专题13 函数与方程（7大题型）-《2025年高考艺术生数学40天速提100分攻略》

专题13 函数与方程 【题型归纳目录】 题型一：求函数的零点或零点所在区间 题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围 题型三：二分法的应用 题型四：方程根的个数与函数零点的存在性问题 题型五：嵌套函数的零点问题 题型六：分段函数的零点问题 题型七：等高线问题 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）零点存在性定理 （2）二分法 2024年II卷第6题，5分 2024年天津卷第15题，5分 2024年甲卷第14题，5分 2023年天津卷第15题，5分 2022年天津卷第15题，5分 2021年天津卷第9题，5分 2021年北京卷第15题，5分 （1）理解函数的零点与方程的解的联系. （2）理解函数零点存在定理，并能简单应用. （3）了解用二分法求方程的近似解． 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、函数的零点 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 知识点二、方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点. 知识点三、零点存在性定理 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. 题型一：求函数的零点或零点所在区间 【典例1-1】（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【典例1-2】（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））函数在的零点个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-1】（2011年全国新课标普通高等学校招生统一考试文科数学）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖北卷））已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2010年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科））已知是函数的一个零点，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围 【典例2-1】（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【典例2-2】（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 【变式2-1】（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖南卷））若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____. 知识点四、二分法 对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 知识点五、用二分法求函数零点近似值的步骤 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. 【方法技巧与总结】 函数的零点相关技巧: ①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点. ②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号. ③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号. ④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. 题型三：二分法的应用 【典例3-1】下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（   ） A．   B．     C．   D．   【典例3-2】用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点三次，可以确定根所在的最小区间是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3-2】用二分法求函数在内的唯一零点时，当精确度时，结束计算的条件是（    ） A． B． C． D． 题型四：方程根的个数与函数零点的存在性问题 【典例4-1】（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【典例4-2】若函数有两个零点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·高三·江苏·期末）若函数有零点，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】若函数至少有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】若函数在区间内有零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型五：嵌套函数的零点问题 【典例5-1】已知函数，若方程有5个解，则的取值范围是 A． B． C． D． 【典例5-2】已知指数函数，若有且只有两个不等根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型六：分段函数的零点问题 【典例6-1】（2020年天津市高考数学试卷）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（ ） A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞） 【变式6-1】（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷精编版））已知函数在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是 . 【变式6-2】已知函数．若有2个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型七：等高线问题 【典例7-1】（2025·高三·陕西西安·期末）已知函数若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知函数，若存在互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】函数，若函数有三个不同的零点，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【强化测试】 1．已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东·一模）设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知函数，，若关于的方程恰有个不同实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·贵州安顺·模拟预测）曲线与直线的交点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2025·高三·山西·开学考试）称方程的根为函数的“点”，则函数的“点”为（    ） A． B．或 C．或1 D． 6．（2025·吉林长春·二模）已知为正项等比数列，若是函数的两个零点，则（   ） A．10 B． C． D． 7．（2025·高三·陕西西安·期末）已知奇函数的定义域为，且在上的图象如图所示，则函数的零点个数为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 8．（2025·高三·山西运城·期末）若函数有4个零点，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知，若有三个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．下列函数零点不能用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 11．设，用二分法求方程的近似解的过程中，有，，，则该方程的根所在的区间为（    ） A． B． C． D．不能确定 12．若为函数的零点，则所在区间为（   ） A． B．（1，2） C． D． 13．设函数，若有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．（2025·高三·辽宁抚顺·期末）函数的零点个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 15．已知函数，则函数在区间上的零点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 16．（多选题）函数的零点个数可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 17．（多选题）已知函数是以为最小正周期的周期函数，且当时，，设，则下列结论正确的是（   ） A．当时，可以有两个解 B．当时，可以有一个解 C．当时，可以有四个解 D．当时，可以有三个解 18．（多选题）某同学利用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 则函数的零点的近似值（精确度0.1）可取为（   ） A．2.49 B．2.52 C．2.55 D．2.58 19．（多选题）下列方程中，可以用二分法求近似解的有（    ） A． B． C． D． 20．（多选题）（2025·高三·山东菏泽·期中）已知函数，且，则（   ） A． B． C． D． 21．函数的零点在区间内，则正整数 . 22．已知函数在上有两个零点，则的取值范围是 ． 23．已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为），则应将区间至少等分的次数为 . 24．（2025·高三·安徽亳州·期末）已知函数，若关于的方程有唯一解，则 . 25．（2025·广东·一模）已知函数，，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是 ． 26．函数的零点个数为 ． 27．若函数在区间内有零点，则实数的取值范围为 . 28．（2025·天津武清·一模）函数  关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 . 29．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数，若函数与的图象有且仅有三个交点，则实数的取值范围是 . 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 函数与方程 【题型归纳目录】 题型一：求函数的零点或零点所在区间 题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围 题型三：二分法的应用 题型四：方程根的个数与函数零点的存在性问题 题型五：嵌套函数的零点问题 题型六：分段函数的零点问题 题型七：等高线问题 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）零点存在性定理 （2）二分法 2024年II卷第6题，5分 2024年天津卷第15题，5分 2024年甲卷第14题，5分 2023年天津卷第15题，5分 2022年天津卷第15题，5分 2021年天津卷第9题，5分 2021年北京卷第15题，5分 （1）理解函数的零点与方程的解的联系. （2）理解函数零点存在定理，并能简单应用. （3）了解用二分法求方程的近似解． 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、函数的零点 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 知识点二、方程的根与函数零点的关系 方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点. 知识点三、零点存在性定理 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根. 题型一：求函数的零点或零点所在区间 【典例1-1】（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 【典例1-2】（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））函数在的零点个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】令，得或，再根据x的取值范围可求得零点.由， 得或，， ． 在的零点个数是3， 故选B． 【变式1-1】（2011年全国新课标普通高等学校招生统一考试文科数学）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数在上连续单调递增， 且, 所以函数的零点在区间内，故选C. 【变式1-2】（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖北卷））已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以， 所以， 由，解得或； 由解得或（舍去）， 所以函数的零点的集合为. 故选：D. 【变式1-3】（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C. 【变式1-4】（2010年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科））已知是函数的一个零点，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】因为是函数的一个零点，则是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，如图所示， 则当时，在下方，即； 当时，在上方，即， 故选：B 题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围 【典例2-1】（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 【典例2-2】（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 【变式2-1】（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖南卷））若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】函数有两个零点， 和的图象有两个交点，画出和的图象，如图，要有两个交点，那么 知识点四、二分法 对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点 所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值. 知识点五、用二分法求函数零点近似值的步骤 （1）确定区间，验证，给定精度. （2）求区间的中点. （3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成. 【方法技巧与总结】 函数的零点相关技巧: ①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点. ②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号. ③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号. ④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. 题型三：二分法的应用 【典例3-1】下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（   ） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【解析】根据二分法的概念可知二分法只能求变号零点， 观察选项A中的函数图象可知该函数没有变号零点，观察选项BCD中的函数图象可知对应的函数都存在变号零点， 所以选项A中函数不能用二分法求零点． 故选：A. 【典例3-2】用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点三次，可以确定根所在的最小区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则，， 由，，， 则方程在区间内有实根. 故选：C. 【变式3-1】用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】开区间的长度等于1 ，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半， 经过n此操作后，区间长度变为， 因为用二分法求函数在区间上的零点近似解，要求精确度为0.01， ，因为，，所以， 即所需二分区间的次数最少为 故选：C. 【变式3-2】用二分法求函数在内的唯一零点时，当精确度时，结束计算的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】二分法求函数在内的唯一零点时，当精确度时，结束计算， 根据二分法的步骤知当区间长度小于精确度时，便可结束计算. 所以当时，便可结束计算. 故选：B. 题型四：方程根的个数与函数零点的存在性问题 【典例4-1】（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时， ， 单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 选B. 【典例4-2】若函数有两个零点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，有两个根， 由得， 所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴）， 直线过定点， 当直线与相切时， 圆心到直线的距离， 解得或（舍去）， 当直线过点时， 直线斜率为， 结合图形可得实数的取值范围是. 故选：C. 【变式4-1】（2025·高三·江苏·期末）若函数有零点，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数有零点，则，解得， 而，因此，， 所以的取值集合为. 故选：D 【变式4-2】若函数至少有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数有零点，则方程有根，即有根， 因此函数的图象与直线有交点， 而函数是R上的偶函数，在上单调递减，函数的值域为， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图， 观察图象知，当且仅不，即时，函数的图象与直线有交点， 所以的取值范围为. 故选：C 【变式4-3】函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于在上单调递增， 故命题等价于，即，解得. 故选：D. 【变式4-4】若函数在区间内有零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对有，即. ①若有零点，则. 从而，，这就得到. ②若，则. 而，所以根据零点存在定理，可知在上必有零点. 综合①②可知，的取值范围是. 故选：C. 题型五：嵌套函数的零点问题 【典例5-1】已知函数，若方程有5个解，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ，或，由题意可知：，由题可知：当时，有2个解且有2个解且 ， 当时，，因为，所以函数是偶函数，当时，函数是减函数，故有，函数是偶函数，所以图象关于纵轴对称，即当时有，，所以，综上所述； 的取值范围是，故本题选D. 【典例5-2】已知指数函数，若有且只有两个不等根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，即方程有两个不等根， 函数与图象有两个不同交点， 与互为反函数，则两函数图象关于对称， 则与图象的交点都分布在直线上，问题等价于与有两个不同交点，即有两根， 即函数图象与直线有两个交点. 设，则，令， 则在上单调递增，在上单调递减，. 又， 可得大致图象如下，则要使图象与直线有两个交点， 需满足. 故选：C 【变式5-1】已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，作出函数的图象如下图所示： 因为关于的方程有个不同的实数根， 则关于的方程在内有两个不等的实根， 设，则函数在内有两个不等的零点， 所以，，解得. 故选：A. 题型六：分段函数的零点问题 【典例6-1】（2020年天津市高考数学试卷）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根 即可， 令，即与的图象有个不同交点. 因为， 当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意； 当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意； 当时，如图3，当与相切时，联立方程得， 令得，解得（负值舍去），所以. 综上，的取值范围为. 故选：D. 【典例6-2】（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（ ） A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞） 【答案】C 【解析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果. 画出函数的图像，在y轴右侧的去掉， 再画出直线，之后上下移动， 可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点， 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程有两个解， 也就是函数有两个零点， 此时满足，即，故选C. 【变式6-1】（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷精编版））已知函数在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】由函数在R上单调递减得，又方程恰有两个不相等的实数解，所以，因此的取值范围是. 【变式6-2】已知函数．若有2个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令可得， 作出函数与函数的图象如下图所示： 当时，函数与函数的图象有2个交点， 此时，函数有2个零点． 因此，实数的取值范围是． 故选：C. 题型七：等高线问题 【典例7-1】（2025·高三·陕西西安·期末）已知函数若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，作出的大致图象，如图所示， 要使得， 即函数与的图象有4个不同交点，则， 所以实数的取值范围是． 故选：A. 【典例7-2】已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出函数的图象，如图， 不妨设， 则，得， 由图可知，，， 故. 故选：C 【变式7-1】已知函数，若存在互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】假设， 作出的图象如下； 由，所以，则 令，所以， 由，所以， 所以，故. 故选：D. 【变式7-2】函数，若函数有三个不同的零点，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据函数，画出函数图象，如图： ，且， ， ，， 解得，， 的取值范围是. 故选：B 【强化测试】 1．已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 又函数是定义在上偶函数，其图象关于轴对称作出函数图象： 因为函数仅有4个零点，所以函数与有4个交点， 根据图象可知：，即实数的取值范围是． 故选：C． 2．（2025·广东·一模）设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】画出函数的图象如图所示． 不妨令，则，则． 结合图象可得，故． ∴． 故选：B． 3．已知函数，，若关于的方程恰有个不同实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，可得， 因为最多有两个实根，若恰有个不同实数根， 则恰有三个实根， 作出的图象，如图 由或可得：或或，且， 由即，， 由可得， 由即，， 由可得， 由即，， 由恒成立， 综上所述：，实数的取值范围为， 故选：A. 4．（2025·贵州安顺·模拟预测）曲线与直线的交点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】，， ， 作出与的大致图象，易知共有3个交点. 故选：A. 5．（2025·高三·山西·开学考试）称方程的根为函数的“点”，则函数的“点”为（    ） A． B．或 C．或1 D． 【答案】D 【解析】当时，，解得（舍去）； 当时，，解得或（舍去）. 综上函数的“点”为. 故选：D. 6．（2025·吉林长春·二模）已知为正项等比数列，若是函数的两个零点，则（   ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得为方程的两个解，则， 解得，易知. 故选：B. 7．（2025·高三·陕西西安·期末）已知奇函数的定义域为，且在上的图象如图所示，则函数的零点个数为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【解析】令得或. 如图，画出在上的图象与直线，直线． 由图可知，的图象与直线有5个公共点， 的图象与直线仅有1个公共点， 则的零点个数为． 故选：B. 8．（2025·高三·山西运城·期末）若函数有4个零点，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，函数在上单调递增，， ，则函数在上有唯一零点； 依题意，当时，有3个零点， 当时，又，则， 因此，解得， 所以正数的取值范围是. 故选：B 9．已知，若有三个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，由，得，而函数在上单调递增， 又有三个零点，因此方程在上有两个不等根， 于是，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 10．下列函数零点不能用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项，在上单调递增，且与轴有唯一交点， 交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解，A正确； 对于B选项，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点，B正确； 对于C选项，由题意可知只有一个零点， 且在该零点左右两边的函数值都大于零，故不宜用二分法求解该零点，C错误； 对于D选项，， 在单调递增，单调递减，所以， 则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解，D正确. 故选：C 11．设，用二分法求方程的近似解的过程中，有，，，则该方程的根所在的区间为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【解析】因为，根据函数解析式可分析得函数为单调递增的连续函数， 由已知，，所以， 根据零点存在定理定理可知，方程的根所在区间为， 故选：B 12．若为函数的零点，则所在区间为（   ） A． B．（1，2） C． D． 【答案】B 【解析】函数为上的增函数， 又， 且， 因为， 所以所在区间为. 故选：B 13．设函数，若有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数在上单调递增，函数值集合为； 函数在上单调递减，函数值集合为[0,+∞)； 函数在上单调递增，函数值集合为[0,+∞)； 作出函数的图象与直线，如图， 观察图象知，只有当时，函数的图象与直线有3个交点， 所以有三个不同的实数根，实数的取值范围为； 故选：C 14．（2025·高三·辽宁抚顺·期末）函数的零点个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解析】由，得， 作出函数、的大致图象，如图所示， 由图可知，这两个函数的图象有5个交点，则的零点个数为5. 故选：A. 15．已知函数，则函数在区间上的零点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】令，即，亦即. 当时，在区间上，. 当，即时， 在一个周期内，有两个解，在区间上，也有两个解. 由上述计算可知，有个解，有个解， 所以函数在区间上的零点个数为个. 故选：C. 16．（多选题）函数的零点个数可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BC 【解析】由，，得， 求函数的零点个数等价于求函数和的图像的交点个数. 函数的导函数，当时；当时. 所以函数在上单调递增，在单调递减. 时有最大值，时， 时，，. 过定点的直线，与函数的图像的交点数为1个或2个，如图所示. 所以函数的零点个数为1个或2个. 故选：BC. 17．（多选题）已知函数是以为最小正周期的周期函数，且当时，，设，则下列结论正确的是（   ） A．当时，可以有两个解 B．当时，可以有一个解 C．当时，可以有四个解 D．当时，可以有三个解 【答案】ABD 【解析】因为当时，， 所以此区间的图像是开口向上，对称轴为的抛物线的一部分， 且，又是以为最小正周期的周期函数， 所以当时，，， 以此类推，则作的部分草图如下， 对于A，当时，， 显然当时，即可得到有两个解， ，A正确； 对于B，当时，， 显然时，有一个解， ，B正确； 对于C，当时，， 若，如图，有三个解， ， 所以随着直线平移，即， 则不可能有四个解，C错； 对于D，当时，， 如图当时，此时在内有两个解， 所以随着直线下移，可以有三个解， 且第三个解在内，所以D正确. 故选：ABD 18．（多选题）某同学利用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 则函数的零点的近似值（精确度0.1）可取为（   ） A．2.49 B．2.52 C．2.55 D．2.58 【答案】BC 【解析】因为函数在其定义域上单调递增，结合表格可知， 方程的唯一近似解在，，，内， 又精确度0.1， 所以方程的近似解（精确度0.1）可取为，. 故选：BC 19．（多选题）下列方程中，可以用二分法求近似解的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，在上单调递增，且在上连续， 且，，可以使用二分法求原方程的近似解； 对于B，在R上连续且单调递增， 又，，可以使用二分法求原方程的近似解； 对于C，，故不可以使用二分法求原方程的近似解； 对于D，在上单调递增，且在上连续， 且，，可以使用二分法求原方程的近似解. 故选：ABD. 20．（多选题）（2025·高三·山东菏泽·期中）已知函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】结合函数的图象可知，，故A错误； 由，可得，故B正确； 因为，所以，所以，则， 又，所以， 由二次函数性质得在上单调递增， 故，故C正确； 因为，所以，故D正确． 故选：BCD 21．函数的零点在区间内，则正整数 . 【答案】 【解析】因为定义域为， 又与均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，， 所以，所以在上存在唯一零点，所以. 故答案为： 22．已知函数在上有两个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由函数在上有两个零点， 可得在上有两个根，令 则，解得，所以的取值范围是. 故答案为：. 23．已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为），则应将区间至少等分的次数为 . 【答案】 【解析】由于每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的， 则等分次后的区间长度变为原来的， 由题意可得，可得，且， 所以，正整数的最小值为，即至少等分的次数为. 故答案为：. 24．（2025·高三·安徽亳州·期末）已知函数，若关于的方程有唯一解，则 . 【答案】1 【解析】由于关于的方程有唯一解， 且有唯一的实数根，故， 故又零点为，故， 因此， 故， 故答案为：1 25．（2025·广东·一模）已知函数，，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】函数是偶函数，大致图象，如图所示： 方程， 分解因式得， 解得：或， 由函数的图象可知，只有个根， 所以需有个根才满足题意， 所以实数的取值范围是：， 故答案为：． 26．函数的零点个数为 ． 【答案】4 【解析】令，得或． 设，，在平面直角坐标系中先画出的图象， 保留轴上方的部分图象并把轴下方的图象向上翻折即得的图象， 再作出的图象，如图所示，由图可知两者共有3个交点. 综上所述，函数共有4个零点． 故答案为：4. 27．若函数在区间内有零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为函数在区间上单调递减，且该函数在区间内有零点， 则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 28．（2025·天津武清·一模）函数  关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】如图画出函数的图象， 直线表示过点的直线，表示直线的斜率， ，，，， 所以在点处的切线方程为，此时斜率为1， 如图，若与，有一个交点，则， ，，， 所以在点处的切线方程为，此时斜率为， 如图，若与，有一个交点，则， 如图，当时，与有两个交点， 综上可知，的取值范围是. 故答案为： 29．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数，若函数与的图象有且仅有三个交点，则实数的取值范围是 . 【答案】. 【解析】当时，则，令， 求导可得，令，解得，可得下表： 单调递增 极大值 单调递减 由函数的极大值为，则存在唯一零点， 所以函数与函数在上有且仅有一个交点； 当时，，令， 求导可得，显然上， 则函数在上单调递减， 当时，，当时，， 由，则函数在上存在唯一零点， 所以函数与函数在上有且仅有一个交点； 由题意可得函数与函数在上有且仅有一个交点， 当时，，令， 令，整理可得， 当方程有两个相等的实数解时，，解得， 此时，符合题意， 当方程在有一个实数根时，可得，解得， 综上可得. 故答案为：. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$