精品解析：山东省齐河县马集乡中学2024-2025学年下学期九年级开学检测数学试题

九年级开学数学试卷 本试卷考试时间：120分钟；分值150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每题4分，共48分) 1. 若，是关于的一元二次方程的两实根，且，则等于（　　） A. B. C. 2 D. 3 2. 如图所示，在直角平面坐标系中，点为反比例函数上不同的三点，连接，过点作轴于点，过点分别作垂直轴于点，与相交于点，记、、四边形的面积分别为、、，则（　　） A. B. C. D. 3. 慧慧将方程2x2+4x﹣7＝0通过配方转化为（x+n）2＝p的形式，则p的值为（　　） A. 7 B. 8 C. 3.5 D. 4.5 4. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A. k<5 B. k<5，且k≠1 C. k≤5，且k≠1 D. k>5 5. 如图，已知的面积是12，，点，分别在边，上，在边上依次作了个全等的小正方形，，，，，则每个小正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中正确的有（ ） ①平分弦的直径垂直于这条弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③相等的弧所对的弦相等；④相等的弦所对的圆心角相等；⑤弦心距相等，则所对的弦相等；⑥直径所对的圆周角为直角． A. 1个 B. 2个 C. 5个 D. 6个 8. 一直角三角形的斜边长为c，其内切圆半径是r，则三角形面积与其内切圆的面积之比是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的不等式组 有解，且关于x的分式方程–1=的解为整数，则满足条件的整数a的值的和是（ ） A. –6 B. –1 C. –3 D. –4 10. 如图，△的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 若二次函数y＝（x﹣3）2+2m，在自变量x满足m≤x≤m+2的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（　　） A. ﹣2或2 B. ﹣2或 C. 2或 D. ﹣2或2或 12. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②a+c﹣b＞0；③3a+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F．若BG：GA=3：1，BC=10，则AE的长为___________． 14. 轮船从处以每小时海里的速度沿南偏东方向匀速航行，在处观测灯塔位于南偏东方向上，轮船航行半小时到达处，在观测灯塔北偏东方向上，则处与灯塔的距离是_______海里． 15. 已知反比例函数的图象与正比例函数y＝k2x的图象的一个交点坐标为（﹣3，4），则另一个交点坐标为______． 16. 已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则当时，的取值范围是______． 17. 已知，都在反比例函数的图象上，若，则的值为______. 18. 如图，点C，D在双曲线上，点A，B在x轴上，且，，，__. 三、解答题（共78分） 19. 解方程 （1）x2﹣6x＋1＝0； （2）x（2﹣3x）＋（3x﹣2）＝0 20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣mx＋2m﹣4＝0． （1）求证：该一元二次方程总有两个实数根； （2）若该方程一个小于5的根，另一个根大于5，求m的取值范围； （3）若x1，x2为方程的两个根，且n＝x12＋x22﹣8，试判断动点P（m，n）所形成的图象是否经过定点（﹣3，21），并说明理由． 21. 某汽车销售公司4月份销售某厂家的汽车，在一定范围内每部汽车的进价与销售量有如下关系；若当月仅售出1辆汽车，则该部汽车的进价为25万元，每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.2万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.6万元；销售量在10辆以上，每辆返利1.2万元． （1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为________万元； （2）若该公司当月售出5辆汽车，且每辆汽车售价为元，则该销售公司该月盈利________万元（用含的代数式表示）． （3）如果汽车的售价为25.6万元/辆，该公司计划当月盈利16.8万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利销售利润+返利） 22. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求： （1）当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ （2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式． （3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 23. 金秋十月，梁子湖区成功获评“国家生态文明建设示范区”，以生态环境保护与绿色经济共赢的特色吸引各地游客纷纷前来观光. 梁湖超市销售一批成本为20元/千克的绿色健康食品，深受游客青睐. 经市场调查发现，该食品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该食品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式； （2）若超市按售价不低于成本价，且不高于40元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该食品每天获得的利润W（元）最大？最大利润是多少？ （3）若超市要使每天销售该食品获得的利润不低于2 400元，则每天的销售量最少应为多少千克？ 24. 已知二次函数y＝-x2＋bx＋c的图象与直线y＝x＋3相交于点A和点B，点A在x轴上，点B在y轴上．抛物线的顶点为P． （1）求这个二次函数的解析式； （2）现将抛物线向右平移m个单位，当抛物线与△ABP有且只有一个公共点时，求m的值； （3）在直线AB下方的抛物线上是否存在点Q，使得S△ABQ＝2S△ABP若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 25. 已知一次函数和反比例函数． （1）如图1，若，且函数的图象都经过点 ①求m，k的值； ②直接写出当时x的范围； （2）如图2，过点作y轴的平行线l与函数为的图象相交于点B，与反比例函数的图象相交于点C， ①若．直线l与函数的图象相交点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求的值： ②过点B作x轴的平行线与函数的图象相交于点E．当的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级开学数学试卷 本试卷考试时间：120分钟；分值150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每题4分，共48分) 1. 若，是关于的一元二次方程的两实根，且，则等于（　　） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到，，再化简，代入即可求解； 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两实根， ∴，， ∵， ∴； 故选B. 【点睛】本题考查一元二次方程；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键. 2. 如图所示，在直角平面坐标系中，点为反比例函数上不同的三点，连接，过点作轴于点，过点分别作垂直轴于点，与相交于点，记、、四边形的面积分别为、、，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义得到，即可得到结论． 【详解】解：∵点为反比例函数上不同的三点， 轴， 垂直轴于点， ∴， ∵， ∴，（故B正确、故A.C错误） ∵ ∴，即D错误. 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的性质，正确的识别图形是解题的关键． 3. 慧慧将方程2x2+4x﹣7＝0通过配方转化为（x+n）2＝p的形式，则p的值为（　　） A. 7 B. 8 C. 3.5 D. 4.5 【答案】D 【解析】 【分析】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：∵2x2+4x-7=0， ∴2x2+4x=7， ∴x2+2x=， ∴x2+2x+1=+1， ∴（x+1）2=， 则p==4.5， 故选：D． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 4. 若关于x的一元二次方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A. k<5 B. k<5，且k≠1 C. k≤5，且k≠1 D. k>5 【答案】B 【解析】 【详解】∵关于x的一元二次方程方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：k＜5且k≠1． 故选：B． 5. 如图，已知的面积是12，，点，分别在边，上，在边上依次作了个全等的小正方形，，，，，则每个小正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设正方形的边长为x，根据正方形的性质以及相似三角形性质先求出相应情况下的正方形边长，然后进一步寻求规律即可. 【详解】 当作了1个正方形时，如图所示， 过A作AM⊥BC，垂足为M，交GH于N， ∴∠AMC=90°， ∵四边形EFGH为正方形， ∴GH∥BC，GH=GF，GF⊥BC， ∴∠AGH=∠B，∠ANH=∠AMC=90°， ∵∠GAH=∠BAC， ∴△AGH~△ABC， ∴AN:AM=GH:BC， ∵△ABC面积为12，BC为6， ∴， ∴AM=4， 设GH=， ∵GF=NM=GH， ∴AN=AM−NM=AM−GH=， ∴， ∴， 同理，当时，根据正方形性质可得：DN=2DE， ∴， ∴， 以此类推，当为第n个正方形时，每个小正方形边长为：， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了正方形性质以及相似三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 6. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．按照“左加右减，上加下减”的规律即可求得． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位， 得到的抛物线是，即． 故选：D 7. 下列命题中正确的有（ ） ①平分弦的直径垂直于这条弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③相等的弧所对的弦相等；④相等的弦所对的圆心角相等；⑤弦心距相等，则所对的弦相等；⑥直径所对的圆周角为直角． A. 1个 B. 2个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂径定理的推论、圆心角、弧、弦之间的关系、圆周角定理逐个判断即可． 【详解】解：①平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，错误； ②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，错误； ③相等的弧所对的弦相等，正确； ④在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，错误； ⑤在同圆或等圆中，弦心距相等，则所对的弦相等，错误； ⑥直径所对的圆周角为直角，正确， 综上，命题中正确的有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查垂径定理的推论、圆心角、弧、弦之间的关系、圆周角定理，对基本概念定理的理解是解答的关键． 8. 一直角三角形的斜边长为c，其内切圆半径是r，则三角形面积与其内切圆的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先画出示意图，然后连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，b，则直角三角形的面积是，再根据正方形的判定与性质以及切线长定理可得，由此可得直角三角形的面积是，最后再结合内切圆的面积是即可求得答案． 【详解】解：如图，在中，∠C＝90°，AB＝c，⊙O为的内切圆，切点分别为点D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF， 设直角三角形的两条直角边分别为，， ∵⊙O为的内切圆，切点分别为点D、E、F， ∴ ∴ ， ∵ ∴四边形ODCE为正方形， ∴， ∴，， ∵⊙O为的内切圆，切点分别为点D、E、F， ∴ ∵， ∴， ， ∴， 又， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆，正方形的判定与性质，熟练掌握切线的性质以及切线长定理是解决本题的关键． 9. 若关于x的不等式组 有解，且关于x的分式方程–1=的解为整数，则满足条件的整数a的值的和是（ ） A. –6 B. –1 C. –3 D. –4 【答案】B 【解析】 【详解】不等式组整理得：，由不等式组有解，得到a+2≤x≤2a+5，则由a+2≤2a+5，解得:a≥–3．–1=，分式方程去分母得：ax–x+2=–3x，解得:x=，∵关于x的分式方程–1=的解为整数，且–2≠0，解得:a≠–3，当a=–1时，x=–2；a=0时，x=–1；则满足题意的整数a的值的和是–1+0=–1．故选B． 10. 如图，△的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了网络作图．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，正弦定义，是解题的关键 ．取点D，连接，根据，得，得是直角三角形，，即得． 【详解】解：取点D连接， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：B． 11. 若二次函数y＝（x﹣3）2+2m，在自变量x满足m≤x≤m+2的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（　　） A. ﹣2或2 B. ﹣2或 C. 2或 D. ﹣2或2或 【答案】B 【解析】 【分析】分三种情况讨论列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：∵二次函数y＝（x−3）2＋2m， ∴图象开口向上，对称轴为直线x＝3， ①当3＜m时， 在自变量x的值满足m≤x≤m＋2的情况下，y随x的增大而增大， ∴当x＝m时，y＝（m−3）2＋2m＝m2−4m＋9为最小值， ∵m2−4m＋9＝5， 解得m＝2，不合题意； ②当m≤3≤m＋2时， ∴x＝3，y＝（x−3）2＋2m＝2m为最小值， ∴2m＝5，解得，m＝； ③当3＞m＋2，即m＜1， 在自变量x的值满足m≤x≤m＋2的情况下，y随x的增大而减小， 故当x＝m＋2时，y＝（m＋2−3）2＋2m＝m2＋1为最小值， ∴m2＋1＝5．解得，m1＝2（舍去），m2＝−2； 综上，m的值为或−2． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 12. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②a+c﹣b＞0；③3a+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线开口方向得到，对称轴在轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴正半轴相交，得到，即可判断①；根据当x=-1时，y大于0即可判断②；根据抛物线对称轴为直线x=1即可得到代入中得，即可判断③；由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴ ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②当时，， ∴，故②正确 把代入中得，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向上 ∴时，函数的最小值为， ∴， 即，故④正确． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F．若BG：GA=3：1，BC=10，则AE的长为___________． 【答案】5 【解析】 【详解】解：∵AE∥BC ∴△AEG∽△BFG ∴BG：GA=3：1=BF：AE ∵D为AC边上的中点 ∴AE：CF=1：1 ∴AE=CF ∴BF：AE=（CF+BC）：AE=3：1 ∴（AE+10）：AE=3：1 解得：AE=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质．本题主要利用三角形的相似及中点的性质求AE的值． 14. 轮船从处以每小时海里的速度沿南偏东方向匀速航行，在处观测灯塔位于南偏东方向上，轮船航行半小时到达处，在观测灯塔北偏东方向上，则处与灯塔的距离是_______海里． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查方位角，等腰三角形的性质与判定；根据题中所给信息，求出，再求出，从而得到为等腰直角三角形，然后根据等腰三角形的性质即可求解． 【分析】根据题意，得， ， ， ， 为等腰直角三角形， 海里， 海里． 故答案为：． 15. 已知反比例函数的图象与正比例函数y＝k2x的图象的一个交点坐标为（﹣3，4），则另一个交点坐标为______． 【答案】（3，﹣4） 【解析】 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数y＝k2x的图象的一个交点坐标为（﹣3，4）， ∴另一个交点的坐标是（3，﹣4）． 故答案为：（3，﹣4）． 【点睛】本题考查反比例函数图象的中心对称性，根据已知得出反比例函数与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称是解题关键． 16. 已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则当时，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次函数的对称性求出其与x轴的另一个交点坐标，再根据图象法即可得． 【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点坐标为， 则其与x轴的另一个交点坐标为， 设抛物线的解析式为， 当x=0时，y=-3， ， 解得， ， ∴， 解得， ∵抛物线开口向上，在直线y=-3下方， 结合图象得：当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的对称性、二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键． 17. 已知，都在反比例函数的图象上，若，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】把A、B两点的坐标代入解析式，再根据即可求解. 【详解】把，代入得： ∵ ∴ 故答案为-12 【点睛】本题考查的是反比例函数，整体代入思想是解答本题的关键. 18. 如图，点C，D在双曲线上，点A，B在x轴上，且，，，__. 【答案】4 【解析】 【分析】作CM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，连结OD，根据等腰三角形的性质得OM=AM=OA，AN=BN=AB，则利用三角形面积公式得到S△MOC=S△MAC，S△NAD=S△NBD，再利用反比例函数的比例系数k的几何意义得S△MOC=S△NOD=×3=1.5，又OA=AB，根据三角形面积公式得到S△NAD=S△OAD=S△NOD=0.5，所以S△OCA+S△ADB=4． 【详解】解：如图，过点C作轴于点M，过点D作轴于点N，连接OD， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了等腰三角形的性质． 三、解答题（共78分） 19. 解方程 （1）x2﹣6x＋1＝0； （2）x（2﹣3x）＋（3x﹣2）＝0 【答案】（1）x1＝3+2，x2＝3﹣2；（2）x1＝，x2＝1 【解析】 【分析】（1）利用配方法解方程； （2）利用因式分解法解方程． 【详解】解：（1）， ， 则，即， ， ，； （3）， ， 则， 或， 解得，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法． 20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣mx＋2m﹣4＝0． （1）求证：该一元二次方程总有两个实数根； （2）若该方程一个小于5的根，另一个根大于5，求m的取值范围； （3）若x1，x2为方程的两个根，且n＝x12＋x22﹣8，试判断动点P（m，n）所形成的图象是否经过定点（﹣3，21），并说明理由． 【答案】 （1）证明：关于x的一元二次方程x2﹣mx＋2m﹣4＝0， ， 该一元二次方程总有两个实数根； （2）； （3）经过定点（﹣3，21），理由： n＝x12＋x22﹣8 ∴动点可表示为 当m＝-3时， 动点所形成的数图象经过点点． 【解析】 【分析】（1）计算一元二次方程的根的判别式，即可证明； （2）根据一元二次方程的求根公式得出方程的两个根，继而列出不等式解不等式求解即可； （3）先由一元二次方程根与系数的关系得出，代入n＝x12＋x22﹣8，，从而将动点P（m，n）仅用含m的代数式表示，再将点（﹣3，21）代入验证即可． 【详解】（1）略 （2）关于x的一元二次方程x2﹣mx＋2m﹣4＝0， ， 该方程一个小于5的根，另一个根大于5， 解得 （3）略 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；同时本题还考查了公式法求解方程及根与系数的关系的应用，以及点的坐标与函数的对应关系． 21. 某汽车销售公司4月份销售某厂家的汽车，在一定范围内每部汽车的进价与销售量有如下关系；若当月仅售出1辆汽车，则该部汽车的进价为25万元，每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.2万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.6万元；销售量在10辆以上，每辆返利1.2万元． （1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为________万元； （2）若该公司当月售出5辆汽车，且每辆汽车售价为元，则该销售公司该月盈利________万元（用含的代数式表示）． （3）如果汽车的售价为25.6万元/辆，该公司计划当月盈利16.8万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利销售利润+返利） 【答案】（1）24.6；（2）（5m－118）；（3）7 【解析】 【分析】（1）根据题意每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.2万元/辆，即可得出当月售出3辆汽车时，每辆汽车的进价； （2）先表示出当月售出5辆汽车时每辆汽车的进价，再根据利润＝售价－进价即可求得该月盈利； （3）首先表示出每辆汽车的销售利润，再利用当0≤x≤10，当x＞10时，分别得出答案． 【详解】解：（1）∵当月仅售出1辆汽车，则该辆汽车的进价为25万元，每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆， ∴该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为25－2×0.2＝24.6万元； 故答案为：24.6； （2） ∵当月售出5辆汽车， ∴每辆汽车的进价为25－4×0.2＝24.2万元， ∴该月盈利为5（m－24.2+0.6）＝5m－118， 故答案为：（5m－118）； （3）设需要售出x辆汽车，由题意可知，每辆汽车的销售利润为： 25.6－[25－0.2（x－1）]＝（0.2x＋0.4）（万元）， 当0≤x≤10，根据题意，得x•（0.2x＋0.4）＋0.6x＝16.8， 整理，得x2＋5x－84＝0， 解这个方程，得x1＝－12（不合题意，舍去），x2＝7， 当x＞10时，根据题意，得x•（0.2x＋0.4）＋1.2x＝16.8， 整理，得x2＋8x－84＝0， 解这个方程，得x1＝－14（不合题意，舍去），x2＝6， 因为6＜10，所以x2＝6舍去． 答：需要售出7辆汽车． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出每部汽车的销售利润是解题关键． 22. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求： （1）当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ （2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式． （3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 【答案】（1）10cm；（2）；（3）t＝3或t＝ 【解析】 【分析】（1）在Rt△CPQ中，当t=3秒，可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出； （2）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式=CP×CQ求解； （3）应分两种情况：当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，根据，可将时间t求出；当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，根据，可求出时间t． 【详解】由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20﹣4t， （1）当t=3秒时，CP=20﹣4t=8cm，CQ=2t=6cm， 由勾股定理得PQ=； （2）由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20﹣4t， 因此Rt△CPQ的面积为S=； （3）分两种情况： ①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时， ，即， 解得：t=3秒； ②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时， ，即， 解得：t=秒． 因此t=3秒或t=秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似 【点睛】本题主要考查了相似三角形性质以及勾股定理的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解防止漏解或错解，注意方程思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键． 23. 金秋十月，梁子湖区成功获评“国家生态文明建设示范区”，以生态环境保护与绿色经济共赢的特色吸引各地游客纷纷前来观光. 梁湖超市销售一批成本为20元/千克的绿色健康食品，深受游客青睐. 经市场调查发现，该食品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该食品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式； （2）若超市按售价不低于成本价，且不高于40元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该食品每天获得的利润W（元）最大？最大利润是多少？ （3）若超市要使每天销售该食品获得的利润不低于2 400元，则每天的销售量最少应为多少千克？ 【答案】（1）；（2）销售单价定为40元，最大利润是2000；（3）60． 【解析】 【分析】（1）根据题意利用待定系数法求解即可； （2）根据题意表示出利润W，然后利用二次函数的最值求解即可； （3）根据题意得到W时，求出x的取值范围，即可求出销售量的最小值． 【详解】解：（1）由图像可得，直线经过和两个点， 设直线解析式为y=kx+b，代入得：， 解得：， ∴销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为． （2）由题意可得，， 整理得， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵售价不低于成本价，且不高于40元销售， ∴当x=40元时，， ∴当x=40元时，w取最大值，w最大值为2000； （3）由题意可得，当，即， 整理得：，解得：， ∵销售量，y随x的增大而减小， ∴当x=60时，y取最小值，最小值， ∴要使每天销售该食品获得的利润不低于2400元，则每天的销售量最少应为60千克． 【点睛】此题考查了二次函数应用题，解题的关键是正确利用利润=每件的利润×数量得出函数关系式． 24. 已知二次函数y＝-x2＋bx＋c的图象与直线y＝x＋3相交于点A和点B，点A在x轴上，点B在y轴上．抛物线的顶点为P． （1）求这个二次函数的解析式； （2）现将抛物线向右平移m个单位，当抛物线与△ABP有且只有一个公共点时，求m的值； （3）在直线AB下方的抛物线上是否存在点Q，使得S△ABQ＝2S△ABP若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）2； （3）Q(1，0)或Q(-4，-5)，理由： 作PC⊥x轴交AB于C，作QD⊥x轴交AB于D， ∵y=-（x+1）2+4顶点P(-1，4)，PC⊥x轴， ∴C(-1，2)， ∴×（4-2）×3=3， 设点Q(n，-n2-2n+3)， ∵QD⊥x轴， ∴D(n，n+3)， ∴DQ=n+3-(- n2-2n+3)= n2+3n ∴ ( n2+3n)×3=n2+n， ∵， ∴n2+n =2×3， ∴解得：n1=1，n2=-4， ∴当Q(1，0)或Q(-4，-5)时，. 【解析】 【分析】（1）由直线解析式求得交点坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）由图象可知，当抛物线经过点B时，抛物线与△PBA有且只有一个公共点，求得平移后的解析式，代入A、B的坐标，即可求得m的值． （3）该抛物线上存在点Q，使，求出=3，设点Q(n，-n2-2n+3)，求出n2+n，进而得到关于n的方程，求出n，代入抛物线解析式求出点Q纵坐标即可． 【详解】解：（1）∵y=x+3与x轴交点A(-3，0)，与y轴交点B(0，3)， ∴y=-x2+bx+c经过A(-3，0)，B(0，3)， ∴ 解得 ∴二次函数的解析式为：y=-x2-2x+3； （2）∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4 ∴抛物线向右平移m个单位的新抛物线解析式为：y=-（x+1-m）2+4， ∵新抛物线y=-（x+1-m）2+4与△ABP有且只有一个公共点， ∴y=-（x+1-m）2+4经过点B(0，3)， ∴-（1-m）2+4=3 ∴m1=0(舍去)，m2=2， 即m=2； （3） 略 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，明确当抛物线只经过点B时，抛物线与△PBA有且只有一个公共点是解题的关键． 25. 已知一次函数和反比例函数． （1）如图1，若，且函数的图象都经过点 ①求m，k的值； ②直接写出当时x的范围； （2）如图2，过点作y轴的平行线l与函数为的图象相交于点B，与反比例函数的图象相交于点C， ①若．直线l与函数的图象相交点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求的值： ②过点B作x轴的平行线与函数的图象相交于点E．当的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d 【答案】（1）①m=12，k=3；②x＞3；（2）①或6；②k=1，d=1 【解析】 【分析】（1）①将点的坐标代入一次函数表达式即可求解，将点的坐标代入反比例函数表达式，即可求解； ②由图象可以直接看出； （2）①，，，由或或得：，即可求解； ②点的坐标为，，，即可求解． 【详解】解：（1）①将点A的坐标代入一次函数表达式并解得：k=3， 将点A的坐标代入反比例函数得：m=3×4=12； ②由图象可以看出x＞3时，y1＞y2； （2）①当x=1时，点D、B、C的坐标分别为（1，3+n）、（1，m）、（1，n）（C在D的下方）， 当B为中点时， 则BD=BC，即3+n-m=m-n， 则 m-n=； 当D为中点时， 则DB=DC，即m-（3+n）=3+n-n， 故m-n=6， 当C为中点时，因为点C一定在点D的下方，故这种情况不存在； 当B与D重合时，C到B，D的距离相等， 则m=n+3，即m-n=3， ∵D不在C下方，故不符合； ∴m-n=或6． ②点E的横坐标为：， 当点在点左侧时， ， 的值取不大于1的任意数时，始终是一个定值， 当时，此时，从而． 当点在点右侧时， 同理， 当，时，（不合题意舍去） 故，． 【点睛】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、函数定值的求法，关键是通过确定点的坐标，求出对应线段的长度，进而求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $