精品解析：江苏省南通市海安市2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024～2025学年度第一学期期末学业质量测试 八年级数学 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡指定的位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符． 4．答案必须按要求书写在答题卡上，在草稿纸、试卷上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有－项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称．根据关于x轴对称的点的坐标的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求解即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是； 故选B． 2. 华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米（7纳米）的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用科学记数法表示绝对值小于1的数．一般形式为为正整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：数0.000000007用科学记数法表示为． 故选：A． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式进行计算是解题的关键．根据平方差公式和完全平方公式的运算法则，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、，故此选项计算错误，不符合题意； B、，故此选项计算错误，不符合题意； C、，故此选项计算错误，不符合题意； D、，故此选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图，和交于O，如，用证明还需添加的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 由，加上对顶角相等，再加上，即可利用得证． 【详解】解：还需添加的添加是， 在和中， ， ∴， 则还需添加的添加是， 故选：C． 5. 下列各式是最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式是解题的关键．根据最简分式的定义，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，故此选项不符合题意； B、，不是最简分式，故此选项不符合题意； C、是最简分式，故此选项符合题意； D、，不是最简分式，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在中，，根据步骤作图：（1）分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，；（2）作直线，交于点．若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据作图可知，是的垂直平分线，得出点是的中点，再根据直角三角形的性质得到，即可求出的长． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线， 直线交于点， 点是的中点， ， ， ． 故选：D． 7. “某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（　　） A. 每天比原计划多修，结果延期10天完成 B. 每天比原计划多修，结果提前10天完成 C. 每天比原计划少修，结果延期10天完成 D. 每天比原计划少修，结果提前10天完成 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的实际运用．根据设实际每天整修道路，可得表示的含义，由此可得，表示的含义，由此即可求解． 【详解】解：设实际每天整修道路，则表示：实际施工时，每天比原计划多修， ∵方程， 其中表示原计划施工所需时间，表示实际施工所需时间， ∴原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前10天完成． 故选：B． 8. 如图，大正方形与小正方形的面积差为72，则阴影部分的面积为（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、平方差公式在几何图形中的应用，正确运用算式表示出阴影部分面积是解题的关键．设大正方形边长为，小正方形边长为，由题意得，，利用三角形的面积公式表示出阴影部分面积，再利用整式的运算法则化简，代入数据即可得出答案． 【详解】解：如图， 设大正方形边长为，小正方形边长为，则， 大正方形与小正方形的面积差为72， ， 阴影部分面积 ． 故选：C． 9. 如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=110°，延长BC到D，在∠ACD内作射线CE，使得∠ECD=15°．过点A作AF⊥CE，垂足为F．若AF=，则AB的长为（　　） A. B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作CH⊥AB于H，根据等腰三角形的性质以及角的和差求出AH＝BH，∠ACH＝∠ACF＝55°，则CA平分∠HCF，根据角平分线的性质可得AH＝AF，即可得AB的长． 【详解】解：过点C作CH⊥AB于H， ∵CA＝CB，∠ACB＝110°， ∴∠ACH∠ACB＝55°，∠ACD＝70°， ∵∠ECD＝15°． ∴∠ACF＝∠ACD﹣∠ECD＝55°， ∴∠ACH＝∠ACF＝55°， ∴CA平分∠HCF， ∵AF⊥CE，CH⊥AB， ∴AH＝AF， ∴AB＝2AH＝2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，解决问题的关键是得出CA平分∠HCF． 10. 若实数，，满足，，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解、代数式的求值、实数的性质，掌握相关知识点是解题的关键．先将题目的两个等式相加，整理得到，再利用因式分解的知识将等式变形为，利用完全平方的非负性求出、的值，即可求出的值． 【详解】解：，， ， 整理得：， ， ， ，， 解得：，， ， ． 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，从而可得答案． 【详解】解：代数式有意义， 故答案为： 12. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，然后根据平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 13. 若分式的值为8，当，都扩大为原来2倍后，所得分式的值是______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．由题意得，将分式中，用，代替，利用分式的基本性质化简，再结合原分式的值即可得出答案． 【详解】解：将分式中，都扩大为原来2倍后，所得式子为： ， 若分式的值为8，则所得分式的值是． 故答案为：16． 14. 如图，把、、三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为______． 【答案】220 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题目特点可用提公因式的方法进行因式分解．用提公因式法把，因式分解为，再进行计算求值． 【详解】解： ． 故答案为：220． 15. 如图，在中．边垂直平分线交于点，且，则的度数是________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，得到，再根据，，得，则，得到，然后根据三角形内角和定理列式计算，得到答案． 【详解】解：连接，如图， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 已知，则代数式的值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式，二次根式的加法运算等知识．熟练掌握代数式求值，完全平方公式，二次根式的加法运算是解题的关键． 根据，代值求解即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 17. 如图，等腰直角三角形中，，点在线段上，点在线段上，且．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定、二次根式的应用、勾股定理，熟练掌握相关知识点，学会添加辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．作于点，交于点，利用等腰直角三角形的性质得到，利用平行线的性质得到，结合推出，利用等腰三角形的判定得到，设，表示出，列出方程求出的值，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：作于点，交于点， 等腰直角三角形， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，， 又， ，， ， ， 设，则， ，， ，， ， ， 解得：， ，， ， ， 的长为． 故答案为：． 18. 如图，在中，，，，，点在边上，，点在边上，且，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．作交于点，交于点，由和得到，根据得到，则有，推出，利用全等三角形和直角三角形的性质推出，得到，即可求出的长． 【详解】解：如图，作交于点，交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， 又， ， ，， ， ， ，即， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、乘法公式，熟练掌握二次根式的运算法则、利用完全平方公式、平方差公式进行计算是解题的关键． （1）先利用二次根式的乘除法则计算，结果化为最简二次根式，再合并即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式化简式子，再去括号、合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. （1）化简：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）无解 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算、解分式方程，熟练掌握分式的运算法则、解分式方程的步骤是解题的关键． （1）根据分式的运算法则计算即可； （2）去分母化为整式方程，解出整式方程，再验根即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 去分母，得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是分式方程的增根， 原分式方程无解． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，点A的坐标为，解答下列问题： （1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）在轴上找一点P，使最小，的坐标为（__ ，__ ）． 【答案】（1）图见解析， （2）0，0 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 由图可知： 【小问2详解】 如图，点即为所求，由图可知：， 故答案为：0，0 22. 如图，在等边中，，、相交于点． （1）求证； （2）过点作，垂足为．若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）7 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质可得，，由可得出，最后利用全等三角形判定定理即可证明； （2）利用全等三角形性质可得，，利用三角形的外角的性质得出，利用含角直角三角形的性质可得，最后利用线段的和差关系即可求出的长． 【小问1详解】 证明：等边， ，， ， ，即， 在和中， ， ． 【小问2详解】 解：由（1）得，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为7． 23. 如图，在锐角中，点是边上一点，，于点，与交于点． （1）求证为等腰三角形； （2）若，为中点，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形和全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由得到，由得到，利用直角三角形的性质和对顶角相等可得，即可得证； （2）取的中点，连接，由（1）得，利用三线合一性质得到，通过证明得到，即可求出的长． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， 又， ， ， 为等腰三角形． 【小问2详解】 解：如图，取的中点，连接， 由（1）得，， 又点是的中点， ，， ， ， 为中点， ， 和中， ， ， ， ， 的长为10． 24. 嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和洪淇的对话如下． 设每支圆珠笔为元 （1）请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？ （2）嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确，若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数的值． 【答案】（1）见解析 （2）整数的值为3 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． （1）根据买了相同数量的中性笔和圆珠笔，列出分式方程，解方程，进而求出圆珠笔的数量，即可解决问题； （2）根据买了相同数量的中性笔和圆珠笔，列出分式方程，解方程，然后求出的值即可． 【小问1详解】 解：由题意可得， 解得， 经检验是分式方程的解． 此时圆珠笔的数量为， 圆珠笔的数量为整数， 不合题意， 嘉嘉搞错了； 【小问2详解】 由题意可得， 解得： 中性笔和圆珠笔的单价均为整数，， ， ， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 整数的值为3． 25. 已知实数，，满足． （1）当，时，求的值； （2）当时，求的值； （3）若的最大值与最小值的差为6，求的值． 【答案】（1）13 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了实数的性质、完全平方公式的应用、分式的加减、不等式的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入，得到，再利用完全平方公式计算即可； （2）代入，得到，则有，再利用求出的值，再根据平方根的定义即可求解； （3）将变形为和，利用完全平方的非负性分别求出的最大值和最小值，结合的最大值与最小值的差为6，解方程求出的值即可解答． 【小问1详解】 解：当，时，， ， ． 【小问2详解】 解：当时，， ， ， ， ， 的值为． 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， 的最大值为，最小值为， 又的最大值与最小值的差为6， ， 解得：， 值为． 26. 综合与实践： 【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是______； 【变式思考】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，．若，，则四边形面积的最大值是______； 【拓展运用】 （3）如图3，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】本题实质属于手拉手模型，主要考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形和等腰三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质得到，，，再利用全等三角形判定定理证出，即可得出结论； （2）连接和交于点，和交于点，利用等腰直角三角形的性质证出，得到，，进而得到，得出四边形面积，再利用线段的性质求出的最大值，即可求出四边形面积的最大值； （3）延长至使得，连接，先证出，得到，，再通过证明得到，最后利用线段的和差即可得出结论． 【小问1详解】 解：和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图，连接和交于点，和交于点， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， 四边形面积， ， ， 四边形面积的最大值是． 故答案为：． 【小问3详解】 解：，证明如下： 如图，延长至使得，连接， 等腰直角三角形， ， ，，， ， ，，， ， 等腰直角三角形且， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年度第一学期期末学业质量测试 八年级数学 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡指定的位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符． 4．答案必须按要求书写在答题卡上，在草稿纸、试卷上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有－项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米（7纳米）的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，和交于O，如，用证明还需添加条件是（　　） A. B. C. D. 5. 下列各式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，根据步骤作图：（1）分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，；（2）作直线，交于点．若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. “某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（　　） A. 每天比原计划多修，结果延期10天完成 B. 每天比原计划多修，结果提前10天完成 C. 每天比原计划少修，结果延期10天完成 D. 每天比原计划少修，结果提前10天完成 8. 如图，大正方形与小正方形的面积差为72，则阴影部分的面积为（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 72 9. 如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=110°，延长BC到D，在∠ACD内作射线CE，使得∠ECD=15°．过点A作AF⊥CE，垂足为F．若AF=，则AB的长为（　　） A. B. 2 C. 4 D. 6 10. 若实数，，满足，，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 12. 因式分解：_________． 13. 若分式的值为8，当，都扩大为原来2倍后，所得分式的值是______． 14. 如图，把、、三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为______． 15. 如图，在中．边的垂直平分线交于点，且，则的度数是________． 16. 已知，则代数式的值是______． 17. 如图，等腰直角三角形中，，点在线段上，点在线段上，且．若，则的长为______． 18. 如图，在中，，，，，点在边上，，点在边上，且，则的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. （1）化简：； （2）解方程：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，点A的坐标为，解答下列问题： （1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）在轴上找一点P，使最小，坐标为（__ ，__ ）． 22. 如图，在等边中，，、相交于点． （1）求证； （2）过点作，垂足为．若，，求的长． 23. 如图，在锐角中，点边上一点，，于点，与交于点． （1）求证为等腰三角形； （2）若，为中点，求的长． 24. 嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和洪淇的对话如下． 设每支圆珠笔为元 （1）请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？ （2）嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确，若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数的值． 25 已知实数，，满足． （1）当，时，求的值； （2）当时，求的值； （3）若的最大值与最小值的差为6，求的值． 26. 综合与实践： 【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与数量关系是______； 【变式思考】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，．若，，则四边形面积的最大值是______； 【拓展运用】 （3）如图3，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$