江苏省苏州市部分校2024-2025学年高一上学期期末迎考数学试题（B卷）

2024—2025学年高一第一学期期末迎考卷 数　　学 注意事项： 1. 本试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2. 答题前，考生务必将自己的班级、姓名、学号填写在密封线内. 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知角α的终边经过点(－3，4)，则tan (π－α)＝(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. － B. － C. D. 2. 设幂函数f(x)＝xα，则“α<0”是“f(x)在定义域内单调递减”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 函数f(x)＝log(－x2＋2x＋3)的单调递增区间为(　　) A. (－∞，1) B. (1，＋∞) C. (－1，1) D. (1，3) 4. 若命题“x∈R，x2－x＋m≥0”是假命题，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 5. 按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于0.15%.经测定，刚下课时，空气中含有0.18%的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为y%，且y随时间t(单位：分钟)的变化规律可以用函数y＝0.03＋λe－(λ∈R)描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t(单位：分钟)的最小整数值为(　　) (参考数据：ln 2≈0.693，ln 5≈1.609) A. 1 B. 3 C. 5 D. 10 6. 已知a＝log32，b＝log43，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A. a<b<c B. b<a<c C. a<c<b D. c<b<a 7. 已知锐角α，β满足α＋β＝，则cos 2α＋tan α·sin β的最大值是(　　) A. 2 B. C. D. 8. 若f(x)＝a－为奇函数，且当x>0时，不等式(ax－x2)(ex－b)≤0恒成立，则实数b的所有可取值构成的集合是(　　) A. {b|b>1}　 B. {b|b≥1} C. {0}　 D. {e} 二、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点P(sin θ，tan θ)在第二象限，则角的终边可能在(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 已知x，y都为正数，且2x＋y＝4，则下列说法正确的是(　　) A. xy的最大值为2 B. 4x2＋y2的最小值为8 C. ＋的最小值为8 D. ＋的最大值为 11. 已知定义在R上的函数f(x)满足对任意的实数x，y，均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋axy－1，且当x>0时，恒有f(x)>1，则(　　) A. f(0)＝1 B. 当a＝0时，函数f(x)为减函数 C. 当a＝0时，f(x)的图象关于点(0，1)对称 D. 当a＝2时，f(x)为偶函数 三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合A＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，集合B＝{x|2x≤8}，则A∩B的子集个数是________. 13. 已知函数f(x)＝，若不等式f(x)≤1与f(f(x)＋t)≤1的解集相同，则t＝________． 14. 已知函数f(x)＝若f(x)的最小值为f(1)，则实数a的取值范围是________． 四、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (13分)已知集合A＝，B＝{x|y＝(2x－1－a)－}. (1) 当a＝1时，求A∩B，A∪∁RB. (2) 从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数a的取值范围. 条件①：B∁RA；条件②：“x∈A”是“x∈B”的充分条件. (注：如果选择条件①和条件②分别解答，那么按第一个解答计分) 16. (15分)已知△ABC的三个内角分别是A，B，C. (1) 求证：cos ＋cos ＝0. (2) 若sin A＋cos A＝. ①求－tan (π－A)的值； ②求sin A－cos A的值． 17. (15分)已知函数f(x)＝log2(a＋b·2x)，g(x)＝f(x)－x，a∈R. (1) 若a＝b＝1，求函数f(x)在[0，2]上的值域； (2) 当a＝1时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是函数g(x)图象上任意不同的两点，且满足点P在点Q的左侧，求证：点P在点Q的上方. 18. (17分)已知二次函数f(x)满足f(0)＝f(1)＝1，f(2)＝3. (1) 求f(x)的解析式． (2) 若存在x∈[－1，5]，使得f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围． (3) 记F(x)＝f(x)＋2x＋c－1. ①当F(x)的定义域为[x1，x2](x1>0)时，值域为[5x1，5x2]，求实数c的取值范围； ②若c＝0，设函数F(x)在区间[t，t＋1]上的最小值为G(t)，求G(t)的表达式． 19. (17分)对于任意实数c，d(c<d)，定义区间(c，d)，[c，d)，(c，d]，[c，d]的长度均为d－c.若集合I是若干个两两交集为空集的区间的并集，则把这几个区间的长度的和称为I的长度．特别地，记正整数集A＝{a1，a2，…，an}，且a1<a2<…<an，若区间[ai，an]的端点ai，an满足－≥(i＝1，2，…，n－1)，则称该集合为“称心集”． (1) 若|2x－5|<3的解集为B，求集合B的区间长度； (2) 若关于x的不等式组　的解集构成的各区间长度之和为6，求实数t的取值范围； (3) 求“称心集”A＝{a1，a2，…，an}中元素个数的最大值，并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学参考答案与评分标准 1. D　解析：因为角α的终边经过点(－3，4)，所以x＝－3，y＝4，则tan α＝＝－，所以tan (π－α)＝－tan α＝. 2. B　解析：若幂函数f(x)＝xα在定义域内单调递减，则必有α<0；但如α＝－1<0，f(x)＝x－1不在定义域内单调递减. 3. D　解析：由－x2＋2x＋3>0，解得－1<x<3.因为y＝－x2＋2x＋3是开口向下的抛物线，抛物线的对称轴方程为x＝1，所以函数f(x)＝log(－x2＋2x＋3)的单调递增区间为(1，3). 4. B　解析：由题意知“x∈R，x2－x＋m<0”是真命题，即x2－x＋m<0有解，所以Δ＝1－4m>0，解得m<，所以实数m的取值范围是. 5. B　解析：当t＝0时，y＝0.03＋λ＝0.18，解得λ＝0.15，所以y＝0.03＋0.15e－.令y＝0.03＋0.15e－≤0.15，即e－≤，即－≤ln ＝ln 4－ln 5＝2ln 2－ln 5≈1.386－1.609＝－0.223，所以t≥2.23，故所需时间t(单位：分钟)的最小整数值为3. 6. A　解答：易知a<1，b<1，c>1.因为3a＝3log32＝log38<2，3b＝3log43＝log427>2，即3a<3b，所以a<b<1<c. 7. B　解析：因为锐角α，β满足α＋β＝，所以α∈，sin α∈(0，1).从而cos 2α＋tan α·sin β＝1－sin 2α＋·sin(－α)＝－sin 2α＋sin α＋1＝－2＋，故当sin α＝，即α＝时，原式取得最大值. 8. D　解析：由f(x)＝a－为奇函数，可得f(0)＝0，即a＝1，经检验符合条件．当x>0时，不等式(x－x2)(ex－b)≤0，即(x－1)(ex－b)≥0恒成立，则必有x＝1是ex－b＝0的根且是唯一根，所以b＝e. 9. ACD　解析： 因为点P(sin θ，tan θ)在第二象限，所以所以θ∈(k∈Z)，所以∈(k∈Z).当k＝3n(n∈Z)时，∈(＋2nπ，＋2nπ)(n∈Z)，所以的终边在第一象限；当k＝3n＋1(n∈Z)时，∈(π＋2nπ，＋2nπ)(n∈Z)，所以的终边在第三象限；当k＝3n＋2(n∈Z)时，∈(n∈Z)，所以的终边在第四象限．综上，角的终边可能在第一象限或第三象限或第四象限． 10. AB　解析：因为x>0，y>0，2x＋y＝4，所以2x＋y＝4≥2，即xy≤2，当且仅当2x＝y＝2时取等号，故A正确；4x2＋y2＝(2x＋y)2－4xy＝16－4xy≥8，当且仅当2x＝y＝2时取等号，故B正确；＋＝(＋)·(2x＋y)＝≥2，当且仅当2x＝y＝2时取等号，故C错误；(＋)2＝2x＋y＋2＝4＋2≤8，即＋≤2，当且仅当2x＝y＝2时取等号，故D错误． 11. AC　解析：令x＝y＝0，得f(0)＝2f(0)－1，所以f(0)＝1，故A正确．当a＝0时，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，当x>0时，恒有f(x＋y)－f(y)＝f(x)－1>0，令x1＝x＋y，x2＝y，即对任意x1，x2∈R，x1>x2时，f(x1)－f(x2)>0，即函数f(x)为增函数，故B错误．令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)－1.又f(0)＝1，所以f(x)＋f(－x)＝2，即f(x)的图象关于点(0，1)对称，故C正确．当a＝2时，若取f(x)＝x2＋x＋1，则f(x＋y)＝(x＋y)2＋(x＋y)＋1＝x2＋y2＋(x＋y)＋1＋2xy，f(x)＋f(y)＋2xy－1＝x2＋y2＋(x＋y)＋1＋2xy，即f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy－1，且当x>0时，f(x)单调递增，恒有f(x)>1，显然，f(x)不为偶函数，故D错误． 12. 4　解析：集合A中的元素为正奇数，集合B＝{x|x≤3}，则A∩B＝{1，3}，故其子集共有4个． 13. 9　解析：由f(x)≤1，即|lg x|≤1，可得－1≤lg x≤1，解得≤x≤10.令m＝f(x)＋t，由f(m)≤1，可得≤f(x)＋t≤10，即－t≤f(x)≤10－t.由题知解得t＝9. 14. [2，4]　解析：依题意，f(x)的最小值为f(1)＝.因为当x<1时，f(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1，此时最小值为f(－1)＝a－1，所以必有≤a－1，即a≥2.再保证x≥1时，f(x)＝2x＋a·2－x－2的最小值为f(1)，可知等价于当t≥2时，g(t)＝t＋－2的最小值为g(2)，故≤2，即a≤4.综上，a∈[2，4]. 15. 解答：A＝＝＝(0，2).(2分) (1) 当a＝1时，B＝{x|y＝(2x－1－1)－}＝{x|2x－2>0}＝(1，＋∞).所以A∩B＝(1，2).(5分) 又∁RB＝(－∞，1]，所以A∪∁RB＝(－∞，2).(8分) (2) 选条件①，∁RA＝{x|x≤0或x≥2}，B＝.(11分) 因为B∁RA，所以≥2，解得a≥3，即实数a的取值范围为[3，＋∞).(13分) 选条件②，因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以AB，(11分) 所以≤0，解得a≤－1，即实数a的取值范围为(－∞，－1]. (13分) 16. 解答：(1) 在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以cos ＋cos (＋)＝cos ＋cos ＝sin －sin＝0，得证．(5分) (2) 因为sin A＋cos A＝，且A∈(0，π)，所以(sin A＋cos A)2＝sin 2A＋cos 2A＋2sin A cos A＝，可得sin A cos A＝－<0，从而A∈.(7分) ①－tan (π－A)＝＋tan A＝＋＝＝－5.(11分) ②由A∈，可知sin A－cos A>0，所以sin A－cos A＝＝＝＝.(15分) 17. 解答：(1) 当a＝b＝1时，f(x)＝log2(1＋2x)，x∈[0，2]，则1＋2x∈[2，5]，所以f(x)∈[1，log25].故函数f(x)在[0，2]上的值域是[1，log25].(4分) (2) 当a＝1时，函数g(x)＝f(x)－x＝log2，(6分) 任取定义域内的x1，x2，且x1<x2，则g(x1)－g(x2)＝log2(＋b)－log2＝log2.(9分) 因为x1<x2，所以2x1<2x2，所以b·2x1＋x2＋2x2>b·2x1＋x2＋2x1，所以>1，(12分) 所以g(x1)－g(x2)>0，所以g(x)是定义域上的减函数， 所以点P在点Q的左侧时，点P在点Q的上方．(15分) 18. 解答：(1) 因为二次函数f(x)满足f(0)＝f(1)＝1，所以可设f(x)＝ax(x－1)＋1，又f(2)＝3，所以2a＋1＝3，解得a＝1，故f(x)＝x2－x＋1.(4分) (2) 由(1)知f(x)>2x＋m等价于m<x2－3x＋1，因为存在x∈[－1，5]，使得f(x)>2x＋m成立，所以m<(x2－3x＋1)max.(6分) 令g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1，5]，当x∈时，g(x)单调递减；当x∈时，g(x)单调递增，所以g(x)max＝Max{g(－1)，g(5)}＝11，故m<11.故实数m的取值范围是(－∞，11).(8分) (3) ①F(x)＝x2＋x＋c，x∈[x1，x2]，x1>0，显然F(x)在[x1，x2]上单调递增，依题意可得 即x1，x2是方程G(x)＝F(x)－5x＝x2－4x＋c＝0的两个互异的正根，故即0<c<4.故实数c的取值范围是(0，4).(12分) ②若c＝0，则F(x)＝x2＋x，x∈[t，t＋1].(13分) 当t≥－时，F(x)在[t，t＋1]上单调递增，所以F(x)min＝F(t)＝t2＋t；(14分) 当t<－<t＋1，即－<t<－时，F(x)在上单调递减，在上单调递增，所以F(x)min＝F＝－；(15分) 当t＋1≤－，即t≤－时，F(x)在[t，t＋1]上单调递减，所以F(x)min＝F(t＋1)＝t2＋3t＋2.(16分) 综上，G(t)＝(17分) 19. 解答：(1) 由|2x－5|<3，得2<2x<8，即1<x<3，故B＝(1，3)，其区间长度为3－1＝2.(2分) (2) 不等式x2－5x－6<0的解集为，令M＝{x|－1<x<6}．(3分) 设不等式2log4x＋log2(tx＋3t)<1的解集为N，根据M∩N的长度为6，可知N＝{x|0<x<6}，即x∈(0，6)时，不等式log2x＋log2(tx＋3t)<1恒成立，(5分) 所以在x∈(0，6)时恒成立，即0<t<在x∈(0，6)时恒成立，解得0<t≤.故实数t的取值范围是.(9分) (3) 因为－≥，所以－≥，a1≥1，可得1>，因此n<26. (11分) 同时>，又因为ai≥i，可得>，所以25>i(n－i)(i＝1，2，3，…，n－1)均成立. (13分) 当n≥10时，取i＝5，则i(n－i)＝5(n－5)≥25，故可知n<10. (15分) 又当n≤9时，i(n－i)≤2＝<25，所以n≤9. 因此，“称心集”A中元素个数的最大值为9. (17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$