精品解析：安徽省合肥市第八中学2024-2025学年高二下学期第二次考试数学试题

高二年级第二学期数学统一作业2 一.选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 函数图象大致为（　　） A. B. C D. 3. 已知是曲线上一点，直线经过点，且与曲线在点处切线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数f(x)=,下列结论中错误的是 A. , f()=0 B. 函数y=f(x)的图像是中心对称图形 C. 若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞, ）单调递减 D. 若是f（x）的极值点，则 ()=0 5. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 A. B. C. D. 二.选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7. 函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（    ） A. 是函数的极值点 B. 是函数的最小值点 C. 在区间上单调递增 D. 在处切线的斜率小于零 8. 直线与曲线相切于点，则（    ） A. B. C. D. 9. 对于函数，下列说法正确的有（ ） A. 处取得极大值 B. 只有一个零点 C. D. 若在上恒成立，则 三.填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 10. 已知函数x=3处有极大值，则c=___________. 11. 若函数在单调递增，则的取值范围是______． 四.解答题：本题共2小题，共32分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 12. 已知函数在处取得极值-14. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的最值. 13. 已知函数． （1）当时，求的最大值； （2）若恰有一个零点，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二年级第二学期数学统一作业2 一.选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】由导函数的图象可知在开区间内有个零点，，分析导函数再零点左右的导数值（正、负），即可判断函数的极值点，从而得解. 【详解】从图形中可以看出，在开区间内有个零点，， 在处的两边左正、右负，取得极大值； 在处的两边左负、右正，取值极小值； 在处的两边都为正，没有极值； 在处的两边左正、右负，取值极大值． 因此函数在开区间内的极小值点只有一个． 故选：A． 2. 函数的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先验证函数是否满足奇偶性，由f(－x)＝ln|－x|－(－x)2＝ln |x|－x2＝f(x)，故函数f（x）为偶函数，，排除B,D ，再由函数特殊值确定答案． 【详解】令f(x)＝y＝ln|x|－x2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝ln|－x|－(－x)2＝ln |x|－x2＝f(x)，故函数y＝ln|x|－x2为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，D；当x>0时，y＝ln x－x2，则y′＝－2x，当x∈时，y′＝－2x>0，y＝ln x－x2单调递增，排除C，A项满足. 【点睛】本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法． 3. 已知是曲线上一点，直线经过点，且与曲线在点处的切线垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，设，根据题意结合导数的几何意义列式求解即可. 【详解】因为，则， 直线，即为，其斜率为， 设， 由题意可得：，解得. 故选：C. 4. 已知函数f(x)=,下列结论中错误的是 A. , f()=0 B. 函数y=f(x)的图像是中心对称图形 C. 若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞, ）单调递减 D. 若是f（x）的极值点，则 ()=0 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由于三次函数的三次项系数为正值，当x→－∞时，函数值→－∞，当x→＋∞时，函数值也→＋∞，又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过x轴，即一定∃x0∈R，f(x0)＝0，选项A中的结论正确；函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(x＋m)3＋n(x＋m)＋h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为y＝x3＋nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，选项B中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点x1，x2，则极小值点x2＞x1，即函数在－∞到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以选项C中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然选项D中的结论正确. 考点：函数的零点、对称性、单调性、极值． 5. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的图象可得其导函数在不同区间内的符号，再由得到关于的不等式组，求解不等式组后取并集即可得到原不等式的解集． 【详解】由函数的图象可得： 当时，函数单调递增，则， 当时，函数单调递减，则． 当时，函数单调递增，则， 由①或② 解①得，，解②得，， 综上，不等式的解集为. 故选：A． 6. 设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】构造新函数,，当时. 所以在上单减，又，即. 所以可得,此时， 又为奇函数，所以在上的解集为：. 故选A. 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数. 二.选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7. 函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（    ） A. 是函数的极值点 B. 是函数的最小值点 C. 区间上单调递增 D. 在处切线的斜率小于零 【答案】AC 【解析】 【分析】根据导函数的图象判断出的单调性、极值点、最值点、切线的斜率，由此得解. 【详解】根据导函数图象可知，当时，，在时，， ∴函数在上单调递减，在上单调递增，故C正确； 所以是函数的极小值点，故A正确； ∵在上单调递增， ∴不是函数的最小值点，故B错误； ∵函数在处的导数大于0， ∴切线的斜率大于零，故D错误． 故选：AC. 8. 直线与曲线相切于点，则（    ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据切点即在切线上也在曲线上，结合导数的几何意义即可得解. 【详解】由题意，直线与曲线相切于点， 所以点代入直线，可得， 令，则， ， ，解得， 即， 把点代入得， 解得，故． 故选：ABC． 9. 对于函数，下列说法正确的有（ ） A. 在处取得极大值 B. 只有一个零点 C. D. 若在上恒成立，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，利用导数求出函数单调区间，进一步求出函数的极值即可判断；对B，利用函数的单调性和函数值的范围即可判断；对C，利用函数的单调性比较出函数值的大小关系即可判断；对D，利用不等式恒成立，参数分离法即可求解． 【详解】对于A，函数，， 令，即，解得， 当时，，故在上为单调递增函数， 当时，，故在上为单调递减函数， 在时取得极大值，故A正确； 对于B，在上为单调递增函数，，函数在上有唯一零点， 当时，恒成立，即函数在上没有零点，故有唯一零点，故B正确； 对于C，在上为单调递减函数，，，故C错误； 对与D，由在上恒成立，即在上恒成立， 设，则，令，解得：， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 当时，函数取得最大值，最大值为，，故D错误． 故选：AB 【点睛】方法点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数单调性和极值，研究不等式恒成立问题，要利用分离参数法处理恒成立问题，再转化为最值问题，考查数学运算和数学抽象的核心素养，属于中档题． 三.填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 10. 已知函数x=3处有极大值，则c=___________. 【答案】9 【解析】 【分析】求出导函数，由求得值，然后检验是极大值点． 【详解】由已知，， ，或， 时，，在时，，递减，时，，递增，不是极大值点，舍去； 时，，时，，递增，时，，递减，是极大值点． 综上． 故答案为：9． 11. 若函数在单调递增，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数与函数单调性的关系，由函数在单调递增得到不等式，利用三角恒等变换、换元法转化为一元二次不等式在闭区间上的恒成立问题，运算即可得解. 【详解】解：函数的导数为， 由题意，函数在上单调递增， ∴在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则，， ∵在上恒成立， ∴在上恒成立， 又∵的图象是开口向下的抛物线， ∴，解得：. ∴的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：导数与函数单调性的关系： 1.是函数在区间上单调递增（减）的充分不必要条件. 2.是函数在区间上单调递增（减）的必要不充分条件. 3.若在区间的任意子区间上都不恒等于零，则是函数在区间上单调递增（减）的充要条件. 四.解答题：本题共2小题，共32分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 12. 已知函数在处取得极值-14. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的最值. 【答案】（1） （2）最小值为-14，最大值18 【解析】 【分析】（1）由极值和极值点，利用导数求出未知系数，再利用导数的几何意义求切点处切线的方程. （2）利用导数求函数单调区间，根据单调性求函数在区间上的最值. 【小问1详解】 因，故 由于在处取得极值-14，故有， 化简得，解得， 经检验，时，符合题意，所以. 则，，故. 所以曲线在点处切线方程为：，即 【小问2详解】 ，， 解得或；解得， 即函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增， ， 因此在的最小值为.最大值为 13. 已知函数． （1）当时，求的最大值； （2）若恰有一个零点，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解； （2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以； 【小问2详解】 ，则， 当时，，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，此时函数无零点，不合题意； 当时，，在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 又， 由（1）得，即，所以， 当时，， 则存在，使得， 所以仅在有唯一零点，符合题意； 当时，，所以单调递增，又， 所以有唯一零点，符合题意； 当时，，在上，，单调递增； 在上，，单调递减；此时， 由（1）得当时，，，所以， 此时 存在，使得， 所以在有一个零点，在无零点， 所以有唯一零点，符合题意； 综上，a的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$