专题14 导数的概念与运算（8大题型）-《2025年高考艺术生数学40天速提100分攻略》

专题14 导数的概念与运算 【题型归纳目录】 题型一：导数的定义及变化率问题 题型二：导数的运算 题型三：在点P处的切线 题型四：过点P的切线 题型五：公切线问题 题型六：已知切线或切点求参数问题 题型七：切线平行、垂直、重合问题 题型八：利用导数的几何意义求最值问题 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）导数的定义 （2）导数的运算 （3）导数的几何意义 2024年甲卷第6题，5分 2024年I卷第13题，5分 2023年甲卷第8题，5分 2022年I卷第15题，5分 2021年甲卷第13题，5分 2021年I卷第7题，5分 （1）了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数． （2）通过函数图象，理解导数的几何意义． （3）能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数． 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：导数的概念和几何性质 1、概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或． 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即． 2、几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． 3、物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 题型一：导数的定义及变化率问题 【典例1-1】设函数在处的导数存在，则等于（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】已知函数在处可导，且则（   ） A． B． C． D．2 【变式1-1】若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ） A．1 B． C．2 D． 知识点二：导数的运算 1、求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 2、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 3、复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 题型二：导数的运算 【典例2-1】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【典例2-2】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式2-1】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-2】求下列函数的导函数． (1)； (2)． 【方法技巧与总结】 1、在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 2、过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 题型三：在点P处的切线 【典例3-1】（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）曲线在点处的切线方程为 ． 【变式3-2】（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））函数的图像在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知曲线在点处的切线方程为，则 A． B． C． D． 【变式3-4】（2019年天津市高考数学试卷（文科）） 曲线在点处的切线方程为 . 【变式3-5】（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））曲线在点处的切线方程为 ． 题型四：过点P的切线 【典例4-1】（2022年新高考全国I卷数学真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【典例4-2】（2022年新高考全国II卷数学真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【变式4-1】（2021年全国新高考I卷数学试题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】过点作曲线的切线，写出其中的一条切线方程 ． 【变式4-3】（2025·高三·江西吉安·期末）过点作曲线的切线的斜率为 ． 题型五：公切线问题 【典例5-1】（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ） A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 【典例5-2】（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【变式5-1】（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． (1)若，求a； (2)求a的取值范围． 【变式5-2】若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型六：已知切线或切点求参数问题 【典例6-1】（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 . 【典例6-2】（2025·高三·山东青岛·期末）已知函数的图象在点处的切线过点，则 ． 【变式6-1】（2025·高三·内蒙古赤峰·期末）已知直线与曲线相切，则实数的值为 ． 【变式6-2】已知直线与函数的图象相切，则 ． 题型七：切线平行、垂直、重合问题 【典例7-1】（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ． 【典例7-2】已知曲线在处的切线与直线垂直，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式7-1】设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（    ） A． B． C． D． 题型八：利用导数的几何意义求最值问题 【典例8-1】（2019年江苏省高考数学试卷）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 . 【典例8-2】已知为曲线上的一动点，为直线上的一动点，则当的坐标为 时，最小，此时最小值为 ． 【变式8-1】已知点P是曲线上一点，若点P到直线的距离最小，则点P的坐标为 . 【强化测试】 1．设是定义在R上的可导函数，若（a为常数），则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·高三·辽宁大连·期中）直线是曲线和的公切线，则（    ） A． B． C．或 D． 3．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 4．已知，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃兰州·一模）若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·福建莆田·二模）曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·山东聊城·一模）曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．1 9．已知，则 （    ） A． B． C．1 D．0 10．当某种针剂药注入人体后，血液中该药的浓度C与时间t的关系式近似满足其中，则血液中该药的浓度，在时的瞬时变化率约是时的瞬时变化率的多少倍（   ） A． B． C． D． 11．（2025·高三·山西·开学考试）已知曲线在处的切线的倾斜角为，则（   ） A． B．2 C．3 D．0 12．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·山东济宁·一模）曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（   ） A． B． C． D． 14．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知直线与曲线相切，则的值为（   ） A． B． C． D．1 15．（河南省名校学术联盟2025届高三模拟冲刺（六）数学试题）过原点且与曲线相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 16．（多选题）下列命题正确的是（   ） A． B．已知函数在上可导，若，则 C．已知函数，若，则 D．设函数的导函数为，且，则 17．（多选题）若直线与曲线相切，则的值可以为（    ） A． B．2 C．4 D．5 18．（多选题）设为实数，则直线能作为下列曲线的切线的是（    ） A． B． C． D． 19．（多选题）若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是（   ） A． B． C． D． 20．（2025·黑龙江·模拟预测）若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是 21．（2025·福建福州·模拟预测）若曲线与曲线相切，则 ． 22．已知函数是定义在R上的函数，，且曲线在点处的切线斜率为，则 . 23．设函数，若曲线在点处的切线与抛物线也相切，则的值为 ． 24．（2025·高三·贵州黔东南·期末）若直线是曲线和曲线的一条公切线，则 ． 25．已知点在函数的图象上，点在直线上，则两点之间距离的最小值是 ． 26．最优化原理是要求在目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答:若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为 . 27．已知函数，若第一象限内的点在曲线上，则到直线的距离的最小值为 . 28．（2025·四川成都·二模）设函数，若的图象过点，且曲线在处的切线也过点，则 . 29．曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ． 30．已知函数，则 ． 31．（2025·重庆·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 . 32．已知函数的图像在处的切线与直线垂直，则实数 ． 33．设为曲线上的点，且曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为 . 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 导数的概念与运算 【题型归纳目录】 题型一：导数的定义及变化率问题 题型二：导数的运算 题型三：在点P处的切线 题型四：过点P的切线 题型五：公切线问题 题型六：已知切线或切点求参数问题 题型七：切线平行、垂直、重合问题 题型八：利用导数的几何意义求最值问题 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）导数的定义 （2）导数的运算 （3）导数的几何意义 2024年甲卷第6题，5分 2024年I卷第13题，5分 2023年甲卷第8题，5分 2022年I卷第15题，5分 2021年甲卷第13题，5分 2021年I卷第7题，5分 （1）了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数． （2）通过函数图象，理解导数的几何意义． （3）能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数． 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：导数的概念和几何性质 1、概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或． 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即． 2、几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． 3、物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 题型一：导数的定义及变化率问题 【典例1-1】设函数在处的导数存在，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D 【典例1-2】已知函数在处可导，且则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】因为函数在处可导，且， 所以. 故选：A 【变式1-1】若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则， 所以， 故选：C. 【变式1-2】函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】易知平均变化率为， 可得，瞬时变化率为， 因此，解得. 故选：A 知识点二：导数的运算 1、求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 2、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 3、复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 题型二：导数的运算 【典例2-1】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）， （2） （3）方法一 ： ， ； 方法二： ； 【典例2-2】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【解析】（1）． （2）． （3）． （4）， ． （5）令， 则， 即． 【变式2-1】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）． （2）∵， ∴. （3）． （4）. 【变式2-2】求下列函数的导函数． (1)； (2)． 【解析】（1）； （2） . 【方法技巧与总结】 1、在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 2、过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 题型三：在点P处的切线 【典例3-1】（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 【典例3-2】（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 【变式3-1】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】由题，当时，，故点在曲线上． 求导得：，所以． 故切线方程为． 故答案为：． 【变式3-2】（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））函数的图像在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，，， 因此，所求切线的方程为，即. 故选：B. 【变式3-3】（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知曲线在点处的切线方程为，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得． ， 将代入得，故选D． 【变式3-4】（2019年天津市高考数学试卷（文科）） 曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【解析】， 当时其值为， 故所求的切线方程为，即． 【变式3-5】（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】. 【解析】 所以， 所以，曲线在点处的切线方程为，即． 题型四：过点P的切线 【典例4-1】（2022年新高考全国I卷数学真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 【典例4-2】（2022年新高考全国II卷数学真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【答案】 【解析】[方法一]：化为分段函数，分段求 分和两种情况，当时设切点为，求出函数 导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； [方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. 【变式4-1】（2021年全国新高考I卷数学试题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知. 故选：D. 【变式4-2】过点作曲线的切线，写出其中的一条切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】由可得， 设过点作曲线的切线的切点为，则， 则该切线方程为， 将点代入切线得，解得或， 所以切点为或， 所以切线方程为或. 故答案为：（答案不唯一） 【变式4-3】（2025·高三·江西吉安·期末）过点作曲线的切线的斜率为 ． 【答案】2 【解析】，设切点横坐标为， 故曲线在处的切线方程为l：， 将，代入，得， 解得，∴， 故答案为：2 题型五：公切线问题 【典例5-1】（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ） A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 【答案】D 【解析】设直线在曲线上的切点为，则， 函数的导数为，则直线的斜率， 设直线的方程为，即， 由于直线与圆相切，则， 两边平方并整理得，解得，（舍）， 则直线的方程为，即. 故选：D. 【典例5-2】（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【解析】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 【变式5-1】（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． (1)若，求a； (2)求a的取值范围． 【解析】（1）由题意知，，，，则在点处的切线方程为， 即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得； （2），则在点处的切线方程为，整理得， 设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得， 则，整理得， 令，则，令，解得或， 令，解得或，则变化时，的变化情况如下表： 0 1 0 0 0 则的值域为，故的取值范围为. 【变式5-2】若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，由，得． 设直线与曲线切于点，与曲线切于点， 则，又， 由方程①②解得，所以直线过点，斜率为1， 即的方程为． 故选：B. 题型六：已知切线或切点求参数问题 【典例6-1】（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 . 【答案】 【解析】设切线的切点坐标为， ，所以切点坐标为， 所求的切线方程为，即. 故答案为：. 【典例6-2】（2025·高三·山东青岛·期末）已知函数的图象在点处的切线过点，则 ． 【答案】5 【解析】由题设，且，则， 所以切线方程为过点， 所以，则. 故答案为：5 【变式6-1】（2025·高三·内蒙古赤峰·期末）已知直线与曲线相切，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】直线过定点， ，设直线与曲线的切点坐标为， 则， 则，∴. 故答案为： 【变式6-2】已知直线与函数的图象相切，则 ． 【答案】 【解析】由题为增函数，且，设切点为， 则，故解得. 故答案为：. 题型七：切线平行、垂直、重合问题 【典例7-1】（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意，，则， 所以点和点，, 所以， 所以， 所以， 同理, 所以. 故答案为： 【典例7-2】已知曲线在处的切线与直线垂直，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】因为，可得， 即曲线在处的切线斜率为， 且直线的斜率为， 由题意可得：，解得. 故选：B. 【变式7-1】设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，故， 由于点处的切线与直线平行，且直线的斜率为，所以， 故选：C 题型八：利用导数的几何意义求最值问题 【典例8-1】（2019年江苏省高考数学试卷）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 . 【答案】4. 【解析】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小. 由，得，， 即切点， 则切点Q到直线的距离为， 故答案为． 【典例8-2】已知为曲线上的一动点，为直线上的一动点，则当的坐标为 时，最小，此时最小值为 ． 【答案】 【解析】如图所示，当直线与曲线相切且与直线平行时，切点到直线的距离即为的最小值． 令，解得：，，. 故答案为：；. 【变式8-1】已知点P是曲线上一点，若点P到直线的距离最小，则点P的坐标为 . 【答案】 【解析】由题意知，曲线，，令，得（舍），所以函数在上单调递减，在上单调递增，如下图所示，为曲线与直线在坐标系中的位置. 在点P的切线与直线平行时，此时曲线上的点P到直线的距离最小.设，则，则，解得（舍去），所以. 故答案为： 【强化测试】 1．设是定义在R上的可导函数，若（a为常数），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】． 故选：A 2．（2025·高三·辽宁大连·期中）直线是曲线和的公切线，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】对于，设切点为，求导得， 则在该点处的斜率为， 则切线方程为：，即， 对于，设切点为，求导得， 则在该点处的斜率为， 则切线方程为：，即， 因为是公切线， 所以，即， 所以，即， 所以 即或，解得或， 当时，此时，，所以 当时，此时，，所以， 所以或， 故选：C. 3．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【解析】由，求导， 则在点处的切线的斜率为， 而在点处的切线与直线垂直, 则，故. 故选：D 4．已知，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得， 则， 故切点为，切线在该点处的斜率为， 故曲线在点处的切线方程为，即. 故选：A. 5．（2025·甘肃兰州·一模）若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设切点坐标为，函数，所以， 因为切线与x轴平行，所以，解得，，故切点坐标为 故选：B 6．（2025·福建莆田·二模）曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，令，则，故， 当时，，即的坐标为. 故选：B. 7．（2025·山东聊城·一模）曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对函数求导得，故所求切线斜率为，切点坐标为， 所以，曲线在处的切线方程为， 该切线交轴于点，交轴于点， 因此，曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 故选：D. 8．已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【解析】由题意可知，，， 因为的图像在点处的切线与直线垂直， 所以，即，解得. 故选：D. 9．已知，则 （    ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【解析】由，可得， 即，又，则， 所以. 故选：D. 10．当某种针剂药注入人体后，血液中该药的浓度C与时间t的关系式近似满足其中，则血液中该药的浓度，在时的瞬时变化率约是时的瞬时变化率的多少倍（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数求导得， 将代入得，将代入得， 则， 故选：B 11．（2025·高三·山西·开学考试）已知曲线在处的切线的倾斜角为，则（   ） A． B．2 C．3 D．0 【答案】A 【解析】∵，∴曲线在处的切线的斜率为2，即． 又∵， 故选：A 12．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 所以，得， 所以，，，， 故所求切线方程为，即. 故选：A. 13．（2025·山东济宁·一模）曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为和互为反函数，其图象关于直线对称， 且反比例函数的图象也关于直线对称， 可知点关于直线对称，设，则， 设，则， 由题意可得：，解得或（舍去）， 可得，则，所以. 故选：A. 14．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知直线与曲线相切，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】设切点坐标为. ∵， ∴， 则， 由②得，，代入①得，， 整理得，解得，故. 故选：A. 15．（河南省名校学术联盟2025届高三模拟冲刺（六）数学试题）过原点且与曲线相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】设切点，因为曲线，所以， 所以，所以， 所以或， 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 所以切线有3条. 故选：C. 16．（多选题）下列命题正确的是（   ） A． B．已知函数在上可导，若，则 C．已知函数，若，则 D．设函数的导函数为，且，则 【答案】BC 【解析】对于A，，A错误； 对于B，由导数定义知，B正确； 对于C，，则， 由，得，解得或(舍去)，C正确； 对于D，由，得， 故，D错误， 故选：BC 17．（多选题）若直线与曲线相切，则的值可以为（    ） A． B．2 C．4 D．5 【答案】AD 【解析】函数，求导得， 设直线与曲线相切的切点为， 则曲线在点处的切线方程为， 依题意，，解得或， 所以的值可以为或5. 故选：AD 18．（多选题）设为实数，则直线能作为下列曲线的切线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】A：，故无论取何值，都不可能等于2，错； B：，令，解得，所以直线能作为该曲线的切线，对； C：，令，解得，所以直线能作为该曲线的切线，对； D：，故无论取何值，都不可能等于2，错. 故选：BC 19．（多选题）若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】直线的斜率为， 由的导数为，故A错； 由的导数为，令，解得，故B对； 由的导数为，而有解，故C对； 由的导数为，令，解得，故D对． 故选：BCD 20．（2025·黑龙江·模拟预测）若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是 【答案】 【解析】，则过的切线为，即. 由过点可作曲线的三条切线得有3个不等实根. 令，，由得或. 当或，，单调递增；当，，单调递减； 故当时，函数取得极大值为；当时，函数取得极小值为. 要使有3个不等实根，则，即得，即所求m的取值范围是. 故答案为：. 21．（2025·福建福州·模拟预测）若曲线与曲线相切，则 ． 【答案】e 【解析】因为与曲线，设切点为， 其中，， 由与相切，则， 故，解得，． 故答案为： 22．已知函数是定义在R上的函数，，且曲线在点处的切线斜率为，则 . 【答案】 【解析】因为，根据题意有，解得. 故答案为： 23．设函数，若曲线在点处的切线与抛物线也相切，则的值为 ． 【答案】 【解析】由题意得，则，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即， 与抛物线方程联立得， 由，得，即， 令，则，其中， 当时，，递增， 当时，，递减，则，且，则. 故答案为：. 24．（2025·高三·贵州黔东南·期末）若直线是曲线和曲线的一条公切线，则 ． 【答案】/ 【解析】由可得,令可得, 将代入,可得, 故直线与曲线相切于点, 故直线的方程为. 因为直线与曲线相切, 故联立可得, 则,解得. 故答案为: 25．已知点在函数的图象上，点在直线上，则两点之间距离的最小值是 ． 【答案】/ 【解析】，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，函数取值最小值， 如图画出函数和直线的图象， 如图，平移直线至与的图象相切时，此时切点到直线的距离为的最小值， 此时，得，，即， 所以点到直线的距离. 故答案为： 26．最优化原理是要求在目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答:若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为 . 【答案】 【解析】对函数求导可得， 其中直线的斜率为2， 则令，即，解得或（舍）， 当时，， 则曲线上一点到直线的距离最小， 由点到直线的距离公式可得最小值为. 故答案为： 27．已知函数，若第一象限内的点在曲线上，则到直线的距离的最小值为 . 【答案】/ 【解析】由，可得，又点在曲线上， 设，则过点P和平行的切线的斜率为4， 令，则 即得在P处的切线方程为，即， 故和间的距离为 故到直线的距离的最小值为， 故答案为： 28．（2025·四川成都·二模）设函数，若的图象过点，且曲线在处的切线也过点，则 . 【答案】 【解析】函数，求导得，则，而， 因此曲线在处的切线方程为， 依题意，，所以. 故答案为： 29．曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ． 【答案】， 【解析】先求当时，曲线过原点的切线方程，设切点坐标为， 则由，得切线斜率为，又切线的斜率为， 所以，解得， 代入，得， 所以切线斜率为，切线方程为． 因为为偶函数，所以时切线与的切线关于轴对称， 可求得当时的切线方程为． 综上可知，两条切线方程为． 故答案为：． 30．已知函数，则 ． 【答案】 【解析】由得，， ∴. 故答案为：. 31．（2025·重庆·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【解析】因为，所以，所以，则，从而曲线在点处的切线方程为，整理得. 32．已知函数的图像在处的切线与直线垂直，则实数 ． 【答案】1 【解析】由，得， 因为函数的图象在处的切线与直线垂直， 所以，则． 故答案为：1 33．设为曲线上的点，且曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为 . 【答案】 【解析】设， 由倾斜角的取值范围为可得切线斜率为， 又由可得， 因此可得，解得， 因此点横坐标的取值范围为. 故答案为： 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$