湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高二下学期3月联考数学试卷

2025年湖北部分名校高二3月联考 高二数学试卷 命题学校：黄陂一中（前川校区）命题教师：胡启军李波王爱文余嘉伦审题学校：鄂南高中 考试时间：2025年3月11日下午15：00-17：00 试卷满分：150分 注意事项！ 1,答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准 考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签宇笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效。 一、单选题：每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知{an}是等差数列，a,=20,a5+a,=20,则a。= A.0 B.5 C.10 D.15 2.在等比数列{a}中，a4=1,a=81,则公比9= A,3 B.3 C.3 D.-3 3.棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点E是BC的中点，则BB·DE= A.0 B.1 C.2 D.5 4.已知圆M:x2+y2+2x=0,圆N:x2+y2-4x-21=0,点P在圆N上运动，直线PA与圆M 相切于点A,则PA的最大长度为 A.8 B.7 C.V63 D.√65 5.已知函数f(x)=2x3+3(a+2)x2+12x+1在x=-2处取得极大值，则实数a的取值范围为 A.a<-2 B.a>-2 C.a>2 D.a<2 6.已知f(x)=3f(2-x)+2x2-血x,则曲线y=f(x)在点（山，f0)处的切线方程为 A.3x+2y-1=0 B.3x-4y+7=0 C.3x+2y+1=0 D.3x-4y-7=0 湖北省新高考联考协作体*数学试卷（共4页）第1页 扫描全能王创建 7R,B是双曲线C:片-茶-1a>0,b>0的上、下焦点，过5的直线与C的上、下两支 分别交于A,B两点.若A上A5,0s∠A5B=羊又1AB上6，则双曲线的实轴长为 A.2 B.4 C.213 D.413 8.已知数列{a},{b}满足a。=3n+1,b,=5n-2,这两个数列的项组成一个集合，集合 中的数按从小到大的顺序排列组成数列{cn},{c}的前n项和为Sn,则S2s= A.551 B.671 C.755 D.839 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E、F、G分别为BC、CC、BB,的中点，点P为 线段AG上的动点，则下列选项正确的是 A.AG⊥EF B.三棱锥P-AEF的体积为定值 C.平面AEF截正方体所得的截面面积为9 D.存在实数入、4使得AG=入AF+AE 10.已知椭圆千+少=1，斜率为k且不经过原点O的直线1与椭圆相交于么B两点，P为椭圆 的左顶点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的 A.若直线OM斜率为k,则k。·k=-1 B.若点M的坐标为0，则直线1的方程为x+2y-2=0 C.若直线1的方程为y=x-万，则A- D.若直线I过椭圆右焦点，则线段AB的最小值为1 11.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列 的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1,3,6,10，…称为三角形数： 第二行图形中黑色小点个数：1,4,9,16，.称为正方形数记三角形数构成数列{an},正方形 数构成数列b},则() A.1+++…+L=2m a azas a n+l .△ B.1275既是三角形数，又是正方形数 c.+++…+< +6<20 D.m∈N',m之2，总存在p,q∈N,使得bn=a,十a,成立 湖北省新高考联考协作体*数学试卷（共4页）第2页 扫描全能王创建 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在棱长为2√互的正四面体ABCD中，M,N分别是AB,CD的中点，则|MN仁 13.已知圆(x-1)+(y-2)=9,直线1：x+y+b=0,圆上至少有三个点到直线1的距离等于1， 则b的范围是 14.已知函数-点，若关于x的方程/+时国+a-1=0仅有2个实数解，则实数a 的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知函数f)=)2-(a+1x+ahx（a>0) (I)若a=e,求f(x)在(0,2]上的最大值. (2)讨论函数f(x)的单调性 16.(本小题15分) 已知在数列{a}中，A为其前n项和，若a.>0,且4A=(a.+1)2,n∈N,数列{毡，}的 前n项和为Sn，且有S。·b,=Sn1b(22,neN*,b=b2=1. (1)求{an}与{S}的通项公式： ②冷g,若e}的前n项和为7，求证：T 17.(本小题15分) 如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是以AC为斜边的等腰 直角三角形，PA=PB=PC=AC=2,O为AC的中点. (I)证明：平面PAC⊥平面ABC: (2)若点M满足CM=1CB(0<1<1),且PC与平面PAM所 成角的正弦值为 ,求平面PAM与平面PAB夹角的余弦值， 湖北省新高考联考协作体*数学试卷（共4页）第3页 扫描全能王创建 18.(本小题17分) 在平面直角坐标系x0中，曲线C上的动点P到点F0,月的距离与直线y=的距离相 等.直线1过点M0宁交曲线C于A,B两点。 (1)求曲线C的方程： 2)若M-MB,求直线AB的方程： (3)是否存在垂直于y轴的直线m,使得m被以AM为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存 在，求出m的方程？若不存在，请说明理由。 19.(本小题17分) 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形 成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱 桥、拱坝等工程。通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数ch)=￠+e的图象， 2 现定义双曲正弦函数h)=,e二，他们之间具有类似于三角函数的性质。（已知 2 s2l-) (1)证明：①倍元关系：sh(2x)=2sh(x)ch(x):②平方关系：ch(x)-sh(x)=1 (2)对任意x20,恒有sh(x)≥ar成立，求实数a的取值范围； sh(=) (3)证明： sh(2)sh(1)sh() tanl +…+>20m-0+1 1 n tan tan- 3 湖北省新高考联考协作体*数学试卷（共4页）第4页 扫描全能王创建2025年湖北部分名校高二3月联考 高二数学试卷答案 题号 10 8 11 答案 BD BC ACD 12.2 13.[-3-22.-3+22] 14.f1-eU(12)u(2.+) $1. 解析:对于A,因为a =1,a=a-+n,nEN,n>2,所以 an=+(a-aì+(a-a2+(an-an-)=-1+2+丰n-n(n+1), e ”,→2, 当n-1时也满足上 -.-1)-)-一)一-故正确: 对于B,由n(n+1)-1275得,n2+n-2550=0,即(n-50)(n+51)=0,解得n=50,故1275是三角形 数的第50项,但1275不是完全平方数,故B错误; 当n=1或n=2 时不等式显然成立,故C正确: 对于D,bm=m}=(m-1jm+m(m+1),mE N,m>2,所以bm=m-1+,故vmEN',m>2. 总存在p,qeN”,使得bm=a+a成立,故D正确. lnx-1 14.解析 由题意得,函数fx)的定义域为(0.1)U(1,+co).对函数/f(x)求导得/(x)= n),令 f(x)>0,可得x>e;令/(x)<0,可得0<r<1或1<<e,所以/x)在(0.1)和(1,e)上单调递减,在(e,十) 上单调递增,故当x一e时,/f(x)有极小值为/f(e)一e. 令(-/fx),则方程[f(x)]}+af(x)+a-1=0化成+ar+a-1=0,解得(=-1或 =1-a,依题意1-a=e或1-ac0且1-a:-1,.,实数a的取值范围为(1-]u (1.2)U(2.+o) 15.()= -(+1)+--(-)(-1)(>0) ...................分. 湖北省新高考联考协作体 数学试卷(共4页) 第1页 (1)若=,则()=2-(+1)+ ,()-(-)(-1) 故()在(0.1)上单调递增,在(1.2)上单调递减, ............... ..()在(02]上的最大值() ................分 (2)()-(-)(-1. ①当0<<1时,()在(,1)上单调递减,在(0,).(1.+)上单调递增; ....................分. ②当三1时,()在(0,+co)上单调递增; ......................0分 ③当>1时,()在(1,)上单调递减,在(0,1).(,+co)上单调递增。 ........................13分 16.解:(1)由4A.=(a.+1){},nE>',当n=1时,4a.=(a.+1){②},a0解得a=1. n>2时,4A=(+1){},两式相减可得:4a=(+1P-(-+1} 化为:(+a-lla-a-1-2)=0,又a→0,a-a--2=0,即a--= .数列(a 是等差数列, 公差为. .an1+2(n-1)=2n-1. ......4分 当n2时,Sb.=S ,即S(S.-S )=S (S -S),可得$=S$..S=b=1 S.=b+b=2,:数列(S)是以1为首项,2为公比的等比数列, .$.=1.2-1=2--,neM. .......8分 _ 2n-1 1.35 2n-1 (2)证明:C.一 2) 111 2n-1 3 2n+3 2 22* ........1分 2n+3 2n+3 .........15分 ,: 2<3 2 17.解:(1)证明:连接BO,由题意AB=BC,O是AC的中点 $BOIAC,且BO=1,又PA=PC=PB=AC=2,'PO1AC,PO=3; 则PB-PO+BO,PO1OB, :OBOAC=O,..PO1平面ABC ·PO一.平面PAC...平面PC..平面ABC.....................5分 (2))建立以O坐标原点,OB,OC,OP分别为x,y,2轴的空间直角坐标系如图: A(0. -1,0),P(0.0.3).C(0,1,0),B(1,0,0),PC=(0.1.-3) P=(0.-1-3)AM=AC+CM=(.2-2.0). ...................分.. 湖北省新高考联考协作体 数学试卷(共4页) 第2页 [17.03= 设平面PAM的一个法向量n.=(x,y,z)则 PC. l 取y=3a,得n=(3(a-2)3a.-)由题意 23(-2)+4' 4323 ...........10.分 ) &)。 x+y=0 AB=(11,0)设平面PAB得一个法向量为n=(x,y,2)则 3取y=V3,得n=(-33,-1) ........................12.分 x=-y 14 ............1.5分. 18. 解:(1)曲线C的方程为y=x2} .............分 1 1 -0, ##+#-kx=-- ...............分 设A(x,y)B(x,y)由AMMB得x,-2X, 1 ................8分 1 ..................10分 1 (3) 直线m方程为:y=t,AM中点为E( 直线m交E于点CD.作CD1m于点H, 2 ,AM1#_1 EH|}, ...............12分 4M^=×{}+(-){}#4# 湖北省新高考联考协作体 数学试卷(共4页) 第3页 CD}=(4-1)y-4^*+ ...............15分 .............17”分 19.(1)证明: ①2sh(x)ch(x)=2- +e-” 2 -=sh(2x) 2 2 .................分 -4, *+2+e{ ②ch’(x)-sh(x)= 2-2+e-2x -=1 .........4分 4 er-。) -ax,xe[0.+o),F'(x)= e+e&{ --a (2)构造函数F(x)=sh(x)-ax=- 2 .....5分 2 #r_-r ①当a<1时,由ch(x)-- >e-=1可知,F'(x)>0,故F(x)单调递增, 2 此时F(x)>F(0)=0,故对任意x0,sh(x)>ax恒成立,符合题意; .............7.分. ②当a>1时,令G(x)=F'(x),xE[0,+0o),则G'(x)= 22 4a 当$xE(0.x)时,F'(x)=G(x)<G(x)=0,则F(x)在(0.x)内单调递减 故对任意xe(0.x),F(x)<F(0)=0,即sh(x)<ax,不合题意,舍去; 综上所述,实数a的取值范围为(-0,1]. ......................... .......分 令m(x)=x-sinx,xe(0.+o),m'(x)=1-cosx>0,m(x)单调递增,所以m(x)m(0)=0,即x>sinx sh2) 2sin 1 nn 7 2n..... s2) 所以 tan1 a 1& #2-)-21 湖北省新高考联考协作体 数学试卷(共4页) 第4页