内蒙古自治区2025届高三第一次模拟考试数学试题

2025年普通高等学校招生第一次模拟考试 数学 的 剑 本试卷共4页，19小题，满分150分。答题时长120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生须将自己的个人信息填写于答题卡指定位置，并按要求粘贴条形 码。 2.作答时，将答案写在答题卡上。写在试卷上无效。 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合M={xlnx>0),N={x|-1<x<5),则M∩N= A.(x|x>0) B.{x|0<x<5) C.{xl1<x<5) D.{xx≥5} 2.已知复数z满足：x(3+4)=|3十4i川2，则复数z为 A.3+4i B.3-4i C.5+4i D.25 应 圳 B号 c号 吗 4.设随机变量服从正态分布N(1,d),若P(>3)=0.1,则函数八x)=号-士+ E:有极值点的概率为 A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 5,将函数y=sin(2x-吾)的图象向右平移p(0<<2x)个单位，得到函数y=g(x)的 图象.命题p:g(x)是偶函数，命题9：p=音，则 A,p是q的充分不必要条件 B.p是q的必要不充分条件 C,p是q的充要条件 D.p是q的既不充分也不必要条件 0 数学试题第1页（共4页） 6.已知a,6为单位向量，且13a-51=7,则a与a-的夹角为 A晋 B等 c D.曾 7.设函数f(x)=e-e'一sinx,则使得f(logx)一f(logix)≤2f(1)成立的x的取值 范围是 A.(-0∞，2] B.(0,1] C.(0,2] D.[2,+∞) 8.已知P为双曲线号-y=1上的一点，由P向两渐近线作垂线，垂足分别为EF,则 P克，P市的值为 A一号 B.0 c D.不确定 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分。有选错的得0分。 9.2024年4月30日国家统计局发布了制造业采购经理指数(PM1)(%)(50%=与上月 比较无变化)，如图所示.下列说法正确的是 54 52 51 50.850.4 50.2 50 49 49.7 492 海 48.8 49.0493 495494 49.049.249.1 47 4 2023年5月6月7月 8月9月10月11月12月2024年2月3月4月 4月 1月 A.从2023年4月到2024年4月制造业采购经理指数(PMI)呈下降趋势 B.从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数(PMI)的极差为 1.8% C从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业采购经理指数(PMI)的平均数 为49.4% 1).从2023年10月到2024年4月，这7个月的制造业 采购经理指数(PMD的80%分位数为50.4% 在正方体ABCD一A,B1C,D,中，棱长为1，已知点P, 0 Q分别是线段AD,,AC,上的动点（不含端点）.下列说 D 法正确的有 A.存在无数条直线PQ与直线CD平行 B 数学试题第2页（共4页） B.PQ与B,C不可能垂直 C.二面角P一AC一Q不可能为定值 D。点B到任意直线PQ的距离都不可能小于号 11.琴生(Jensen,1859一1925)是丹麦的一位电讯工程师，他利用业余时间研究数学，凳咆 流传至今的研究成果是以凹凸函数为基础的“琴生不等式”，表述如下：哲盈数了《1， 的导函数∫(x)存在导函数，记f(x)的导函数为(x),如果对Hx∈（a,b,:都 广()<0，则称∫(x)在(e,b)是“凸函数”，满足f(+中中)二 ,x)+f)++fx）,如果对Vx∈(a,b),都有(z)>0,则称fx)在ob 是“四函数”，满足f(+十…+五)≤)+)++f,则下列说按正 n 确的是 A若=hx,Yz0.+o.=12.有/经≥/ B若=.vz0,to1,2m有≥/店 C若vx∈0,1D,=1,2…,5含-1，则含z>号 D.若vx∈(0受)i=12,3含x,=x,则2sin,<3 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知圆C:(x一1)2十y2=5,斜率为一2且与圆C相切的一条直线方程为 13.边长为2的正方形，经如图所示的方式裁剪后，可以围成一个正四棱 锥，若内部小正方形的边长为？，则此正四棱锥的体积为 14.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2a2+3c2=2b, 则tanC的最大值为 四、解答题：本大题共5小题，满分77分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明。 15.(13分)已知S。为等差数列{a.}的前n项和，满足S5=25,a,=7,数列{b.}满足 6=2罕 (1)求(a.}、{b.}的通项公式； (2)将{a,}和{b.》的项由小到大进行排列组成数列{c.},设(cn}的前n项和为T。,求 Tieo. 数学试题第3页（共4页） 16.(15分)已知函数f(x)=cosx十xsinx+a. (1)指a=0,求函数f(x)在x=π处的切线方程； (2)讨论函数(x)在(0，π)上零点的个数 17.(15分)如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为平行四边形，其中AD⊥BD,PA =PD=AD=BD=1,PB=√2，点F为棱PD的中点 B (1)证明：AF⊥BP; (2)求二面角A一PD-C的正弦值. 18.(17分)在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足，当点 P在圆上运动时，线段PD的中点Q的轨迹为曲线E(当点经过圆与x轴的交点时， 规定点Q与点P重合)： (1)求曲线E的方程； (2)A,,A2为曲线E与x轴的交点，过点M(3,0)作直线l交E于C,D两点（与A1, A2不重合)，直线A,C与A:D交于点G (「)证明：点G在定直线上； (‖)是否存在点G使得CG⊥DG,若存在，求出直线1的搁率：著不存在，请说明 理由 19.(17分)在某场乒乓球比赛中，甲乙两人进入决胜局，且目前该局比分为10：10，接下 来比赛规则如下：两人轮流各发一个球，谁赢此球就获得1分，直到有一方得分超过 对方2分时即可获得该局的胜利.已知甲先发球，且甲此球取胜的概率为0.6，若上 一球甲获胜，则甲在下一球比赛中获胜的概率为0.8，若上一球乙获胜，则甲在下一球 比赛中获胜的概率为p,其中0.3<p<0.8,设甲在接下来第n球比赛中获胜的概率 为P (1)若p=0.5,求甲以13：11获胜的概率； (2)求P。与Pn+1的关系； (3)证明：P.≥0.6. 数学试题第4页（共4页）2025年内蒙古自治区高三第一次模拟考试数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C 日 D c B A C A 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 BD AD ACD 三、填空题 12、2x+y-7-0或2x+y+3-0(写对一个即可) 1、号 14、25 5 四、解答题 5a,+10d=25 15.解：(1)设数列{a}的公差为d,则由S,=25,a4=7得 41=1 a+3d=7 解得 d=21 所以an=2n-1,…… …3分 由b=2可得b,=2”… …6分 (2)由a10=199以及b=128,bs=256知{cnJ的前100项由bn}的前7项和{anJ的前93项组 成… …10分 故7m=36+h+h+…6,=93+93X92x2+2+2+…+2=8903…13分 2 16.解：(I)若a0,则f(x)=cosx+xsinx,f(x)=-sinx+sinx+xcosx=xcosx…l分 所以f(π)=-l,f(π)=一π2分 所求切线方程为y-(-1)=-π(x-π)，即y=-π+π2-1…5分 ②广)=一sinx+sinr+xCOSX=-xCOSx令()=0得x=7可列表得 0 0, 2 ， f'(x) f(x) 单调递增 a+ π a+1 单调递减 a-1 )当a-1≥0即a≥1时f(x)>0恒成立，此时f(x)在(0，π)上无零点…8分 D当ak0即-15a<1时.xe0,受时f>0,而 a+1≥0 f停=a+受>0)=a+1<0时闭在@孕上无零点，在号)上有-个号 点，所以f(x)在(0，π)上有一个零点… …10分 的当 0-ga时m=aa原-a+经0网1 a+- a+1<0 此时f田在(0，受和（写，）上各有一个零点，所以了倒在(0，)上有两个零点…2分 w)当a+号=卿a=-号，)≤0在0止恒成立，当且仅当孕=a+号=0 此时f(x)在(0，π)上有一个零点…13分 v）当a+匹<0卿a<-T时fx)<0恒成立，此时f)在(0，)上无零点…14分 综上所述，当a<-受或a≥1时/)在0)上无零点：当-15a<1或a=-受时f) 在(@)上有-个零点：当-受<a<-时)在0，)上有两个零点…15分 17.(I)证明：据题意，由PD+BD2=PB2,可得BD⊥PD,且BD⊥AD,又 PD∩AD=D,故BD⊥平面PAD,可得BD⊥AF.…3分 △PAD为等边三角形，且点F为棱PD的中点，故AF⊥PD,又PD∩BD=D,可得 AF⊥平面PBD,故AF⊥BP.…6分 (2)解：由(I)可知BD⊥平面PAD,故平面PAD⊥平面ABCD,过点D作平面ABCD 的垂线，则以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示…8分 由题意可知，D0.0,0),C-山0)， 传9}则丽-号 DC=(ll,0）,…9分 -x+y=0 x=√5，可得y=5,=-1,故n=（W55,-1, …11分 又平面PAD的一个法向量为DB=(0L,0),… …12分 记二面角A-PD-C的平面角为0， 则cos20=cos2<n,DB …4分 D 2W5 故sim0=2W7 7· 即，二面角A-PD-C的的正弦值为 7 …15分 18.(1)解：设点Q的坐标为(x,y),点P的坐标为(xo,y),则点D的坐标为(xo,O),由点Q 是线段PD的中点，得：x=xy=因为点P(x%)在圆x2+y=4上，所以 x2+。2=4①，把。=x=2y代入方程①得x2+4y2=4,即Q的轨迹方程E是 x2 4+y=1……5分 (2)()证明：设直线：x=y+3,C(x),D(x乃)，不妨设A为左顶点，A2为右顶点， [x=y+3 r=1得4r65=0.所似5+为=77…7分 61 5 由 所以y+片=-号0，①，由△=162-80>0，得1>5或1<5， 6 易知直线4C方程为y本2+2.②直线4D方程为y=上2k-2小.③9分 x3-2 联立@，消去，得+名怎+2业=++5，④ x-2(3-2)y(%2+)y9y+y 联立0④，消去为，则+2 6+5 x-2 0+)+y =5,解得x=手即点G在直线x 6 上：444488548548545*45454*门分 (i)解：由CG⊥DG,可知AG⊥4G,所以点G在以A4,为直径的圆上， 设c行小，则目+r4,所以a=±25，即c …4分 故直线4C的方程为y=±5(：+2：将直线4C的方程与桥圆方程联之，得 9x2+16x-4=0,由x4=-2,所以xc= 92号所以=±5，故 412 9 …17分 25 19.(1)解：据题意，若甲以13：1获胜，则在接下来的比赛中各局获胜的情形为：甲乙甲甲， 或乙甲甲甲.故所求事件的概率为 P=0.6×0.2×0.5×0.8+0.4×0.5×0.8×0.8=0.176.…5分 (2)设“在第n球比赛中甲获胜”为事件A,“在第n+1球比赛中甲获胜”为事件B,则 P(A)=P.P(B)=P..P(B14)=0.8.P(B14)=p... ……6分 由题意可知 P.=P(B)=P(A)xP(B14)+P(4)xP(BI4)=Px0.8+(1-P)x p.... 整理可得，Pn1=(0.8-p)xPn+p.… …10分 因此，数列 是以0.6-P。为首项 p+0.2 以08一卫为公比的等比数列，……l2分 做Rp-6p4aka-p 整理可得 e-06-pa以o8-pr'+p46 …3分 p+0.2 由2.-R-06p0a08-prx(-02-p.且03<p<0s, 可知0.6-P。<0,因此，P1-P>0,即P1>P …16分 p+0.2 注意到=0.6，故P≥0.6. …17分