精品解析：福建省莆田第五中学附属学校2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试题

八年级下学期第一次月考 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分，每小题均有A、B、C、D四个选项，有且只有一个选项是正确的，请在答题卡的相应位置填涂．） 1. 下列各线段中， 能构成直角三角形的是（ ） A. 1、 B. 1、1、1 C. D. 6、 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A AD//BC，AB=CD B. ∠AOB=∠COD，∠AOD=∠COB C. OA=OC，OB=OD D. AB=AD，CB=CD 4. 如图，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线 AC，BD 的交点，若△ADO的面积是 4，则平行四边形 ABCD 的面积是（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 5. 如图，数轴上的点A所表示的数为（ ） A. B. C. D. 6. 二次根式有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，的对边分别为，，，且，则（ ） A. 为直角 B. 为直角 C. 为直角 D. 不是直角三角形 8. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为（ ） A. 3尺 B. 尺 C. 尺 D. 4尺 9. 下列命题中假命题的个数（ ） ①无理数包括正无理数、零和负无理数；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③和为180°的两个角互为邻补角；④的算术平方根是7；⑤如果a<0那么= -a，（）2= -a；⑥点到直线的距离是这点到这条直线的垂线段 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 10. 如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1＋S2＋S3＝60，则S2的值是（ ） A. 12 B. 15 C. 20 D. 25 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分，请填在答题卡的相应位置上．） 11. 在平行四边形ABCD中，已知∠B＝50°，则∠A＝_____． 12. 已知实数x，y满足 ，则的值为_______． 13. 如图，▱ABCD中，DE平分∠ADC，交BC于点E，且AD＝5，CD＝3，则BE的长为___． 14. 若二次根式与和是一个二次根式，则正整数a的最小值为 ___． 15. 若，则的值为___． 16. 如图1是有两个外开式活动门扇的双开入户铜门．门槛长为，分别为左右门扇的底部门宽，且，关上门时，C与D重合．阳光明媚的某天，将两扇门向外开到如图2的位置（平面示意图），这时阳光正好垂直照射向门槛，因门的遮挡，在门槛上留下三线段，只有线段晒到太阳，且，则此时C、D间的距离为___________cm． 三、解答题（本大题共9小题，共86分，请解答在答题卡的相应位置上，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，A、C分别在、延长线上，且，求证：． 20. 如图，在中，，点P是边上一点，请用尺规作图法在边上求作一点Q，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 21. 如图，□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N． （1）求证：四边形CMAN是平行四边形． （2）已知DE＝4，FN＝3，求BN的长． 22. 如图，铁路和公路在点O处交会，，在点A处有一栋居民楼，．如果火车行驶时，周围以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路上沿方向行驶时，居民楼受噪声影响的时间为秒，求火车行驶的速度为多少（不考虑火车长度）？ 23. 如图，在一条绷紧绳索一端系着一艘小船，河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变，已知A、B、F三点在一条直线上，且于点F，若米，米，米，求男子向右移动的距离． 24. 清朝康熙皇帝是我国历史上一位对数学很感兴趣的帝王，前不久，在西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题给出解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．对这段话用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，则第一步：；第二步：；第三步：分别用3、4、5乘以k，得三边长”． （1）当面积S等于96时，请用康熙的“积求勾股法”求出直角三角形的三边长及周长； （2）你能证明康熙这种“积求勾股法”的正确性吗？请写出你的理由． 25. 如图，在中，，，点E为上一动点，与相交于点G，，垂足为H，的延长线与相交于点F （1）若，，求的长； （2）在（1）条件下，当时，求的度数； （3）当点E在线段上运动时，试探究三者之间的数量关系 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下学期第一次月考 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分，每小题均有A、B、C、D四个选项，有且只有一个选项是正确的，请在答题卡的相应位置填涂．） 1. 下列各线段中， 能构成直角三角形的是（ ） A. 1、 B. 1、1、1 C. D. 6、 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理来进行判断即可． 【详解】解：A．，能构成直角三角形，选项正确，符合题意； B．，不能构成直角三角形，选项错误，不符合题意； C．，不能构成直角三角形，选项错误，不符合题意； D．，不能构成直角三角形，选项错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查利用勾股定理的逆定理来判断直角三角形，熟记常见的勾股数可以快速的帮助我们解题． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次根式的加减法对A、C、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断． 【详解】解：A选项：+＝2，故不正确； B选项：×＝3，故不正确； C选项：+=2，故是正确的； D选项：2和不能直接合并，故不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． 3. 如图，在下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. AD//BC，AB=CD B. ∠AOB=∠COD，∠AOD=∠COB C. OA=OC，OB=OD D. AB=AD，CB=CD 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的判定可求解． 【详解】A、由AD∥BC，AB=CD不能判定四边形ABCD为平行四边形； B、由∠AOB=∠COD，∠AOD=∠COB不能判定四边形ABCD为平行四边形； C、由OA=OC，OB=OD能判定四边形ABCD为平行四边形； D、AB=AD，CB=CD不能判定四边形ABCD为平行四边形； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． 4. 如图，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线 AC，BD 的交点，若△ADO的面积是 4，则平行四边形 ABCD 的面积是（ ） A 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】因为平行四边对角线互相平分，所以和是同底等高的三角形，即对角线所分得四个三角形面积相同即可求解． 【详解】∵平行四边对角线互相平分平行四边对角线互相平分， ∴，， 则和是同底等高的三角形，所以面积相等， 同理可得和面积相等， 故． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的定义及同底等高三角形的判定，合理进行转换是解题关键． 5. 如图，数轴上的点A所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴．利用勾股定理求得的长，再根据数形结合即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴点A所表示的数为． 故选：C． 6. 二次根式有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，可得关于x的不等式，解之即可． 【详解】∵二次根式有意义， ∴1-x≥0， 解得：x≤1， 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的定义、解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解答的关键． 7. 在中，，，的对边分别为，，，且，则（ ） A. 为直角 B. 为直角 C. 为直角 D. 不是直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】先把等式化为的形式，再根据勾股定理的逆定理判断出此三角形的形状，进而可得出结论． 详解】解：∵， ∴，即，故此三角形是直角三角形，a为直角三角形的斜边， ∴为直角． 故选:A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握由勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形是解题的关键． 8. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为（ ） A. 3尺 B. 尺 C. 尺 D. 4尺 【答案】B 【解析】 【分析】竹子折断后刚好构成直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边长为尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， ∴折断处离地面的高度为尺， 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 9. 下列命题中假命题的个数（ ） ①无理数包括正无理数、零和负无理数；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③和为180°的两个角互为邻补角；④的算术平方根是7；⑤如果a<0那么= -a，（）2= -a；⑥点到直线的距离是这点到这条直线的垂线段 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数、垂线的性质、补角的定义，算术平方根的意义，二次根式的性质和点到直线的距离的定义逐项判断即可． 【详解】解：①无理数包括正无理数和负无理数，原说法错误，是假命题； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误，是假命题； ③和为180°的两个角互为补角，原说法错误，是假命题； ④的算术平方根是，原说法错误，是假命题； ⑤如果a<0，那么= -a，（）2= -a，正确，是真命题； ⑥点到直线的距离是这点到这条直线的垂线段的长度，原说法错误，是假命题； 假命题有5个， 故选：A． 【点睛】本题考查了真假命题的判断，牢记基础定义和性质是解题的关键． 10. 如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1＋S2＋S3＝60，则S2的值是（ ） A. 12 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】设每个小直角三角形的面积为m，则S1=4m+S2，S3=S2-4m，依据S1+S2+S3=60，可得4m+S2+S2+S2-4m=60，进而得出S2的值． 【详解】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1=4m+S2，S3=S2-4m， ∵S1+S2+S3=60， ∴4m+S2+S2+S2-4m=60， 即3S2=60， 解得S2=20． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用m表示出S1，S3，再利用S1+S2+S3=60求出是解决问题的关键． 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分，请填在答题卡的相应位置上．） 11. 在平行四边形ABCD中，已知∠B＝50°，则∠A＝_____． 【答案】130° 【解析】 【分析】根据平行四边形的邻角互补计算即可； 【详解】解：∵在▱ABCD中∠B＝50°， ∴∠A＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°． 故答案为：130°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，根据邻角互补计算是解题的关键． 12. 已知实数x，y满足 ，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组、代数式的求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得到，解出的值，进而求出的值，再代入代数式即可求解． 详解】解：由题意得，， 解得：， ， ． 故答案为：． 13. 如图，▱ABCD中，DE平分∠ADC，交BC于点E，且AD＝5，CD＝3，则BE的长为___． 【答案】2． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，根据角平分线的性质及平行线的性质可证得∠CDE=∠DEC，由此可得EC=DC，再由BE=BC-CE=AD-CD即可求得BE的长． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AD=BC=5，AD∥BC， ∴∠DEC =∠ADE， ∵DE为∠ADC的平分线， ∴∠CDE=∠ADE， ∴∠CDE=∠DEC， ∴EC=DC=3， ∴BE=BC-CE=AD-CD=5-3=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了角平分线的性质以及平行线的性质、等腰三角形性质，平行四边形的性质等知识，证得EC=DC是解题的关键． 14. 若二次根式与的和是一个二次根式，则正整数a的最小值为 ___． 【答案】6 【解析】 【分析】利用同类二次根式的定义，当a为正整数时，2a为3的完全平方数倍，从而可确定a的最小值． 【详解】解：∵二次根式与的和是一个二次根式， ∴与为同类二次根式， ∴当a为正整数时，2a为3的完全平方数倍， ∴正整数a的最小值为6． 故答案为6． 【点睛】本题考查了二次根式的加减法：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 15. 若，则的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分母有理化、完全平方公式及代数式求值，正确化简得出的值是解题关键． 利用分母有理化化简求出的值，把原式配方后代入计算即可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为： 16. 如图1是有两个外开式活动门扇的双开入户铜门．门槛长为，分别为左右门扇的底部门宽，且，关上门时，C与D重合．阳光明媚的某天，将两扇门向外开到如图2的位置（平面示意图），这时阳光正好垂直照射向门槛，因门的遮挡，在门槛上留下三线段，只有线段晒到太阳，且，则此时C、D间的距离为___________cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例线段和勾股定理，熟练掌握比例的性质和勾股定理是关键． 作于点E，根据，，可得，根据勾股定理得，所以． 【详解】解：如图，作于点E， ， ， ， ． 故答案为： 三、解答题（本大题共9小题，共86分，请解答在答题卡的相应位置上，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、二次根式的混合运算，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据负整数指数幂、绝对值、零指数幂化简，再利用实数的运算法则计算即可； （2）先将二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，最后计算除法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】原式除数括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入进行二次根式化简． 【详解】解：原式= 当时，原式 19. 如图，在中，A、C分别在、的延长线上，且，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，先证明，，可得，再结合已知条件可得结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中，， ； 20. 如图，在中，，点P是边上一点，请用尺规作图法在边上求作一点Q，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】过点P作，垂足为点Q，由勾股定理可得． 【详解】解：过点P作，垂足为点Q，如下图： 由作图可知：， 在中，由勾股定理，得， 故点Q即为所求点． 【点睛】本题考查了尺规作图—作垂线及勾股定理，掌握作垂线的方法是解题关键． 21. 如图，□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N． （1）求证：四边形CMAN是平行四边形． （2）已知DE＝4，FN＝3，求BN的长． 【答案】（1）见解析；（2）5 【解析】 【分析】（1）只要证明，即可． （2）先证明得，再在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， ，， 四边形是平行四边形． （2）四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， 在和中， ， ， ， 在中， ，，， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是记住平行四边形的判定方法和性质，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 22. 如图，铁路和公路在点O处交会，，在点A处有一栋居民楼，．如果火车行驶时，周围以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路上沿方向行驶时，居民楼受噪声影响的时间为秒，求火车行驶的速度为多少（不考虑火车长度）？ 【答案】火车行驶的速度约为20米/秒 【解析】 【分析】过点A作，根据直角三角形的性质可得，再过点A作，交于点D，可得，再由勾股定理求出的长，从而得到，即可求解． 【详解】解：过点A作， ∵，， ∴， 过点A作，交于点D， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵居民楼受噪声影响的时间约为秒， ∴． 答：火车行驶的速度约为20米/秒． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 23. 如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，绳子始终绷紧且绳长保持不变，已知A、B、F三点在一条直线上，且于点F，若米，米，米，求男子向右移动的距离． 【答案】男子向右移动的距离为7米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：，米，米， 在中，米. （米）， 在中，米， （米）. 即男子向右移动的距离为7米. 24. 清朝康熙皇帝是我国历史上一位对数学很感兴趣的帝王，前不久，在西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题给出解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．对这段话用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，则第一步：；第二步：；第三步：分别用3、4、5乘以k，得三边长”． （1）当面积S等于96时，请用康熙的“积求勾股法”求出直角三角形的三边长及周长； （2）你能证明康熙这种“积求勾股法”的正确性吗？请写出你的理由． 【答案】（1）直角三角形的三边长为12，16，20，周长为48 （2）理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理应用、算术平方根的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据题意，先求出的值，再得出的值，即可解答； （2）设直角三角形的三边长分别为，，，利用三角形的面积公式得出，则有，再结合“积求勾股法”的步骤即可证明． 【小问1详解】 解：当面积S等于96时， 第一步：， 第二步：， 第三边：直角三角形的三边长分别为，，， 直角三角形的周长， 综上所述，直角三角形的三边长为12，16，20，周长为48． 【小问2详解】 证明：能，理由如下： 设直角三角形的三边长分别为，，， 直角三角形的面积， ， 直角三角形的三边长为，，， 康熙这种“积求勾股法”是正确． 25. 如图，在中，，，点E为上一动点，与相交于点G，，垂足为H，的延长线与相交于点F （1）若，，求的长； （2）在（1）的条件下，当时，求的度数； （3）当点E在线段上运动时，试探究三者之间的数量关系 【答案】（1） （2） （3），详见解析 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得，再由等腰三角形的性质得，然后由平行四边形的性质即可得到结论； （2）由等腰直角三角形的性质得，然后由等腰三角形的性质得，再由平行四边形的性质即可求出； （3）延长交的延长线于点K ，证明，得，，再证，得，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴在中， ∴在中， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵ ∴ 在平行四边形中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ 【小问3详解】 解：，证明如下： 延长交的延长线于点K ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的性质、 等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、 等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$