微专题5-27 一元导数及其应用章末重点18种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-27 一元导数及其应用章末重点18种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 导数的计算与定义 题型2 导数的基本运算 题型3 切线方程 题型4 导函数与原函数图象 题型5 用导数求函数的单调性 题型6 含参问题讨论单调性 题型7 由函数的单调性求参数 题型8 构造法解函数不等式与比较大小 题型9 由图象辨析函数的极值与最值 题型10 求函数的极值 题型11 根据函数的极值（点）求参数 题型12 求函数的最值 题型13 根据函数的最值求参数 题型14 利用导数解决实际问题 题型15 导数与函数的零点综合 题型16 利用导数求解不等式恒成立与有解问题 题型17 利用导数证明不等式 题型18 双变量问题 1、曲线的切线问题 （1）在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. （2）过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 (为常数) 3、导数的四则运算法则 （1）两个函数和的和（或差）的导数法则： . （2）对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则： ； . （3）由函数的乘积的导数法则可以得出， 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即 4、复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． 5、函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减） 函数在区间内可导， (1)若，则在区间内是单调递增函数； (2)若，则在区间内是单调递减函数； (3)若恒有，则在区间内是常数函数． 注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则 条件 恒有 结论 函数在区间上可导 在内单调递增 在内单调递减 在内是常数函数 6、求已知函数（不含参）的单调区间 ①求的定义域 ②求 ③令，解不等式，求单调增区间 ④令，解不等式，求单调减区间 注：求单调区间时，令（或）不跟等号. 7、由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 （3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 8、函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 9、函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 题型1 导数的计算与定义 【例1】函数在区间上的平均变化率为（   ） A．6 B．3 C．2 D．1 【变式1】物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（   ） A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B．18m/s是物体从3s到这段时间内的速度 C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D．18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度 【变式2】若，则（   ） A． B．6 C．3 D．-3 【变式3】设函数在处可导，且满足，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【变式4】已知函数，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 题型2 导数的基本运算 【例2】下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】求下列函数的导数． (1)(2)(3)(4) 【变式2】求下列函数的导数． (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 【变式3】设定义在上的函数的导函数为，且，则（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式4】若函数，则 . 题型3 切线方程 【例3】曲线在点处的切线方程为 . 【变式1】过点且与曲线相切的直线斜率为（    ） A． B． C．1 D．4 【变式2】已知函数的图像如图所示，则是的导函数，则下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4】已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数________． 【变式5】过点作曲线的切线，若切线有且只有两条，则实数的取值范围是___________. 【变式6】若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是 . 【变式7】已知点为曲线上的动点，则到直线的最小距离为______. 题型4 导函数与原函数图象 【例4】函数在定义域内可导且导函数为，且的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】设函数的导函数为，已知函数的图象如图所示，则的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数与其导函数的图象的一部分如图所示，则关于函数的单调性说法错误的有（    ） A．在单调递减 B．在单调递减 C．在单调递减 D．在单调递减 【变式3】【多选】如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ） A．的单调递增区间是 B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 题型5 用导数求函数的单调性 【例5】定义在区间上的函数，则的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【变式1】设函数，曲线在点处的切线斜率为1． (1)求实数的值； (2)设函数，求函数的单调区间． 【变式2】已知函数，，， (1)设曲线在处的切线为，若与曲线相切，求； (2)设函数，讨论的单调性． 题型6 含参问题讨论单调性 【例6】设函数．讨论函数的单调性； 【变式1】已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； 【变式2】已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【变式3】已知函数，其中． (1)若是函数的极值点，求a的值； (2)若，讨论函数的单调性． 【变式4】已知函数. (1)若，求曲线在处的切线 (2)讨论函数的单调性； 【变式5】已知函数. (1)讨论的单调性； 【变式6】已知函数.讨论函数的单调性； 题型7 由函数的单调性求参数 【例7】已知是上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若函数在区间内单调递增，则的取值范围是 ． 【变式2】已知函数的单调递减区间是，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【变式3】若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4】若函数在上不单调，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5】已知函数在区间上不单调，则的取值范围是 ． 【变式6】若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7】已知函数在，上单调递增，在上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型8 构造法解函数不等式与比较大小 【例8】已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，.若，则实数的取值范围是 . 【变式2】设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为 ． 【变式3】已知是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知为上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（    ） A．， B．， C．， D．， 题型9 由图象辨析函数的极值与最值 【例9】若函数的导函数图象如图所示，则（    ） A．是函数的极小值点 B．是函数的极小值点 C．函数的单调递减区间为 D．的解集为 【变式1】【多选】函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则（    ） A．函数在上只有一个极小值点 B．函数在上有两个极大值点 C．函数在上可能没有零点 D．函数在上一定不存在最小值 【变式2】函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得最大值 B．在区间上单调递减 C．在处取得极大值 D．在区间上有2个极大值点 题型10 求函数的极值 【例10】已知函数，则（    ） A．有极小值，且极小值为0 B．有极小值，且极小值为 C．有极大值，且极大值为0 D．有极大值，且极大值为 【变式1】设函数，若为奇函数，求： (1)曲线在点处的切线方程； (2)函数的极大值点． 【变式2】函数的极大值为（    ） A． B．0 C．e D．1 【变式3】设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)求的极值点的个数． 【变式4】已知函数图象在处的切线斜率为. (1)求； (2)求函数的单调区间和极大值. 题型11 根据函数的极值（点）求参数 【例11】已知函数在处取得极小值10，则的值为（    ） A．2或 B．或 C． D． 【变式1】已知函数在处取得极大值，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】函数无极值，则实数的取值范围是 . 【变式3】函数既有极大值，又有极小值，则整数a的最大值为 ． 【变式4】已知函数（）． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有两个极值点，求实数的取值范围． 【变式5】已知函数 (1)当时，求函数的极值 (2)若有唯一极值点，求关于的不等式的解集. 【变式6】设，． (1)若，求的值域； (2)若存在极值点，求实数a的取值范围． 题型12 求函数的最值 【例12】函数的最小值为 . 【变式1】已知函数，则的最大值为（     ） A．2 B． C． D． 【变式2】设函数，曲线在点处的切线斜率为1. (1)求a的值； (2)设函数，求的最小值. 【变式3】已知函数. (1)若在上不单调，求实数的取值范围； (2)若，求在上的值域. 【变式4】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求函数在的最小值. 【变式5】已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上的最小值为0，求在该区间上的最大值． 题型13 根据函数的最值求参数 【例13】已知函数在上的最大值为4，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数的最小值为0，则的取值范围为 . 【变式2】已知函数在内有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】若函数在区间上既存在最大值，也存在最小值，则实数的取值范围是 . 题型14 利用导数解决实际问题 【例14】某制造商制造并出售球形瓶装的某饮料.已知瓶子的制造成本是 分，其中（单位：cm）是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm. (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小，并求出最小利润为多少分？ 【变式1】已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，销售收入为万元，且（注：年利润年销售收入年总成本） (1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量. 【变式2】现有一张长为，宽为的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求铁皮材料的利用率为（剪切与焊接不可避免），不考虑剪切与焊接处的损耗与增加.如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面.设做成后的长方体铁皮盒的底面是边长为的正方形，高为，体积为. (1)写出关于的函数关系式，并写出的范围； (2)要使得无盖长方体铁盒的容积最大，对应的为多少？并求出的最大值. 题型15 导数与函数的零点综合 【例15】已知函数在上有且仅有一个零点，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式1】已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围， 【变式2】已知函数. (1)当时，证明：； (2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围. 【变式3】已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 【变式4】已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值； (2)讨论的零点个数． 题型16 利用导数求解不等式恒成立与有解问题 【例16】已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若对一切恒成立，求m的取值范围． 【变式1】已知函数. (1)求的图象在处的切线方程； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 【变式2】已知函数在处取得极值，其中为常数. （1）试确定的值； （2）讨论函数的单调区间； （3）若对任意，不等式有解，求的取值范围. 【变式3】设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)当时，，求的取值范围． 【变式4】已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若当时，恒有，求实数的取值范围． 题型17 利用导数证明不等式 【例17】已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，，且，求证：. 【变式1】已知函数． (1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (2)若是函数的极值点，求证：． 【变式2】已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 【变式3】已知函数. (1)若在上恒成立，求的取值范围； (2)证明：当时，. 【变式4】已知. (1)若恒成立，求的范围； (2)证明不等式： 题型18 双变量问题 【例18】设，函数的图像和函数的图像关于y轴对称． (1)若，求x的值． (2)令，，若对任意，，都有恒成立，求实数的取值范围． 【变式1】已知函数. (1)若在处取得极值，求的值； (2)若对于任意的，都有，求实数的取值范围. 【变式2】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． $$2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-27 一元导数及其应用章末重点18种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 导数的计算与定义 题型2 导数的基本运算 题型3 切线方程 题型4 导函数与原函数图象 题型5 用导数求函数的单调性 题型6 含参问题讨论单调性 题型7 由函数的单调性求参数 题型8 构造法解函数不等式与比较大小 题型9 由图象辨析函数的极值与最值 题型10 求函数的极值 题型11 根据函数的极值（点）求参数 题型12 求函数的最值 题型13 根据函数的最值求参数 题型14 利用导数解决实际问题 题型15 导数与函数的零点综合 题型16 利用导数求解不等式恒成立与有解问题 题型17 利用导数证明不等式 题型18 双变量问题 1、曲线的切线问题 （1）在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. （2）过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 (为常数) 3、导数的四则运算法则 （1）两个函数和的和（或差）的导数法则： . （2）对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则： ； . （3）由函数的乘积的导数法则可以得出， 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即 4、复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． 5、函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减） 函数在区间内可导， (1)若，则在区间内是单调递增函数； (2)若，则在区间内是单调递减函数； (3)若恒有，则在区间内是常数函数． 注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则 条件 恒有 结论 函数在区间上可导 在内单调递增 在内单调递减 在内是常数函数 6、求已知函数（不含参）的单调区间 ①求的定义域 ②求 ③令，解不等式，求单调增区间 ④令，解不等式，求单调减区间 注：求单调区间时，令（或）不跟等号. 7、由函数的单调性求参数的取值范围的方法 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 （3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 8、函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 9、函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 题型1 导数的计算与定义 【例1】函数在区间上的平均变化率为（   ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】函数在区间上的平均变化率为 ． 故选：B. 【变式1】物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（   ） A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B．18m/s是物体从3s到这段时间内的速度 C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D．18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度 【答案】C 【解析】是物体在这一时刻的瞬时速度，是物体从到这段时间内的平均速度的极限值，即是是物体在这一时刻的瞬时速度. 故选：C 【变式2】若，则（   ） A． B．6 C．3 D．-3 【答案】C 【解析】. 故选：C. 【变式3】设函数在处可导，且满足，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【解析】.故选：B. 【变式4】已知函数，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】导数（导函数）概念辨析、导数的运算法则 【分析】根据导数的定义代入计算即可. 【详解】， 因为，所以， 即，解得. 故选：C 题型2 导数的基本运算 【例2】下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为 , 所以A错误； 因为 , 所以B错误； 因为, 所以C错误； 因为 , 所以D正确. 故选: D. 【变式1】求下列函数的导数． (1)(2)(3)(4) 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． （1）； （2）； （3）； （4），． 【变式2】求下列函数的导数． (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 【答案】(1)(2) (3)(4)(5) （1），. （2）， ，. （3）， . （4）， . （5）， ． 【变式3】设定义在上的函数的导函数为，且，则（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【解析】两边对求导，得，即， 所以，累乘可得．故选：D. 【变式4】若函数，则 . 【答案】 【解析】因为，所以， 得到，解得， 故答案为：. 题型3 切线方程 【例3】曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【解析】因为，则，所以，， 所以，曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 【变式1】过点且与曲线相切的直线斜率为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【解析】设过点与曲线相切的切点坐标为， 由求导得：，则切线方程为， 于是，整理得，解得， 所以所求切线的斜率为1.故选：C 【变式2】已知函数的图像如图所示，则是的导函数，则下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数在处的切线为，在处的切线为，为过，两点的直线的斜率，由图可知， 直线，即 故选：A 【变式3】若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题设，则，又， 所以，故. 故选：B 【变式4】已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数________． 【答案】-0.5 【详解】，，曲线在处的切线斜率为，直线的斜率为m，曲线在处的切线与直线垂直，，． 故答案为：-0.5 【变式5】过点作曲线的切线，若切线有且只有两条，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【详解】因为，则， 设切点为()，， 所以切线方程为， 代入，得， 即这个关于的方程有两个解， 令()，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数有最大值，， 且，， 所以. 故答案为：. 【变式6】若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】设公切线为是与的切点，由，得， 设是与的切点，由，得， 所以的方程为，因为，整理得， 同理，因为，整理得， 依题意两条直线重合，可得， 消去，得， 由题意此方程有三个不等实根，设， 即直线与曲线有三个不同的交点， 因为，令，则， 当或时，；当时，， 所以有极小值为，有极大值为， 因为，，，所以， 当趋近于时，趋近于0；当趋近于时，趋近于， 故的图象简单表示为下图: 所以当，即时，直线与曲线有三个交点， 故答案为： 【变式7】已知点为曲线上的动点，则到直线的最小距离为______. 【答案】 【详解】解：设与相切与点Q， 则，令，得，则切点， 代入，得，即直线方程为， 所以与直线间的距离为， 即为到直线的最小距离， 故答案为： 题型4 导函数与原函数图象 【例4】函数在定义域内可导且导函数为，且的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】观察导函数图象可知在区间先正后负，在区间先负后正， 故函数在区间内先递增后递减，在区间内先递减后递增， 结合4个选项的图象，可排除A，D； 由导函数的函数值是变化的，即函数在递减区间的斜率也是变化的，排除C，故选：B． 【变式1】设函数的导函数为，已知函数的图象如图所示，则的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由导函数的图象可知当或时， 当或时， 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 且的图象关于原点对称，即为奇函数， 设为偶函数，即，所以，所以为奇函数， 即偶函数的导函数（导函数存在）为奇函数， A、B、D三个图象均关于轴对称，即为偶函数，满足导函数为奇函数，符合题意； C选项的图象对应的函数为非奇非偶函数，不符合题意.故选：C 【变式2】已知函数与其导函数的图象的一部分如图所示，则关于函数的单调性说法错误的有（    ） A．在单调递减 B．在单调递减 C．在单调递减 D．在单调递减 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系 【分析】由导函数与原函数之间关系可确定两个图象的分属，由此可得在不同区间内的正负，进而判断单调性，得到结果. 【详解】时，单调递减；时，单调递增， 已知图象中在上单调递减，在上单调递增， 且有两个零点和的是， ， 由图象可知：当时，；当时，； 当时，；当时，； 在上不单调，A错误； 在上单调递减，B正确； 在，上单调递增，CD错误. 故选：B. 【变式3】【多选】如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ） A．的单调递增区间是 B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【答案】ABC 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】A.利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；B.利用极小值点的定义判断；C. 利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；D.利用极小值点的定义判断； 【详解】解：根据图象知当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减.故A、C正确； 当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确； 当时，取得是极大值，不是的极小值点，故D错误. 故选：ABC. 题型5 用导数求函数的单调性 【例5】定义在区间上的函数，则的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】D 【解析】由可得， 令, 当时，由可得，解得； 当时，由可得，解得； 因此可得在的单调递减区间是和.故选：D 【变式1】设函数，曲线在点处的切线斜率为1． (1)求实数的值； (2)设函数，求函数的单调区间． 【答案】(1)；(2)单调递减区间为，单调递增区间为． 【解析】（1）由题意得的定义域为，又， 因为．所以，解得． 所以实数的值为1. （2）因为，， 则， 令，得， 与在区间上的情况如下： 0    0 + 递减 极小值 递增 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 【变式2】已知函数，，， (1)设曲线在处的切线为，若与曲线相切，求； (2)设函数，讨论的单调性． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1），，且， 所以曲线在处的切线为， 则，得， 因为直线与曲线相切， 所以，得（舍），或； （2）的定义域为， ， 因为，令，得或， 当时，， 所以当和时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减增， 当时，， 所以当和时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减增， 当时，，当时取等号，函数在上单调递增， 综上所述，时，的单调增区间为，， 单调减区间为， 时，的单调增区间为，没有减区间， 时，的单调增区间为，，单调减区间为. 题型6 含参问题讨论单调性 【例6】设函数．讨论函数的单调性； 【答案】函数定义域为， 当时，，所以在上单调递减； 当时，令，，令，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【变式1】已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； 【答案】(1) (2)答案见解析 （1）当时，，∴， ，∴， 故切线方程为：. （2）， ∴，， ∴①当时，，∴仅有单调递增区间，其为：， ②当时，，∴当时，；当时，， ∴的单调递增区间为： ，单调递减区间为：. ③当时，，∴当时；当时. ∴的单调递增区间为：，单调递减区间为：. 综上所述：当时，仅有单调递增区间，单调递增区间为：. 当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：. 当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：. 【变式2】已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程， （2）求导，比较与的关系，即可根据导数的正负求解. 【详解】（1）当时，，则， 因为，所以. 所以曲线在处的切线方程为. （2）函数的定义域为．， 令，解得 当，即时， 所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间； 当，即时， 令，则，令，则， 函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当，即时， 令，则，令，则， 函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上所述： 当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间； 时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为 单调递增区间为． 【变式3】已知函数，其中． (1)若是函数的极值点，求a的值； (2)若，讨论函数的单调性． 【答案】(1)； (2)答案见解析 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、根据极值点求参数 【分析】（1）对函数求导，利用极值点列方程求出的值，再回代入导函数进行验证即得； （2）对函数求导，分解因式后求得导函数的零点，根据参数的范围分类讨论函数的单调性即可. 【详解】（1）由可得，，且， 因是函数的极值点，故，解得. 当时，， 由可得，由可得或， 即函数在上递减，在上递增，在上递减，故是的极小值点. 故； （2）由（1），，因， 由，解得或. ① 若，则， 当时，，当或时，. 即函数在上递减，在上递增，在上递减； ② 若，即， 当时，，当或时，. 即函数在上递减，在上递增，在上递减； ③ 若，则， 则，故函数在上递减. 综上所述， 当时，函数在上递减，在上递增，在上递减； 当时，函数在上递减； 当时，函数在上递减，在上递增，在上递减. 【变式4】已知函数. (1)若，求曲线在处的切线 (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）分别求出切线斜率与切点坐标，写出切线方程即可； （2）求出并分解因式，结合含参二次函数分类讨论的符号，进而得到函数的单调性. 【详解】（1）解：当时，定义域为， 所以，所以， 又因为，所以曲线在处的切线方程为 （2）解：易知函数的定义域为， 1°时，， 令，解得；令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减； 2°时 ①当时，即时， 令，解得或；令，解得； 所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增； ②当时，即时， 恒成立，所以在上单调递增； ③当时，即时， 令，解得或；令，解得； 所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增. 综上所述： 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增. 【变式5】已知函数. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见详解 （1） 当时，则当时恒成立 令，则 ∴在上单调递减，在上单调递增 当时，令，则或 ①当，即时，则在上单调递减，在，上单调递增 ②当，即时，则在上单调递增 ③当，即时，则在上单调递减，在，上单调递增 综上所述： 当时，在上单调递减，在上单调递增 当时，在上单调递减，在，上单调递增 当时，则在上单调递增 当时，则在上单调递减，在，上单调递增 【变式6】已知函数.讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 （1）， 当时，恒成立，在定义域内单调递增； 当时，方程有两个不同根， ， 由可得：， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，当时，恒成立，在定义域内单调递增； 综上：当时，在定义域内单调递增， 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 题型7 由函数的单调性求参数 【例7】已知是上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】求出函数的导函数，根据是上的增函数，可得在上恒成立，分离参数，从而可求得答案. 【详解】由， 得， 因为是上的增函数， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 由于，所以，即 故选：A. 【变式1】若函数在区间内单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】求导，利用导数可知的单调增区间为，结合题意列式求解即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，得，可知的单调增区间为， 若函数在区间内单调递增，依题意，解得， 所有的取值范围是. 故答案为：. 【变式2】已知函数的单调递减区间是，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】函数，则导数 令，即， ∵，的单调递减区间是， ∴0，4是方程的两根， ∴，， ∴ 故选：B. 【变式3】若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究能成立问题 【分析】利用导数与函数单调性的关系将问题转化为在上有解问题，再构造函数，利用导数求得其最小值，从而得解. 【详解】因为存在单调递减区间， 所以在上有解，即在上有解， 令，则，令，解得(负值舍去)， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以，故， 故选：B. 【变式4】若函数在上不单调，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由导数在上存在变号零点即可求解. 【详解】由题可得， 若函数在上不单调，则时，， 故，则． 故选：A． 【变式5】已知函数在区间上不单调，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据题意可知在区间有变号零点，结合变号零点与给定区间的关系求解即可. 【详解】由题意知， 因为在区间上不单调，即在区间有变号零点，又，所以，，， 所以在区间内， 所以，解得，即m的取值范围是. 故答案为：. 【变式6】若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 当时，；当时，； 在，上单调递减，在上单调递增； 在上是单调函数， 或或，解得：或， 即实数的取值范围为. 故选：B. 【变式7】已知函数在，上单调递增，在上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得． 因为在，上单调递增，在上单调递减， 所以方程的两个根分别位于区间和上， 所以，即 解得. 故选：A． 题型8 构造法解函数不等式与比较大小 【例8】已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】构造函数，， ，即函数在上单调递减， 等价于，解得. 即的解集为.故选：D 【变式1】已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令， 则，且不恒为， 所以在上单调递增. 又因为偶函数，所以， 所以. 又， 所以不等式等价于， 根据函数的单调性可知，解得， 所以不等式的解集为.故选：B. 【变式2】设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，.若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】令函数， 因为，时，所以， 所以函数在上单调递减， 又因为， 所以函数，所以为偶函数， 根据偶函数的对称性，可得在上单调递增， 若 则， 整理得，所以， 两边平方可得，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式2】设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，依题意可判断在上单调递减，将不等式变形成，利用函数单调性即可得不等式解集. 【详解】令，则， 因为，所以当时，， 易知函数在单调递增，所以， 即可得在上单调递减， 由不等式可得； 即，因此可得，解得. 即不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解函数不等式解集问题时，利用已知条件并合理构造函数，再由导函数求得函数单调性，根据单调性即可求得不等式解集. 【变式3】已知是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】根据题意，构造函数，求导，可得在上的单调性，将a，b，c变形整理，结合单调性，即可得答案. 【详解】由于比较，，大小， 即比较，，大小即可. 设函数，则， 因为，所以， 所以在上是增函数，且， ，， 则，所以， 故选：A 【变式4】已知为上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，由得在上单调递增，由单调性可比较大小. 【详解】构造函数， 则 ， 所以函数在上单调递增， 故，即， 即． 同理，，即． 故选：A. 题型9 由图象辨析函数的极值与最值 【例9】若函数的导函数图象如图所示，则（    ） A．是函数的极小值点 B．是函数的极小值点 C．函数的单调递减区间为 D．的解集为 【答案】A 【解析】对于A，由图可知，当时，；当时，. 所以为函数的极小值点，故A正确； 对于B，由图可知，当时，， 所以不是的极值点，故B错误； 对于C，由图可知，当时，，当且仅当，， 所以在上单调递增，故C错误； 对于D，由图可知，当时，单调递增，所以，故D错误.故选：A. 【变式1】【多选】函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则（    ） A．函数在上只有一个极小值点 B．函数在上有两个极大值点 C．函数在上可能没有零点 D．函数在上一定不存在最小值 【答案】ABC 【解析】由题意可知，函数的单调性是增函数减函数增函数减函数， 即，时，函数取得极大值，在处取得极小值，所以A、B正确； 若极小值是函数的最小值时，函数能取得最小值；所以D不正确； 函数可能没有零点，所以C正确．故选：ABC．    【变式2】函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得最大值 B．在区间上单调递减 C．在处取得极大值 D．在区间上有2个极大值点 【答案】C 【解析】由导函数的图象可知： 0 0 非负 递增 极大值 递减 极小值 递增 故选：C 题型10 求函数的极值 【例10】已知函数，则（    ） A．有极小值，且极小值为0 B．有极小值，且极小值为 C．有极大值，且极大值为0 D．有极大值，且极大值为 【答案】D 【解析】由，得， 令， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以时，函数有极大值为故选：D 【变式1】设函数，若为奇函数，求： (1)曲线在点处的切线方程； (2)函数的极大值点． 【答案】(1)(2) （1）因为函数为奇函数，所以， 从而得到，即，所以． 因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）， 由，得，由，得或， 所以函数在上是严格减函数，在上是严格增函数， 所以函数的极大值点是． 【变式2】函数的极大值为（    ） A． B．0 C．e D．1 【答案】D 【解析】因为，令，得时；令，得， 所以当时，函数取得极大值．故选：D. 【变式3】设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)求的极值点的个数． 【答案】(1)；(2)3个 【解析】（1）因为函数， 所以， 因为在点处的切线方程为， 所以，即．解得． （2）由（1）知，，所以， 令， 所以， 令，解得或， 所以与的关系列表如下： 0 + 0 － 0 + 0 － 单调递增 单调递减 单调递增 单调递减 所以在区间和上单调递增；在区间和上单调递减； 因为当时，，所以存在，使得， 又因为在上单调递减，在上单调递增，所以是的一个极小值点； 当时，单调递减，且，所以存在，使得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以是的一个极大值点， 当时，单调递增，又，所以存在，使得， 所以在上单调递减，上单调递增，所以是的一个极小值点， 当时，，所以在上单调递增，无极值点； 综上，在定义域上有3个极值点． 【变式4】已知函数图象在处的切线斜率为. (1)求； (2)求函数的单调区间和极大值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】（1）直接求导，根据得到方程，解出即可； （2）直接求导，根据导数分析其单调性和极大值. 【详解】（1）因为， 由已知，即，解得. （2）由（1）知，则， 解得或， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则， 所以的单调递增区间为和，减区间为， 函数的极大值为. 题型11 根据函数的极值（点）求参数 【例11】已知函数在处取得极小值10，则的值为（    ） A．2或 B．或 C． D． 【答案】C 【解析】 ， ， 又 在 处取得极小值10， 则有 ，可得 ， 解得， 或， 当 ， 时， ， 当 时， ，当 时， ， 在处取得极小值； 当 ， 时， ， 当 时， ，当 时， ， 在处取得极大值，不合题意. 所以，， 则有故选：C. 【变式1】已知函数在处取得极大值，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 因为函数在处取得极大值，所以， 所以，解得， 经检验符合题意， 所以，所以.故选：B 【变式2】函数无极值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，则， 若函数无极值，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】函数既有极大值，又有极小值，则整数a的最大值为 ． 【答案】 【解析】定义域为R，， 当时，恒成立， 故在R上单调递增，故不存在极值，不合要求， 故，且至少有两个变号零点， 令，则需有两个不等正根， 令， 需满足，解得， 综上，，故整数a的最大值为. 故答案为： 【变式4】已知函数（）． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有两个极值点，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) （1）当时，，， 求导，所以， 所以在处的切线方程，即； （2）， 令， 若函数有两个极值点，则在有两个不等实根， 需满足， 所以实数的取值范围为 【变式5】已知函数 (1)当时，求函数的极值 (2)若有唯一极值点，求关于的不等式的解集. 【答案】(1)极大值为，极小值为. (2) （1）由题意可知，的定义域为，， 当时，， 则或；， 故在和上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为，极小值为. （2）由题意可知，有唯一的正解，从而， 结合极值点定义可知，二次函数有两个不同的零点，， 从而由韦达定理可知，，即， 从而， 因为，从而， 故关于的不等式的解集为. 【变式6】设，． (1)若，求的值域； (2)若存在极值点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据极值点求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求导，得，即可根据和判断导数的正负确定函数的单调性，求解极值点以及端点处的函数值即可求解， （2）将问题转化为在上有解，即可分离参数得，利用换元法，结合函数单调性即可求解. 【详解】（1）若，， 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减 又，， 所以，即的值域为 （2）． 存在极值点，则在上有解，即有解． 令，则在上有解． 因为函数在区间上单调递减，所以，经检验符合题意． 题型12 求函数的最值 【例12】函数的最小值为 . 【答案】 【解析】,令,得或, 当或时，，当时，， 所以的极大值为， 极小值为， 因为，， 所以. 故答案为： 【变式1】已知函数，则的最大值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】， 由于，则， 令,即，解得，,即，解得， 因此在单调递增，在单调递减， 故，故选：B 【变式2】设函数，曲线在点处的切线斜率为1. (1)求a的值； (2)设函数，求的最小值. 【答案】(1)1；(2)1 【解析】（1）由题意得的定义域为，， 因为，所以，解得． （2）因为，的定义域为， ， 令，得， 与在区间上的情况如下： x 0 0 递减 极小 递增 所以在的单调递减区间为，单调递增区间为； 所以. 【变式3】已知函数. (1)若在上不单调，求实数的取值范围； (2)若，求在上的值域. 【解析】（1）因为，所以. 因为在上不单调，所以方程有两个不同的根， 则，解得或， 即实数的取值范围是. （2）因为，所以. 由，得或，由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 因为，，， 所以在上的值域为. 【变式4】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求函数在的最小值. 【解析】（1）由题意知的定义域为，， ①若，恒成立，所以在上单调递减. ②若，由，得， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，在单调递减，在单调递增. ①当，即时，在单调递减， 当时，有最小值； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增. 当时，有最小值； ③当，即时，在上单调递增， 当时，有最小值； 综上：. 【变式5】已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上的最小值为0，求在该区间上的最大值． 【解析】（1）当时，，得．           则，，           所以曲线在点处的切线方程为，即． （2），， 由，得或．           随着的变化，，的变化情况如下： 2 - 0 + 极小值 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 从而的最小值，解得．           又因为，， 所以在区间上的最大值． 题型13 根据函数的最值求参数 【例13】已知函数在上的最大值为4，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，令，得或， 在和上，所以在和单调递增， 在上，所以在单调递减， 令求得，或， 又因在上的最大值为4，故舍弃， 又在上单调递减，所以在上， 在单调递增，所以当时，， 所以a的取值范围为，故选：D 【变式1】已知函数的最小值为0，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】令，则，由， 换元可得，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则. 因为函数的最小值为0，所以有解， 当时，不符合题意，当时，则，即有解. 令，则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以或. 综上，的取值范围为. 【变式2】已知函数在内有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为， ， 令可得或（舍）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值，故，解得， 所以的取值范围是.故选：B 【变式3】若函数在区间上既存在最大值，也存在最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为函数，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为函数在区间上既存在最大值，也存在最小值， 结合图像可知：. 故答案为：. 题型14 利用导数解决实际问题 【例14】某制造商制造并出售球形瓶装的某饮料.已知瓶子的制造成本是 分，其中（单位：cm）是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm. (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小，并求出最小利润为多少分？ 【解析】（1）设每瓶饮料的利润为（分）， 由题可知 ， 则，由，可得，或（舍） 当时，；当时，， 故在上单调递减；在上单调递增 由上分析，当时，利润最大，， 故当时，利润最大，此时最大利润为（分） （2）由上分析，当时，利润最小，， 故当时，利润最小，此时利润为负值，最小利润为. 【变式1】已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，销售收入为万元，且（注：年利润年销售收入年总成本） (1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量. 【解析】（1）当时，； 当时，. 综上：. （2）当时，，. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 当时，. 因为，当且仅当即时取“”. 此时. 因为. 所以当年产量为千件时，年利润最大. 【变式2】现有一张长为，宽为的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求铁皮材料的利用率为（剪切与焊接不可避免），不考虑剪切与焊接处的损耗与增加.如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面.设做成后的长方体铁皮盒的底面是边长为的正方形，高为，体积为. (1)写出关于的函数关系式，并写出的范围； (2)要使得无盖长方体铁盒的容积最大，对应的为多少？并求出的最大值. 【解析】（1）因为材料利用率为，所以，即； 因为长方形铁皮长为，宽为，故， 综上，. （2）铁皮盒体积，其中， ，令，得，列表如下： 极大值 所以，函数在上为增函数，在上为减函数， 则当时，取最大值，且最大值为. 题型15 导数与函数的零点综合 【例15】已知函数在上有且仅有一个零点，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】因为在上有且仅有一个零点， 即在上有且仅有一个实根， 令，， 则，令，则恒成立， 所以在上单调递增，且， 故时，，单调递增，当时，，单调递减， 故， 因为， 故当与在上只有一个交点时，．故选：B． 【变式1】已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围， 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可知：，， 则，，即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）因为函数的定义域为， 由可得， 令，其中，则， 令，其中，则， 所以，函数在上为减函数，且， 当时，，则，所以，函数在上单调递增， 当时，，则，所以，函数在上单调递减， 所以，， 当时，，当x无限趋向于0时，无限趋向于负无穷， 由题意可知，直线与函数的图象有两个交点，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点， 故实数的取值范围是. 【变式2】已知函数. (1)当时，证明：； (2)若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2)或 【解析】（1）当时，， ， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即. （2）函数的定义域为， 由得， 因为函数有且只有一个零点，可设， 则函数与的图象有且只有一个交点， ， 令，则， 因为，所以，所以在上单调递减，且， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且， 经分析可得函数的大致图象如图所示： 又函数与的图象有且只有一个交点，所以或，即或， 综上所述：实数a的取值范围是或. 【变式3】已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意的定义域为 当时，， ，，又， 在处的切线方程为，即 （2）， ， 当，即时，， 在上单调递减， 当，即时，在上，，在上， 在上单调递减，在上单调递增， 综上，时，在上单调递减； 时，在上单调递减，在上单调递增. （3）方程有两个不同实根， 等价于方程有两个不同实根, 设， 则且， 当时，时，时，， 此时函数只有一个零点，方程只有一个根，不符合题意； 当时，在上单调递增， 当时，， 存在使， 在上，在上， 在上单调递减，在上单调递增， ， 又， 设，则， 当时，单调递减， 又，，又， 在上和上各有一个零点，符合题意； 当时，， 在上，在上， 在上单调递增，在上单调递增， ， 只有一个零点，不符合题意； 当时，， ， 存在使得， 在上单调递减，在上单调递增， ， ， 又当时，单调递增， 又，，在上存在一个零点 又，时有两个零点，符合题意； 综上，方程有两个不同实根时，或. 【变式4】已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值； (2)讨论的零点个数． 【解析】（1）由题意可得，则，解得． （2）令，解得或． 设函数． 当时，恒成立，没有零点，则有唯一的零点． 当时，易证是R上的增函数， 因为，，所以有唯一的零点，则有两个零点． 当时，． 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 故． 当时，，所以没有零点，则有唯一的零点； 当时，，所以有一个零点，则有两个零点； 当时，， 因为，， 所以有两个小于0的零点，则有三个零点． 综上，当时，有唯一的零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点． 题型16 利用导数求解不等式恒成立与有解问题 【例16】已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若对一切恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)的单调增区间为和，单调减区间为 (2) (1)∵ ∴， 由得或， 且当或时，，当时，， ∴的单调增区间为和，单调减区间为 (2)依题意可得在上恒成立， 令，则， 令，易知在上单调递增， ∵，∴，又∵， ∴，使得，即有， 且在上单调递减，在上单调递增， ∴， ∴， 即m的取值范围为． 【变式1】已知函数. (1)求的图象在处的切线方程； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) （1）函数，切点为， ，∴， ∴的图象在处的切线方程为：，即. （2）令，. ，设，， ∵，∴，在上单调递增， 即在上单调递增，， 当时，，∴在上单调递增， ∴， ∴当时，恒成立. 当时，， ∵函数在上存在唯一的零点， ∴函数在区间上单调递减，，不符合题意，舍去. 综上可得：的取值范围是. 【变式2】已知函数在处取得极值，其中为常数. （1）试确定的值； （2）讨论函数的单调区间； （3）若对任意，不等式有解，求的取值范围. 【答案】（1）；；（2）单调递增区间为，的单调递减区间为； （3） 【详解】（1）由题意知，因此，从而． 由题意求导得，因此，解得； （2）由（1）知．令，解得． 1 ＋ 0 － 极大值 因此的单调递增区间为，而的单调递减区间为； （3）由（2）知，在处取得极大值，此极大值也是最最值． 要使（）有解，只需． 即，从而． 解得． 所以的取值范围为. 【变式3】设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)当时，，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，则， 则曲线在点处的切线斜率为， 又， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）， 由题意得，恒成立． 令，则，且在单调递增， 令，解得， 所以当时，，故单调递减； 当时，，故单调递增； 所以， 又，当且仅当，故． （3）解法一：因为，所以题意等价于当时，． 即， 整理，得， 因为，所以，故题意等价于． 设， 的导函数， 化简得， 考察函数，其导函数为， 当单调递减；当单调递增； 故在时，取到最小值，即， 即， 所以， 所以当单调递减； 当单调递增； 所以的最小值为， 故． 解法二：先考察，由（2）分析可得， 情况1：当，即， 此时在区间单调递增， 故，即，符合题意； 情况2：若，则， 注意到，且，故对进一步讨论． ①当时，即 且由（2）分析知：当单调递减， 故当，即单调递减， 故恒有，不符合题意，舍去； ②当时， 注意到在区间单调递减，且，又， 故在区间存在唯一的满足； 同理在区间单调递增，且， 故在区间存在唯一的满足；故可得 + 0 - 0 + 极大值 极小值 所以当，符合题意； 故题意等价于，即． 又因为，即，化简，得 所以，整理得． 注意到，所以， 故解得， 由之前分析得即 考察函数，其导函数为， 当单调递减； 当单调递增； 故在时，取到最小值，即， 即，所以恒成立， 故，又注意到情况（2）讨论范围为， 所以也符合题意． 综上①②本题所求的取值范围为． 方法三：先探究必要性，由题意知当时，是的最小值， 则必要地，即得到必要条件为； 下证的充分性，即证：当时，． 证明：由（2）可知当时，在单调递增， 故的最小值为，符合题意； 故只需要证明时，． 由（2）分析知时， + 0 - 0 + 极大值 极小值 其中． 注意到，据此可得更精确的范围是； 所以等价于证明， 又因为，即，可得， 只需证明， 等价于证明， 注意到，即， 故若①当，此时显然成立； 若②当，只要证明， 此时，且 所以，故得证． 综上必要性，充分性的分析，本题所求的取值范围为． 【变式4】已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若当时，恒有，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以切点为， 又，所以， 所以， 所以由点斜式方程得切线方程为，即； （2）当 时，恒有 ，即对恒成立， 令，， 求导得， 因为，所以在上单调递减， 所以在上单调递增，所以， 当时，，函数单调递增，所以， 即，所以； 当时，，又时，， 所以存在，使，当，， 所以在上单调递减，所以， 所以，所以对不恒成立， 综上所述：当时，恒有，实数的取值范围为． 题型17 利用导数证明不等式 【例17】已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，，且，求证：. 【解析】（1）已知函数的定义域为，. 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意知：且 则①-②得，所以. 则①+②得， 所以. 令，则. 要证，只需证，即证. 因为，所以只需证，即证. 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，即在区间上单调递减. 所以，所以在区间上单调递增， 所以.即得证. 所以. 【变式1】已知函数． (1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (2)若是函数的极值点，求证：． 【解析】（1）由，则可得不等式， 由，则，令， 求导可得，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 由题意可得. （2）由，则，令， 求导可得在上恒成立， 则函数在上单调递增，即函数在上单调递增， 由是函数的极值点，则，即， 由，则， 所以. 【变式2】已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 【解析】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）不等式， 由时，恒成立，得， 令，由当时，恒成立， 得，，求导得，令， 求导得，而，则当，即时，， 函数在上单调递增，，函数在上单调递增， 则，符合题意，因此； 当时，由，得，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递减， 则当时，，不符合题意， 所以实数的取值范围是. （3）由（2）知，当时，， 取，则，而， 因此 ， 所以. 【变式3】已知函数. (1)若在上恒成立，求的取值范围； (2)证明：当时，. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1），即. 令，所以在上恒成立， 所以在上单调递减，所以， 所以，即的取值范围为； （2）由（1）可知当时，， 即，所以， 所以要证，只需证. 令，，所以， 所以在上单调递增，即在0时取最小值， 所以，故， 所以当时，. 【变式4】已知. (1)若恒成立，求的范围； (2)证明不等式： 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）， 当时，不等式显然成立， 当时，恒成立，令，则 因此时，，时，， 所以在单调减，在单调增， 所以当时，， 当时，恒成立，令，此时恒成立， 所以在单调减，而时，且， 所以当时，， 综上. （2）方法1：由（1）知恒成立当且仅当时等号成立 ， 所以，当且仅当时成立， 所以 所以. 方法2：设， 则，设， 则， 当时，， 当时，， 当时， 所以在上恒成立，所以在上递增 ， 又，所以在上，在上， 所以在上是减函数，在上是增函数，所以， 所以. 题型18 双变量问题 【例18】设，函数的图像和函数的图像关于y轴对称． (1)若，求x的值． (2)令，，若对任意，，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) （1） 由题意得：，则，即， 解得：或（舍去），所以； （2） ，， 对任意，，都有恒成立， 则只需在上的最小值大于等于在上的最大值， ，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得最小值，， ，， 当时，取得最大值，， 所以，故. 求实数的取值范围. 【变式1】已知函数. (1)若在处取得极值，求的值； (2)若对于任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) （1） 的定义域为， ， 若在处取得极值 ，即， 经验证在处取得极小值， 所以. （2） ， 且， 所以当时，， 对于任意的恒成立， 即对任意恒成立， 即恒成立. 令，则. 当时，递增；当时，递减， 当时，的最大值为， ， 即的取值范围是. 【变式2】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) （1） 的定义域为， 当时，，此时的增区间为，减区间为； 当时，，无单调性； 当时，，的增区间为，减区间为． （2） ．设， 当时，， 是增函数， 当时，，， 由（1）知，当时，； 当时，； 当时，不恒成立. 综上可得． $$