2.6.1函数的单调性课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

问题提出 直观感知 借助函数图像判断函数单调性 符号表述 对于函数f (x)定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f (x1)<f (x2)，则称f (x)在区间D上单调递增. 由单调性定义判断函数单调性 导数刻画 导数和函数的单调性都可以刻画函数的的变化，那么，导数与函数的单调性之间有何关系呢?能否用导数来研究函数的单调性呢？ ？ ？ ？ 函数单调性概念的认知 第二章　导数及其应用 §6　用导数研究函数的性质 6.1　函数的单调性 实例分析 实例1：计算下列一次函数的导数，并讨论它们的单调性. （1） （2） （3） 解：（1） （2） （3） 函数（1）（2）的导数是正的，在定义域R上单调递增 函数（3）的导数是负的，在定义域R上单调递减 实例分析 实例2：计算下列指数函数、对数函数的导数，并讨论它们的单调性. （1） （2） （3） （4） 解: 对于函数（1）（3），相应定义域上的每一个x都满足 ，函数 在其定义域内是增函数；对于函数（2）（4），相应定义域上的每一个x都满足 ，函数 在其定义域内是增函数； 实例分析 实例3：计算幂函数 的导数，并讨论它们的单调性. 解: 当自变量 时， ，函数 在 区间 上单调递增 当自变量 时， ，函数 在 区间 上单调递减 结合实例1、2、3，你觉得导数与原函数单调性有什么联系？ 抽象概括 ▶导数的符号与函数的单调性之间具有如下关系： 若在某个区间上，函数 的导数 ，则在区间上，函数 单调递增； 若在某个区间上，函数 的导数 ，则在区间上，函数 单调递减； 注：若在某个区间上，函数 的导数恒为0，则在区间上，函数 为常值函数 思考1：如何从函数导数的几何意义理解函数的单调性与导数的正负之间的关系？ 三次函数 正弦函数 导数值 切线的斜率 倾斜角 曲线的变化趋势 函数的单调性 k＞0 锐角 上升 单调递增 k＜0 钝角 下降 单调递减 抽象概括 ▶导数的符号与函数的单调性之间具有如下关系： 若在某个区间上，函数 的导数 ，则在区间上，函数 单调递增； 若在某个区间上，函数 的导数 ，则在区间上，函数 单调递减； 注：若在某个区间上，函数 的导数恒为0，则在区间上，函数 为常值函数 思考2：用导数判断 的单调性，并思考在某个区间上，若函数 的导函数 恒成立， 满足什么条件时，函数在该区间单调递增？ ▶在区间A上，若函数 的导函数 且 在A的任意子区间上都不为0，则函数 在A上单调递增. 抽象概括 ▶导数的符号与函数的单调性之间具有如下关系： 若在某个区间上，函数 的导数 ，则在区间上，函数 单调递增； 若在某个区间上，函数 的导数 ，则在区间上，函数 单调递减； 注：若在某个区间上，函数 的导数恒为0，则在区间上，函数 为常值函数 思考3： 在区间A上恒成立是 在区间A上单调递增的什么条件？ 充分不必要条件 知识应用 C A 知识应用 B 典例剖析 例：讨论函数 的单调性. 解: ①求定义域 ②求导 ③在定义域内解不等式 f '(x)＞0和f '(x)＜0 ④下结论 思考：根据单调性，你能作出函数 的大致图像吗？ 牛刀小试 练习1：求函数 的单调区间. 解： 的定义域为（0， ） 牛刀小试 练习2：讨论函数 在区间 上的单调性. 牛刀小试 练习3：求下列函数单调区间，并作出函数的大致图像. 巩固提升 练习1：设函数 ， ，讨论 单调性. 解： 的定义域为（0， ） 巩固提升 练习2：求函数 的单调区间. 巩固提升 巩固提升 练习3：已知函数 ，讨论 的单调性. 巩固提升 课堂小结 ▶函数单调性的判断方法： ①图像法；②定义法；③性质法；④求导 ▶用导数判断函数单调区间的步骤： ①确定函数定义域； ②求导； ③解不等式f '(x)＞0，f '(x)＜0 ④下列结论 返回 返回 Lavf57.62.100 Lavf57.62.100 $$