精品解析：山东省2024-2025学年九年级下学期学业水平第一次模拟数学测试二

山东省2025年初中学业水平模拟测试（二） （山东省教研室山东统考专用） 本试题分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至3页，第II卷3至8页，共150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前请考生仔细阅读答题卡上的注意事项，并务必按照相关要求作答． 2．考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．） 1. 在实数，，，，，，有理数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的分类，由有理数及无理数的定义分类，即可求解；理解有理数及无理数的定义是解题的关键． 【详解】解： ，，是无理数， ，，是有理数； 故选：C． 2. 下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是(　 　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据轴对称图形与中心对称图形的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项错误； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查的是轴对称图形，熟知轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质的图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合是解答此题的关键． 3. 计算（a3）2•a3的结果是（　　） A. a8 B. a9 C. a10 D. a11 【答案】B 【解析】 【分析】先计算幂的乘方，然后再计算同底数幂的乘法即可． 【详解】(a3)2•a3=•， 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的运算，熟记幂的乘方和同底数幂的乘法公式是解决此题的关键． 4. 如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由主视图和左视图的宽为a，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，即可得出结论． 【详解】∵， ∴俯视图的长为a+1，宽为a， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图与几何体的长、宽、高的关系，进而求得俯视图的长和宽是解答的关键． 5. 甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量（单位：L）关于行驶路程（单位：百公里）的函数图像分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，关键是由图象获取信息来解决问题． 由图象知甲、乙两车行驶百公里时，甲车耗油，乙车耗油，由题意即可得到答案． 【详解】解：由图象知：甲、乙两车行驶百公里时，甲车耗油，乙车耗油， 由题意得：． 故选：B． 6. 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　） A. 40° B. 45° C. 50° D. 60° 【答案】C 【解析】 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案. 【详解】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC， 设∠PCD＝x°， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN， ∴PF＝PM， ∵∠BPC＝40°， ∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°， ∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°， ∴∠CAF＝100°， 在Rt△PFA和Rt△PMA中， ， ∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL）， ∴∠FAP＝∠PAC＝50°． 故选C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解题的关键． 7. 如图，小颖在围棋盘上两个格子的格点上任意摆放黑、白两个棋子，且两个棋子不在同一条网格线上，其中，恰好摆放成如图所示位置的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】【分析】先找出符合的所有情况，再得出选项即可． 【详解】如图所示， 共有12种情况，恰好摆放成如图所示位置的只有1种，所以概率是， 故选A． 【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，能找出符合的所有情况是解本题的关键． 8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（　　） A. 56° B. 62° C. 68° D. 78° 【答案】C 【解析】 【分析】由点I是△ABC的内心知∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，从而求得∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案． 【详解】解：∵点I是△ABC的内心， ∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA， ∵∠AIC=124°， ∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB） =180°﹣2（∠IAC+∠ICA） =180°﹣2（180°﹣∠AIC） =68°， 又四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠CDE=∠B=68°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质． 9. 如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论： ①四边形AECF是菱形； ②∠AFB＝2∠ACB； ③AC•EF＝CF•CD； ④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF． 其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据角平分线的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】如图，设与的交点为， 根据作图可得，且平分， ， 四边形是矩形， ， ， 又， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 垂直平分， ， 四边形是菱形，故①正确； ②， ， ∠AFB＝2∠ACB；故②正确； ③由菱形的面积可得AC•EF＝CF•CD；故③不正确， ④四边形是矩形， ， 若AF平分∠BAC，， 则， ， ， ， ， ， ， CF＝2BF．故④正确； 故选B 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 10. 对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则，如，，给出下列关于的结论： ， ，若，则实数的取值范围是，当，为非负整数时，有，．其中，正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一元一次不等式组的应用；由新定义得，即可判断；当时，由新定义即可判断；由新定义得，即可判断； 由，为非负整数时，不影响四舍五入，即可判断；当，时，即可判断；理解新定义是解题的关键． 【详解】解：， ， 故此项正确； 当时， ， ， ， 故此选项错误； ， ， 解得：； 故此项正确； ，为非负整数时，不影响四舍五入， ， 故此项正确； 当，时， ， ， ， 故此项错误； 故选：B． 二、填空题：（本大题共6题，每题4分，共24分．） 11. 中国经济网1月22日讯据山东省统计局消息，根据地区生产总值统一核算结果，2024年全年山东省生产总值为98566亿元，同比增长，数据98566亿用科学记数法表示为______(保留三位有效数字)． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值是易错点，有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字，据此求解即可． 【详解】解：98566亿， 故答案为：． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，正确运用完全平方公式分解因式是解题关键． 13. 已知方程，且关于x的不等式只有4个整数解，那么b的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，代入不等式组确定出b的范围即可． 【详解】解：分式方程去分母得：，即， 分解因式得：， 解得：或， 经检验是增根， ∴分式方程的解为， 当时，由只有4个整数解，得到． 故答案为：． 14. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， ， 解得：， ， ， 的取值范围为且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键． 15. 如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点P在AB上，AP＝1．将矩形ABCD沿CP折叠，点B落在点B'处．B'P、B′C分别与AD交于点E、F，则EF＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】过P作PG⊥CD于G，交CB′于H，根据矩形的性质得到AD＝PG＝BC＝8，DG＝AP＝1，求得CG＝PB＝4，根据折叠的性质得到∠BCP＝∠PCH，根据平行线的性质得到∠HPC＝∠PCB，等量代换得到∠HPC＝∠PCH，求得HP＝CH，设HG＝x，则CH＝PH＝8﹣x，根据勾股定理得到CH＝PH＝5，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】过P作PG⊥CD于G，交CB′于H， 则四边形ADGP和四边形PBCG是矩形， ∴AD＝PG＝BC＝8，DG＝AP＝1， ∴CG＝PB＝4， ∵将矩形ABCD沿CP折叠，点B落在点B'处， ∴∠BCP＝∠PCH， ∵PG∥BC， ∴∠HPC＝∠PCB， ∴∠HPC＝∠PCH， ∴HP＝CH， 设HG＝x，则CH＝PH＝8﹣x， ∵HG2+CG2＝CH2， ∴x2+42＝（8﹣x）2， ∴x＝3， ∴CH＝PH＝5， ∵HG∥DF， ∴△CHG∽△CFD， ∴， ∴， ∴CF＝，DF＝， ∴B′F＝， ∵∠B′＝∠D＝90°，∠EFB′＝∠DFC， ∴△B′EF∽△DCF， ∴， ∴， ∴EF＝． 故答案为． 【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题，解题的关键是灵活运用翻折变换的性质等知识点来分析、判断、解答． 16. 如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知图形每旋转一周，圆心的路径循环一次，且路径长度刚好为以2为半径的圆的周长，据此找到规律求解即可． 【详解】解：由题意可知图形每旋转一周，圆心的路径循环一次，且路径长度刚好为以2为半径的圆的周长， ∵， ∴当圆心经过的路径长为时，图形旋转了圈， ∵图形每旋转一圈横坐标增加， ∴当图形旋转505圈时的横坐标为，再转圈横坐标增加， ∴当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，点的坐标规律探索，正确找到规律是解题的关键． 三、解答题：（本大题共7题，第17，19题10分，第18，20，21，22题每题13分，第23题14分，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，实数的混合运算，分式的化简求值等知识点，能正确根据分式的运算法则和实数的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． （1）先计算开方、负整数指数幂和绝对值，然后根据有理数的加减法计算即可； （2）先计算分式的减法，再计算分式的除法进行化简，最后代入求出答案即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式， 当时，原式． 18. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，，，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到） 参考数据：，． 【答案】的长为 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，先求解，再求解，从而可得答案； 【详解】解：∵，，； ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∴的长为； 19. 为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和美育发展水平，现从七年级共180名学生中随机抽取20名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用x表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；待提高：）．对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下． 信息一：体育成绩的人数（频数）分布图如下． 信息二：美育成绩的人数（频数）分布表如下． 分组 人数 m 7 2 7 信息三：20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下（共20个点）． 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______； （2）下列结论正确的是______；（填序号） ①体育成绩低于80分的人数占抽取人数的； ②参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”； ③在信息三中，相比于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升； （3）请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数． 【答案】（1）4 （2）①③ （3）18 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图的相关知识，个体占比，中位数定义，用样本估计总体等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）用样本总体减去良好成绩的人生，合格成绩的人数，待提高成绩的人数即可得出答案． （2）①用体育成绩低于80分的人数8除以样本总体20即可得出判断．②用中位数的定义判断即可．③根据坐标得出点A和点B各自的美育和体育的成绩判断即可． （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：4． 【小问2详解】 ①根据20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计图可知： 体育成绩低于80分的人数有8人， ∴体育成绩低于80分的人数有占抽取人数的，故①正确． ②∵一共有20人，成绩从小到大排序，中位数为第10位和第11位的平均数， ∴中位数位于之间， 即参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“良好”，故②错误． ③在信息三中，点A的美育成绩为90，体育成绩为70，点B的美育成绩为70，体育成绩为70，所以相比于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升，故③正确， 故有①③正确， 故答案为①③． 【小问3详解】 根据信息三，可知：美育和体育成绩都在90分以及以上的只有2人． 故七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数有人． 20. 在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． （1）【动手操作】 列表： 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 4 2 1 描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象． （2）【探究发现】 ①将反比例函数的图象向___________平移___________个单位长度得到函数的图象． ②上述探究方法运用的数学思想是（　　） 整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想 （3）【应用延伸】 ①将反比例函数的图象先___________，再___________得到函数的图象． ②函数图象的对称中心的坐标为___________． 【答案】（1） 描点、连线画出函数图象如图所示： （2）①左，1；②B （3）①右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）； ② 【解析】 【分析】（1）列表，描点、连线画出函数的图象即可； （2）结合图象填空即可； （3）根据发现的规律填空即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①函数的图象可以看作是由函数的图象向左平移1个单位长度， ②上述探究方法运用的数学思想是类比思想． 故答案为：左，1；B 【小问3详解】 ①函数的图象可以看作是由函数的图象向右平移2个单位长度； 向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）而得到； ②根据平移的性质，函数图象的对称中心的坐标为． 故答案为：右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）； 【点睛】本题考查了反比例函数的图象，一次函数的图象，正比例函数图象，一次函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键． 21. 如图，AB为的直径，D是弧BC的中点BC与AD，OD分别交于点E，F (1)求证：； (2)求证：; (3)若,求的值. 【答案】(1)证明：∵D为弧BC的中点，OD为的半径 ∴即∠BFO=90°    又∵AB为的直径      ∴      ∴ (2)证明：∵D为弧BC的中点           ∴ ∴ ∴           ∴           即 (3). 【解析】 【分析】（1）由D点为中点，易知OD垂直平分BC，又因AB为直径，所以∠ACB=90°，所以；（2）因为D点为中点，所以，可得，即有；（3）利用与，可得，设CD=，则DE=，，又因为，得到，所以，得到，就有 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：∵， ∴ 设CD=，则DE=， 又∵ ∴ ∴ 所以 又 ∴ 即 【点睛】本题主要考查圆的基本性质、相似三角形证明与性质、三角函数的计算等知识点，综合程度比较高，第三问的关键在于将∠CDA换成∠CBA，利用三角形相似求得sin∠CBA 22. 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“等补四边形”．如图1，四边形中，，，则四边形叫作“等补四边形”． （1）概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（ ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 ②等补四边形中，若，则  ； ③如图1，在四边形中，平分，，．求证：四边形是等补四边形． （2）探究发现 如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． （3）拓展应用 如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，，，求的长． 【答案】（1）①D；②； ③证明：在上截取，连接，如图1， 在和中， ， ， ，． ， ． ． ， ， 又， 四边形是等补四边形； （2） 解：平分，理由如下， 如图2，过点分别作于，于， 则， 四边形是等补四边形， ， 又， ， ， ， ， 是的平分线（在角的内部且到角两边距离相等的点在角平分线上）， 即平分． （3）． 【解析】 【分析】（1）①判断图形是否满足“等补四边形”的对角互补，邻边相等的条件；②利用“等补四边形”的对角互补，列式计算即可求解；③在上截取，证明，推出，．据此即可证明结论成立； （2）过点分别作于，于，证明，推出，根据角平分线的判定定理即可得解； （3）连接，由（2）知，平分，证得，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：①平行四边形的对角相等，不一定互补，对边相等，邻边不一定相等， 平行四边形不一定是等补四边形； 菱形四边相等，对角相等，但不一定互补， 菱形不一定是等补四边形； 矩形对角互补，但邻边不一定相等， 矩形不一定是等补四边形； 正方形四个角是直角，四条边相相等， 正方形一定是等补四边形， 故选：D； ②等补四边形对角互补，， 设， ∴，解得， ∴， ∴， 故答案为：； ③略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∵等补四边形中，，由（2）知，平分， ∵四边形是等补四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，“等补四边形”的概念，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 23. 新定义：我们把抛物线（其中与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为，已知抛物线：的“关联抛物线”为，与y轴交于点E． （1）若点E的坐标为，求的解析式； （2）设的顶点为F，若是以为底的等腰三角形，求点E的坐标； （3）过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，，于点M，N． ①当时，求点P的坐标； ②当时，的最大值与最小值的差为，求a的值． 【答案】（1） （2） （3）①或；②a的值为或 【解析】 【分析】（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出的顶点坐标； （2）根据“关联抛物线”的定义可得的解析式，之后得到函数的顶点，过点作轴于点，连接，进而得到，，，于是根据即可得到结论； （3）①设点的横坐标为，则可表达点和点的坐标，根据两点间距离公式可表达的长，列出方程，可求出点的坐标； ②当时得出的最大值和最小值，进而列出方程，可求出的值． 【小问1详解】 解：∵与y轴交点的坐标为， ∴，解得． ∴的解析式为 ； 【小问2详解】 解：根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为， ∵， ∴的顶点的坐标为 易得点， 过点作轴于点，连接． ∴，，， ∵， ∴，即． 解得， ∴点E的坐标为； 【小问3详解】 解：①设点P的横坐标为m， ∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线，于点， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得或， ∴或； ②∵的解析式为， ∴当时，， 当时，； 当时，． 根据题意可知，需要分三种情况讨论： Ⅰ．当时，，且当时，函数的最大值为；函数的最小值为． ∴，解得或（舍）或（舍）； 当时，函数的最大值为，函数的最小值为． ∴，解得或（舍）或（舍）； Ⅱ．当时，，函数的最大值为；函数的最小值为， ∴，解得（舍）或（舍）； Ⅲ．当时，，不符合题意，舍去． 综上，a的值为或． 【点睛】本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及等腰三角形以及两点间距离公式，二次函数的图象及性质，由“关联抛物线”的定义得出的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省2025年初中学业水平模拟测试（二） （山东省教研室山东统考专用） 本试题分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至3页，第II卷3至8页，共150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前请考生仔细阅读答题卡上的注意事项，并务必按照相关要求作答． 2．考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．） 1. 在实数，，，，，，有理数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是(　 　) A. B. C. D. 3. 计算（a3）2•a3的结果是（　　） A. a8 B. a9 C. a10 D. a11 4. 如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，，则（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量（单位：L）关于行驶路程（单位：百公里）的函数图像分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　） A. 40° B. 45° C. 50° D. 60° 7. 如图，小颖在围棋盘上两个格子的格点上任意摆放黑、白两个棋子，且两个棋子不在同一条网格线上，其中，恰好摆放成如图所示位置的概率是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（　　） A. 56° B. 62° C. 68° D. 78° 9. 如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论： ①四边形AECF是菱形； ②∠AFB＝2∠ACB； ③AC•EF＝CF•CD； ④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF． 其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则，如，，给出下列关于的结论： ， ，若，则实数的取值范围是，当，为非负整数时，有，．其中，正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：（本大题共6题，每题4分，共24分．） 11. 中国经济网1月22日讯据山东省统计局消息，根据地区生产总值统一核算结果，2024年全年山东省生产总值为98566亿元，同比增长，数据98566亿用科学记数法表示为______(保留三位有效数字)． 12. 因式分解：________． 13. 已知方程，且关于x的不等式只有4个整数解，那么b的取值范围是______． 14. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______． 15. 如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点P在AB上，AP＝1．将矩形ABCD沿CP折叠，点B落在点B'处．B'P、B′C分别与AD交于点E、F，则EF＝_____． 16. 如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是________． 三、解答题：（本大题共7题，第17，19题10分，第18，20，21，22题每题13分，第23题14分，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，，，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到） 参考数据：，． 19. 为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和美育发展水平，现从七年级共180名学生中随机抽取20名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用x表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；待提高：）．对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下． 信息一：体育成绩的人数（频数）分布图如下． 信息二：美育成绩的人数（频数）分布表如下． 分组 人数 m 7 2 7 信息三：20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下（共20个点）． 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______； （2）下列结论正确的是______；（填序号） ①体育成绩低于80分的人数占抽取人数的； ②参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”； ③在信息三中，相比于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升； （3）请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数． 20. 在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． （1）【动手操作】 列表： 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 4 2 1 描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象． （2）【探究发现】 ①将反比例函数的图象向___________平移___________个单位长度得到函数的图象． ②上述探究方法运用的数学思想是（　　） 整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想 （3）【应用延伸】 ①将反比例函数的图象先___________，再___________得到函数的图象． ②函数图象的对称中心的坐标为___________． 21. 如图，AB为的直径，D是弧BC的中点BC与AD，OD分别交于点E，F (1)求证：； (2)求证：; (3)若,求的值. 22. 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“等补四边形”．如图1，四边形中，，，则四边形叫作“等补四边形”． （1）概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（ ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 ②等补四边形中，若，则  ； ③如图1，在四边形中，平分，，．求证：四边形是等补四边形． （2）探究发现 如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． （3）拓展应用 如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，，，求的长． 23. 新定义：我们把抛物线（其中与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为，已知抛物线：的“关联抛物线”为，与y轴交于点E． （1）若点E的坐标为，求的解析式； （2）设的顶点为F，若是以为底的等腰三角形，求点E的坐标； （3）过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，，于点M，N． ①当时，求点P的坐标； ②当时，的最大值与最小值的差为，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $