精品解析：湖北省宜昌市宜都市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024年秋季期末学业质量监测 九年级数学试题 （全卷共24小题，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将答案写在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷上无效．考试结束时，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列事件中，是确定事件的是（ ） A. B. 的图像开口向上 C. 是负数 D. 任画一个，它是 2. 下列图案是我国国产汽车的标识，在这些图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点与点Q关于原点对称，则点Q的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 对联是中国特有的一种文学形式，厦门鼓浪屿就有一副有名的对联“雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天”，在这副对联中任选一个汉字，与这个字是“山”的概率不同的汉字为（ ） A. 雾 B. 头 C. 水 D. 天 5. 某厂今年一月总产量为500吨，三月的总产量为720吨，平均每月增长率为，可列方程为（ ） A B. C D. 6. 下列一元二次方程中，有两个互为相反数的实数根的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点C是中优弧的上一点，过P点的两条切线夹角，A，B为切点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 在矩形中，，，点为对角线，的交点，以点为圆心，为半径作，则（ ） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 点与位置关系不能确定 10. 一次函数（）与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是______． 12. 抛物线与x轴两交点间的距离为______． 13. 如图，正六边形的中心为原点O，顶点A的坐标为，则顶点B的坐标为______． 14. 已知二次函数y与x的部分对应值如下表：下列结论： x 0 1 2 y 1 3 1 ①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为；③当时，函数值y随x的增大而增大；④抛物线与x轴有两个不同交点．其中正确的结论有______． 15. 如图，将绕点A顺时针旋转，旋转角为（），得到，这时点C旋转后的对应点D恰好在直线上，则用含的式子表示为______． 三、解答题 16. 解方程： 17. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求实数k取值范围； （2）若，求k的值及方程的两根． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，． （1）以A为旋转中心，将绕A点逆时针旋转，画出旋转后的对应的，C点的对应点为，写出点的坐标； （2）求（1）中，点C旋转到点所经过的路径长．（结果保留根号和） 19. 如图是一条隧道的横截面，它的“拱顶”部分是以点O为圆心的圆的一部分，如果的半径为，跨度为． （1）求“拱顶”部分表示拱高的线段的长度； （2）若要在离隧道中心处（即）安装一支柱（垂直于），求支柱的长度． 20. 某校在学生中对“预防诺如病毒相关知识”知晓情况进行专项调查，采取随机抽样的方式抽取50人进行问卷调查，问卷调查分为A、B、C、D四个选项．每人必选且只选其中一项，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”．调查后的数据整理成不完整的统计表和四个选项所占比的扇形统计图如下： 类别 频数 （1）表中的 ， ； （2）若该校有学生名，根据调查结果估计该校学生中对预防诺如病毒相关知识“比较了解”的人数约为多少？ （3）若王老师和李老师要到选择某一选项的学生中进一步了解情况，试用“列表或画树状图”的方法求两人选择同一选项的学生了解情况的概率． 21. 如图，已知，其中A、B、C三点在上，分别连接，，延长交于点M，交过点C的直线l于点P，． （1）求证：是的切线； （2）若直线l与相切，已知，半径是5．求的面积． 22. 某地某网店专门销售甲乙两种儿童套装，乙每件的进价比甲多5元，某次用1300元购进两种儿童套装各20件．销售中发现：甲种每天销售件数y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． （1）求甲种儿童套装每件的进价； （2）求y与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （3）网店每天甲种套装销售量不低于250件，当甲种套装销售单价为多少元时，每天销售甲种套装获取的利润最大，最大利润是多少？ 23. 在矩形中，，连接和的中点，，把四边形绕点逆时针旋转（）到四边形的位置，的延长线交于点． （1）当点落在线段边上时，如图，直接写出的度数、与的数量关系； （2）当，，在同一直线上时，如图，交于点，求与的数量关系； （3）当，，在同一直线上时，如图，交于点，探究与的数量关系． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线过的三个顶点．其中点坐标是，C点坐标是． （1）求a和c的值； （2）若Q点在抛物线图像上，平分，求Q点坐标； （3）在直线上，是否存在一点E，过E点且互相垂直的两条直线分别与抛物线有唯一公共点，若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季期末学业质量监测 九年级数学试题 （全卷共24小题，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将答案写在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷上无效．考试结束时，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列事件中，是确定事件的是（ ） A. B. 的图像开口向上 C. 是负数 D. 任画一个，它是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了确定事件和随机事件的定义，二次函数图象的性质代数式的应用，掌握以上知识是解题的关键．根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】解：A. ，是确定事件，故该选项符合题意； B. 的图像开口向上，是随机事件，故该选项不符合题意； C. 是负数，是随机事件，故该选项不符合题意； D. 任画一个，它是，是随机事件，故该选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列图案是我国国产汽车的标识，在这些图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，熟练掌握定义是解题的关键．根据把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意； B、是中心对称图形，故符合题意； C、不是中心对称图形，故不符合题意； D、不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 3. 已知点与点Q关于原点对称，则点Q的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案． 本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是． 【详解】解：平面直角坐标系中，已知点与点Q关于原点对称， 则Q点坐标为． 故选：C． 4. 对联是中国特有的一种文学形式，厦门鼓浪屿就有一副有名的对联“雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天”，在这副对联中任选一个汉字，与这个字是“山”的概率不同的汉字为（ ） A. 雾 B. 头 C. 水 D. 天 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率，根据先求得随机选一个字是“山”的概率为，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】这段内容是关于概率的，对联“雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天”中，总共有14个汉字，其中“山”字出现了2次，，所以随机选一个字是“山”的概率为 而“雾”“头”“尾”“水”“天”这四个字在对联中分别出现的次数为、、、、， 与“山”字出现的次数不同的是“头”或“尾”的概率为，“雾”“水”“天”这3个字出现的概率为 故选：B． 5. 某厂今年一月总产量为500吨，三月的总产量为720吨，平均每月增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 设平均每月增长率是x，则二月份总产量为吨，三月份的总产量为吨，据此列出方程即可． 【详解】解：设平均每月增长率是x， 由题意得，． 故选B． 6. 下列一元二次方程中，有两个互为相反数的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据两个根互为相反数，得到两根之和为，进行判断即可． 【详解】解：A、，方程没有实数根，不符合题意； B、，两根之和为，符合题意； C、，方程没有实数根，不符合题意； D、，且两根之和为4，不符合题意； 故选：B． 7. 如图，点C是中优弧的上一点，过P点的两条切线夹角，A，B为切点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，根据切线的性质得，再利用四边形的内角和得到，根据圆周角定理可计算出． 【详解】解：∵和为的两条切线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 8. 把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，再根据“左加右减，上加下减”的原则写出平移后的抛物线的解析式，再求出顶点坐标即可． 【详解】解：把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位， 得 ∴平移后抛物线的顶点坐标为， 故选：A 9. 在矩形中，，，点为对角线，的交点，以点为圆心，为半径作，则（ ） A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 点与位置关系不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，矩形的性质，点与圆的位置关系，解题的关键在于熟练掌握相关知识．利用勾股定理求出，再结合矩形的性质得到，最后根据点到圆心的距离与半径的数量关系判断到点与圆的位置关系判断，即可解题． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴， ∴， ∵以点为圆心，为半径作， ∴点在外 故选：C． 10. 一次函数（）与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 【详解】解：A、一次函数与y轴交点应为，二次函数与y轴的交点也应为，图象不符合，故本选项错误； B、由抛物线可知，，由直线可知，，a的取值矛盾，故本选项错误； C、由抛物线可知，，由直线可知，，a的取值矛盾，故本选项错误； D、由抛物线可知，，由直线可知，，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确． 故选：D． 二、填空题 11. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．熟记相关定义即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故答案为：． 12. 抛物线与x轴两交点间的距离为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，通过解方程得抛物线与x轴的两交点的坐标，从而得到两交点间的距离． 【详解】解：当时，， 解得，， 所以抛物线与x轴的两交点的坐标为，， 所以抛物线与x轴的两交点间的距离为． 故答案为：2． 13. 如图，正六边形的中心为原点O，顶点A的坐标为，则顶点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形与圆、等边三角形的性质与判定及勾股定理、图形与坐标，熟练掌握正多边形与圆、等边三角形的性质与判定及勾股定理、图形与坐标是解题的关键；连接，过点B作轴于点H，由题意易得是等边三角形，则有，然后问题可求解． 【详解】解：连接，过点B作轴于点H，如图所示： ∵正六边形的中心为原点O，顶点A的坐标为， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； 故答案为． 14. 已知二次函数的y与x的部分对应值如下表：下列结论： x 0 1 2 y 1 3 1 ①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为；③当时，函数值y随x的增大而增大；④抛物线与x轴有两个不同交点．其中正确的结论有______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x的交点，解答本题的关键是掌握二次函数的图象及性质，根据图象上两点得出抛物线的对称轴． 由表中数据运用待定系数法可得出二次函数的解析式，根据开口方向可判断①；根据解析式得出对称轴，可判定②；根据函数图形的性质和增减性可判断③；对于，令，则，其判别式，据此判断④； 【详解】把，，代入， 得到， 解得：， 所以函数解析式为． ①由，可得抛物线的开口向下，故①正确； ②由函数的解析式，可得对称轴为，故②正确； ③由函数的对称轴以及二次项系数，可得当时，随的增大而增大，故③正确； ④对于一元二次方程，，所以抛物线与轴有两个不同交点，解得，故④正确． 正确的结论有①②③④． 故答案为：①②③④． 15. 如图，将绕点A顺时针旋转，旋转角为（），得到，这时点C旋转后的对应点D恰好在直线上，则用含的式子表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得到，得到，最后结合三角形内角和定理出推导与旋转角的关系． 【详解】解：点C旋转后的对应点恰好在直线上， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 16. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】把右边的项移到左边，用提公因式法进行因式分解求出方程的根． 【详解】3x（x+1）-（2x+2）=0， 3x（x+1）-2（x+1）=0， （x+1）（3x-2）=0， ∴x+1=0，3x-2=0， ∴x1=-1，x2=； 【点睛】本题考查的是用因式分解法解方程，根据题目的结构特点，用提公因式法因式分解求出方程的根． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求实数k的取值范围； （2）若，求k的值及方程的两根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式直接进行求解即可； （2）由题意易得，则有，进而求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：根据一元二次方程根与系数的关系可知：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，． （1）以A为旋转中心，将绕A点逆时针旋转，画出旋转后的对应的，C点的对应点为，写出点的坐标； （2）求（1）中，点C旋转到点所经过的路径长．（结果保留根号和） 【答案】（1）见详解， （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图点的坐标，勾股定理以及求弧长，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据旋转性质画出，再读取点的坐标，即可作答． （2）运用勾股定理求出，再求出弧长，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示： ， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：， 则点C旋转到点所经过的路径长． 19. 如图是一条隧道的横截面，它的“拱顶”部分是以点O为圆心的圆的一部分，如果的半径为，跨度为． （1）求“拱顶”部分表示拱高的线段的长度； （2）若要在离隧道中心处（即）安装一支柱（垂直于），求支柱的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先证明，然后在用勾股定理即可得到答案； （2）作于，连接不妨设，先证明四边形是矩形，然后推出，，，然后在中用勾股定理即可得到答案． 【小问1详解】 解：，的半径为 ， 【小问2详解】 解：作于，连接不妨设 ， 四边形是矩形 ，， 在中，，， ，（舍） 20. 某校在学生中对“预防诺如病毒相关知识”知晓情况进行专项调查，采取随机抽样的方式抽取50人进行问卷调查，问卷调查分为A、B、C、D四个选项．每人必选且只选其中一项，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”．调查后的数据整理成不完整的统计表和四个选项所占比的扇形统计图如下： 类别 频数 （1）表中的 ， ； （2）若该校有学生名，根据调查结果估计该校学生中对预防诺如病毒相关知识“比较了解”的人数约为多少？ （3）若王老师和李老师要到选择某一选项的学生中进一步了解情况，试用“列表或画树状图”的方法求两人选择同一选项的学生了解情况的概率． 【答案】（1）， （2）人 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是频数分布表，样本估计总体，扇形统计图，用树状图法求概率． （1）根据扇形统计图用选项占比乘以得出的值，进而根据频数分布表求得的值，即可求解； （2）用乘以选项的占比，即可求解； （3）根据画树状图法求概率，即可求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：（人） 答：根据调查结果估计该校学生中对预防诺如病毒相关知识“比较了解”的人数约为人 【小问3详解】 解：画树状图如图， 共有16种等可能结果，其中王老师和李老师两人选择同一选项的学生了解情况，有4种， ∴王老师和李老师两人选择同一选项的学生了解情况的概率为． 21. 如图，已知，其中A、B、C三点在上，分别连接，，延长交于点M，交过点C的直线l于点P，． （1）求证：是的切线； （2）若直线l与相切，已知，半径是5．求的面积． 【答案】（1）见详解 （2）54 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质与判定、平行四边形的性质及垂径定理的推论，熟练掌握切线的性质与判定、平行四边形的性质及垂径定理的推论是解题的关键； （1）由垂径定理的推论可得，然后可得，进而问题可求证； （2）连接，由题意易得，然后根据勾股定理可得，则有，然后问题可求解． 【小问1详解】 证明：∵过圆心O，且， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵直线l与相切， ∴， ∵，半径是5， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 22. 某地某网店专门销售甲乙两种儿童套装，乙每件的进价比甲多5元，某次用1300元购进两种儿童套装各20件．销售中发现：甲种每天销售件数y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． （1）求甲种儿童套装每件的进价； （2）求y与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （3）网店每天甲种套装的销售量不低于250件，当甲种套装销售单价为多少元时，每天销售甲种套装获取的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）30元 （2） （3）当销售单价为45元是，每天销售利润最大，最大利润是3750元 【解析】 【分析】对于（1），设甲种儿童套装每件的进价为x元，可知乙每件的进价为元，再根据总价相等列出方程，求出解即可； 对于（2），将点代入关系式，求出答案； 对于（3），先列出利润和销售单价的二次函数关系式，再结合销售量不低于250件得出自变量的取值范围，讨论极值即可． 小问1详解】 解：设甲种儿童套装每件的进价为x元，可知乙每件的进价为元，根据题意，得 ， 解得， 所以甲种儿童套装每件的进价是30元； 【小问2详解】 解：设函数关系式为，根据题意，得 ， 解得， 所以一次函数的关系式为； 【小问3详解】 解：设每天销售甲种套装的总利润为w，根据题意，得 ， 且， 解得． ∵， ∴抛物线的开口向下，有最大值，对称轴是， 当时，函数值w随着x的增大而增大， 即当时，元． 所以当甲种套装销售单价为45元时，每天销售甲种套装获取的利润最大，最大利润是3750元． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，求一次函数的关系式，一元一次方程的应用，求二次函数的极值，一元一次不等式的应用，根据不等式求出自变量取值范围得出最大值是解题的关键． 23. 在矩形中，，连接和的中点，，把四边形绕点逆时针旋转（）到四边形的位置，的延长线交于点． （1）当点落在线段边上时，如图，直接写出的度数、与的数量关系； （2）当，，在同一直线上时，如图，交于点，求与的数量关系； （3）当，，在同一直线上时，如图，交于点，探究与的数量关系． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，依题意得出边形，是正方形，根据正方形的性质可得，进而得出；证明四边形是平行四边形，得出； （2）设，则；连接，，根据题意得出是等边三角形，得出，根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理得出，进而求得，即可求解； （3）证明得出，设，则，勾股定理可得；进而求得，设，则，，勾股定理可得，进而求得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，，连接和的中点，， ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形， 同理可得四边形是正方形 如图所示，连接，则 ∵把四边形绕点逆时针旋转（）到四边形的位置， ∴四边形是正方形， ∴， ∵点落在线段边上，是正方形的对角线 ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：设，则； 如图所示，连接，， ∵四边形是正方形，当，，在同一直线上时， ∴ 又∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴ 又∵ ∴ 在中，， ∴ ∴ 在中， ∴， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ ∴ 在中，，， ∴ ∴ ∴； 小问3详解】 解：在和中， ∴ ∴， 设，则， 在中，， ∴ 解得：； ∴，， ∴， ∴， 连接 在中， ∴ ∴ 设，则，， 在中， ∴ 解得： ∴ ∴ 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，正方形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线过的三个顶点．其中点坐标是，C点坐标是． （1）求a和c的值； （2）若Q点在抛物线图像上，平分，求Q点坐标； （3）在直线上，是否存在一点E，过E点且互相垂直的两条直线分别与抛物线有唯一公共点，若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）把A点坐标是，C点坐标是代入，解方程组即可求解； （2）求出B点坐标，求得的长，设交轴于点，作于，通过解直角三角形求得，进而可求直线的函数解析式，再与联立即可求出点Q坐标； （3）设，过点直线为，将代入得，作轴于点，过点的直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，同理可得直线，与联立，令即可求出． 【小问1详解】 解：将A点坐标是，C点坐标是代入，得， 解得； 【小问2详解】 解：；； ， ， ， 令， ， ， ， ， ， 设交轴于点，作于， 平分，， ， ， ， ， 设直线为， 代入， 得，， 解得，， ， ， 解得（舍去），， 当时，， ； 【小问3详解】 解：设，过点的直线为， 将代入得， ， ， 作轴于点，过点的直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点， ，，， ， 同理可得直线， 令，则， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 若直线与只有一个交点， ， 整理得：， ， 即， 同理可得， 可看作方程的两个实数根， ， ， ． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的相关性质，一次函数的相关性质，待定系数法求函数解析式，三角形相似的性质和判定，解一元二次方程、解直角三角形等知识．第三问有难度，正确做辅助线，构建直角三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$