精品解析：山东省聊城市高唐县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024—2025学年第一学期期末学业水平检测 九年级数学试题 说明： 1．考试时间为120分钟，满分120分． 2．答卷前，考生必须将自己的姓名、准考证号、学校按要求填写在答卷密封线左边的空格内． 3．答题可用黑色或蓝色字迹的钢笔或签字笔按要求答在答卷上，但不能用铅笔或红笔． 4．答案写在试画上无效， 5．一律不允许使用科学计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 2. 如图，在中，，，，下列锐角三角比表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中．，．垂足为点，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，点D在边上，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E是的中点．连接并延长交于点F，已知，则的面积是（ ） A. 12 B. 16 C. 36 D. 64 6. 在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数在第四象限交于点C，若，则k的值是（ ） A. 4 B. C. 8 D. 7. 在方格图中，以格点为顶点三角形叫格点三角形，在如图所示的平面直角坐标系中，格点，成位似关系，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内切圆O与三边分别切于点D，E，F，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 葡萄中含有多种维生素，可以帮助抗氧化，保护细胞不受自由基的侵害，延缓衰老，增强免疫力，保护心脏健康，深受消费者喜爱，某超市以每千克9元的价格购进一批葡萄，然后以每千克12元的价格出售，一天可售出100千克，通过调查发现，每千克的售价每降低0.1元，一天可多出20千克，要想一天盈利500元，若设超市需要将每千克的售价降低x元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，，，．点E由B出发，沿折线向D运动，，垂足为M，，垂足为N，设，矩形的面积为y，那么y与x间的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分、满分18分，只要求填写最后的结果） 11. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+2=0有实数根，则k的取值范围是______． 12. 如图，点是上一点，，则的度数为______． 13. 二次函数的图象如图所示．请根据图象求出k的取值范围______． 14. 如图，点O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B和点是函数在第二象限内图象上的点，过点F分别向x，y轴作垂线，垂足分别是D，E，正方形的面积为4，若矩形的面积为1，则点F的坐标是______． 15. 关于的一元二次方程，如果方程的两个实数根为，，且，则k的值为______． 16. 如图，为直径，C是圆上一点，D为弧的中点，弦．垂足为点F，，．下列说法正确的是______． ①；②，③若为的角平分线，则，④ 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 17 计算或解方程： （1）； （2）． 18. 在矩形中，，，是边上异于，的一个动点，设，点到的距离为． （1）求与的函数表达式，并求出自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中，为坐标原点，若直线与（1）中所求出函数交点分别为．求三角形的面积． 19. 在可持续发展的道路上，绿色转型已成为一个重要的话题，绿色转型不仅是一种环保理念，更是一种经济发展方式，新能源汽车在践行绿色低碳循环理念推动高质量发展中发挥重要作用．近年来，随国家政策扶持，新能源车的销量逐年增加，据统计，2022年新能源汽车全国销量为578万辆，2024年新能源汽车全国销量达到832.32万辆． （1）求2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率； （2）若增长率保持不变，请估计到2025年全国新能源汽车销量是多少？ 20. 如图，在中，，以点A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上，点F在上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识测量城运河某河段的宽度，如图所示，为水面，他们在河岸一侧的一个栏杆上放飞一只无人机，无人机在河上方距水面米的点处测得正对岸处的俯角为，测得栏杆顶端处的俯角为，经测量栏杆高度为米（图中在同一平面内），求运河的宽度即的长度．（参考数据：，，，，结果精确到米） 22. 在中，，以为直径作交于点，过点作垂直．垂足为，延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的直径的长． 23. 在平面直角坐标系中，已知二次函数． （1）若对称轴为直线，与y轴交于点． ①求抛物线的顶点坐标． ②当时，求y的取值范围． （2）若，当时，的最大值与最小值的差为，求b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期期末学业水平检测 九年级数学试题 说明： 1．考试时间为120分钟，满分120分． 2．答卷前，考生必须将自己的姓名、准考证号、学校按要求填写在答卷密封线左边的空格内． 3．答题可用黑色或蓝色字迹的钢笔或签字笔按要求答在答卷上，但不能用铅笔或红笔． 4．答案写在试画上无效， 5．一律不允许使用科学计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式、分式由意义的条件，不等式的性质，函数自变量的取值，掌握自变量的取值方法是解题的关键． 根据二次根式，分式由意义的条件得到，由此即可求解． 【详解】解：函数中，， ∴， 解得，， 故选：C ． 2. 如图，在中，，，，下列锐角三角比表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的计算，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 先运用勾股定理得到，再根据锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴，故A选项错误，不符合题意； ，故B选项正确，符合题意； ，故C选项错误，不符合题意； ，故D选项错误，不符合题意； 故选：B ． 3. 如图，在中．，．垂足为点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形两锐角互余，掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理得到，由垂直得到，根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：在中．，所对的圆心角为，所对的圆周角为， ∴， ∵， ∴， 在中，， 故选：D ． 4. 如图，在中，点D在边上，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由已知可证明，进而利用相似三角形的性质可得的长． 【详解】解：，， ， ，即， 解得：， 故选：A． 5. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E是的中点．连接并延长交于点F，已知，则的面积是（ ） A. 12 B. 16 C. 36 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，得到，根据点E是的中点，得到，利用相似三角形性质计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数在第四象限交于点C，若，则k的值是（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，本题的突破点是求出点C的坐标．过点C作轴，垂足为H，证明，再求出点C坐标即可解决问题． 【详解】解：如图，过点C作轴，垂足为H， ∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴将代入，得， 将代入，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵点C第一象限， ∴， ∵点C在上， ∴． 故选：B． 7. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫格点三角形，在如图所示的平面直角坐标系中，格点，成位似关系，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键．根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解． 【详解】解：由图得：， 设直线的解析式为：，将点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 所在直线与所在直线x轴的交点坐标即为位似中心， ∴当时，， ∴位似中心的坐标为， 故选：A． 8. 在中，内切圆O与三边分别切于点D，E，F，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，先根据切线的性质和四边形内角和定理求出，再由同圆中同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵内切圆与，分别切于，， ∴， ∵， ∴， ∵点D在圆O上， ∴， 故选：C． 9. 葡萄中含有多种维生素，可以帮助抗氧化，保护细胞不受自由基的侵害，延缓衰老，增强免疫力，保护心脏健康，深受消费者喜爱，某超市以每千克9元的价格购进一批葡萄，然后以每千克12元的价格出售，一天可售出100千克，通过调查发现，每千克的售价每降低0.1元，一天可多出20千克，要想一天盈利500元，若设超市需要将每千克的售价降低x元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用总利润=每千克的销售利润×一天的销售量，可得出关于x的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：若设超市需要将每千克的售价降低x元，则可列方程为， 故选：D 10. 如图，在四边形中，，，，．点E由B出发，沿折线向D运动，，垂足为M，，垂足为N，设，矩形的面积为y，那么y与x间的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数和二次函数的应用，结合实际问题与图象解决问题．分两种情况：点E在未到达C之前或点E到达C之后，利用面积列出二次函数和一次函数解析式，利用面积的变化选择答案． 【详解】解：当点E在未到达C之前， 作于点H， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 点E在未到达C之前，， ，，， ， ， 且，当x从0变化到3时，y逐渐变大，当时，y有最大值，当时，y逐渐变小； 当点E到达C之后，如下图： ， ， 综上所述，y与x间的函数关系的图象符合的只有A， 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分、满分18分，只要求填写最后的结果） 11. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+2=0有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】k≤3且k≠1##k≠1且k≤3 【解析】 【分析】由二次项系数非零及根的判别式Δ=b2-4ac≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k-1）x2+4x+2=0有实数根， ∴k-10且Δ=42-4（k-1）×2≥0， 解得：k≤3且k≠1． 故答案为：k≤3且k≠1． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式Δ=b2-4ac≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 12. 如图，点是上一点，，则的度数为______． 【答案】##140度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，熟知同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形对角互补是解题的关键．根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出，再根据圆内接四边形对角互补即可求解． 【详解】解：， ， 四边形是的内接四边形， ， 故答案为：． 13. 二次函数的图象如图所示．请根据图象求出k的取值范围______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图像与性质，根据图象与y轴交点在原点上方、图像与x轴有两个交点及对称轴在y轴右侧计算取值范围即可． 【详解】解：由题意得：当时，，则， 抛物线与x轴有两个交点， ， 解得：， 抛物线对称轴在y轴右侧， ， 解得：， 且， 故答案为：且． 14. 如图，点O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B和点是函数在第二象限内图象上的点，过点F分别向x，y轴作垂线，垂足分别是D，E，正方形的面积为4，若矩形的面积为1，则点F的坐标是______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求反比例函数的表达式及反比例函数性质，先求出，进而求出函数表达式，再根据题意把代入求出结论． 【详解】解： ∵正方形的面积为4， ∴， ， 把代入， ， 反比例函数表达式为， 矩形的面积为1， ， 把代入， ， ∴点F的坐标是． 故答案为：． 15. 关于的一元二次方程，如果方程的两个实数根为，，且，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式的意义；根据根与系数的关系得出，，代入求出，根据判别式检验，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为， ∴，，且， ∵， 即有， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，（不合题意舍去）， ∴， 故答案：． 16. 如图，为的直径，C是圆上一点，D为弧的中点，弦．垂足为点F，，．下列说法正确的是______． ①；②，③若为的角平分线，则，④ 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理及推论、垂径定理及勾股定理等知识，牢记相关图形性质是解题关键，根据直径所对的圆周角是直角判定①；根据垂径定理判定②；根据圆周角定理及推论及勾股定理判定③，根据同弧所对的圆周角相等判定④，即可判断结论． 【详解】解：为的直径， ，故①正确； ， ， 为弧的中点， ， ， ， ，故②正确； 为的直径，，， ， ， 为的角平分线， ， 连接， ， ，故③正确； ， ，故④错误； 说法正确的是①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算或解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，解一元二次方程——配方法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程——配方法，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ． 18. 在矩形中，，，是边上异于，的一个动点，设，点到的距离为． （1）求与的函数表达式，并求出自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中，为坐标原点，若直线与（1）中所求出的函数交点分别为．求三角形的面积． 【答案】（1）与的函数表达式为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数的运用，掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数与几何图形面积的综合是解题的关键． （1）过点作于点，则，连接，由勾股定理得到，根据题意可证，得到，即，即可求解； （2）如图所示，直线与交点分别为，当时，，则，联立方程组得到点的坐标，数学结合得到，，由即可求解． 【小问1详解】 解：点到的距离为， ∴过点作于点，则，连接， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∵是边上异于，的一个动点， ∴， ∴与的函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图所示，直线与交点分别为， 在直线中，设直线与轴交于点，当时，，则， ∴ 联立方程组得， 解得，或， ∴，， ∴，， ∴三角形的面积． 19. 在可持续发展的道路上，绿色转型已成为一个重要的话题，绿色转型不仅是一种环保理念，更是一种经济发展方式，新能源汽车在践行绿色低碳循环理念推动高质量发展中发挥重要作用．近年来，随国家政策扶持，新能源车的销量逐年增加，据统计，2022年新能源汽车全国销量为578万辆，2024年新能源汽车全国销量达到832.32万辆． （1）求2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率； （2）若增长率保持不变，请估计到2025年全国新能源汽车的销量是多少？ 【答案】（1）2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率为 （2）估计到2025年全国新能源汽车的销量万辆 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x， 2024年新能源汽车年销售量为万辆，据此列出方程并解方程即可解决． （2）根据（1）中所求增长率计算求出即可． 【小问1详解】 解：设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，由题意得， ， 解得：（不合题意舍去） 答：2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率为． 【小问2详解】 解：若增长率保持不变为，估计到2025年全国新能源汽车的销量万辆， 答：估计到2025年全国新能源汽车销量万辆． 20. 如图，在中，，以点A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上，点F在上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质； （1）利用两角分别相等的两个三角形相似可证明出结论； （2）利用，求出，再证，可求，进而解答即可． 【小问1详解】 证明：，， ， ∵是等腰直角三角形， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 由（1）知， ， ∵是等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵是等腰直角三角形， ， ， 又， ∴， ，即， ， ， （负值已舍）， ． 21. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识测量城运河某河段的宽度，如图所示，为水面，他们在河岸一侧的一个栏杆上放飞一只无人机，无人机在河上方距水面米的点处测得正对岸处的俯角为，测得栏杆顶端处的俯角为，经测量栏杆高度为米（图中在同一平面内），求运河的宽度即的长度．（参考数据：，，，，结果精确到米） 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，矩形的判定与性质，掌握解直角三角形的计算是解题的关键． 如图所示，延长垂直于点所在的水平直线，垂足为点，则四边形是矩形，则，在中由得到（米），在中由得到（米），则（米），由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长垂直于点所在水平直线，垂足为点， ∵， ∴四边形是矩形，则， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， 在中，（米），， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）； 答：河宽的长度为97米． 22. 在中，，以为直径作交于点，过点作垂直．垂足为，延长交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的直径的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由得，由得，则，所以，再结合得，所以，即可得证； （2）设的半径长为，在中，由勾股定理得，证明得，即，解出，即可求出的直径的长． 【小问1详解】 解：连接， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 又为半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：设的半径长为， 在中，由勾股定理得：，，， 即， ， ，， ， ， 即， 解得：， ， 的直径的长为． 【点睛】本题考查了等边对等角、平行线的判定与性质、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，已知二次函数． （1）若对称轴为直线，与y轴交于点． ①求抛物线的顶点坐标． ②当时，求y的取值范围． （2）若，当时，的最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】（1）①② （2）b的值为或 【解析】 【分析】（1）①根据已知条件用待定系数法求出表达式并求出顶点坐标；②根据二次函数性质求出在自变量相应的范围内函数值的范围即可； （2）根据题意分类讨论对称轴的位置，从而得出的最大值与最小值，即可求出结论． 【小问1详解】 解：二次函数，对称轴直线，与y轴交于点， ， ， 二次函数表达式为， ①， 抛物线的顶点坐标是； ②， 当时，y取最小值为， 当时，； 当时，； 当时，； 【小问2详解】 解：由题意得：二次函数对称轴为直线， 二次函数图像开口向上， 当时，y随x增大而减小；当时，y随x增大而增大， ， 对称轴， 当对称轴，即时， 当时，y随x增大而减小， 当时，y取最大值为； 当时，y取最小值为； 当时，的最大值与最小值的差为， ， 解得：（不合题意舍去）； 当对称轴，即时， 当时，y最小值为， 当时，； 当时，； ①当时，y最大值为时， ， ， ， 当时，的最大值与最小值的差为， ， 解得：（不合题意舍去）； ②当时，y最大值为时， ， ， ， 当时，的最大值与最小值的差为， ， 解得：或（不合题意舍去）； 综上所述，b的值为或． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质、一元二次方程根与系数关系、不等式性质、二次函数的最值问题，解题的关键在于熟练掌握二次函数图像与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$