精品解析：湖南省张家界市桑植县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024年下学期九年级期末教学质量检测数学试卷 注意事项：本试卷共三道大题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1. 下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ） A. (3，1) B. （-3，1） C. (3，) D. （，3） 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，则等于（ ）     A. B. C. D. 4. 如果，那么（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在一坡度的斜面上，一木箱沿斜面向上推进了10米，那么木箱升高了（ ） A. 米 B. 8米 C. 米 D. 5米 6. 为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是（ ） A. 众数是82 B. 中位数是84 C. 方差是84 D. 平均数是85 7. 若关于x的一元二次方程 有实数根，则k 的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 8. 如图，直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接，，已知的值为8，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9. 如图， 与是位似图形，点是位似中心，若，且的面积为1，则的面积为 （ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 9 10. 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，……成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2023秒时，点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 11. 已知是一元二次方程的一个根，则另一个根为________． 12. 现有甲、乙两支排球队，每支球队队员身高的平均数为1.85米，方差分别为s甲2＝0.32，s乙2＝0.26，则身高较整齐的球队是___________队． 13. 已知点在反比例函数的图象上，则的值是________． 14. 在中，锐角，满足，则_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若的面积为2，则k的值为____________． 16. 某商场4月份随机抽查了6天的营业额，结果如下（单位：万元）：2.8，3.2，3.4，3.7，3.0，3.1，试估算该商场4月份的总营业额，大约是____万元． 17. 如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=1：2，则△ADE与△ABC的面积的比为__________． 18. 如图，在中，，是斜边上的中线，过点E作交于点F，若，的面积为5，则的正弦值为______． 三、解答题(本大题共8小题，共66分) 19. 如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），请按如下要求画图： （1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到，请画出； （2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形，使它与△ABC的位似比为2：1． 20. 计算：． 21. 解方程： （1） （2） 22. 如图，反比例函数y=﹣与一次函数y=﹣x+2的图象交于A、B两点． （1）求A、B两点的坐标； （2）求△AOB的面积． 23. 为增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展了疫情防控知识答题活动．为了解答题活动的得分情况（满分100分），随机抽取了部分参加答题活动的学生的成绩，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）抽取的样本人数是_________，图①中的m的值为_________； （2）扇形统计图中96分所占圆心角度数是_________度； （3）若该校有360名学生参加了本次答题活动，估计其中获得满分的学生人数． 24. 如图，为了修建桑龙高速公路跨澧水河的贺龙大桥，需要利用数学方法测量贺龙大桥的长度．飞机上的测量人员在处测得，两点的俯角分别为和．若飞机离地面的高度为，且点 D，A，B在同一水平直线上，试求贺龙大桥长度．(结果精确到1m ，参考数据： 25. 先阅读下列一段文字，再回答问题． 已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，这两点的距离P1P2．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． （1）已知点A(2，4)，B(﹣3，﹣8)，试求A，B两点间的距离； （2）已知点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为﹣1，A，B两点间的距离等于6．试求点A的纵坐标； （3）已知一个三角形各顶点的坐标分别为A(﹣3，﹣2)，B(3，6)，C(7，﹣2)，你能判断三角形ABC的形状吗？说明理由． 26. （1）[基础巩固]如图①，在三角形纸片ABC中，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为______； （2）[思维提高]如图②，在三角形纸片ABC中，，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值； （3）[拓展延伸]如图③，在三角形纸片ABC中，，，，将沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点处，折痕为CM．求线段AC的长； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期九年级期末教学质量检测数学试卷 注意事项：本试卷共三道大题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1. 下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ） A. (3，1) B. （-3，1） C. (3，) D. （，3） 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可得：反比例函数图像上的点满足xy=3． 【详解】解：A、∵3×1=3，∴此点在反比例函数的图象上，故A正确； B、∵（-3）×1=-3≠3，∴此点不在反比例函数的图象上，故B错误； C、∵,∴此点不在反比例函数的图象上，故C错误； D、∵,∴此点不在反比例函数的图象上，故D错误； 故选A． 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据配方法的方法可以对题目中的方程配方，从而可以解答本题． 【详解】解：4x2-2x-1=0， x2-x=， x2-x+（）2=+（）2， （x-）2=． 故选：D． 【点睛】本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是明确配方法，会用配方法对方程进行变形． 3. 如图，在中，，，，则等于（ ）     A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，正弦值的计算方法，掌握以上知识是解题的关键． 再根据正弦的计算方法求解． 【详解】解：． 故选：C． 4. 如果，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握两内向之积等于两外项之积是解题的关键．由题意得到，再代入所求式即可． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 5. 如图，在一坡度的斜面上，一木箱沿斜面向上推进了10米，那么木箱升高了（ ） A. 米 B. 8米 C. 米 D. 5米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解坡比的定义，勾股定理；设木箱升高了米，可求，由勾股定理得，即可求解；掌握“”是解题的关键． 【详解】解：设木箱升高了米， ， ， 解得：，（舍去）， 木箱升高了米， 故选：D． 6. 为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是（ ） A. 众数是82 B. 中位数是84 C. 方差是84 D. 平均数是85 【答案】C 【解析】 【分析】根据该组数据结合众数、中位数的定义和平均数、方差的计算公式，求出众数、中位数、平均数和方差即可选择． 【详解】根据该组数据可知82出现了2次最多，故众数为82，选项A正确，不符合题意； 根据中位数的定义可知该组数据的中位数为，选项B正确，不符合题意； 根据平均数的计算公式可求出，选项D正确，不符合题意； 根据方差的计算公式可求出，选项C错误，符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查求众数、中位数、平均数和方差．掌握众数、中位数的定义，平均数、方差的计算公式是解答本题的关键． 7. 若关于x的一元二次方程 有实数根，则k 的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，解题的关键是得出关于的一元一次不等式组． 让，且二次项的系数不为0，解不等式组即可得出结论． 【详解】解：由题意得： 解得： 且． 故选：B． 8. 如图，直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接，，已知的值为8，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义，熟练利用反比例函数的几何意义计算三角形面积是解题的关键． 根据反比例函数的几何意义得出的面积为，再根据即可得出． 【详解】解：根据反比例函数的几何意义可知：的面积为，的面积为， 的面积为， ， 的面积为， 故选：C． 9. 如图， 与是位似图形，点是位似中心，若，且的面积为1，则的面积为 （ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题涉及位似图形的概念和性质，位似图形是特殊的相似图形，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题关键． 先根据已知的对应点到位似中心的距离之比得出相似比，再根据相似三角形面积比与相似比的关系求出的面积． 【详解】解： 与是位似图形， ，， ， ∵， ， 的面积为1， ． 故选：B． 10. 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，……成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2023秒时，点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点P的坐标． 【详解】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为， ∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， ∴点P每秒走个半圆， ∴当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为， 当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为， …， ∵， ∴P的坐标是， 故选：D． 【点睛】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题． 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 11. 已知是一元二次方程的一个根，则另一个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了根与系数关系．设另一个根为，根据根与系数关系得到，即可求出另一个根． 【详解】解：设另一个根为， ∵是一元二次方程的一个根， ∴ 解得， 故答案为： 12. 现有甲、乙两支排球队，每支球队队员身高的平均数为1.85米，方差分别为s甲2＝0.32，s乙2＝0.26，则身高较整齐的球队是___________队． 【答案】乙 【解析】 【分析】根据方差的意义解答．方差，通俗点讲，就是和中心偏离的程度！用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）． 在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定． 【详解】∵s甲2＞s乙2， ∴身高较整齐的球队是乙队． 故答案为乙． 【点睛】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为 ，则方差S2= [（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 13. 已知点在反比例函数的图象上，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入反比例函数的解析式，计算即可得出答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 在中，锐角，满足，则_____． 【答案】##60度 【解析】 【分析】可得，，可求，，即可求解． 【详解】解：由题意得 ，， ，， ，， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了非负数的和为零的问题，特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若的面积为2，则k的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形面积公式和反比例函数，熟练掌握三角形面积公式和反比例函数是解题的关键． 根据题意设点为，由题目中的图可知，则可得到答案. 【详解】解：设A点的坐标为， 则x，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 某商场4月份随机抽查了6天的营业额，结果如下（单位：万元）：2.8，3.2，3.4，3.7，3.0，3.1，试估算该商场4月份的总营业额，大约是____万元． 【答案】96 【解析】 【分析】根据题意首先求出样本的平均数，然后即可估算总体. 【详解】由题意，得 （2.8+3.2+3.4+3.7+3.0+3.1）÷6=3.2， 3.2×30=96（万元）， 估算该商场4月份的总营业额大约是 96万元， 故答案为96. 【点睛】此题主要考查用样本的平均数估计总体的平均数，熟练掌握，即可解题. 17. 如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=1：2，则△ADE与△ABC的面积的比为__________． 【答案】1：9 【解析】 【详解】分析：根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，再结合相似比是AD：AB=1：3，因而面积的比是1：9，问题得解． 详解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵AD：DB=1：2， ∴AD：AB=1：3， ∴S△ADE：S△ABC=1：9． 故答案为1：9． 点睛：本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 18. 如图，在中，，是斜边上的中线，过点E作交于点F，若，的面积为5，则的正弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得，进而得到，从而有，根据三角形的面积公式求出，由勾股定理，在中，求出，再求出，最后根据结合锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】如图，连接， ∵是斜边上的中线， ， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 又∵，， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线的性质，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键． 三、解答题(本大题共8小题，共66分) 19. 如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），请按如下要求画图： （1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到，请画出； （2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形，使它与△ABC的位似比为2：1． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点的位置，画出图形即可； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点的位置，画出图形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了位似变换与旋转变换，正确得出对应点的位置是解题的关键． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，特殊三角函数值，零指数幂，负指数幂等知识点，解决此题的关键是要熟练运用特殊三角函数值． 根据运算顺序，先去绝对值，算负指数幂的结果，零指数幂的结果，代入特殊三角函数值，逐一得到结果即可． 【详解】原式， ， ． 21. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，解题方法多样，关键在于熟练掌握解一元二次方程的步骤，第（1）题要特别注意先进行移项使方程右边为零． （1）先移项，使方程右边为零，然后将方程左边进行因式分解，使分解后的两个一次因式分别为零，即可解答； （2）根据因式分解法即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 令或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， 令或， 解得：，． 22. 如图，反比例函数y=﹣与一次函数y=﹣x+2的图象交于A、B两点． （1）求A、B两点的坐标； （2）求△AOB的面积． 【答案】(1) A点坐标为（﹣2，4），B点坐标为（4，﹣2）；(2)6 【解析】 【分析】（1）解方程组可得到A点坐标和B点坐标； （2）先确定一次函数与y轴的交点D的坐标，然后根据S△AOB=S△AOD+S△BOD进行计算． 【详解】解：（1）解方程组得或． 所以A点坐标为（﹣2，4），B点坐标为（4，﹣2）； （2）直线AB交y轴于点D，如图， 把x=0代入y=﹣x+2得y=2， 则D点坐标为（0，2）， 所以S△AOB=S△AOD+S△BOD=×2×2+×2×4=6． 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握两者的性质是解题的关键. 23. 为增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展了疫情防控知识答题活动．为了解答题活动的得分情况（满分100分），随机抽取了部分参加答题活动的学生的成绩，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）抽取的样本人数是_________，图①中的m的值为_________； （2）扇形统计图中96分所占圆心角度数是_________度； （3）若该校有360名学生参加了本次答题活动，估计其中获得满分的学生人数． 【答案】（1）30，30 （2）144 （3）36人 【解析】 【分析】（1）根据得分为84分的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的学生人数，然后即可计算出的值； （2）根据扇形统计图中的数据，运用96分所占的百分比与相乘，即可作答．； （3）根据扇形统计图中的数据，可以计算出获得满分的学生人数． 本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、求圆心角的度数，解答本题的关键是明确题意．利用数形结合的思想解答． 【小问1详解】 解：本次随机抽样抽取的学生人数为：（人）， ， 即的值是30， 故答案为：30，30； 【小问2详解】 解：依题意， ∴扇形统计图中96分所占圆心角度数是度， 故答案为：144； 【小问3详解】 解：（人）， 即估计其中获得满分的学生有36人 24. 如图，为了修建桑龙高速公路跨澧水河的贺龙大桥，需要利用数学方法测量贺龙大桥的长度．飞机上的测量人员在处测得，两点的俯角分别为和．若飞机离地面的高度为，且点 D，A，B在同一水平直线上，试求贺龙大桥长度．(结果精确到1m ，参考数据： 【答案】贺龙大桥约为米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是熟练运用特殊角的三角函数值． 在和中，利用锐角三角函数，用表示出、的长，然后计算出的长． 【详解】解：如图所示， ， ， ， 在中， ， （米）， 在中， ， （米）， （米）． 答：贺龙大桥约为米． 25. 先阅读下列一段文字，再回答问题． 已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，这两点的距离P1P2．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|． （1）已知点A(2，4)，B(﹣3，﹣8)，试求A，B两点间的距离； （2）已知点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为﹣1，A，B两点间的距离等于6．试求点A的纵坐标； （3）已知一个三角形各顶点的坐标分别为A(﹣3，﹣2)，B(3，6)，C(7，﹣2)，你能判断三角形ABC的形状吗？说明理由． 【答案】（1）13； （2）﹣7或5； （3）△ABC为等腰三角形，理由： ∵， ， ， ∴△ABC为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据两点间距离公式求解即可． （2）根据与y轴平行的线段的特点以及两点间距离公式求解即可． （3）根据两点间距离公式求该三角形的各边长，从而进行判断即可． 【详解】（1）∵点，， ∴； （2）∵点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为﹣1，A，B两点间的距离等于6， ∴点A的纵坐标为﹣1﹣6=﹣7或﹣1+6=5； （3）略 【点睛】本题考查了两点间的距离公式问题，掌握两点间距离公式、等腰三角形的性质是解题的关键． 26. （1）[基础巩固]如图①，在三角形纸片ABC中，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为______； （2）[思维提高]如图②，在三角形纸片ABC中，，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值； （3）[拓展延伸]如图③，在三角形纸片ABC中，，，，将沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点处，折痕为CM．求线段AC的长； 【答案】（1）AM＝BM （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可； （2）利用相似三角形的性质求出BM，AM即可； （3）证明△BCM∽△BAC，推出，由此即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图①中， ∵△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN， ∴MN垂直平分线段BC， ∴CN＝BN， ∵∠MNB＝∠ACB＝90°， ∴MN∥AC， ∵CN＝BN， ∴AM＝BM． 故答案为AM＝BM． 【小问2详解】 如图②中， ∵CA＝CB＝6， ∴∠A＝∠B， 由题意MN垂直平分线段BC， ∴BM＝CM， ∴∠B＝∠MCB， ∴∠BCM＝∠A， ∵∠B＝∠B， ∴△BCM∽△BAC， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 如图③中， 由折叠的性质可知，CB＝CB′＝6，∠BCM＝∠ACM， ∵∠ACB＝2∠A， ∴∠BCM＝∠A， ∵∠B＝∠B， ∴△BCM∽△BAC， ∴ ∴， ∴BM＝4， ∴AM＝CM＝5， ∴， ∴． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $