第7章 幂的运算 知识拓展与归纳2024-2025学年苏科版初中数学七年级下册

苏科版初中数学七年级下册第7章《幂的运算》知识拓展与归纳 01棋盘上的麦粒 在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相西萨·班·达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？总数为 第 　第 第 第 第 1 2 3 4 …… 64 格 格 格 格 …… 格 20＋21＋22＋23＋…… ＋263＝264－1＝18446744073709551615（粒）． 人们估计，全世界两千年也难以生产这么多麦子！ 与这十分相似的，还有印度的另一个古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针．印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓梵塔．不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面．当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽． 不管这个传说是否可信，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序，一共需要移动多少次，那么，不难发现，不管把哪一片移到另一根针上，移动的次数都要比移动上面一片增加一倍．这样，移动第1片只需1次，第2片则需2次，第3片需4次，第64片需2的63次方次．全部次数为：18446744073709551615次，这和“麦粒问题”的计算结果是完全相同的！假如每秒钟移动一次，共需要多长时间呢？一年大约有31556926 s，计算表明，移完这些金片需要5800多亿年！ 02数学家诺伯特•维纳的年龄之谜 诺伯特·维纳是20世纪最伟大的数学家之一，是信息论的先驱者和控制论的奠基人． 维纳从小智力超常，3岁就能读写，14岁大学毕业．几年后，他又通过了博士论文答辩，成为美国哈佛大学的科学博士．在博士学位的授予仪式上，执行主席看到一脸稚气的维纳，颇为惊讶，于是就当面询问他的年龄．维纳不愧为数学“神童”，他的回答十分巧妙：“我今年岁数的立方是个4位数，岁数的4次方是个6位数，并且这两个数正好包括了0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全部10个数字，既不重复也不遗漏．这意味着全体数字都向我俯首称臣，预示我将来在数学领域一定会干出一番惊天动地的事业．” 维纳的回答妙趣横生，豪情满怀．大家被他精妙的回答深深地吸引住了，整个会场上的人，都在纷纷议论他的年龄问题． 其实，这道题并不难解．因为223＝10648，是个5位数，而他“岁数的立方是个4位数”，所以，他的年龄一定小于22岁；又因为174＝83521，是个5位数，而他“岁数的4次方是个6位数”，所以，他的年龄一定大于17岁．于是，他的年龄只能是18、19、20、21岁．但是，由于203＝8000，194＝130321，214＝184481，这3个数都有重复数字，不符合“这两个数正好包括了0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全部10个数字，既不重复也不遗漏”的条件，所以，维纳的年龄只能是18岁．验算一下：183＝5832，184＝104976．5832和104976这两个数中，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9所有10个数字果然全部出现，并且不重不漏． 对于18这个数的上述特性，究竟是维纳的经验积累，还是他的灵感使然，我们无从得知．但是，不论是经验积累也好，灵感使然也罢，根本原因都在于他平时的认真观察和细心思索，这应该是值得我们认真学习的治学经验． 03乘方运算 某人听到一则谣言后一小时内传给两人，以后他没有再传给别人，而那两人同样在一小时内每人又分别传给另外的两人．如此下去，一昼夜能传遍一个千万人口的大城市吗？ 能？还是不能？请注意，一小时内，一个人只传给两个人，一昼夜只有24小时，一个千万人口的大城市能传遍吗？只凭直觉，是很难正确判断的．可靠的办法还是算一算： 第1个小时，传给2人； 第2个小时，传给22人，即4人； 第3个小时，传给23人，即8人； 第4个小时，传给24人，即16人； …… 第23个小时，传给223人，即8388608人； 第24个小时，传给224人，即16777216人．  第24个小时就是最后一小时，仅仅这最后一小时内，就传给16777216人．因此，一昼夜内一定能传遍一个千万人口的大城市． 一小时内，一个人只传给两个人，一昼夜内谣言便传遍整个城市．可见，这种传谣速度是惊人的──决不能传谣！ 这里，我们用的是乘方运算，它是乘数相同的乘法的缩写． 实际工作中一些巨大的数用乘方表示很简便，如太阳的质量，以吨为单位，有1，983，000，000，000，000，000，000，000，000吨＝1.983×1027 吨． 以后你会知道，一些微小的数也可以用乘方的形式来表示． 04例说幂的大小比较 一、差值比较法 例1　比较与的大小． 解：因为， 所以＜． 点评：此法的依据是：若，则；若，则． 二、商值比较法 例2　已知，，那么P，Q的大小关系是（ ）． 　A．P＞Q　　B．P＝Q　　C．P＜Q　　D．无法确定 解：因为，所以P＝Q． 点评：此法的依据是：已知，，若，则；若，则；若，则． 三、底数比较法 例3　数、、的大小关系是（ ）． 　A．＜＜　　　B．＜＜ 　C．＜＜　　　D．＜＜ 解：因为，同理，，且125＜243＜256，所以＜＜，即＜＜，故选D． 四、指数比较法 例4　若，，，则a，b，c的大小关系为（ 　）． 　A．a＞b＞c　　B．a＞c＞b　　C．a＜b＜c　　D．b＞c＞a 解：因为，， ，所以，选A． 点评：例3和例4都采取了逆用幂的乘方的方法，逆用公式常可以使问题得到巧妙解决，望大家引起重视． 五、乘方比较法 例5　已知：，，比较a和b的大小． 解：因为，， 所以，即． 六、倒数比较法 例6　比较与的大小． 解：因为，， 因此，所以． 七、中间数比较法 例7　比较与的大小． 解：因为， 所以． 05学习幂的运算性质应注意的几个问题 幂的运算性质是整式乘法的基础，也是整式乘法的主要依据．在学习中应注意以下问题． 1．注意符号问题． 例1　判断下列等式是否成立： ①（－x）2＝－x2； ②（－x3）＝－（－x）3； ③（x－y）2＝（y－x）2； ④（x－y）3＝（y－x）3； ⑤x－a－b＝x－（a＋b）； ⑥x＋a－b＝x－（b－a）． 解：③⑤⑥成立． 以上六个等式，是否成立？为什么？这些都应分析清楚，所有这些问题的解决，对今后的学习是否能够顺利进行，都有着重要的意义． 2．注意幂的性质的混淆． 例如：（a5）2＝a7，a5·a2＝a10． 产生这样错误的原因是对运算性质发生混淆，只一般地纠正错误是不能彻底解决问题的，有必要从乘方的意义以及性质是怎样归纳得出的，找出产生错误的根源． 3．注意幂的运算性质的逆用． 四个运算性质反过来也是成立的，有创新精神的学生在解题时逆用性质，但大部分学生不会逆用性质或想不到，能正反灵活地运用幂的运算性质会给解题带来很大的帮助． 例2　已知10m＝4，10n＝5，求103m＋2n的值． 解：103m＋2n＝（10m）3×（10n）2＝43×52＝1600． 例3　试比较355，444，533的大小（1995年全国数学联赛）． 解：因为355＝（35）11＝24311， 444＝（44）11＝25611， 533＝（53）11＝12511， 而125＜243＜256， 所以533＜355＜444． 4．注意幂的意义与幂的运算性质的混淆． 例如：比较（23）4与的大小． 错解：因为（23）4＝212，＝212，所以（23）4＝． 产生错误的原因是：对幂的意义与幂的乘方混淆不清，教师要帮助学生弄清幂的意义，并与幂的性质进行比较． 06关于(a＋b)2的推广 　　对于公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，可以从两方面推广：一是从指数推广；一是从项数推广． 　　我们知道， 　　(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2． ① 　　由多项式的乘法，可以得到 　　(a＋b)3＝(a＋b)2(a＋b) 　　　　　 ＝(a2＋2ab＋b2)(a＋b) 　　　　　 ＝a3＋2a2b＋ab2＋a2b＋2ab2＋b3 　　　　　 ＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3． ② 　　从展开式①，②中，可以看出如下规律： 　　项数与次数： 　　项数比次数多1； 　　展开式中的字母a按降幂排列，第一项的字母a的指数就是二项式的次数；而字母b则按升幂排列，末项b的指数也是二项式的次数； 　　各项中a、b指数的和都等于二项式的次数． 　　系数： 　　首末两项的系数都是1； 　　②式中第二项的系数是①式中第一、二项系数的和； 　　②式中第三项的系数是①式中第二、三项系数的和． 上述规律，从下面的表中可以很清楚地展示出来． ( 1 ( a ＋ b ) 1 1 　 　 a ＋ b ( a ＋ b ) 2 1 2 1 a 2 ＋ 2 ab ＋ b 2 ( a ＋ b ) 3 1 3 3 1 a 3 ＋ 3 a 2 b ＋ 3 ab 2 ＋ b 3 ) 　　按上述规律， (a＋b)4展开式各项的系数为1、4、6、4、1． 　　再结合项数与次数的规律，可得 　　(a＋b4)＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4． ③ 　　由多项式的乘法验证，③的结果是对的． 　　事实上，由③可以推出(a＋b)5展开式各项的系数，等等．当二项式的次数不大时，我们利用项数与次数以及系数的规律可以将展开式写出来．例如 　　(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5． 　　如果你有兴趣，不妨按照上述规律写出(a＋b)6的展开式． 　　上述二项式展开式的系数表在我国宋朝数学家杨辉著《详解九章算法》（1261年）一书时用过．杨辉在注释中提到，贾宪也用过上述办法．因此，我们称上述系数表为杨辉三角或贾宪三角． 　　下面看一看(a＋b)2项数推广的情形． 我们用语言表述公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 ①为： 两数和的平方，等于这两个数的平方和，加上这两个数积的2倍． 　　我们曾用多项式的乘法计算，得 　　(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac． ② 　　上式同样可用语言表述为：三数和的平方，等于这三个数的平方和，加上这三个数中每两个数的积的2倍．下面，我们用多项式的乘法计算4个数和的平方． 　　 (a＋b＋c＋d)2＝[(a＋b)＋(c＋d)]2 　　＝(a＋b)2＋2(a＋b)(c＋d)＋(c＋d)2 　　＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2ad＋2bc＋2bd＋c2＋2cd＋d2 　　＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ab＋2ac＋2ad＋2bc＋2bd＋2cd． ③ 　　同样，上式用语言表述为：4个数和的平方，等于这4个数的平方和，加上这4个数中每两个数的积的2倍． 　　同学们如有兴趣，可利用公式②、③计算下列各题： 　　1．(a＋2b－c)2； 　　2．(2x－y＋3z)2； 　　3．(a＋b－c－d)2； 4．(x－2y－z＋2w)2． 学科网（北京）股份有限公司 $$