精品解析：山西省忻州市第一中学校2024-2025学年高一上学期期初考试数学试题

2024级高一年级入学期始考试试题 高一数学 本试卷共100分 考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前请在答题纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列给出的对象中，能组成集合的是（ ） A. 一切很大的数 B. 好心人 C. 漂亮的小女孩 D. 方程的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】都不满足集合的确定性，排除，解出方程可以确定构成集合. 【详解】A. 一切很大的数B. 好心人C. 漂亮的小女孩均不满足集合的确定性，排除； D. 方程的实数根为，可以构成集合. 故选 点睛】本题考查了能否构成集合，属于简单题型. 2. 命题p：“存在实数m，使方程有实数根”则“”形式的命题是（ ） A. 存在实数m，使方程无实数根 B. 不存在实数m，使方程无实数根 C. 对任意的实数m，方程无实数根 D. 至多有一个实数m，使方程有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】 直接根据特称命题的否定为全称命题的形式写出答案. 【详解】命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题， 即对任意的实数m，方程无实数根. 故选：C. 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，考查对概念的理解，属于基础题. 3. 函数的定义域是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式、根式以及零次方的性质列式求解. 【详解】由题意可得，解得且， 所以函数定义域是. 故选：D. 4. 下列函数中，在定义域内函数值随的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】选项分别为反比例函数，一次函数，正比例函数，根据函数性质选出答案. 【详解】选项：可看作是反比例函数向左平移一个单位得到的，在和上都是增函数， 但不能说在整个定义域内随的增大而增大，因为在处函数不连续，不符合条件. 选项：是一次函数，在定义域上是减函数，随的增大而减小，不符合条件. 选项：是反比例函数，在和上都是减函数，不符合条件. 选项：是正比例函数，在定义域上是增函数，随的增大而增大，符合条件. 故选：. 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】不等式所对应的方程为：， 方程的根为：或， 所以不等式的解集为：. 故选：C. 6. 方程的解一定位于区间（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知：方程的解即为的零点，根据函数单调性结合零点存在性定理分析判断. 【详解】因为，即， 由题意可知：方程的解即为的零点， 且在内单调递增，则在内单调递增， 又因为， 可知唯一零点，即方程的解一定位于区间. 故选：C. 7. 不等式“在上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】因为“不等式在上恒成立”，所以等价于二次方程的判别式，即. 所以A选项, 是充分不必要条件，A正确； B选项中，不可推导出，B不正确； C选项中，不可推导出，故C不正确； D选项中，不可推导出，故D不正确. 故选：A. 8. 函数的减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出对数型复合函数的定义域，再根据对数函数的单调性及二次函数的单调性，利用复合函数的单调性法则求解即可. 【详解】令，解得或， 则的定义域为， 令在上单调递减. 又在上单调递减，所以在上单调递增， 在上单调递增，所以在上单调递减. 故选：A. 二、多选题：本题共2小题，每小题4分，共8分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题为真命题的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】作差即可判断ABC；根据不等式的性质即可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以，故A正确； 对于B，， 因为，，所以， 所以，所以，故B错误； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图像关于原点对称 B. 的图像关于轴对称 C. 的值域为 D. ，，，恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义即可判断AB，然后分离参数结合指数函数以及反比例函数的性质即可判断C，再由函数单调性的定义即可判断D. 【详解】对于A，因为，定义域为关于原点对称， 且， 所以为奇函数，关于原点对称，故A正确，B错误； 对于C，因为，且，所以， 即，所以，即，故C正确； 对于D，设，且， 则， 其中，，即， ，所以在上单调递减， 所以恒成立，故D正确； 故选：ACD 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11. 多项式可分解为________. 【答案】 【解析】 【分析】令，由一元二次因式分解即可求解； 【详解】令， 由， 可得， 所以多项式可分解为， 故答案为： 12. 已知幂函数在上单调递增，则实数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】 由函数是幂函数可得，由单调性可得，即可求解. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，即， 解得：或， 当时不满足在上单调递增， 当时，上单调递增， 所以， 故答案为： 13. 已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图像，运用数形结合的思想可求得答案. 【详解】解：：首先画出函数的图像，令有两个不同的交点，根据图像分析，如果有两个不同的交点，． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对应函数的零点问题，就是函数与轴的交点，或可以将方程进行化简，转化为两个函数的交点问题，一般转化为两个简单，易画的函数． 14. 二次函数在上的最大值为____，对应的的值为____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由二次函数的性质求解即可. 【详解】， 所以二次函数对称轴为，且开口向上， 当时，二次函数在上取最大值且最大值为： 故答案为：；. 四、解答题（本大题共4小题，满分44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 化简求值： （1） （2） 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】试题分析：(1)根据指数幂的运算性质计算即可,  (2)根据对数的运算性质计算即可. 试题解析：（1） （2） lg25+lg2+-=lg5+lg2+-2（） =1+-2= 16. 已知二次函数满足，且， （1）求二次函数的解析式； （2）求函数的单调增区间和值域． 【答案】（1）；（2）单调增区间为，值域为． 【解析】 【分析】（1）设二次函数，代入条件计算的值，可得到解析式；（2）由复合函数的单调性确定的单调增区间，进而由单调性求出值域. 【详解】（1）设二次函数． ∵，∴．把的表达式代入，有． ∴．∴，．∴． （2）的单调增区间为， 函数的值域为． 17. 已知. （1）若，求a的值； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）或或. 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再利用条件，根据集合与集合间的包含关系，即可求出值； （2）对集合进行分类讨论：和，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出的范围； 【小问1详解】 由方程，解得或 所以，又，， 所以，即方程的两根为或， 利用韦达定理得到：，即； 【小问2详解】 由已知得，又， 所以时，则，即，解得或； 当时， 若B中仅有一个元素，则，即，解得， 当时，，满足条件；当时，，不满足条件； 若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件. 综上，实数a的取值范围是或或. 18. 习近平指出，倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则第次改良后所排放的废气中的污染物数量，可由函数模型（，）给出，其中是指改良工艺的次数. （1）试求改良后的函数模型； （2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过.试问：至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？（参考数据：取） 【答案】（1）（） （2）6次 【解析】 【分析】（1）由题意得，，当时，求得，得到的表达式. （2）由结合对数运算求得即可. 【小问1详解】 由题意得，，所以当时，， 即，解得， 所以（）， 故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为（）. 【小问2详解】 由题意可得，整理得 两边同时取常用对数，得，整理得， 将代入，可得，所以， 又因为，所以， 综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024级高一年级入学期始考试试题 高一数学 本试卷共100分 考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前请在答题纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列给出的对象中，能组成集合的是（ ） A. 一切很大的数 B. 好心人 C. 漂亮的小女孩 D. 方程的实数根 2. 命题p：“存在实数m，使方程有实数根”则“”形式的命题是（ ） A. 存在实数m，使方程无实数根 B. 不存在实数m，使方程无实数根 C. 对任意的实数m，方程无实数根 D. 至多有一个实数m，使方程有实数根 3. 函数的定义域是（ ）． A B. C D. 4. 下列函数中，在定义域内函数值随的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 方程的解一定位于区间（ ） A. B. C. D. 7. 不等式“在上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的减区间为（ ） A B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，每小题4分，共8分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题为真命题有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图像关于原点对称 B. 的图像关于轴对称 C. 值域为 D. ，，，恒成立 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11. 多项式可分解为________. 12. 已知幂函数在上单调递增，则实数的值为________． 13. 已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是___________． 14. 二次函数在上的最大值为____，对应的的值为____. 四、解答题（本大题共4小题，满分44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 化简求值： （1） （2） 16. 已知二次函数满足，且， （1）求二次函数的解析式； （2）求函数的单调增区间和值域． 17. 已知. （1）若，求a的值； （2）若，求实数a的取值范围. 18. 习近平指出，倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则第次改良后所排放的废气中的污染物数量，可由函数模型（，）给出，其中是指改良工艺的次数. （1）试求改良后的函数模型； （2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过.试问：至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？（参考数据：取） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$