江苏省南京玄武区六校联考2024中考数学冲刺模拟卷

江苏省南京玄武区六校联考2023-2024中考数学冲刺模拟卷 请考生注意： 1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.地球平均半径约等于 6400000米,6400000用科学记数法表示为( ) 2.下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) 3.下列计算正确的是 ( ) B. 0.00002=2×10⁵ 4.已知反比例函数 当--3<x<-2时, y的取值范围是 ( ) A. 0<y<1 B. 1<y<2 C. 2<y<3 D. - 3<y<-2 5. 如图, CD是⊙O的弦, O是圆心, 把⊙O 的劣弧沿着CD对折, A 是对折后劣弧上的一点, ∠CAD=100°, 则∠B的度数是 ( ) A. 100° B. 80° C. 60° D. 50° 6.下列图形是几家通讯公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) 7.下列性质中菱形不一定具有的性质是 () A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.既是轴对称图形又是中心对称图形 8. 如图, 菱形ABCD 中, 以AD为直径的⊙O交CD于点E，则DE的长为( ) 9. 已知在四边形ABCD中, AD∥BC, 对角线AC、BD交于点 O, 且AC=BD, 下列四个命题中真命题是( ) A. 若AB=CD, 则四边形 ABCD 一定是等腰梯形; B. 若∠DBC=∠ACB, 则四边形ABCD一定是等腰梯形; C. 若 则四边形ABCD一定是矩形； D. 若AC⊥BD且AO=OD, 则四边形ABCD 一定是正方形. 10. 如图, ⊙O中, 弦BC与半径OA 相交于点 D, 连接AB, OC, 若∠A=60°,∠ADC=85°, 则∠C 的度数是( ) A. 25° B. 27.5° C. 30° D. 35° 11.一个圆锥的侧面积是 12π，它的底面半径是 3，则它的母线长等于 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 12.下列对一元二次方程 根的情况的判断，正确的是 ( ) A.有两个不相等实数根 B.有两个相等实数根 C.有且只有一个实数根 D.没有实数根 二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.) 13.已知点 M (1,2)在反比例函数 的图象上，则k= . 14. 计算 的结果是 15.在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(-1，2).作点A 关于x 轴的对称点，得到点 A₁ ，再将点A₁ 向下平移 4个单位,得到点 A2 ,则点A2 的坐标是 . 16. 若点M (1, m) 和点 N (4, n) 在直线 上, 则 m n(填>、<或=) 17.二次函数 的部分对应值如下表： x … -3 -2 0 1 3 5 y 7 0 -8 -9 -5 7 则二次函数 在x=2时, y= . 18.如图，小聪把一块含有 60°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得. 则 的度数是 . 三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19.(6分) 如图, AB、AC 分别是⊙O 的直径和弦, 于点D.过点A作⊙O的切线与OD 的延长线交于点 P，PC、AB 的延长线交于点 F. (1) 求证: PC是⊙O 的切线; (2) 若∠ ,求线段 CF 的长. 20.(6分)台州市某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的 80天里，销售单价 p(元/千克)与时间第t(天)之间的函数关系为： 日销售量 y(千克)与时间第 t(天)之间的函数关系如图所示： (1)求日销售量y与时间t的函数关系式? (2)哪一天的日销售利润最大?最大利润是多少? (3)该养殖户有多少天日销售利润不低于 2400元? 21.(6分)如图所示，抛物线 经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为 求抛物线的函数解析式；点E为抛物线的顶点，点C 为抛物线与x轴的另一交点，点D 为y轴上一点，且. 求出点 D的坐标；在第二问的条件下，在直线 DE 上存在点 P，使得以C、D、P为顶点的三角形与 相似，请你直接写出所有满足条件的点 P的坐标. 22.(8分)如图，已知⊙O，请用尺规做⊙O的内接正四边形ABCD，(保留作图痕迹，不写做法) 23.(8分)珠海某企业接到加工“无人船”某零件5000个的任务.在加工完500个后，改进了技术，每天加工的零件数量是原来的1.5倍，整个加工过程共用了35天完成.求技术改进后每天加工零件的数量. 24. (10分) 已知, 平面直角坐标系中的点 A (a, 1), (a,b是实数) (1)若关于 x的反比例函数 过点 A，求t的取值范围. (2)若关于x的一次函数y=bx过点A，求t的取值范围. (3)若关于 x的二次函数 过点A，求t的取值范围. 25.(10分)网上购物已经成为人们常用的一种购物方式，售后评价特别引人关注，消费者在网店购买某种商品后，对其有 “好评”、“中评”、“差评”三种评价，假设这三种评价是等可能的. (1)小明对一家网店销售某种商品显示的评价信息进行了统计，并列出了两幅不完整的统计图. 利用图中所提供的信息解决以下问题： ①小明一共统计了 个评价； ②请将图1补充完整； ③图2中“差评”所占的百分比是 ； (2)若甲、乙两名消费者在该网店购买了同一商品，请你用列表格或画树状图的方法帮助店主求一下两人中至少有一个给“好评”的概率. 26.(12分) 如图, 抛物线 与x轴交于点A (-1, 0) 和点B, 与y轴交于 C (0, 3), 直线 经过点 C，与抛物线的另一交点为点 D，点P是直线CD上方抛物线上的一个动点，过点 P作PF⊥x轴于点F，交直线 CD 于点E,设点 P的横坐标为 m. (1)求抛物线解析式并求出点 D 的坐标； (2)连接PD，△CDP的面积是否存在最大值?若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由； (3)当△ CPE是等腰三角形时，请直接写出 m的值. 27.(12分)如图1，定义：在直角三角形 ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作 ctanα，即 ctanα 根据上述角的余切定义，解下列问题： (1) 如图1, 若 则 (3) 如图2, 已知: 中， 是锐角， 试求 的余弦cosB 的值. 参考答案 一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1、C 【解题分析】 由科学记数法的表示形式为 的形式，其中 n为整数.确定 n的值时，要看把原数变成 a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数. 【题目详解】 解： 故选 C. 点睛：此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 的形式，其中 n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值. 2、B 【解题分析】 分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可. 详解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形； B.是轴对称图形，也是中心对称图形； C.是轴对称图形，不是中心对称图形； D.是轴对称图形，不是中心对称图形. 故选B. 点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转 后与原图重合. 3、D 【解题分析】 在完成此类化简题时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式.有些需要先提取公因式，而有些则需要运用公式法进行分解因式.通过分解因式，把分子分母中能够分解因式的部分，分解成乘积的形式，然后找到其中的公因式约去. 【题目详解】 解：A、原式 故本选项错误； B、原式=2×10⁻⁵; 故本选项错误; C、原式 故本选项错误； D、原式 故本选项正确； 故选: D. 【题目点拨】 分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算.同样要注意的地方有：一是要确定好结果的符号；二是运算顺序不能颠倒. 4、C 【解题分析】 分析： 由题意易得当-3<x<-2时，函数 的图象位于第二象限，且y随x的增大而增大，再计算出当 和 时对应的函数值，即可作出判断了. 详解： ∵在 中, - 6<0, ∴当-3<x<-2时函数 的图象位于第二象限内，且y随x的增大而增大， ∵当x=-3时, y=2, 当x=-2时, y=3, ∴当-3<x<-2时, 2<y<3, 故选 C. 点睛：熟悉“反比例函数的图象和性质”是正确解答本题的关键. 5、B 【解题分析】 试题分析：如图，翻折 点 A 落在A'处，可知 然后由圆内接四边形可知， 解得 故选：B 6、C 【解题分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解. 【题目详解】 A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形.故错误； B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形.故错误； C.是轴对称图形，也是中心对称图形.故正确； D.不是轴对称图形，是中心对称图形.故错误. 故选 C. 【题目点拨】 掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念. 轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合； 中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180°后与原图重合. 7、C 【解题分析】 根据菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有 2条对称轴，分别是两条对角线所在直线. 【题目详解】 解：A、菱形的对角线互相平分，此选项正确； B、菱形的对角线互相垂直，此选项正确； C、菱形的对角线不一定相等，此选项错误； D、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项正确； 故选 C. 考点：菱形的性质 8、B 【解题分析】 连接OE，由菱形的性质得出. 得出 由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出 再由弧长公式即可得出答案. 【题目详解】 解：连接 OE，如图所示： ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴DE 的长 故选 B. 【题目点拨】 本题考查弧长公式、菱形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质，求出 的度数是解决问题的关键. 9、C 【解题分析】 A、因为满足本选项条件的四边形 ABCD有可能是矩形，因此 A 中命题不一定成立； B、因为满足本选项条件的四边形 ABCD有可能是矩形，因此 B 中命题不一定成立； C、因为由 结合 可证得 由此即可证得此时四边形 ABCD是矩形，因此 C中命题一定成立； D、因为满足本选项条件的四边形 ABCD 有可能是等腰梯形，由此 D中命题不一定成立. 故选 C. 10、D 【解题分析】 分析：直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及 度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案. 详解: ∵∠A=60°, ∠ADC=85°, ∴∠AOC=2∠B=50°, 故选 D. 点睛：此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出 度数是解题关键. 11、C 【解题分析】 设母线长为 R, 底面半径是 3cm, 则底面周长=6π, 侧面积=3πR=12π, ∴R=4cm. 故选 C. 12、A 【解题分析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出 进而即可得出方程 有两个不相等的实数根. 【题目详解】∵a=1, b=1, c=-3, ∴方程 有两个不相等的实数根， 故选A. 【题目点拨】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根. 二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.) 13、-2 【解题分析】 【解题分析】 【分析】根据二次根式的运算法则进行计算即可求出答案. 【题目详解】 故答案为 【题目点拨】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则. 15、 (-1,-6) 【解题分析】 直接利用关于x轴对称点的性质得出点 A₁坐标，再利用平移的性质得出答案. 【题目详解】 ∵点A 的坐标是 (-1,2),作点A 关于x轴的对称点,得到点 A₁, ∵将点 A₁向下平移4个单位，得到点 A₂， ∴点 A₂的坐标是: (-1, - 6). 故答案为: (-1,-6). 【题目点拨】 解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于 y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数. 16、 > 【解题分析】 根据一次函数的性质，k<0时，y随x的增大而减小. 【题目详解】 因为 所以函数值y随x的增大而减小， 因为 所以， 故答案为：> 【题目点拨】 本题考核知识点：一次函数.解题关键点：熟记一次函数的性质. 17、 -1 【解题分析】 试题分析：观察表中的对应值得到： 和 时，函数值都是 7，则根据抛物线的对称性得到对称轴为直线 所以 和 时的函数值相等， 解： 时， 时， ∴二次函数图象的对称轴为直线： 和 时的函数值相等， 时， 故答案为 【解题分析】 分析：先根据两直线平行，内错角相等求出 再根据直角三角形的性质用 代入数据进行计算即可得解. 详解：∵直尺的两边互相平行， 故答案为 点睛：本题考查了平行线的性质，三角板的知识，熟记平行线的性质是解题的关键. 三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19、(1) 证明见解析 【解题分析】 (1)连接OC，可以证得ΔOAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC, 即可证得; (2) 先证△OBC是等边三角形得∠COB=60°, 再由 (1) 中所证切线可得∠OCF=90°, 结合半径OC=1可得答案. 【题目详解】 (1) 连接OC. ∵OD⊥AC, OD 经过圆心O, ∴AD=CD, ∴PA=PC. 在△OAP和△OCP中, ∵PA 是半⊙O的切线, ∴∠OAP=90°, ∴∠OCP=90°, 即OC⊥PC, ∴PC是⊙O 的切线. (2) ∵OB=OC, ∠OBC=60°, ∴△OBC是等边三角形, ∴∠COB=60°. ∵AB=10, ∴OC=1. 由 (1) 知 【题目点拨】 本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题. 20、(1)y=-2t+200(1≤t≤80, t为整数); (2)第30天的日销售利润最大, 最大利润为2450元; (3)共有21天符合条件. 【解题分析】 (1)根据函数图象,设解析式为 y=kt+b,将(1, 198)、(80, 40)代入, 利用待定系数法求解可得; (2)设日销售利润为w，根据“总利润=每千克利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断； (3)求出 w=2400时t的值，结合函数图象即可得出答案； 【题目详解】 (1)设解析式为 y= kt+b, 将(1, 198)、(80, 40)代入, 得: 解得： t为整数)； (2)设日销售利润为 w，则 当 时， ∴当 时， ∴第30天的日销售利润最大，最大利润为 2450元. (3)由(2)得: 当 1≤t≤80时, 令w=2400, 即 解得: t₁=20、t₂=40, ∴t的取值范围是 20≤t≤40, ∴共有 21天符合条件. 【题目点拨】 本题考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数求函数解析式、由相等关系得出利润的函数解析式、利用二次函数的图象解不等式及二次函数的图象与性质是解题关键. 21、(1) y=x²-2x-3; (2) D (0, - 1); (3) P 点坐标 【解题分析】 (1)将A，B两点坐标代入解析式，求出 b，c值，即可得到抛物线解析式； (2)先根据解析式求出 C点坐标，及顶点 E 的坐标，设点D的坐标为(0，m)，作 轴于点 F，利用勾股定理表示出 DC，DE 的长.再建立相等关系式求出 m值，进而求出 D 点坐标； (3)先根据边角边证明△COD≌△DFE, 得出∠CDE=90°, 即 CD⊥DE, 然后当以 C、D、P为顶点的三角形与 相似时，根据对应边不同进行分类讨论： ①当OC与CD是对应边时，有比例式 能求出 DP的值，又因为DE=DC，所以过点P作 轴于点 G，利用平行线分线段成比例定理即可求出 DG，PG的长度，根据点P在点D 的左边和右边，得到符合条件的两个 P点坐 标； ②当OC 与DP 是对应边时，有比例式 易求出 DP，仍过点 P作PG⊥y轴于点 G，利用比例式 求出DG，PG的长度，然后根据点 P在点D 的左边和右边，得到符合条件的两个 P点坐标；这样，直线DE上根据对应边不同，点P所在位置不同，就得到了符合条件的4个P点坐标. 【题目详解】 解: (1) ∵抛物线 经过A (-1, 0)、B (0, - 3), 解得 故抛物线的函数解析式为 (2) 令 解得x₁=-1, x₂=3, 则点 C的坐标为(3, 0), ∴点 E坐标为 (1, - 4), 设点 D的坐标为 (0, m), 作EF⊥y轴于点 F(如下图), ∵DC=DE, 解得m=-1, ∴点 D 的坐标为 (0, - 1); (3) ∵点 C (3, 0), D (0, - 1), E (1, - 4), ∴CO=DF=3, DO=EF=1, 根据勾股定理， 在△COD 和△DFE 中, CO=DF ∵{∠COD=∠DFE=90°, DO=EF ∴△COD≌△DFE (SAS), ∴∠EDF=∠DCO, 又∵∠DCO+∠CDO=90°, ∴∠EDF+∠CDO=90°, ①当OC与CD是对应边时， 即 解得 过点 P作PG⊥y轴于点 G, 则 艮 解得 当点 P在点 D 的左边时, OG=DG-DO=1-1=0, 所以点 当点 P在点 D 的右边时, OG=DO+DG=1+1=2,所以，点 ②当OC 与DP 是对应边时, ∵△DOC∽△CDP, 即 解得 过点 P作PG⊥y轴于点 G, 则 即 解得 DG=9, PG=3, 当点 P在点D 的左边时，( 所以，点P的坐标是 当点 P在点D的右边时，( 所以, 点 P的坐标是 (3, - 10), 综上所述，在直线 DE 上存在点 P，使得以C、D、P为顶点的三角形与 相似，满足条件的点 P共有4个，其 坐标分别为 考点：1.相似三角形的判定与性质；2.二次函数动点问题；3.一次函数与二次函数综合题. 22、见解析 【解题分析】 根据内接正四边形的作图方法画出图，保留作图痕迹即可. 【题目详解】 任作一条直径，再作该直径的中垂线，顺次连接圆上的四点即可. 【题目点拨】 此题重点考察学生对圆内接正四边形作图的应用，掌握圆内接正四边形的作图方法是解题的关键. 23、技术改进后每天加工1个零件. 【解题分析】 分析：设技术改进前每天加工 x个零件，则改进后每天加工 1.5x个，根据题意列出分式方程，从而得出方程的解并进行检验得出答案. 详解：设技术改进前每天加工 x个零件，则改进后每天加工 1.5x个， 根据题意可得 解得x=100, 经检验 x=100是原方程的解，则改进后每天加工 1. 答：技术改进后每天加工 1个零件. 点睛：本题主要考查的是分式方程的应用，属于基础题型.根据题意得出等量关系是解题的关键，最后我们还必须要对方程的解进行检验. 24、(1) t≤- ;(2) t≤3; (3) t≤1. 【解题分析】 (1)把点A的坐标代入反比例函数解析式求得 a的值；然后利用二次函数的最值的求法得到 t的取值范围. (2)把点 A的坐标代入一次函数解析式求得 然后利用二次函数的最值的求法得到 t的取值范围. (3)把点 A 的坐标代入二次函数解析式求得以 然后利用非负数的性质得到 t的取值范围. 【题目详解】 解: (1) 把A(a, 1) 代入 得到： 解得a=1, 则 因为抛物线 的开口方向向下，且顶点坐标是 所以t的取值范围为： (2) 把A(a, 1) 代入y= bx得到: 1= ab, 所以 则 故t的取值范围为：t≤3； (3) 把A(a, 1) 代入 得到： 所以 则 故 t的取值范围为：t≤1. 【题目点拨】 本题考查了反比例函数、一次函数以及二次函数的性质.代入求值时，注意配方法的应用. 25、(1) ①150; ②作图见解析; ③13.3%; 【解题分析】 (1)①用“中评”、“差评”的人数除以二者的百分比之和即可得总人数；②用总人数减去“中评”、“差评”的人数可得“好评”的人数，补全条形图即可；③根据“差评”的人数÷总人数×100%即可得“差评”所占的百分比； (2)可通过列表表示出甲、乙对商品评价的所有可能结果数，根据概率公式即可计算出两人中至少有一个给“好评”的概率. 【题目详解】 ①小明统计的评价一共有： (个); ②“好评”一共有 (个)，补全条形图如图 1： ③图2中“差评”所占的百分比是： (2)列表如下： 好 中 差 好 好，好 好，中 好，差 中 中，好 中，中 中，差 差 差，好 差，中 差，差 由表可知，一共有9种等可能结果，其中至少有一个给“好评”的有5种， ∴两人中至少有一个给“好评”的概率是 考点：扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法. D 点坐标为 (2) 当 时，△CDP的面积存在最大值，最大值为 (3)m的值为 或 【解题分析】 (1)利用待定系数法求抛物线解析式和直线 CD 的解析式，然后解方程组 得D点坐标； (2)设 则 则 利用三角形面积公式得到 然后利用二次函数的性质解决问题； (3)讨论: 当PC=PE时, 当CP=CE时, ²; 当EC=EP时, 然后分别解方程即可得到满足条件的 m 的值. 【题目详解】 (1) 把 A (-1, 0), C (0, 3) 分别代入 得 解得 ∴抛物线的解析式为 把C (0, 3) 代入 解得 n=3, ∴直线 CD 的解析式为 解方程组 解得 可 ∴D点坐标为 (2) 存在. 设 则 当 时，△CDP 的面积存在最大值，最大值为 (3) 当PC=PE时, 解得 (舍去)或 当CP=CE时, 解得 (舍去)或 (舍去)或 当EC=EP时, 解得 (舍去)或 综上所述，m的值为 或 或 【题目点拨】 本题考核知识点：二次函数的综合应用.解题关键点：灵活运用二次函数性质，运用数形结合思想. 27、(1) ; (2) 【解题分析】 试题分析：(1)先利用勾股定理计算出 AC=4，然后根据余切的定义求解； (2)根据余切的定义得到 然后把 代入计算即可； (3)作AH⊥BC于H, 如图2, 先在 中利用余切的定义得到 则可设. - CH=20-2x, 接着再在 中利用勾股定理得到 解得 (舍去)，所以 然后根据余弦的定义求解. 解: (1) ∵BC=3, AB=5, (3) 作 于 H, 如图2, 在 中， 设 则 在 中， 解得 (舍去), ∴BH=20-2×6=8, 考点：解直角三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $$