解得或，则， 所以k的取值范围是. 【变式2-5】（2004 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（湖北卷））已知，函数的图象与函数的图象相切. (1)求b与c的关系式（用c表示b）； (2)设函数在内有极值点，求c的取值范围. 【解析】（1）令，即，则， 由题意可得：，则， ∵，则. （2）令， 则，且， 当时，则在R上恒成立， ∴函数在内单调递增，则函数在内无极值，不合题意； 当时，则有两个不相等的实数根，设为， 令，则或， ∴在，上单调递增，在上单调递减，则为极大值点，为极小值点，符合题意， 此时，即，解得或， 则或； 综上所述：c的取值范围为. 2、函数的最值 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者． 导函数为 （1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． （2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者． 一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求在内的极值（极大值或极小值）； （2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 题型三：求函数的最值（不含参） 【典例3-1】（2021年全国新高考I卷数学试题）函数的最小值为 . 【答案】1 【解析】由题设知：定义域为， ∴当时，，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递增； 又在各分段的界点处连续， ∴综上有：时，单调递减，时，单调递增； ∴ 故答案为：1. 【典例3-2】（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 所以在区间和上，即单调递增； 在区间上，即单调递减， 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 故选：D 【变式3-1】（2004年普通高等学校招生考试数学试题（江苏卷））函数在闭区间上的最大值、最小值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，解得， 再根据二次函数性质得在上， 在上，所以函数在单调递增， 在单调递减，所以， ，， 所以. 所以函数在闭区间上的最大值、最小值分别是. 故选：B. 【变式3-2】（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数． (1)当时，求的最大值； 【解析】（1）当时，，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以； 题型四：求函数的最值（含参） 【典例4-1】已知函数． (1)求函数的极值； (2)求函数在区间上的最小值． 【解析】（1）， 由，得；由，得． 在上单调递增，在上单调递减． 的极小值为，无极大值． （2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减． ，． ①当时，在上单调递减，在上单调递增， ②当时，在上单调递增，． . 【典例4-2】已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论在区间上的最小值. 【解析】（1）当时，，则，所以， 则在处的切线方程为，即， 所以当时，函数在处的切线方程为． （2）函数，则， 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 当时，函数在上单调递减，故函数的最小值； 当时，函数在上单调递增，故函数的最小值； 当时，函数的最小值． 综上可得. 【变式4-1】已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数的最大值． 【解析】（1）的定义域为， 当时，，， 当，解得：， 当，解得：． 在上为增函数；在上为减函数； （2）的定义域为， ， 当时，令，得，令时，得， 的递增区间为，递减区间为． . 【变式4-2】已知函数，．讨论函数的最值； 【解析】由函数，可得其定义域为，且， 当时，可得，在上单调递增，无最值； 当时，令，可得，所以在上单调递减； 令，可得，所以在单调递增， 所以的最小值为，无最大值． 综上可得： 当时，无最值；当时，的最小值为，无最大值． 题型五：根据最值求参数 【典例5-1】（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有． 故选：B. 【典例5-2】若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数的定义域为， ， 令可得或（舍）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值，故，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式5-1】（2025·广东茂名·一模）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最大值为0，求实数的值. 【解析】（1）当时，则，， 所以，所以切线方程为，即； （2）函数的定义域为，且， 当时，恒成立，所以函数在上单调递增，则无最大值，故舍去； 当时，令，解得，， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值，即， 所以， 即，即，所以. 【变式5-2】（2025·江苏南京·二模）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值． 【解析】（1）当时，，则，，所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即． （2），令，解得或， 当时，时，，则在上单调递减， 所以，考虑，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以的极大值为，所以由得； 当时，时，，则在上单调递减， 时，，则在上单调递增， 所以，则，不合题意； 当时，时，，则在上单调递减， 所以，不合题意； 综上，． 【变式5-3】（2025·四川泸州·一模）已知是函数的极值点，且曲线在点处的切线斜率为． (1)求函数的解析式； (2)若在区间上存在最小值，求实数m的取值范围． 【解析】（1），则， 由题意得，解得，，经检验，满足题意， （2）， 当或时，，当时，， 则在和上单调递增，在上单调递减， 若在区间上存在最小值，则， 故m的取值范围为． 【方法技巧与总结】 （1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； 不等式在区间D上恒成立； （2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则 不等式在区间D上恒成立． 不等式在区间D上恒成立． （3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； 不等式在区间D上有解； （4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论： 不等式在区间D上有解 不等式在区间D上有解 （5）对于任意的，总存在，使得； （6）对于任意的，总存在，使得； （7）若存在，对于任意的，使得； （8）若存在，对于任意的，使得； （9）对于任意的，使得； （10）对于任意的，使得； （11）若存在，总存在，使得 （12）若存在，总存在，使得． 题型六：函数单调性、极值、最值的综合应用 【典例6-1】（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【解析】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 【典例6-2】（2023年北京高考数学真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【解析】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 【变式6-1】（2021年北京市高考数学试题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【解析】（1）当时，，则，，， 此时，曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，则， 由题意可得，解得， 故，，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，单调递减区间为. 当时，；当时，. 所以，，. 【强化测试】 1．已知函数在处取得极小值，则的极大值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由题得，因为函数在处取得极小值， 所以或， 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极小值，符合题意， 所以函数在处取得极大值为； 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极大值，不符合题意； 综上，的极大值为4. 故选：A 2．（2025·广东湛江·一模）已知函数在区间上存在唯一个极大值点，则m的最大值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，由在区间上存在唯一个极大值点， 得，解得， 所以m的最大值为. 故选：A 3．（2025·广东汕头·一模）设，若函数在内存在极值点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，在内存在变号零点，而不是的零点，从而得，又在上递增，所以. 故选：B 4．（2025·高三·江苏·期末）已知函数，则在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以函数的导函数为， 令，可得或， 当时，，函数在上单调递增， 当时，。函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，， 所以在区间上的最大值为. 故选：B. 5．（2025·高三·四川乐山·期末）若函数无极值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的导数为， 函数不存在极值点， 在R上恒成立， 即恒成立， ，解得， 即实数a的取值范围是 故选：B. 6．（2025·高三·吉林长春·开学考试）函数在区间上的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】， 令，解得：， 令，解得： ， ∴函数在上递增，在上递减， ∴的极大值为 ， 又，， 故所求最大值为． 故选：C. 7．（2025·新疆·模拟预测）已知函数在处有极小值，则极大值为（    ） A．32 B．1 C． D．0 【答案】C 【解析】由题意可得， 由于是极小值点，故，或    , 当时，，当和时，，当时，， 故在单调递减，在和单调递增， 此时是函数的极大值点，不符合题意，舍去， 当时，，当和时，，当时，， 故在单调递减，在和单调递增， 此时是函数的极小值点，符合题意，且是极大值点，故极大值为， 故选：C 8．（2025·广东·一模）已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是的极大值点 C．当时， D．在区间上单调递减 【答案】C 【解析】由导函数的图象可知：导函数在，导函数的符号为正，函数单调递增，A正确； 时，，函数单调递增，，，函数单调递减， 所以是的极大值点，B正确； 在区间上单调递减，D正确； 当时，函数单调递增，可能，所以C不正确； 故选：C． 9．（2025·四川眉山·一模）若函数在时取得极小值，则的极大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数，求导可得， 由题意可得，则，解得， 所以，则， ， 令，解得或2， 可得下表： 1 2 正 0 负 0 正 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 则函数的极大值为. 故选：D. 10．函数的极值点为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知的定义域为，且. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值点为，无极大值点. 故选：B. 11．（2025·四川成都·二模）若函数有极值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，， 则， 令，， 则， 当时，恒成立，则， 即函数在上单调递增，此时函数无极值，不符合题意； 当时，令，得， 当时，，则，得函数在上单调递减， 又时，；时，， 所以存在，使得，则函数存在极值； 当时，， 则时，；时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 设，，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，且时，， 则时，，此时函数无极值，不符合题意； 当时，，且时，；时，， 此时函数存在极值. 综上所述，的取值范围为. 故选：A. 12．如图，直线与曲线交于两点，其中A是切点，记，则下列判断正确的是（   ）    A．只有一个极值点 B．有两个极值点，且极小值点小于极大值点 C．的极小值点小于极大值点，且极小值为 D．的极小值点大于极大值点，且极大值为2 【答案】D 【解析】因为直线与曲线相交于点，则的横坐标分别为， 所以有两个解， ，且根据图象，还有一解为，设为n,， 当时，；当时，， 又因为，可得， 所以，所以， 当时，，当时，； 所以当是函数的极大值点，且， 当时，，当时，， 所以当是函数也有极小值点，且满足， 所以的极小值点大于极大值点，且极大值为. 故选： D. 13．（2025·陕西咸阳·一模）已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，可知在内有2个变号零点， 由可得，可知：与在内有2个交点， 又因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 且，， 结合图象可得，所以实数a的取值范围为. 故选：B. 14．（2025·高三·广东·开学考试）若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，设切点坐标为，由，求导得， 则函数的图象在点处的切线方程为. 由切线过点，得. 令，依题意，直线与函数的图象有3个公共点. ， 当或时，，函数在上单调递减； 当时，，则函数在上单调递增； 当时，函数取得极小值， 当时，函数取得极大值， 且当时，恒有.又，， 如图，作出函数的大致图象， 由形可知，当时，直线与函数的图象有3个公共点， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 15．（多选题）（2025·河北·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．若在上单调递减，则的最大值为1 B．当时， C．当时， D．存在直线，使得与的图象有4个交点 【答案】BCD 【解析】，由，解得，的最大值为，故A不正确； 当时，，即. 设，则， 在处取得最小值，故B正确； 当时，，即. 由B选项的过程知，在时，， 在上单调递减，，故C正确； 画出的图象如图， 可知存在直线，使得与的图象有4个交点，故D正确， 故选：BCD. 16．（多选题）（2025·高三·吉林长春·期中）已知函数 ，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则在上单调递增 D．若，则在上单调递增 【答案】AD 【解析】由题意知，得， 若，所以是的极小值点， 此时，解得， 则， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以，则，故A正确，B错误； 若，此时， 当时，，在上单调递减，故C错误； 若，此时， 当时，，在上单调递增，故D正确． 故选：AD． 17．（多选题）已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】AD 【解析】，， 当时，，故在上单调递减； 当或时，，故在上单调递增， 函数在处取得极小值，在处取得极大值． 令，解得或， 函数在上存在最小值，且为开区间， ，解得． 故选：AD. 18．（多选题）下列说法中正确的是（    ）． A．函数的最大值不一定是它的极大值 B．函数的极大值可能小于它的极小值 C．函数在某一闭区间上的极小值就是函数在这一区间的最小值 D．函数在开区间不存在最大值和最小值 【答案】AB 【解析】对于A，函数在上有最大值，但没有极大值，故A正确； 对于B，函数图像，其中一个极大值为，一个极小值为， 显然极大值小于极小值，故B正确； 对于C，的最小值可能在闭区间的端点处取到，也可能在闭区间上的极小值点处取到，故C不正确； 对于D，函数在上既有最大值，又有最小值，故D不正确． 故选：AB 19．（多选题）已知定义在上的可导函数和的导函数图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（    ）    A．有1个极大值点和2个极小值点 B．有2个极大值点和1个极小值点 C．有最大值无最小值 D．有最小值无最大值 【答案】BC 【解析】根据的图象可得，与的图象有三个不同的交点， 设这些点的横坐标依次为，满足，其中，. 由图可知，当时，，即，故函数在上单调递增， 当时，，即，函数在上单调递减， 当时，，即，函数在上单调递增， 当时，，即，函数在上单调递减. 综上分析，函数分别在时取得极大值，在时取得极小值, 即函数有2个极大值点和1个极小值点,故B项正确，A项错误； 因时，的趋近值未知，时，的趋近值也未知，故无从判断函数的最小值能否取得， 但因函数分别在时取得极大值，故可取与中的较大者作为函数的最大值，故C项正确，D项错误. 故选：BC. 20．（多选题）已知函数是上的可导函数，的导函数的图象如图，则下列结论不正确的是（   ） A．分别是极大值点和极小值点 B．分别是极大值点和极小值点 C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数 【答案】ABD 【解析】根据的图象可知： 当时，，单调递减；当时，，且不恒为零，单调递增； 对AB：根据单调性可知，只有极小值点，没有极大值点，故AB错误； 对CD：根据单调性可知，在单调递增，在也单调递增，故C正确，D错误. 故选：ABD. 21．（2025·全国·一模）已知函数在上存在极值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为，求导得， 当时，，无极值点；当时，由，得， 当时，，当时，，则是函数的极值点， 依题意，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 22．已知函数在处取得极大值，则实数的值是 . 【答案】3 【解析】由得， 因为函数在处取得极大值， 所以是方程的根，因此或，即或； ①若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极小值，不符合题意； ②若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极大值，符合题意； 故答案为：3 23．（2025·山东淄博·一模）已知在等比数列中，首项，公比，，是函数的两个极值点，则数列的前9项和是 . 【答案】1022 【解析】由，求导得， 当或时，；当时，， 则分别为函数的极大值点和极小值点， 在等比数列中，，公比，则， 又是函数的两个极值点，因此，， 所以数列的前9项和. 故答案为：1022 24．（2025·甘肃兰州·一模）函数在上的最小值为 ． 【答案】 【解析】， 令，解得：，（舍）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则，又因为，， 则函数在上的最小值为. 故答案为：. 25．若函数在上的最大值为4，则 . 【答案】4 【解析】由题， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又. 因为，所以在上，，所以. 故答案为：. 26．（2025·江西萍乡·一模）设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意，，当时，，，所以； 当时，，，所以， 等号仅当时成立，所以. 所以对，即，即. 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，因此. 故答案为： 27．（2025·高三·山东·开学考试）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的最值． 【解析】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以的最大值为，无最小值. 28．（2025·高三·安徽宿州·期末）已知函数（是自然对数的底数），为的导函数. (1)求函数的单调区间； (2)若函数，求在上的最小值. 【解析】（1）由已知，所以 令，解得， 令，解得， 所以的单调递增区间， 的单调递减区间. （2）由题可知， 因为，所以， 令，解得， 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又 所以，所以的最小值为. 29．（2025·广东茂名·一模）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最大值为0，求实数的值. 【解析】（1）当时，则，， 所以，所以切线方程为，即； （2）函数的定义域为，且， 当时，恒成立，所以函数在上单调递增，则无最大值，故舍去； 当时，令，解得，， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值，即， 所以， 即，即，所以. 30．（2025·高三·重庆·期末）已知函数在处的切线与直线平行，其中. (1)求的值； (2)求函数在区间上的最值. 【解析】（1）由题可得：， 则，故； （2）， 当时，单调递减； 当时，单调递增． 则. 故的最大值为，最小值为． 31．（2025·河北保定·模拟预测）已知函数在点处的切线与轴垂直. (1)求的值； (2)求的极值； (3)求方程的实数根的个数. 【解析】（1）由题知， 所以. 由题意可知，解得. （2）由（1）知，， ∴当时，0；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 即的极大值，的极小值. （3）即. 因为，故方程在上没有实数根； 又，则，所以方程在上有1个实数根. 故共有1个实数根. 32．（2025·高三·辽宁·开学考试）已知函数 (1)若的图象在点处的切线方程为，求a与b的值； (2)若在处有极值，求a与b的值. 【解析】（1）因为，所以， 所以，， 因为切线方程为， 所以，解得， 所以. （2）函数在处有极值 且或 恒成立，此时函数无极值点， 此时1是极值点，满足题意， 所以. 33．已知函数. (1)求的图象在点处的切线方程； (2)求函数的极值； 【解析】（1）， ， 故的图象在点处的切线为， 即； （2）的定义域为， 由（1）知， 令得，令得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故在上取得极小值，极小值为，无极大值； 34．已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若函数在处取到极小值，求实数m的取值范围． 【解析】（1）由题意，，则， 又，故所求的切线方程为． （2）由题意，，故． 若，则，故当时，，当时，， 故当时，函数取到极小值； 若，则令，解得或， 要使函数在处取到极小值，则需，即， 此时当时，，当时，，当时，，满足条件． 综上，实数m的取值范围为． 35．已知函数，，k为常数，e是自然对数的底数． (1)当时，求的极值； (2)若，且对于任意，恒成立，试确定实数k的取值范围． 【解析】（1） 当时，，∴， 由得，故的单调递增区间为；由得， 故的单调递减区间为； 所以函数有极小值为，无极大值． （2）当时，不等式化简为，令，则； 令得， ∴在上单调递减，在上单调递增； 因为，所以， 又，所以． 36．（2025·海南·二模）已知函数. (1)若，求的最值； (2)若对任意，都有成立，求的取值范围. 【解析】（1）当时，， 则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 在处取得极小值，也是最小值为，无最大值. （2）由， 得， 由（1）可知，当时， 函数， 设， 则在上恒成立， 在上单调递增， ， 即的取值范围为. 37．已知函数在处有极值. (1)求实数的值； (2)求函数在上的最值. 【解析】（1）， ， 解得， 则， 若，则；若，则或, 即函数在处有极大值且极大值为，符合题意， 故： （2）由（1）知，， ， 若，则；若，则或, 在上单调递增，在上单调递减, 又， . 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$