精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

高二数学期末试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知直线：，直线：，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】先利用两直线平行的公式求出，再确定充分性和必要性即可. 【详解】当时，，所以或， 当时，直线：，直线：，两直线不重合， 当时，直线：，即， 直线：，两直线不重合， 所以当或时，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 2. 袜子由袜口､袜筒､脚趾三部分组成，现有四种不同颜色的布料，设计袜子的颜色配比，要求相连的部分颜色不同，共可以设计出不同颜色类型的袜子种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】根据袜口和脚趾颜色是否相同进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】若袜口和脚趾颜色相同，则有种， 若袜口和脚趾颜色不同，则有种， 共有种． 故选:C 3. 如图，在四面体中，，，，，，且（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算法则，即可求解． 【详解】，， ， 即. 故选：D. 4. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将题中抛物线的方程转化为标准方程，从而得解. 【详解】由，可得， 所以准线方程为， 故选：C 5. 若直线截得圆的弦长为2，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由直线过圆心确定，再由基本不等式即可求解； 【详解】由圆的方程知：圆心坐标为，半径为1， 因直线截圆的弦长为2，故该直线过圆心， 即，则有，因, 则由， 当且仅当时取等号，即时，取得最小值为6. 故选：B. 6. 抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 9 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的焦点弦性质可得，利用基本不等式即可求得的最小值. 【详解】由抛物线焦点弦性质可得，则， 所以，令，， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为9. 故选：B. 7. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值. 【详解】两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D 8. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形面积公式、完全平方公式、关系式及双曲线定义即可求解. 【详解】因为，所以， 即， 由双曲线定义可得， 所以，即， 又，所以， 所以，解得. 故选：. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（ ） A. 甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法 B. 5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法 C. 5人站成一排，甲不在两端，共有144种排法 D. 5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法 【答案】BD 【解析】 【分析】对A：根据分步计数原理：先排前排，再排后排；对B：甲、乙看作一个元素排列即可；对C：根据分步计数原理：先排两端，再排中间；对D：利用间接法：先将5人排队，再排除不符合题意的情况. 【详解】对A：甲、乙、丙站前排，有种排法，丁、戌站后排，有种排法，共有种排法，故A错误； 对B：甲、乙看作一个元素，则5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有种排法，故B正确； 对C：5人站成一排，甲不在两端，共有种排法，故C错误； 对D：5人站成一排，有种排法， 则甲在最左端，乙不在最右端，共有种排法； 甲不在最左端，乙在最右端，共有种排法； 甲在最左端，乙在最右端，共有种排法； 则甲不在最左端，乙不在最右端，共有种排法，故D正确. 故选：BD. 10. 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，点为线段上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 点到直线的距离的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据面面垂直、异面直线成角、面面角和点线距离的向量求法依次判断各个选项即可. 【详解】以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 则，，，，，，，，； 对于A，，，， ，，，， 又，平面，平面， 平面，平面平面，A正确； 对于B，，，， 即直线与所成角的余弦值为，B错误； 对于C，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 平面，平面的一个法向量为， ， 平面与平面所成角的余弦值为，C正确； 对于D，，设，则， ，又， ， 到直线的距离， 当时，， 即点到直线距离的最小值为，D错误. 故选：AC. 11. 已知曲线，称曲线上的点为“边线点”，曲线称为“边线曲线”，则（ ） A. “边线曲线”关于对称 B. “边线曲线”在处切线的斜率为 C. 存在“边线点”，使得 D. “边线点”到原点距离的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，将点关于对称的点代入曲线可判断；对于B，根据对称性，可求解的一种情况在处的切线斜率，由对称性得出所有结果；对于C，根据平方和为1，可判断的范围，从而求出；对于D，写出“边线点”到原点距离，根据，由基本不等式“1”的应用可求出最小值. 【详解】解：对于A：因为在曲线上，则，点满足，所以点也在曲线上，所以“边线曲线”关于对称，A选项正确： 对于B：由，可得，， 所以“边线曲线”关于轴，轴，原点对称， 所以“边线曲线”在处切线的斜率有正负两个值，且互为相反数， 因为，所以以为例， ，当时，， 所以由对称性可知，在处切线的斜率为，B正确； 对于C：因为，所以，所以，即得，C错误； 对于D：“边线点”到原点距离 ， 当且仅当即时取最小值2，D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，x，，则______. 【答案】10 【解析】 【分析】根据，由求解. 【详解】解：因为平面的法向量为，平面的法向量为，且， 所以，则，解得， 所以， 故答案为：10 13. 在空间直角坐标系中，点与关于原点对称，则点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对称性列式计算得解. 【详解】依题意，，解得， 所以点的坐标为. 故答案为： 14. 若圆关于直线对称，则点与圆心的距离的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，再利用数形结合思想将问题转化为圆心到直线的距离. 【详解】由题意可知直线经过圆心，所以，即， 点到圆心距离最小值就是圆心到直线的距离的最小值， 又圆心到直线的距离. 故答案为： 四、解答题 15. 已知椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为，. （1）求直线的斜率； （2）求椭圆的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）设直线的方程为，其中，计算出坐标原点到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，进而可求得的值，即为直线的斜率； （2）设点，，，可得出以及，结合两点间的距离公式可求得的值，可求得、的值，由此可得出椭圆的方程. 【详解】（1）由于点在椭圆上且位于第一象限，椭圆的左焦点为， 由题意可知，直线的斜率存在且为正数， 设直线的方程为，其中，到直线的距离为， 因为直线被圆截得的线段的长为，所以， 又，，，，解得， 因此，直线的斜率为； （2）设，，，则， 又因为，且，， 所以，，解得，则，， 所以椭圆的方程为. 【点睛】本题考查直线斜率的求解，同时也考查了利用椭圆的焦半径长求椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题. 16. 已知数列的通项公式为，. （1）求数列的前项和； （2）设，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得，判断出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式可求得； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 解：， 所以，且， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以. 【小问2详解】 解：， 所以，. 17. 已知直三棱柱中，，且，点分别为线段和的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角. 【答案】（1）证明：平面平面， 又， 又，平面，平面 又平面.又 ， 即.又平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明、来证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面的夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，以点为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 易得， 设平面的法向量，则， 取，则法向量. 由（1）可知平面的法向量. 平面与平面的夹角为. 18. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且. （1）求抛物线的方程，并求的值； （2）过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程. 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）首先表示出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义及焦半径公式求出，即可求出抛物线方程； （2）设直线的方程为，、，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由得到方程，解得即可. 【小问1详解】 抛物线：的准线方程为， 因为点在抛物线上，且， 所以，解得， 所以抛物线方程为， 又因为点在抛物线上，所以，即. 【小问2详解】 由（1）可知抛物线的焦点， 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，， 由，消去整理得， 所以，则，， 所以， ， 又，所以，， 因为，所以， 即， 即，解得， 所以直线的方程为，即. 19. 定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（ 对应图1，对应图2）. （1）判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”? 若是，求出相似比；若不是，请说明理由； （2）证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； （3）已知椭圆椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，，表示）. 【答案】（1）这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为； （2）证明：必要性： 若两个椭圆是“相似椭圆”，则其焦顶三角形的三个对应角相等. 如图，若， 则， ， 所以， 又因为 ， 所以； 充分性： 若离心率相等，则，所以， 则，， 则； 同理，，， 则， 所以； 所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似， 所以两个椭圆是“相似椭圆”. 故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“相似椭圆”的定义判断即可； （2）根据充要条件的定义及“相似椭圆”的定义证明即可； （3）由题意可求得的面积为，再根据的面积与的面积的比为，求解即可. 【小问1详解】 这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为，理由如下： 椭圆中， 椭圆中， ， 则 所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似， 则这两个椭圆是“相似椭圆”，且相似比为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设椭圆的半焦距为， 因为椭圆的离心率为，椭圆与相似， 所以椭圆的离心率也为， 若的面积为， 又，， 所以的面积与的面积之比为， 所以的面积为 因为与的相似比为， 所以的面积与的面积的比为， 所以的面积为 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解“相似椭圆”的定义. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学期末试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知直线：，直线：，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 2. 袜子由袜口､袜筒､脚趾三部分组成，现有四种不同颜色的布料，设计袜子的颜色配比，要求相连的部分颜色不同，共可以设计出不同颜色类型的袜子种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 3. 如图，在四面体中，，，，，，且（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若直线截得圆的弦长为2，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 16 6. 抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 9 C. 8 D. 10 7. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 8. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（ ） A. 甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法 B. 5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法 C. 5人站成一排，甲不在两端，共有144种排法 D. 5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法 10. 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，点为线段上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 点到直线的距离的最小值为 11. 已知曲线，称曲线上的点为“边线点”，曲线称为“边线曲线”，则（ ） A. “边线曲线”关于对称 B. “边线曲线”在处切线的斜率为 C. 存在“边线点”，使得 D. “边线点”到原点距离的最小值为2 三、填空题 12. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，x，，则______. 13. 在空间直角坐标系中，点与关于原点对称，则点的坐标为__________. 14. 若圆关于直线对称，则点与圆心的距离的最小值是__________. 四、解答题 15. 已知椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为，. （1）求直线的斜率； （2）求椭圆的方程. 16. 已知数列的通项公式为，. （1）求数列的前项和； （2）设，求的前项和. 17. 已知直三棱柱中，，且，点分别为线段和的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角. 18. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且. （1）求抛物线的方程，并求的值； （2）过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程. 19. 定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（ 对应图1，对应图2）. （1）判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”? 若是，求出相似比；若不是，请说明理由； （2）证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； （3）已知椭圆椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，，表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $