精品解析：山东省菏泽市鄄城县2024--2025学年上学期九年级数学期末考试试题

2024-2025学年度第一学期终结性质量检测 九年级数学试题 时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每道小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 2. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=1，则sinA等于（　　） A. 2 B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A B. C. D. 4. 某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成统计图，如图所示，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ） A. 0.95 B. 0.90 C. 0.85 D. 0.80 5. 如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 如图所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知，则（ ） A. 48° B. 66° C. 72° D. 78° 7. △ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有，则△ABC是（ ） A. 直角（不等腰）三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰（不等边）三角形 D. 等边三角形 8. 一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 或 9. 反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，给出下列结果①；②；③；④；⑤，则正确的结论是（ ） A. ①②③④ B. ③④⑤ C. ②③④ D. ①④⑤ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．请把最后结果填写在答题卡的相应区域内） 11. 计算：__________． 12. 如图，是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距离墙角，梯上点D距墙，长，则梯子长为________m． 13. 如图，在楼顶点处观察旗杆测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部的俯角为45°.已知楼高m，则旗杆的高度为___．（结果保留根号） 14. 如图，在中，，，分别为、的中点，，过点作，交的延长线于点，则四边形的面积为______． 15. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为________． 16. 如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．请把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内） 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直于地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行于地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米，，某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：，，） 19. 如图，已知一次函数图象与轴、轴分别相交于，两点，且与反比例函数在第一象限的图象交于点，垂直于轴，垂足为．如果且，求： （1）点的坐标； （2）这个一次函数和这个反比例函数的表达式． 20. 在“综合与实践”活动中，某校九年级数学小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥 的上方的点处悬停，此时测得桥两端，两点的俯角分别为和，求桥的长度．（结果精确到．参考数据：，） 21. 小明想看中国古典名著：《红楼梦》，《水浒传》，《西游记》，《三国演义》（分别用字母A、B、C、D依次表示这四本书），他把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面，小明要用抽签的方式决定看哪本书． （1）小明从中随机抽取一张卡片是《红楼梦》（A）的概率． （2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母；请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是《三国演义》（D）的概率． 22. 如图，在和中，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 如图，抛物线与x轴交于，两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（1）中抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期终结性质量检测 九年级数学试题 时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每道小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，不符合题意； B．矩形的对角线不一定互相垂直，不符合题意； C．正方形的每一条对角线平分一组对角，正确，符合题意； D．平行四边形不一定是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质和轴对称图形的定义，熟练掌握基础知识是解题的关键． 2. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=1，则sinA等于（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形运用三角函数定义求解． 【详解】∵AB=2、BC=1， ∴sinA=， 故选C． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，顶点坐标是．据此即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选D． 4. 某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成统计图，如图所示，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ） A. 0.95 B. 0.90 C. 0.85 D. 0.80 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，由图可得，这种树苗成活的频率稳定在0.90，即可得解． 【详解】解：由图可得，这种树苗成活的频率稳定在0.90，故成活的概率约为0.90. 故选：B． 5. 如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值，证明△ABC是等边三角形，AF是高线，利用三角函数即可求解． 【详解】解：连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， 又∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵ ∴F是BC的中点， ∴AF⊥BC． 则AF＝AB•sin60°＝2． 即的最小值是． 故选：C 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形以及三角函数，确定AF的长就是的最小值是关键． 6. 如图所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知，则（ ） A. 48° B. 66° C. 72° D. 78° 【答案】C 【解析】 【分析】由折叠及矩形的性质可得，再根据平行线的性质求出，根据周角的定义求解即可． 【详解】∵将一矩形纸片沿AB折叠， ∴， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形性质，折叠的性质及平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 7. △ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有，则△ABC是（ ） A. 直角（不等腰）三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰（不等边）三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：一个数的绝对值以及平方都是非负数，两个非负数的和是0，因而每个都是0，就可以求出，以及的值．进而得到∠A=60°，∠B=60°．判断△ABC的形状为等边三角形．故应选D 考点：特殊角的三角函数，非负数的应用，绝对值，偶次幂 8. 一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合．观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方，即可求解． 【详解】解：观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 即不等式的解集为． 故选：C． 9. 反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质、一次函数的性质即可判断反比例函数的图象和一次函数的图象所处的象限． 【详解】解：由反比例函数y=与一次函数y=kx-3可知， 当k＞0时，反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象通过一、三、四象限， 当k＜0时，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象通过二、三、四象限， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握一次函数的性质和反比例函数的性质是解题的关键． 10. 已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，给出下列结果①；②；③；④；⑤，则正确的结论是（ ） A. ①②③④ B. ③④⑤ C. ②③④ D. ①④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴为直线计算与0的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵图象和x轴有两个交点， ∴， ∴， ∴①正确； ∵抛物线的开口向上， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴，②错误； ∵对称轴为直线， ∴，即，③错误， 由图象知，当时，， ∴，④正确； 由图象知，当时，，即， ∴⑤正确． 则其中正确的有①④⑤． 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．请把最后结果填写在答题卡的相应区域内） 11. 计算：__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数的运算，根据三角函数值代入计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距离墙角，梯上点D距墙，长，则梯子长为________m． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，根据题意，，，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，经检验，是所列分式方程的解. 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，理解题意，熟练掌握利用相似三角形的判定与性质解决实际问题是解答的关键． 13. 如图，在楼顶点处观察旗杆测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部的俯角为45°.已知楼高m，则旗杆的高度为___．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】过点A作AE⊥CD于点E，由平行线的性质可知∠ADB＝∠EAD＝45°，故可得出AB＝BD＝9m，再根据正方形的判定定理得出四边形ABDE是正方形，故可得出AE＝BD，由锐角三角函数的定义求出CE的长，进而可得出结论． 【详解】如图，过点A作AE⊥CD于点E， ∵AE∥BD， ∴∠ADB＝∠EAD＝45°， ∴AB＝BD＝9m． ∵AB⊥BD，ED⊥BD，AE⊥CD，AB＝BD， ∴四边形ABDE是正方形， ∴AE＝BD＝AB＝DE＝9m． 在Rt△ACE中， ∵∠CAE＝30°， ∴CE＝AE•tan30°＝9×＝3， ∴CD＝CE＋DE＝（3＋9）m． 故答案为. 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 14. 如图，在中，，，分别为、的中点，，过点作，交的延长线于点，则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据，分别为、中点求得AB＝4，再根据求得AC＝8，BC＝，进而可求得BE＝，最后证明四边形ABFD为平行四边形即可求得四边形ABFD的面积． 【详解】解：∵，分别为、的中点，， ∴AB＝2DE＝4，， ∵在中，， ∴AC＝2AB＝8， ∴BC＝＝＝， 又∵点E为BC中点， ∴BE＝BC＝， ∵，， ∴四边形ABFD为平行四边形， ∴四边形的面积＝AB×BE＝4×＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线、含30°的直角三角形、勾股定理以及平行四边形的判定，熟练掌握相关图形的性质与判定是解决本题的关键． 15. 在平面直角坐标系中，将二次函数图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出原二次函数图象的顶点坐标，然后根据平移方式即可求出平移后的二次函数图象的顶点坐标，从而求出平移后的解析式． 【详解】解： ∴二次函数的图象的顶点坐标为（1,2） 将（1,2）先向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到（0,0） ∴平移后的二次函数图象的顶点坐标为（0,0） ∴平移后的二次函数解析式为 故答案为：． 【点睛】此题考查的是二次函数图象的平移，掌握将图象的平移转化为顶点的平移是解决此题的关键． 16. 如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性，连接交对称轴于M，此时最短，利用待定系数法求得直线的解析式即可求得点M的坐标． 【详解】解：连接交抛物线的对称轴于M，则最短， 设直线的解析式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线经过、， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴点M坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、最短路径问题，会利用抛物线的对称性解决最短路径问题是解答的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．请把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内） 17. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解解方程． 【小问1详解】 解：， 整理，得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，是解题的关键． 18. 图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直于地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行于地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米，，某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：，，） 【答案】该运动员能挂上篮网，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长，交于点M，根据垂直定义可得，从而利用平行线的性质可得，再根据对顶角相等可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系求出的长，比较即可解答． 【详解】该运动员能挂上篮网， 理由如下：延长，交于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，米， ∴（米）， ∴（米）， ∵， ∴该运动员能挂上篮网． 19. 如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别相交于，两点，且与反比例函数在第一象限的图象交于点，垂直于轴，垂足为．如果且，求： （1）点的坐标； （2）这个一次函数和这个反比例函数的表达式． 【答案】（1）； （2）一次函数解析式为，反比例函数的解析式为． 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数综合： （1）设，根据，求出（负值舍去），得出，进而可得出答案； （2）根据题意得：，，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：设， 根据题意得出：， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴，； 【小问2详解】 根据题意得：， 解得：， ∴一次函数解析式， 根据题意得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为． 20. 在“综合与实践”活动中，某校九年级数学小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥 的上方的点处悬停，此时测得桥两端，两点的俯角分别为和，求桥的长度．（结果精确到．参考数据：，） 【答案】246m 【解析】 【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据在C处测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，可得∠A =30°，∠B=45°，再解直角三角形即可求解． 【详解】解：根据题意得∠A =30°，∠B=45°， 过点作，垂足为. ∴ 在△中 ∵，m， ∴m 在△中 ∵，m ∴ ∴ m ∴m 答：桥的长度约为246m. 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义． 21. 小明想看中国古典名著：《红楼梦》，《水浒传》，《西游记》，《三国演义》（分别用字母A、B、C、D依次表示这四本书），他把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面，小明要用抽签的方式决定看哪本书． （1）小明从中随机抽取一张卡片是《红楼梦》（A）的概率． （2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母；请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是《三国演义》（D）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． （1）直接利用概率公式求解； （2）通过列表展示所有12种等可能的结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一张是《三国演义》D的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：小明从中随机抽取一张卡片是《红楼梦》A的概率=； 小问2详解】 解：列表如下： A B C D A B C D 由表可知共有12种等可能的结果，小明两次抽取的卡片中有一张是《三国演义》D的结果数为6种， 所以小明两次抽取的卡片中有一张是《三国演义》D的概率． 22. 如图，在和中，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）9． 【解析】 【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可得． 【详解】证明：（1）， ，即， 在和中，， ； （2）由（1）已证：， ， ，， ， 解得或（不符题意，舍去）， 则的长为9． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 23. 如图，抛物线与x轴交于，两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在使得的周长最小 （3）存在使得面积最大，最大为 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，将点、代入函数解析式，列得方程组即可求得、的值，求得函数解析式； （2）根据题意可知，边的长是定值，要想的周长最小，即是最小，所以此题的关键是确定点的位置，找到点的对称点，求得直线的解析式，求得与对称轴的交点即是所求； （3）存在，设点的坐标，将的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点的坐标． 【小问1详解】 解：将，代入中得， ． 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接， 由对称性可知， ∴的周长， ∵A、C为定点， ∴为定值， ∴当最小时，的周长最小， ∴当B、C、Q三点共线时，最小，即的周长最小， 在中，当时， 的坐标为， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为：， 在中，当时， ， ∴存在使得的周长最小； 【小问3详解】 解：设，过点P作轴于E， ， ∴当有最大值时，有最大值， ， ， ∵， 当时，最大值， 最大， 当时，， 点坐标为， ∴存在使得面积最大，最大为． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $