精品解析：河南省郑州市中原区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024—2025学年上学期学情调研 九年级数学试题卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，2025的相反数是（ ） A. B. C. 2025 D. 2. 人们出行方式越来越丰富，以下四组中，不相似的一组是（ ） A. B. C. D. 3. 在2024年巴黎奥运会上中国体育代表团取得了优异的成绩，奥运会的领奖台可以近似地看作如图所示的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 承包池塘的农民伯伯想知道自家池塘里有多少条鱼，决定通过捕鱼和标记来估计．第一次捕获了100条鱼，并对它们进行标记，然后，将这100条鱼放回了池塘．过了几天，等这些标记的鱼在池塘中均匀分布后，又捕获了200条鱼，发现其中有10条鱼是之前标记过的．请估计池塘里大概有（ ）条鱼 A 500 B. 1000 C. 2000 D. 3000 5. 如图，是的直径，是的弦，若，，则的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 3 6. 如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 11 7. 我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（ ） 20 22.5 25 26.25 27.5 28.78 30 0 31.25 75 101.5625 131.25 164.0625 200 A B. C. D. 8. 函数与（）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 一个几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ） A. B. C. D. 10. “烷烃”是一类重要的有机物，根据分子中碳原子个数不同，可命名为甲烷，乙烷，丙烷，……，如图所示，依此规律，我们可以推测出中的值是（ ） A. 24 B. 22 C. 20 D. 18 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若一元二次方程有实数根，则______．（写出一个即可） 12. 二次函数的图象经过点，，则______．（填“>”、“<”或“=”） 13. 昼漏听初发，阳光望渐分．某商店安装遮阳棚（如图①），侧面如图②所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角，某时刻的太阳光线与地面的夹角（如图③），则遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长约为______米． 14. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力与动力臂之间的函数关系式是______． 15. 已知正方形的边长为4，点为线段上的动点（不与点重合），点关于直线的对称点为点，连接，，，，当是以为腰的等腰三角形时，的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16 （1）计算：； （2）解方程： 17. 郑州植物园内有植物1500余种，是中原地区的“植物博物馆”．周末，小明的父母带他和妹妹去植物园写生，他们决定从银杏园、松柏园、腊梅园这三个园区中随机选择景点，假设选择每个园区的可能性相同． （1）若小明一家从三个园区中随机选择一个园区写生，则选中银杏园概率为______． （2）若小明和妹妹每人各从三个园区中随机选择一个园区写生，请用画树状图或列表的方法求小明和妹妹不在同一个园区写生的概率． 18. 月季花作为郑州的市花深受人们喜爱，坐落在中原区的月季公园有12万株不同品种的月季花，并兼种各色乔木、灌木和花草，共同构成繁花似锦的公园景观，每到月季花开，花香满溢，吸引着市民前往观赏．如图，数学兴趣小组想测量该公园一处亭子的高度，通过询问园丁，亭子最顶端是的木柱宝顶，从地面处测得塔顶的仰角，测得柱底的仰角，求这个亭子的高度．（参考数据：，，，，，） 19. 在中，的长为，边上的高为，的面积为2． （1）关于的函数关系式是______，的取值范围是______． （2）在平面直角坐标系中画出该函数图象． （3）直线与轴交于点，与（1）中的函数交于点．点是轴上的点，的面积等于面积的，求点的坐标． 20. 如图，中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的基础上，以点为圆心，长为半径画弧，交线段的垂直平分线于另一点，连接、、． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②延长到，使，连接交于点，请直接写出的值． 21. 为了解决初中生画图慢和画图不准的问题，老杨设计了初中专用套尺，申请了国家专利并投入生产使用．前年成本为10万元，今年成本达到了14万4千元． （1）如果平均每年成本的增长率相同，求这个增长率． （2）将生产出的初中专用套尺按18元/套的价格售卖时，一年可卖出7800套．市场调研发现，该套尺每涨价1元，销售量就会减少300套．今年售价定为多少元才能使销售额刚好为14万4千元． 22. 2024年5月7日11时21分，我国成功发射长征六号丙运载火箭，在技术上取得了突破，也为我国商业航天发射市场的发展注入了新的活力．在一次火箭竖直向上发射中，它的高度与时间的关系式为．经测量，发射时，火箭高度达到；发射时，火箭高度达到． （1）求与的函数关系式； （2）经过多长时间，火箭达到它的最高点？最高点的高度是多少？ （3）在火箭上升过程中，发射多长时间它离地面的高度是？ 23. 课本再现（北师大版九年级上册第29页~30页） 问题解决 你能通过剪切和拼接下列图形得到一个矩形吗？在这些剪拼的过程中，剪下的图形是经过怎样的运动最后拼接在一起的？ （1）平行四边形；（2）三角形；（3）菱形． 小涵所在的学习小组对课本上的这道题进行了分工合作，小涵的任务是把三角形纸片剪拼得到一个矩形． （1）动手操作 小涵任意剪了一个三角形纸片，他分别找到、边的中点、，连接．分别过点、作边的垂线、，垂足为、．再将和分别绕点、旋转，即可得到矩形（如图1）．则与的关系为：______． （2）探究发现 小涵在动手操作基础上发现，也可以过点作于点，再将和分别绕点、旋转，即可得到矩形（如图2）．小涵通过测量发现，，． ①求的面积； ②在绕点顺时针旋转的过程中，点的对应点为，若与一边平行时，请直接写出此时的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年上学期学情调研 九年级数学试题卷 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，2025的相反数是（ ） A. B. C. 2025 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的数互为相反数，进行作答即可． 【详解】解：2025的相反数是， 故选：A 2. 人们出行方式越来越丰富，以下四组中，不相似的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是相似图形的定义，解题关键是熟练掌握相似图形的定义． 结合相似图形的定义对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状不同，不符合相似定义，符合题意，选项正确． 故选：． 3. 在2024年巴黎奥运会上中国体育代表团取得了优异的成绩，奥运会的领奖台可以近似地看作如图所示的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据从上边看得到的图形是俯视图，即可得出答案． 【详解】解：奥运会的领奖台可以近似地看作如图所示的立体图形，它的俯视图是， 故选：． 4. 承包池塘的农民伯伯想知道自家池塘里有多少条鱼，决定通过捕鱼和标记来估计．第一次捕获了100条鱼，并对它们进行标记，然后，将这100条鱼放回了池塘．过了几天，等这些标记的鱼在池塘中均匀分布后，又捕获了200条鱼，发现其中有10条鱼是之前标记过的．请估计池塘里大概有（ ）条鱼 A. 500 B. 1000 C. 2000 D. 3000 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用样本估计总体，分式方程的应用，理解样本的百分比等于总体的百分比是解题关键．设池塘里大概有条鱼，根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设池塘里大概有条鱼， 由题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的解， 即池塘里大概有条鱼， 故选：C． 5. 如图，是的直径，是的弦，若，，则的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直径所对的圆周角为直角，以及直角三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质．根据直径所对的圆周角为直角，得到，进而推出，最后结合直角三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， ， 故选：D． 6. 如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的对角线互相平分是解题关键．由矩形的性质可得，，，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， ， 故选：A． 7. 我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（ ） 20 22.5 25 26.25 27.5 28.78 30 0 31.25 75 1015625 131.25 164.0625 200 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似根，根据，则，进行作答即可． 【详解】解：∵，且， ∴， 即在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是， 故选：C 8. 函数与（）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数性质判断出a取值，再根据反比例函数的性质判断出a的取值，二者一致的即为正确答案． 【详解】A．函数y=ax﹣1的图象应该交于y轴的负半轴，故错误； B．由函数y=ax﹣1图象可知a＞0，由函数y（a≠0）的图象可知a＜0，错误； C．函数y=ax﹣1的图象应该交于y轴的负半轴，故错误； D．由函数y=ax﹣1的图象可知a＞0，由函数y（a≠0）的图象可知a＞0，正确． 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 9. 一个几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，圆柱的体积，利用三视图还原几何体是解题关键．由三视图可知，几何体可以看成两部分，上部分是半圆柱，直径为，高为5，下部分是圆柱，直径为，高为，再根据圆柱的体积公式求解即可． 【详解】解：由三视图可知，几何体可以看成两部分，上部分是半圆柱，直径为，高为5，下部分是圆柱，直径为，高为， 则它的体积是， 故选：B． 10. “烷烃”是一类重要的有机物，根据分子中碳原子个数不同，可命名为甲烷，乙烷，丙烷，……，如图所示，依此规律，我们可以推测出中的值是（ ） A. 24 B. 22 C. 20 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现字母“”和“”个数变化的规律是解题的关键．先根据已知图形得出第个图形中字母“”的个数为，字母“”的个数为，然后将代入求出m的值即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图形中字母“”的个数为：1，字母“”的个数为：； 第2个图形中字母“”的个数为：2，字母“”的个数为：； 第3个图形中字母“”的个数为：3，字母“”的个数为：； ， ∴第个图形中字母“”的个数为，字母“”的个数为， 当时，（个， 即中的值是． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若一元二次方程有实数根，则______．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，依题意得，把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得， 依题意，得， 故答案为：0（答案不唯一）． 12. 二次函数图象经过点，，则______．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，把把，分别代入，进行计算，得，即可作答． 【详解】解：依题意，把，分别代入， 得， ∵， ∴， 故答案为：>． 13. 昼漏听初发，阳光望渐分．某商店安装遮阳棚（如图①），侧面如图②所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角，某时刻的太阳光线与地面的夹角（如图③），则遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长约为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数是解题关键．过点作，过点作，则四边形和四边形是矩形，在中，利用锐角三角函数求出，，进而得出，再在中，利用锐角三角函数求出，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作，过点作， 则四边形和四边形是矩形， ，，， 在中，，， ，， ，， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 14. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力与动力臂之间的函数关系式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出动力F关于动力臂l的函数关系式，从而确定其图象即可． 【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，阻力和阻力臂分别为和， ∴动力F和动力臂l之间的函数解析式为， 则， ∴这一杠杆的动力与动力臂之间的函数关系式是， 故答案为：． 15. 已知正方形的边长为4，点为线段上的动点（不与点重合），点关于直线的对称点为点，连接，，，，当是以为腰的等腰三角形时，的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】当△是以为腰的等腰三角形时，有以下两种情况：①当时，过点作于点，的延长线交于点，则四边形是矩形，进而得，△是等边三角形，则，，在四边形中，，，则进而得，则；②当时，过点作，的延长线交于点，则是正方形的一条对称轴，进而得，则△是等边三角形，然后在中可求出，综上所述即可得出的值． 【详解】解：四边形是正方形，且边长为4， ，， 根据轴对称的性质得：，，，， 当是以为腰的等腰三角形时，有以下两种情况： ①当时，过点作于点，的延长线交于点，如图1所示： ， 四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在四边形中，，， ， ， 在中，， ； ②当时，过点作，的延长线交于点，如图2所示： ， 是的垂直平分线， 所在直线是正方形的一条对称轴， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， ． 综上所述：当是以为腰的等腰三角形时，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，有理数的乘方，二次根式的性质，因式分解法解一元二次方程，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据特殊角的三角函数值，有理数的乘方，二次根式的性质化简各项，再结合实数的混合运算顺序计算，即可解题； （2）利用因式分解法求解，即可解题． 【详解】解：（1） ； （2） 则或， 解得，． 17. 郑州植物园内有植物1500余种，是中原地区的“植物博物馆”．周末，小明的父母带他和妹妹去植物园写生，他们决定从银杏园、松柏园、腊梅园这三个园区中随机选择景点，假设选择每个园区的可能性相同． （1）若小明一家从三个园区中随机选择一个园区写生，则选中银杏园的概率为______． （2）若小明和妹妹每人各从三个园区中随机选择一个园区写生，请用画树状图或列表的方法求小明和妹妹不在同一个园区写生的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，列表法或画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）根据题意列表，得到所有等可能的情况和不在同一个园区写生的情况，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，一共由有3个园区，选择每个园区的可能性相同， 则选中银杏园的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：银杏园、松柏园、腊梅园分别即， 列表如下： 由表格可知，共有种等可能的情况，其中小明和妹妹不在同一个园区写生的情况有6种， 小明和妹妹不在同一个园区写生的概率为． 18. 月季花作为郑州的市花深受人们喜爱，坐落在中原区的月季公园有12万株不同品种的月季花，并兼种各色乔木、灌木和花草，共同构成繁花似锦的公园景观，每到月季花开，花香满溢，吸引着市民前往观赏．如图，数学兴趣小组想测量该公园一处亭子的高度，通过询问园丁，亭子最顶端是的木柱宝顶，从地面处测得塔顶的仰角，测得柱底的仰角，求这个亭子的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】这个亭子的高度为． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，先分别表示出，，结合，代入数值得，解得，即可作答． 【详解】解：依题意，， 设， 在中， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 则这个亭子的高度为． 19. 在中，的长为，边上的高为，的面积为2． （1）关于的函数关系式是______，的取值范围是______． （2）在平面直角坐标系中画出该函数图象． （3）直线与轴交于点，与（1）中的函数交于点．点是轴上的点，的面积等于面积的，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，掌握反比例函数的图象和性质是解题关键． （1）根据三角形的面积公式求解即可； （2）利用列表描点法画出函数图象即可； （3）先求出、的坐标，进而得到，设，再根据的面积等于面积的列方程求解即可． 【小问1详解】 解：在中，的长为，边上的高为，的面积为2， 则， 关于的函数关系式是，的取值范围是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 列表如下： 描点连线，函数图象如下： 【小问3详解】 解：令，则， 则， 联立，解得：，（舍）， ， ， 点是轴上的点， 设，则， 的面积等于面积的， ， ， ， 点的坐标为或． 20. 如图，中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的基础上，以点为圆心，长为半径画弧，交线段的垂直平分线于另一点，连接、、． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②延长到，使，连接交于点，请直接写出的值． 【答案】（1）见详解 （2）①四边形是菱形，理由见详解；②． 【解析】 【分析】（1）根据作线段的垂直平分线的作法作图，即可作答． （2）①根据垂直平分线的性质得，结合，则，即可作答． ②结合菱形的性质得，得，则，因为，则，即，进行作答． 【小问1详解】 解：作线段的垂直平分线，交于点，如图所示： 【小问2详解】 解：①四边形如图所示， 则四边形是菱形，理由如下： ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； ②依题意，∵四边形是菱形； ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 为了解决初中生画图慢和画图不准的问题，老杨设计了初中专用套尺，申请了国家专利并投入生产使用．前年成本为10万元，今年成本达到了14万4千元． （1）如果平均每年成本的增长率相同，求这个增长率． （2）将生产出的初中专用套尺按18元/套的价格售卖时，一年可卖出7800套．市场调研发现，该套尺每涨价1元，销售量就会减少300套．今年售价定为多少元才能使销售额刚好为14万4千元． 【答案】（1） （2）元或元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，设平均每年成本的增长率为，根据前年成本为10万元，今年成本达到了14万4千元，列式，再解出的值，即可作答． （2）根据将生产出的初中专用套尺按18元/套的价格售卖时，一年可卖出7800套．市场调研发现，该套尺每涨价1元，销售量就会减少300套，列式，再解出的值，即可作答． 【小问1详解】 解：设平均每年成本的增长率为， 依题意，得， 解得（负值已舍去）， ∴平均每年成本的增长率为， 【小问2详解】 解：设该套尺每涨价元， 依题意，得， 解得或； ∴（元）或（元）， ∴今年售价定为元或元才能使销售额刚好为14万4千元． 22. 2024年5月7日11时21分，我国成功发射长征六号丙运载火箭，在技术上取得了突破，也为我国商业航天发射市场的发展注入了新的活力．在一次火箭竖直向上发射中，它的高度与时间的关系式为．经测量，发射时，火箭高度达到；发射时，火箭高度达到． （1）求与的函数关系式； （2）经过多长时间，火箭达到它的最高点？最高点的高度是多少？ （3）在火箭上升过程中，发射多长时间它离地面的高度是？ 【答案】（1） （2）经过，火箭达到它的最高点，最高点的高度是 （3）在火箭上升过程中，发射它离地面的高度是 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式；熟练掌握二次函数的图像和性质，根据题意建立二次函数模型是解题的关键； （1）把代入即可求出解析式； （2）先化为顶点式，根据二次函数的图像和性质即可解得； （3）令，解一元二次方程即可得解． 【小问1详解】 解：由题意，把代入得， ， 解得：， 与的函数关系式； 【小问2详解】 解：， ， 经过，火箭达到它的最高点，最高点的高度是； 【小问3详解】 解： ， 解得：， 火箭上升过程， ， 在火箭上升过程中，发射它离地面的高度是． 23. 课本再现（北师大版九年级上册第29页~30页） 问题解决 你能通过剪切和拼接下列图形得到一个矩形吗？在这些剪拼的过程中，剪下的图形是经过怎样的运动最后拼接在一起的？ （1）平行四边形；（2）三角形；（3）菱形． 小涵所在的学习小组对课本上的这道题进行了分工合作，小涵的任务是把三角形纸片剪拼得到一个矩形． （1）动手操作 小涵任意剪了一个三角形纸片，他分别找到、边的中点、，连接．分别过点、作边的垂线、，垂足为、．再将和分别绕点、旋转，即可得到矩形（如图1）．则与的关系为：______． （2）探究发现 小涵在动手操作的基础上发现，也可以过点作于点，再将和分别绕点、旋转，即可得到矩形（如图2）．小涵通过测量发现，，． ①求的面积； ②在绕点顺时针旋转的过程中，点的对应点为，若与一边平行时，请直接写出此时的长度． 【答案】（1）平行于且 （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理求解，即可解题； （2）①根据题意设，则，利用勾股定理建立方程求出，，进而得到，，再根据三角形面积公式求解，即可解题； ②根据与一边平行分情况讨论当时，当时，结合平行线性质，旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理进行求解，即可解题． 【小问1详解】 解：、边的中为点、， 与的位置关系为平行，数量关系为， 平行于且等于的一半， 故答案为：平行于且． 【小问2详解】 解：（2）①，． 设，则， ， ， ， 解得， ，， 、边的中为点、， ，， 的面积为； ②、、在同一直线上， 与不平行； 旋转过程中，记的对应点为， 当时， 四边形为矩形， ， ， ，的面积为， ， ， ， ， ， 由旋转的性质可知，，， ， ； 当时，作于点， ， ， ， 由旋转的性质可知，，，，， ， ， 四边形为矩形； ，， ， ； 综上所述，的长度为或． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行线性质，旋转的性质，矩形的判定与性质，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$