河南省鹤壁市高中2024-2025学年高二下学期数学周练试卷（3.9）

鹤壁市高中2026届高二数学周练试卷 满分：150分 时间：2025.3.9 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.给出下列问题： 从甲、乙、丙名同学中选出名分别参加化学和物理学习小组 从甲、乙、丙名同学中选出名同学参加一项活动 从，，，这个字母中取出个字母组成一个密码 从，，，这个数字中取出个数字组成一个两位数． 其中属于排列问题的个数为(    ) A. B. C. D. 2.在二项式的展开式中，含的项为(    ) A. B. C. D. 3.用、、、、、组成没有重复数字的六位数，要求数字和相邻，则这样的六位数的个数为(    ) A. B. C. D. 4.如图，用种不同的颜色对图中个区域涂色种颜色全部使用，要求每个区域涂种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5.将甲、乙、丙、丁个人全部分配到，，三个地区工作，其中甲不能去地区，且每个地区至少有人，则不同的分配方案为(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.已知抛物线的焦点为，准线为若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且为原点，则双曲线的离心率为  (    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知的展开式中含有常数项，则的可能取值为(    ) A. B. C. D. 10.在的展开式中，下列说法正确的是(    ) A. 二项式系数和为 B. 各项系数和为 C. 二项式系数最大的项为第项和第项 D. 所有偶数项的系数和为 11.在某城市中，，两地之间有如图所示的道路网，甲随机沿路网选择一条最短路径，从地出发去往地下列结论正确的有(    ) A. 不同的路径共有条 B. 不同的路径共有条 C. 若甲途经地，则不同的路径共有条 D. 若甲途经地，且不经过地，则不同的路径共有条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设函数，若曲线在点处的切线与抛物线也相切，则的值为          ． 13.某班两位老师和名学生出去郊游，分别乘坐两辆车，每辆车坐人若要求两位老师分别坐在两辆车上，共有          种分配方法． 14.已知数列和，其中，，的项是互不相等的正整数，若对于任意，的第项等于的第项，则           ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知等比数列的前项和为，且． 求数列的通项公式 在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和，求证：． 16.本小题分 已知曲线在点处的切线的斜率为，且当时，函数取得极值． 求函数的极值； 若存在，使得不等式成立，求的取值范围． 17.本小题分 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点．． 证明：； 当为何值时，面与面夹角的正弦值最小 18.本小题分 设椭圆的左焦点为，上顶点为已知椭圆的短轴长为，离心率为． Ⅰ求椭圆的方程； Ⅱ设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上．若为原点，且，求直线的斜率． 19.本小题分 已知函数，其中  当时，求函数的单调区间； 若恒成立，求的最小值；  证明：，其中． 数学周练试卷答案和解析 1-5.CAABB 6-8 CAD 9. AC 10. ABD 11.ACD 12. 1 13. 40 14. 2 3.【答案】  解：依题意，可将这样的六位数分成三类： 第一类，首位是，则第二位必须是，其余四个数位可将另外四个数字全排列即可，有种方法； 第二类，首位是，则第二位必须是，其余四个数位可将另外四个数字全排列即可，有种方法； 第三类，首位从，，中任取一个，有种，再将，看成一个元素，与另外三个数字在四个位置上全排列，有种方法，再考虑，的顺序，有种排法， 故由分步乘法计数原理，有种方法． 由分类加法计数原理可知，这样的六位数共有个． 4.【答案】  解：由题意知，第一步：涂区域，有种方法； 第二步：涂区域，有种方法； 第三步：涂区域，有种方法此前三步已经用去三种颜色； 第四步：涂区域，分两类：第一类，与同色，则区域涂第四种颜色；第二类，区域与不同色，则涂第四种颜色，此时区域就可以涂区域或区域或区域中的任意一种颜色，有种方法． 所以，不同的涂色种数有种． 5.【答案】  解：若甲单独去一个地区，则不同的分配方案为种； 若甲不单独去一个地区，则不同的分配方案为种； 综上所述：不同的分配方案为种 6.【答案】  解：由题意， 在上恒成立， 即在上恒成立， 令是开口向上的抛物线在对称轴右侧的一部分， 由抛物线性质，在此区间内函数单调递增，故，所以．故选：． 7.【答案】  解：令，则， 由题意知，当时，，在上是减函数． 是奇函数，，，， 当时，，从而当时，，从而． 又，，是偶函数， 当时，，从而当时，，从而． 综上，所求的取值范围是．故选A． 8.【答案】  解：抛物线的焦点为，准线为，，准线的方程为， 与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且为原点， ，，，．，双曲线的离心率为． 9.【答案】  【解析】 的展开式的通项为，其中，，，，，，令，则，可知为的倍数，故B、D错误；当时，为；当时，为故选AC．10.【答案】  【解析】二项式系数和为，故A正确 二项式系数的最大值为，，二项式系数最大的项为第项和第项，故C错误 设， 令，可得，即各项系数和为，故B正确 令，，可得，可得， 即所有偶数项的系数和为，故D正确故选ABD． 11.【答案】  解：由图可知，从地出发去往地的最短路径共包含步，其中步向上，步向右，且前步中，至少有步向上，则不同的路径共有条． 若甲途经地，则不同的路径共有条． 若甲途经地，且不经过地，则不同的路径共有条．故选ACD． 12.【答案】  【解析】解：由题意得，则，， 所以曲线在点处的切线方程为，即，与抛物线方程联立得 由，得，即 令，则， 当时，，递增，当时，，递减， 则，则．故答案为． 13.【答案】  解：选一位老师坐第一辆车，共有种选法，再选名学生坐第一辆车，共有种选法， 余下的老师和名学生坐第二辆车，所以不同的分配方法共有种 14.【答案】  解：，，若对于一切，中的第项恒等于中的第项，  ，，，，  ，． 15.【答案】解：当时， ，则，为等比数列， 等比数列的公比为， 当时，，解得：，； 因为，所以，， ， ，两式相减， 所以 ，所以．  16.【答案】解：由题得：， 结合题意可得 解得，经检验符合题意，故， ． 令，解得或，令，解得， 故在，上单调递增，在 上单调递减， 所以的极大值为， 的极小值为； 由可知在上单调递增，在上单调递减， 又因为，，所以， 所以要使不等式能成立，则．所以， 故取值范围是．  17.【答案】解：因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以， 因为，，所以， 又，所以平面． 所以两两垂直． 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图． 所以， ． 由题设 因为，， 所以，所以． 设平面的法向量为， 因为，， 所以，即． 令，则， 因为平面的法向量为， 设平面与平面夹角为， 则． 当时，取最小值为，此时取最大值为． 所以，此时． 18.【答案】解：Ⅰ由题意可得，即，则，， 解得，，故椭圆方程为；Ⅱ，，设的方程为， 代入椭圆方程，可得，解得或， 即有，，令，可得，又，， 可得，解得，可得的斜率为．  19.【答案】解：由已知条件得，其中的定义域为， 则，当时，，当时，， 可知：的单调递增区间为，单调递减区间为； 由恒成立，即恒成立， 令，则，当时，， 当时，，所以在上单调递增，上单调递减，，所以的最小值为． 由知：当时，，即恒成立， 即时取，令，得，所以 所以当时，   学科网（北京）股份有限公司 $$