精品解析：广东省佛山市禅城区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024—2025学年学生发展质量监测 八年级数学 说明：本卷分第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 注意：1．试卷的选择题和非选择题都在答题卷上作答，不能作答在试卷上． 2．作图时要先铅笔进行描绘，再用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 以下四个数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 3.14 2. 下列运动项目图标中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，不能判断它是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 相等的角是对顶角 C. 若，则 D. 正数与负数的和一定等于零 5. 如图，直线，一把含角直角三角尺按所示位置摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是象棋的对弈图（部分），如果棋子“帅”在点，棋子“仕”在点，则棋子“马”所在点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，记录有某校“篮球社团”25名成员的年龄分布数据的小纸条不小心被撕掉了部分，则根据剩余数据，仍然可以得到该社团全体成员年龄数据的（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 8. 在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（ ） A. B. C. D. 9. 在同一直角坐标系中，直线与直线可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，用面积为4的正方形做成一副七巧板后砌成一个长方形，则长方形的宽是（ ） A. B. 1 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、解答题（一）：本大题共5小题，每小题9分，共45分． 11. （1）计算： （2）解方程组： 12. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）作关于轴对称的，直接写出点的坐标； （2）在轴上存在点，使得周长最小，直接写出点的坐标． 13. 某校为了解八年级（共600名）学生跳绳水平，随机抽取了该年级50名学生进行一分钟跳绳测试，成绩（部分）如表： 成绩频数分布表 等级 跳绳个数/个 频数 4 16 14 4 等级学生的跳绳个数 145，140，158，142，142，157，145，146，148，150，155，159，143，158，142，155． 根据以上信息，完成下列问题． （1）的值是________．等级学生跳绳个数的中位数是________（个）． （2）跳绳个数不少于160个为优秀成绩，请估计该年级成绩为优秀的学生人数． （3）若把、、、、等级近似的看成190、170、150、130、110（单位：个），请估计该校八年级学生一分钟跳绳的平均个数（结果保留整数）． 14. 如图1，若干张边长、、…的正方形纸片，面积分为、、…，且有以下关系： ， ， ， （1）填空：_________，__________（用含正整数的式子表示）； （2）如图2，在大正方形纸片中放置两个小正方形，面积分别为，，重叠部分是一个面积为的正方形，求空白部分的面积； （3）如图3，有一张面积为的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为，面积为120，能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？为什么？ 15. 为打造一河两岸景观带，需对一段长350米的河边道路进行整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天，求两工程队用时的天数． （1）根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲： 乙： 根据申、乙两同学所列的方程组，指出未知数的含义： 甲：表示______________；乙：表示_______________． （2）从上述方程组中任选一组，将其补全，解答问题． 五．解答题（三）：本大题共3小题，第16题10分，第17题12分，第18题13分，共35分． 16. 尺规作图（用无刻度直尺和圆规绘制几何图形）是一种古老而重要的几何作图技术，在现代科学研究中仍然发挥着重要的作用．用尺规作已知角的平分线是其中的一种基本作图． （1）如图1，由尺规作图痕迹，可推导出，继而得到，其中三角形全等的依据是________（单选题）； A. B． C． D． （2）如图2，在射线上任取一点，作，在射线上截取一点，使，作射线．根据以上步骤，请证明是的平分线； （3）综上可发现：用尺规作已知角的平分线，其实是在角的内部构造与等角有关的图形．根据这一发现，在图3尝试第三种作法（保留作图痕迹）． 17 项目式学习 项目问题 证明三角形内角和是 项目目的 通过深入探索并论证三角形内角和定理，从小学的实验验证，逐步迈向初中的严谨论证，体验数学的严谨性和逻辑性． 问题提出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想；然而实验会存在误差，不符合数学证明的严谨性．因此不禁要问：是否可以通过逻辑推理来证明三角形内角和定理呢？ 思路启迪 从逻辑推理角度思考：有什么方法（知识点）使角可以“移动”，组成一个平角呢？ 思考·尝试 请过三角形的顶点添加辅助线，使角“移动”到合适位置，便于证明三角形内角和定理，要求如下： 1．用两种不同的方法（后续论证方法不同）对图2、图3添加辅助线； 2．用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述． 逻辑论证 在上述图形中，选择其中一种方法，完成三角形内角和定理的证明． 触类旁通 小华同学通过思考，发现在边上任意取一点（如图4），添加合适的辅助线，也能证明“三角形内角和定理”． （1）完成“思考·尝试”中的操作与描述； （2）写出“逻辑论证”中的证明过程； （3）写出“触类旁通”中的证明过程． 18 综合运用 定义：在平面直角坐标系中，点叫做直线的对应点，直线叫做点的对应直线．如图，已知点，，． （1）点对应直线的表达式为__________； （2）设直线、的对应点分别为、，点在轴上，且，求点坐标． （3）点是线段上的一个动点，直线是点的对应直线，当直线与线段有公共点时，请直接写出点横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年学生发展质量监测 八年级数学 说明：本卷分第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 注意：1．试卷的选择题和非选择题都在答题卷上作答，不能作答在试卷上． 2．作图时要先铅笔进行描绘，再用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 以下四个数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 3.14 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的概念，初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像（每两个1之间0的个数依次加1）等有这样规律的数． 根据无限不循环小数为无理数逐项判定即可． 【详解】解： A．0是整数，不是无理数，故A不符合题意； B．是无理数，故B符合题意； C．是分数，不是无理数，故C不符合题意； D．是小数，不是无理数，故D不符合题意． 故选：B． 2. 下列运动项目图标中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选C． 3. 在中，不能判断它是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形． 根据直角三角形的定义，即可判断A、B，根据勾股定理逆定理，即可判断C、D． 【详解】解：A、∵， ∴是直角三角形，不符合题意； B、∵， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； D、设， ∵， ∴不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 相等的角是对顶角 C. 若，则 D. 正数与负数和一定等于零 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行线的判定，对顶角，利用平方根解方程，有理数的运算，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意； B、对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意； C、若，则，原命题是假命题，不符合题意； D、正数与负数的和不一定等于零，例如：，原命题是假命题，不符合题意； 故选A． 5. 如图，直线，一把含角的直角三角尺按所示位置摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据已知易得：，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∵直线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 如图是象棋的对弈图（部分），如果棋子“帅”在点，棋子“仕”在点，则棋子“马”所在点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用坐标表示位置，先根据已知点坐标，确定原点的位置，建立直角坐标系，进而得到棋子“马”所在点的坐标即可． 【详解】解：由题意，建立如图所示坐标系： 故棋子“马”所在点的坐标是； 故选D． 7. 如图，记录有某校“篮球社团”25名成员的年龄分布数据的小纸条不小心被撕掉了部分，则根据剩余数据，仍然可以得到该社团全体成员年龄数据的（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平均数、方差、中位数和众数，根据平均数、方差、中位数和众数的定义即可得出答案． 【详解】解：由于岁和岁的人数不确定，所以平均数、方差和众数就不确定， 因为该组数据有个，中位数为第个数：8， 所以仍能够分析得出这名成员年龄的统计量是中位数． 故选：D． 8. 在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看懂运算程序是解题的关键． 【详解】解：当时，算术平方根为，是有理数， 再取立方根，是有理数， 倒回再取的算术平方根为，是无理数， ∴输出的值为， 故选：B． 9. 在同一直角坐标系中，直线与直线可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本本题主要考查正比例函数的性质，一次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据正比例函数图象的位置确定的取值范围，再根据图象与系数的关系确定一次函数的位置即可得出答案． 【详解】A、由正比例函数图象得，则直线经过第一、二、三象限，所以该选项不符合题意； B、由正比例函数图象得，则直线经过第一、三、四象限，所以该选项不符合题意； C、由正比例函数图象得，则直线经过第一、二、三象限，所以该选项符合题意； D、由正比例函数图象得，则直线经过第一、三、四象限，所以该选项不符合题意． 故选：C． 10. 如图所示，用面积为4的正方形做成一副七巧板后砌成一个长方形，则长方形的宽是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，算术平方根的应用，先根据正方形的面积求出边长，再求出正方形对角线的长，易得长方形的长，再结合长方形的面积与正方形的面积相等，利用二次根式的除法即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：的长度为正方形的对角的长， 正方形的面积为， 正方形的边长为：， 正方形的对角线长为，即 结合图形可得：， 长方形的长为， 长方形和正方形的面积相等都为， 长方形的宽为：， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、解答题（一）：本大题共5小题，每小题9分，共45分． 11. （1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的减法运算，解二元一次方程组： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1）原式 （2） ②，得③ 得，，解得： 把代入②，得： 所以方程组的解是． 12. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）作关于轴对称的，直接写出点的坐标； （2）在轴上存在点，使得周长最小，直接写出点的坐标． 【答案】（1）图见解析， （2） 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，作图即可； （2）根据的周长，得到当最小时，的周长最小，连接，与轴的交点即为点． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 由图可知：； 【小问2详解】 如图，点即为所求，由图可知：． 13. 某校为了解八年级（共600名）学生跳绳水平，随机抽取了该年级50名学生进行一分钟跳绳测试，成绩（部分）如表： 成绩频数分布表 等级 跳绳个数/个 频数 4 16 14 4 等级学生的跳绳个数 145，140，158，142，142，157，145，146，148，150，155，159，143，158，142，155． 根据以上信息，完成下列问题． （1）的值是________．等级学生跳绳个数的中位数是________（个）． （2）跳绳个数不少于160个为优秀成绩，请估计该年级成绩为优秀学生人数． （3）若把、、、、等级近似的看成190、170、150、130、110（单位：个），请估计该校八年级学生一分钟跳绳的平均个数（结果保留整数）． 【答案】（1）12，147 （2）216人 （3）约151个 【解析】 【分析】本题考查频数分布表，求出中位数，利用样本估计总体，求加权平均数： （1）利用频数之和等于总数求出的值，根据中位数的计算方法进行求解即可； （2）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （3）根据加权平均数计算方法求解即可． 【小问1详解】 解：； 将数据排序后，排在中间的两个数分别是146、148， 等级学生跳绳个数的中位数是（个）； 故答案为：12，147； 【小问2详解】 （人）； 答：估计该校跳绳测试成绩为优秀的学生人数有216人； 【小问3详解】 （个） 答：这50个学生的跳绳的平均个数约151个． 14. 如图1，若干张边长、、…的正方形纸片，面积分为、、…，且有以下关系： ， ， ， （1）填空：_________，__________（用含正整数的式子表示）； （2）如图2，在大正方形纸片中放置两个小正方形，面积分别为，，重叠部分是一个面积为的正方形，求空白部分的面积； （3）如图3，有一张面积为的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为，面积为120，能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？为什么？ 【答案】（1）， （2） （3）正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的实际应用，算术平方根的实际应用： （1）根据已有等式进行推导即可得出结果； （2）根据空白部分的面积等于大正方形的面积减去，减去，再加上，进行求解即可； （3）设长方形的长为，宽为，列出方程求出长和宽，比较宽与面积为的正方形的边长大小，即可得出结论． 小问1详解】 解：∵， ， ， ∴，； 【小问2详解】 由（1）可得：，，， ∴， ∵ ∴大正方形的边长为：， ∴空白部分的面积； 【小问3详解】 正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由如下： 设长方形的长为，宽为，则：， ∴， ∴长方形的宽为：， ∵， ∴， ∵， ∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中． 15. 为打造一河两岸景观带，需对一段长350米的河边道路进行整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天，求两工程队用时的天数． （1）根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲： 乙： 根据申、乙两同学所列的方程组，指出未知数的含义： 甲：表示______________；乙：表示_______________． （2）从上述方程组中任选一组，将其补全，解答问题． 【答案】（1）工程队用时的天数；工程队整治道路的总长度 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）读懂题意，联系上下文得甲：表示工程队用时的天数，乙：表示工程队整治道路的总长度；即可作答． （2）分别解出甲乙两个的方程组，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，甲：表示工程队用时的天数， 乙：表示工程队整治道路的总长度； 【小问2详解】 解：选第一种：， 解得， 答：工程队用时10天，工程队用时20天； 选第二种：， 解得：， 工程队用时：， 工程队用时：， 答：工程队用时10天，工程队用时20天． 五．解答题（三）：本大题共3小题，第16题10分，第17题12分，第18题13分，共35分． 16. 尺规作图（用无刻度直尺和圆规绘制几何图形）是一种古老而重要的几何作图技术，在现代科学研究中仍然发挥着重要的作用．用尺规作已知角的平分线是其中的一种基本作图． （1）如图1，由尺规作图痕迹，可推导出，继而得到，其中三角形全等的依据是________（单选题）； A. B． C． D． （2）如图2，在射线上任取一点，作，在射线上截取一点，使，作射线．根据以上步骤，请证明是的平分线； （3）综上可发现：用尺规作已知角的平分线，其实是在角的内部构造与等角有关的图形．根据这一发现，在图3尝试第三种作法（保留作图痕迹）． 【答案】（1）B （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据，可由证明两个三角形全等； （2）根据作图可得：，，根据等腰三角形的性质和外角的性质可得，从而得证； （3）在射线上取点、，分别以为圆心，长为半径画弧，交射线于点，，连接，交于点，过点画射线，则射线为的平分线． 【小问1详解】 解：根据作图可得：， ， ， ， 射线就是的平分线， 用到的三角形全等的判定方法是， 故选：． 【小问2详解】 解：根据作图可得：， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， 射线就是的平分线． 【小问3详解】 如图①，在射线上取点、，分别以为圆心，长为半径画弧，交射线于点，，连接，交于点，过点画射线，则射线为的平分线． 证明：连接， 由作图可知，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴射线就是的平分线． 17. 项目式学习 项目问题 证明三角形内角和是 项目目的 通过深入探索并论证三角形内角和定理，从小学的实验验证，逐步迈向初中的严谨论证，体验数学的严谨性和逻辑性． 问题提出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想；然而实验会存在误差，不符合数学证明的严谨性．因此不禁要问：是否可以通过逻辑推理来证明三角形内角和定理呢？ 思路启迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以“移动”，组成一个平角呢？ 思考·尝试 请过三角形的顶点添加辅助线，使角“移动”到合适位置，便于证明三角形内角和定理，要求如下： 1．用两种不同的方法（后续论证方法不同）对图2、图3添加辅助线； 2．用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述． 逻辑论证 在上述图形中，选择其中一种方法，完成三角形内角和定理的证明． 触类旁通 小华同学通过思考，发现在边上任意取一点（如图4），添加合适的辅助线，也能证明“三角形内角和定理”． （1）完成“思考·尝试”中的操作与描述； （2）写出“逻辑论证”中的证明过程； （3）写出“触类旁通”中的证明过程． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理的证明，熟练掌握利用平行线的性质证明三角形的内角和定理是解答的关键． “逻辑论证”： 方法一：过点A作，利用平行线的性质得到，即可求解． 方法二：过点A作，利用平行线的性质得到，，再利用平角定义和等量代换可得结论； “触类旁通”：过点作交于点，过点作交于点，由两直线平行，同位角相等，内错角相等易证． 【小问1详解】 1．解： 2．图2：延长至点，过作． 图3：过点作． 【小问2详解】 选择图2，证明过程如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即内角和为； 选择图3，证明过程如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即内角和为； 【小问3详解】 证明：过点作交于点，过点作交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴ 即内角和为． 18. 综合运用 定义：在平面直角坐标系中，点叫做直线的对应点，直线叫做点的对应直线．如图，已知点，，． （1）点的对应直线的表达式为__________； （2）设直线、的对应点分别为、，点在轴上，且，求点坐标． （3）点是线段上的一个动点，直线是点的对应直线，当直线与线段有公共点时，请直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）点坐标为或 （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义直接写出表达式即可； （2）求出直线的解析式，进而求出的坐标，设，根据，列出方程进行求解即可； （3）设，得到直线的解析式为：，根据直线与线段有公共点，求出时的的值，得到，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴点的对应直线的表达式为； 【小问2详解】 ∵，， ∴直线轴，解析式为：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∴或， ∴点坐标为或； 【小问3详解】 ∵直线的解析式为：， ∴设， ∴直线的解析式为：， ∵直线与线段有公共点，，， ∴当时，，解得：， ∴，解得：， 又∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $