精品解析： 湖北省武汉市武昌区粮道街中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

2023-2024学年湖北省武汉市武昌区粮道街中学八年级（下）期中数学试卷 一、单选题 1. 使二次根式有意义的的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，即可得出结论． 【详解】解：由题意可知： 解得： 故选B． 【点睛】此题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数≥0是解决此题的关键． 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此判断即可． 【详解】A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用二次根式的化简的法则，二次根式的加法的法则，二次根式的除法的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、与被开方数不同，不可以进行加法运算，故A不符合题意； B、与被开方数不同，不可以进行减法运算，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 4. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A. 6，8，10 B. 7，24，25 C. 1.5，2，3 D. 9，12，15 【答案】C 【解析】 【详解】A、62+82=102，故是直角三角形，故此选项不合题意； B、242+72=252，故是直角三角形，故此选项不合题意； C、22+1.52≠32，故不是直角三角形，故此选项符合题意； D、92+122=152，故是直角三角形，故此选项不合题意． 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 5. 下列说法错误的是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用平行四边形的判定方法以及菱形的判定方法和三角形中位线的性质、直角三角形的性质分别判断得出答案． 【详解】A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，不合题意； B、两条对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，故原说法错误，符合题意； C、三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，正确，不合题意； D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确，不合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查平行四边形的判定，菱形的判定，三角形中位线的性质，直角三角形的性质，正确掌握相关判定方法是解题关键． 6. 如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形在水池的正中央有根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（　　） A. 10尺 B. 11尺 C. 12尺 D. 13尺 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正确运用勾股定理．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 答：芦苇长尺． 故选：D． 7. 如图，在长方形中，．将长方形沿对角线折叠，点D落在了位置，与相交于点E．则的长等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，勾股定理．设，则，根据题意可证得，可得．在中，根据勾股定理可得到关于x的方程，求解即可得到答案． 【详解】解：设，则． 根据图形折叠的性质得：． ∵四边形为长方形， ∴． ∴． 在和中 ∵， ∴． ∴． 在中， 即． 解得：． ∴． 故选：A． 8. 以的顶点为圆心，大于二分之一为半径画弧与分别交于两点，分别以这两点为圆心，以大于二分之一两点间距离为半径（半径不变）画弧，，，，那么的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的作图，勾股定理的应用，二次根式的化简，根据角平分线的作图可得，利用勾股定理和角的直角三角形的性质求出的长，再根据含30度角的直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：在中， ∴ ∴ ∴在中， ∴ ∴ ∴， ∴； 故选：C． 9. 如图，四边形为平行四边形，点坐标为，点坐标为，为上一点，将点移动到上，则移动的最短距离为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，设点移动到上，移动的最短距离为，先由勾股定理得，再由平行四边形的性质得，，从而证明，进而利用面积法即可求得的值，从而问题得解． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，设点移动到上，移动的最短距离为， ∵点坐标为，点坐标为， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定及勾股定理是解题的关键． 10. 如图，矩形中，，分别是边，的中点，于，的延长线交于．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】连接CM、DM，根据分别证明、，再逐个选项判断即可． 【详解】连接CM、DM， ∵矩形 ∴, ∵，，分别是边，的中点， ∴ 故①正确； ∵ ∴四边形AMCN是平行四边形 ∴AN∥CM ∴ ∵ ∴CM垂直平分PB ∴BC=PC ∴（SSS） ∴ 即 故②正确； ∵，， ∴（HL） ∴ 故③正确； 取CQ中点E，连接EN ∵N是CD中点 ∴EN是△CDQ的中位线 ∴ ∵ ∴ ∴，即 故④正确； 综上所述，正确的是①②③④ 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上中线、中位线、全等三角形的性质与判定，涉及知识点比较多，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 二、填空题 11. _______；______． 【答案】 ①. 5 ②. 3 【解析】 【分析】根据二次根式的性质即可解答． 【详解】解：，． 故答案为：5，3． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握是解答本题的关键． 12. 二次根式有意义的条件是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件解答即可． 【详解】解：由题意得：，， 解得：且， 故答案为：且． 13. 如图，网格小正方形边长为1，以O为圆心为半径画弧，交网格于点B，则长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，根据勾股定理求出，根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得： ． 故答案为：． 14. 如图，以正方形的边向内作等边，则__． 【答案】75°##75度 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质和等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，先根据正方形和等边三角形的性质求出，再根据等腰三角形的性质得出答案． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，，以为斜边在上方作等腰直角，连接，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，以为直角边构造等腰直角三角形，，连接，证明，得到，根据，求出的最大值，进而得到的最大值即可． 【详解】解：以为直角边构造等腰直角三角形，，，连接， ∵以为斜边在上方作等腰直角， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为8， ∵， ∴的最大值为； 故答案为：． 16. 如图，在中，为角平分线，为中线，，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质等知识，作于，延长交于，交于，连接，利用得，进而可得，，，连接，作垂足分别为M、N，得出是矩形，求出，进而求出，即可求出结论． 【详解】解：作于，延长交于，交于，连接，如图： ， 为角平分线， ， 在和中， ， ， ，，， 是的中点， 为中线， 是的中点， 是的中位线， ，且， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 连接， ， ， 作垂足分别为M、N， ， ， 四边形为平行四边形， ， 是矩形， ， 在中，， ， ， 在中，， 同理，， ， ， 故答案为：． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则，注意计算的准确性即可． （1）将二次根式化为最简二次根式后，利用加减混合运算法则即可求解； （2）利用二次根式的混合运算法则即可求解． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先将分式化简，然后代入求解即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： .当时， 原式． 19. 如图，在平行四边形中，，，平分交于点，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的定义得出．根据四边形为平行四边形可得，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出，继而可得，然后根据已知可求得的长度． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ，， ． 20. 如图，吊车是一种多功能的起重机械，它常用于搬运重型机械、物品等大型物体．现有一个大型物体要用吊车放到楼房的顶层去，吊车的吊臂需要伸长到米（米），吊车到楼房的水平距离为7米（米），吊车车身的高为3米（米）． （1）求楼房的高度； （2）由于楼房附近在施工，吊车不能太靠近楼房，吊车需要向后退3米到的位置（米），如果这辆吊车的吊臂最长能伸长到米，那么这辆吊车能否完成此次任务？请说明理由．（图中的点都在同一平面内，四边形和四边形均为平行四边形，且A、C、E三点共线，G、D、F三点共线，，） 【答案】（1）米 （2） 解：这辆吊车能完成此次任务，理由如下： 同（1）知，四边形是矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴这辆吊车能完成此次任务． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握矩形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． （1）由题意知，四边形是矩形，则，由勾股定理得，，根据，计算求解即可； （2）由题意知，，四边形是矩形，则，，由勾股定理得，，由，进行判断作答即可． 【小问1详解】 解：由题意知，四边形是平行四边形， ， 则四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得，米， ∴（米）， ∴楼房的高度为米； 【小问2详解】 略 21. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，正方形顶点都在网格线的交点上，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）直接写出正方形的边长  ； （2）图1中，在线段上找点使得； （3）图1中，在线段上找点使得． （4）图2中，在边上画点，连接，，使得． 【答案】（1）； （2） 点即为所求： （3）点即为所求： （4）点即为所求： 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （）根据勾股定理，并结合网格求解即可； （2）连接交于点，连接并延长交于点，点即为所求； （3）连接交于点，连接并延长交于点，点即为所求； （4）逆时针旋转，得到，取格点，连接并延长交于，点即为所求． 【小问1详解】 解：由网格可得：． 【小问2详解】 解：连接交于点，连接并延长交于点， ∵是正方形， ∴点是正方形的中心， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴点即为所求的点． 【小问3详解】 解：连接交于点，连接并延长交于点， ∵是正方形， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点即为所求． 【小问4详解】 解：逆时针旋转，得到，取格点，连接并延长交于， 由旋转性质可知，， 由网格可知，平分， ∴， ∴ ， ∴， ∵是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴点即为所求． 22. 如图，中，平分，，垂直平分，交于点，交于点． （1）若，求的度数； （2）若周长，，求的长度． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（2）利用证明，根据全等三角形的性质得出， ，再利用线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，求出和，最后由等腰三角形的性质及三角形外角性质可得出答案； （2）根据（1）和已知能推出的周长，即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ∴． ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵垂直平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由1知：，， ∴， ∴的周长． ∵，，， ∴， ∴． 【点晴】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 23. 【感知】如图1，在矩形中，P是上的点，沿折叠B点的对应点是M点，延长交直线于点E．求证：． 【应用】如图2，Q是上的点，； 沿折叠D点的对应点是N点，若P、M、N、Q在同一直线上，且M、N互相重合，则的值是 ． 【拓展】如图3，Q是上的点，，，沿折叠D点的对应点是N点，若，的最小值是1，则的长是 ． ​ 【答案】 【感知】证明：如图1中， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由翻折的性质可知， ∴， ∴； 【应用】； 【拓展】 【解析】 【分析】感知：利用矩形的性质和折叠的性质，结合等腰三角形的判定可证； 应用：设，先证得，根据全等三角形的性质得到，进而证得四边形是菱形，得到，，求得，在中，，，进而得到，可求； 拓展：分两种情况，当点M在点N的左侧时，A，M，N，C共线时，的值最小；当点M在点N的右侧时，A，M，N，C共线时，的值最小，分别求出最小值，并注意． 【详解】感知：略 应用：解：如图2， M、N互相重合，设， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 由折叠的性质可得，，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵ ， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴； 故答案为：； 拓展：解：如图3中，当点M在点N的左侧时，A，M，N，C共线时，的值最小． 此时在中，，，， ∴． 如图4中，当点M在点N的右侧时，A，M，N，C共线时，的值最小． 此时在中，，，， ∴， ∴＝7， ∵，即， ∴不符合题意， ∴不符合题意，舍去， 综上所述，满足条件的的值为． 故答案为：． 【点睛】本题是一道矩形与折叠问题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等，灵活熟练运用已学知识，作出辅助线是解题的关键． 24. 已知，如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在第二象限，，且，若有两个动点P，Q分别在线段和x轴上运动，且． （1）求点A的坐标 （2）求证：． （3）若点T，K分别为直线和直线上的动点，当最小时，求的最小值． 【答案】（1） （2） 证明：如图所示，过点P作，，， ∵四边形是菱形，， ∴平分，，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）过点A作，交于H，根据，得是等腰直角三角形，则，根据点，根据四边形是菱形得，在中，，，根据勾股定理得，，计算得，则，即可得； （2）过点P作，，，根据四边形是菱形，得平分，，，，根据得，根据得， ，根据得，，则，证明，即可得； （3）以P为直角顶点作等腰直角三角形和等腰直角三角形，根据点Q是x轴上的点得当轴时，最短，由（2）知，，则是等腰三角形，根据轴，轴得，则，根据得，则，根据得，则，可得，根据是等腰三角形，是等腰三角形得，根据，得垂直平分，则点和点关于直线对称，根据得，则，根据得直线垂直平分，则点和点关于直线对称，根据得，P，三点共线，则，根据，点P是中点得，根据得，可得，即可得． 【小问1详解】 解：如图所示，过点A作，交于H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，，，根据勾股定理得， ， 即， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，以P为直角顶点作等腰直角三角形和等腰直角三角形， ∵点Q是x轴上的点， ∴当轴时，最短， 由（2）知，， ∴是等腰三角形， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴点和点关于直线对称， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴直线垂直平分， ∴点和点关于直线对称， ∵， ∴，P，三点共线， ∴， ∵，点P是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，添加辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年湖北省武汉市武昌区粮道街中学八年级（下）期中数学试卷 一、单选题 1. 使二次根式有意义的的取值范围是(　　) A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A. 6，8，10 B. 7，24，25 C. 1.5，2，3 D. 9，12，15 5. 下列说法错误的是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 6. 如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形在水池的正中央有根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（　　） A. 10尺 B. 11尺 C. 12尺 D. 13尺 7. 如图，在长方形中，．将长方形沿对角线折叠，点D落在了位置，与相交于点E．则的长等于（　　） A. B. C. D. 8. 以的顶点为圆心，大于二分之一为半径画弧与分别交于两点，分别以这两点为圆心，以大于二分之一两点间距离为半径（半径不变）画弧，，，，那么的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形为平行四边形，点坐标为，点坐标为，为上一点，将点移动到上，则移动的最短距离为（ ） A. B. C. 4 D. 10. 如图，矩形中，，分别是边，的中点，于，的延长线交于．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 11. _______；______． 12. 二次根式有意义的条件是_______． 13. 如图，网格小正方形边长为1，以O为圆心为半径画弧，交网格于点B，则长是___________． 14. 如图，以正方形的边向内作等边，则__． 15. 如图，在中，，以为斜边在上方作等腰直角，连接，则的最大值为______． 16. 如图，在中，为角平分线，为中线，，，，则的长为______． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在平行四边形中，，，平分交于点，求的长． 20. 如图，吊车是一种多功能的起重机械，它常用于搬运重型机械、物品等大型物体．现有一个大型物体要用吊车放到楼房的顶层去，吊车的吊臂需要伸长到米（米），吊车到楼房的水平距离为7米（米），吊车车身的高为3米（米）． （1）求楼房的高度； （2）由于楼房附近在施工，吊车不能太靠近楼房，吊车需要向后退3米到的位置（米），如果这辆吊车的吊臂最长能伸长到米，那么这辆吊车能否完成此次任务？请说明理由．（图中的点都在同一平面内，四边形和四边形均为平行四边形，且A、C、E三点共线，G、D、F三点共线，，） 21. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，正方形顶点都在网格线的交点上，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）直接写出正方形的边长  ； （2）图1中，在线段上找点使得； （3）图1中，在线段上找点使得． （4）图2中，在边上画点，连接，，使得． 22. 如图，中，平分，，垂直平分，交于点，交于点． （1）若，求的度数； （2）若周长，，求的长度． 23. 【感知】如图1，在矩形中，P是上的点，沿折叠B点的对应点是M点，延长交直线于点E．求证：． 【应用】如图2，Q是上的点，； 沿折叠D点的对应点是N点，若P、M、N、Q在同一直线上，且M、N互相重合，则的值是 ． 【拓展】如图3，Q是上的点，，，沿折叠D点的对应点是N点，若，的最小值是1，则的长是 ． ​ 24. 已知，如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在第二象限，，且，若有两个动点P，Q分别在线段和x轴上运动，且． （1）求点A的坐标 （2）求证：． （3）若点T，K分别为直线和直线上的动点，当最小时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $