微专题5-24 新高考背景下导数的新定义问题3种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-24 新高考背景下导数的新定义问题3种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 定义新概念 题型2 定义新运算 题型3 定义新性质 “新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”、“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语言给出新的定义、运算或符号，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义后要求马上运用它解决相关问题，意在考查学生处理新问题的能力、转化与化归能力以及运算求解能力 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种， 一、新定义问题的解题思路： 1.理解新函数的定义：深刻理解题目中新函数的定义，新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系。 （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 2.转化：将题目中的新函数与已学函数联系起来，仔细阅读已知条件进行分析，通过类比已学函数的性质、图像解决问题，或者将新函数转化为已学过的函数的复合函数形式。 3.代入特殊值：如果新函数的某一性质对某些数值恒成立，可以通过代入特殊值，得到特殊函数值甚至函数解析式，从而解决问题。 二、解题步骤，求解“新定义”题目，主要分如下几步： 1. 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； 1. 对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点； 3、对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻易放弃。 三、导数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 题型1 定义新概念 【例1】用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率． (1)求曲线在点处的曲率的值； (2)求正弦曲线曲率的最大值． 【变式1】若对任意的实数、，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”． （1）判断函数是否为“恒切函数”； （2）若函数是“恒切函数”，求实数、满足的关系式； （3）若函数是“恒切函数”，求证：. 【变式2】设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图象只有唯一的公共点，则称为“函数”，切线为一条“切线”.已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程; (2)判断（1）中所求切线是否是函数的一条“切线”，并说明理由; (3)当时，求证：函数为“函数”. 【变式3】若函数在定义域内存在两个不同的数，，同时满足，且在点，处的切线斜率相同，则称为“切合函数”. (1)证明：为“切合函数”； (2)若为“切合函数”（其中为自然对数的底数），并设满足条件的两个数为，. （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：. 【变式4】记，为的导函数．若对，，则称函数为上的“凸函数”．已知函数，． (1)若函数为上的凸函数，求的取值范围； (2)若函数在上有极值，求整数的最小值． （参考数据） 【变式5】若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”. (1)若，判断是否为上的“2类函数”； (2)若，为上的“2类函数”，求实数a的取值范围. 【变式6】设是直角坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”. (1)判断点是否为函数的度点，并说明理由； (2)若点是的度点，求的最小值； (3)求函数的全体度点构成的集合． 题型2 定义新运算 【例2】定理：如果函数及满足：①图象在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，那么在内至少有一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理.请利用该定理解决下面问题：已知，若存在正数，满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】一般地，设函数在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]分成个小区间．每个小区间长度为．在每个小区间上任取一点作和式．如果无限接近于0（亦即）时，上述和式无限趋于常数，那么称该常数为函数在区间[a，b]上的定积分，记为．当时，定积分的几何意义表示由曲线，两条直线与轴所围成的曲边梯形的面积．如下图所示： 如果函数是区间[a，b]上的连续函数，并且，那么 (1)求； (2)设函数． ①若恒成立，求实数的取值范围； ②数列满足，利用定积分的几何意义，证明：． 【变式2】以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在上的函数满足条件①在闭区间上连续，②在开区间内可导，则，.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若，则.现已知函数. (1)设可导函数，证明：，； (2)若在上的最小值为，求a的取值范围. 在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式.当时泰勒展开式也称为麦克劳林公式.比如在处的麦克劳林公式为：，由此当时，可以非常容易得到不等式请利用上述公式和所学知识完成下列问题： (1)写出在处的泰勒展开式. (2)若，恒成立，求a的范围;（参考数据） (3)估计的近似值（精确到） 题型3 定义新性质 【例3】设定义在上，若对任意实数，存在实数，使得成立，则称满足“性质”，下列函数满足“性质”的有（    ） A． B． C． D． 【变式1】若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列四个函数中，具有T性质的所有函数的序号为（    ） ①，②，③，，④ A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 【变式2】设函数的定义域是R，它的导数是．若存在常数，使得对一切恒成立，那么称函数具有性质． (1)求证：函数不具有性质； (2)判别函数是否具有性质．若具有求出的取值集合；若不具有请说明理由． 【变式3】已知定义在正整数集上的函数，若函数同时具有性质：①对任意，；②存在实数a，使得对任意，，则称函数为“可积函数”，此时a称为的“可积指标”.（e是自然对数的底数） (1)判断函数，是否“可积函数”，若是，求出的“可积指标”；若不是，请说明理由； (2)若定义在正整数集上的函数是“可积指标”为a的“可积函数”，求的解析式，及“可积指标”a的最大值. 【变式4】【多选】若直线与曲线满足下列两个条件：（1）直线在点处与曲线相切；（2）曲线在点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.下列结论正确的是（ ） A．直线在点处“切过”曲线 B．直线在点处“切过曲线 C．直线在点处“切过”曲线 D．直线在点处“切过”曲线 $$2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-24 新高考背景下导数的新定义问题3种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 定义新概念 题型2 定义新运算 题型3 定义新性质 “新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”、“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语言给出新的定义、运算或符号，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义后要求马上运用它解决相关问题，意在考查学生处理新问题的能力、转化与化归能力以及运算求解能力 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种， 一、新定义问题的解题思路： 1.理解新函数的定义：深刻理解题目中新函数的定义，新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系。 （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 2.转化：将题目中的新函数与已学函数联系起来，仔细阅读已知条件进行分析，通过类比已学函数的性质、图像解决问题，或者将新函数转化为已学过的函数的复合函数形式。 3.代入特殊值：如果新函数的某一性质对某些数值恒成立，可以通过代入特殊值，得到特殊函数值甚至函数解析式，从而解决问题。 二、解题步骤，求解“新定义”题目，主要分如下几步： 1. 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； 1. 对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点； 3、对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻易放弃。 三、导数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 题型1 定义新概念 【例1】用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率． (1)求曲线在点处的曲率的值； (2)求正弦曲线曲率的最大值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）求出的以及，根据曲线在点处的曲率定义，即可求得答案； （2）根据曲率的定义，求出的平方的表达式，利用换元法结合导数判断函数单调性，即可求得的平方的最大值，结合，即可求得答案. 【详解】（1）由得，， 故， 所以曲线在点处的曲率； （2）由题意得， 故， 令，则， 令，则， 故在上单调递减， 则，即的最大值为1， 由题意知曲线在点处的曲率，即， 故的最大值为1. 【变式1】若对任意的实数、，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”． （1）判断函数是否为“恒切函数”； （2）若函数是“恒切函数”，求实数、满足的关系式； （3）若函数是“恒切函数”，求证：. 【解析】（1）根据题意，若函数为“恒切函数”，切点为， 则，即， 对于函数，，，解得.因此，函数是“恒切函数”； （2）若函数是“恒切函数”，设切点坐标为， 则，则有，可得，解得， 故实数、满足的关系式为； （3）根据题意，函数是“恒切函数”，设切点为， 又由，可得， 则有，即，考查方程的解， 设，，令，得. 当时，；当时，. 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. . （i）当时，，， 所以，函数在区间上存在唯一零点. 又； （ii）当时，，函数在区间上有唯一零点，则 综上所述，. 【变式2】设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图象只有唯一的公共点，则称为“函数”，切线为一条“切线”.已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程; (2)判断（1）中所求切线是否是函数的一条“切线”，并说明理由; (3)当时，求证：函数为“函数”. 【答案】(1) (2)不是，理由见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据导数的几何意义可求出切线方程； （2）利用反证法，假设切线是函数的一条“切线”，构造函数，根据导数研究函数的图像得假设不成立，从而得证； （3）设，求出在处的切线，构造函数，利用导数得出存在在处的切线与只有唯一公共点，从而得证. 【详解】（1），， ， 所求切线方程为，即. （2）（1）中所求切线不是函数的一条“切线”. 理由如下： 假设切线是函数的一条“切线”， 则方程，即只有一个解. 记函数，则只有一个零点. （方法一）， 当时，单调递增; 当时，单调递减; 当时，单调递增， 的极大值为，极小值为， 又时，， 函数有两个零点，这与其只有一个零点矛盾. 切线不是函数的一条“切线”. （方法二）， 函数至少有两个零点，这与其只有一个零点矛盾. 切线不是函数的一条“切线”. （3）证明:由（1）知， 设， 在处的切线方程为， 即， 只需方程， 即只有一个解， 令， 则， 令，则， 取，则， 单调递增，又， 函数只有一个零点，即只有一个解， 函数为“函数” 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数零点个数常用方法：（1）转化为相应方程根的个数：求出其根可得解；（2）根据导数求研究函数的单调性，画出函数大致图像，判断函数与x轴交点的情况；（3）转化为两个函数图像交点的个数：利用导数研究两个函数的图像，根据两个函数交点情况可得结果. 【变式3】若函数在定义域内存在两个不同的数，，同时满足，且在点，处的切线斜率相同，则称为“切合函数”. (1)证明：为“切合函数”； (2)若为“切合函数”（其中为自然对数的底数），并设满足条件的两个数为，. （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：. 【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析；②证明见解析 【详解】（1）假设存在，满足题意，易知，由题可得：，代入上式可解得， ，或，， 故为“切合函数”. （2）由题可知，因为为“切合函数”，故存在不同的，（不妨设）， 使得，即， （ⅰ）先证：，即证：，令，则由可知，要证上式，只需证：，易知，故在上单调递减，所以，故有成立，由上面的②式可得； （ⅱ）由上面的②式可得：，代入到①式中可得： ，且由（ⅰ）可得. （另解：由上面的②式可得，代入到①式的变形：，整理后也可得到）故要证，只需证：，设，则即证：， ，设，，，， 在上单调递增， ，下面证明在上恒成立，令，则，所以当时，，当时，，所以在处取得最小值，，所以在上恒成立，所以当时，，即， 在上单调递增，，所以原不等式成立. 【变式4】记，为的导函数．若对，，则称函数为上的“凸函数”．已知函数，． (1)若函数为上的凸函数，求的取值范围； (2)若函数在上有极值，求整数的最小值． （参考数据） 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）由题意可得，参变分离后可得恒成立，构造函数后，借助导数得其单调性后即可得其最小值，即可得的取值范围； （2）由函数在上有极值，可得在上有解，构造函数，虚设其导数零点，可得函数单调性，即可得其最小值，结合零点存在性定理可得，再构造函数，结合其单调性即可得其最小值，即可得得范围，即可得其最小值. 【详解】（1）由，得，， 由于函数为上的凸函数，故，即， 令，则， 当时，；当时，； 故在上单调递减，在上单调递增， 故，故，所以， 故的取值范围为； （2）由，得， 函数在上有极值，即在上有变号零点， 即在上有解， 令，则， 令，则，， 即在上单调递增， 又，，故存在，使得， 且时，，时，， 故在上单调递减，在上单调递增，故， 由于，， 故，， 又， ， 由零点存在定理知，， 因为在上单调递减，且， 故， 因为，则，又， 的最小值为1. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于无法求出函数的零点的具体值时，虚设零点，则有，从而可得. 【变式5】若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”. (1)若，判断是否为上的“2类函数”； (2)若，为上的“2类函数”，求实数a的取值范围. 【答案】(1)不是上的“2类函数”. (2). 【分析】（1）利用解析式化简，结合放缩即可判断； （2）不妨设，根据新定义可得，整理后可得且，根据和的单调性可得，然后参变分离，构造函数，，分别利用导数求和即可得解. 【详解】（1）对于任意不同的，设， 则，， 所以， 所以不是上的“2类函数”. （2）因为， 由题意知，对于任意不同的，都有， 不妨设，则， 故且， 故为上的增函数，为上的减函数， 所以，， 故对任意，都有，即， 所以， 令，， 令，在单调递减， 所以，， 故在单调递减， 所以，所以， 令，， 令，在上单调递减， ，， 所以，使，即， 当时，，即，在上单调递增， 当时，，即，在上单调递减， 所以， 由，得， 所以， 又因为，所以， 所以a的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题关键在于根据新定义转化为为上的增函数，为上的减函数，再由函数单调性与导数的关系得，然后参变分离，转化为求函数最值问题，最后利用导数求解可得.本题还属于隐零点问题，需充分利用隐零点方程. 【变式6】设是直角坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”. (1)判断点是否为函数的度点，并说明理由； (2)若点是的度点，求的最小值； (3)求函数的全体度点构成的集合． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）转化为根据切线方程，只能求解一个切点，即可说明； （2）首先根据切线过点，转化为方程有解，再构造函数，再利用导数判断函数的单调性，并通过讨论，结合零点存在性定理即可求解； （3）利用导数的几何意义转化为恰有两个不同的实数解，再构造函数，转化为函数有2个不同零点，再利用导数判断函数的零点个数求参数的取值集合. 【解析】（1）设，则曲线在点处的切线方程为， 则该切线过点当且仅当，即，故原点是函数的一个度点； （2）设，， 则曲线在点处的切线方程为， 则该切线过点当且仅当， 设，则当时，， 故在区间上严格增，，， ①若，恒不成立，即点是的一个度点； ②若，则当时，，存在唯一的，使得成立， 即点是的一个度点，综上，实数的最小值为； （3），对任意， 曲线在点处的切线方程为， 故点为函数的一个度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解， 设，则点为函数的一个度点当且仅当两个不同的零点， ①若，则在上严格增，只有一个实数解，不合要求； ②若，因为，解得有两个驻点，， 由或时得严格增； 而当时，得严格减， 故在时取得极大值，在时取得极小值， 又因为，， 所以当时，由零点存在定理，在、、上各有一个零点，不合要求； 当时，仅上有一个零点，不合要求； 当时，仅上有一个零点，也不合要求， 故两个不同的零点当且仅当或 ③若，同理可得两个不同的零点当且仅当或， 综上，的全体度点构成的集合为或. 【点睛】思路点睛：本题有3问，所考察的知识点都是利用导数的几何意义求切线方程，根据切线过定点，转化为方程实数根问题，利用导数判断函数的零点个数. 题型2 定义新运算 【例2】定理：如果函数及满足：①图象在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，那么在内至少有一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理.请利用该定理解决下面问题：已知，若存在正数，满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，由柯西中值定理可知：那么在内至少有一点，满足，令，对求导，求出的值域，即可得出答案. 【详解】由可得：， 令，所以 由柯西中值定理可知：那么在内至少有一点，满足成立， 因为，，所以，， 所以令， ，， 令可得：或， 令可得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 当趋于正无穷时，趋近， 所以，所以实数的取值范围为. 故选：A. 【变式1】一般地，设函数在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]分成个小区间．每个小区间长度为．在每个小区间上任取一点作和式．如果无限接近于0（亦即）时，上述和式无限趋于常数，那么称该常数为函数在区间[a，b]上的定积分，记为．当时，定积分的几何意义表示由曲线，两条直线与轴所围成的曲边梯形的面积．如下图所示： 如果函数是区间[a，b]上的连续函数，并且，那么 (1)求； (2)设函数． ①若恒成立，求实数的取值范围； ②数列满足，利用定积分的几何意义，证明：． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据已知条件中定积分的定义计算即可； （2）①构造函数，结合导函数的端点值分类讨论其单调性即可；②先构造数列，判定其为等差数列，并求出，最后结合定积分的几何意义证明即可. 【详解】（1）； （2）①恒成立，得恒成立． 令，则． 当时，，所以在上单调递增， 又，所以在恒成立． 当时，当时，有，所以在上单调递减， 又在恒成立，与矛盾． 综上所述，． ②由，可得，所以． 即数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则， 所以， 是由曲线，两直线与轴所围成的曲边梯形的面积． 而表示图一阴影所示各矩形的面积和， 所以，不等式的左边成立． 表示图二阴影所示各矩形的面积和， 所以，不等式的右边成立． 【点睛】关键点点睛： （1）本题第一问在于对于定积分的理解，为求导的逆运算，再代入边界条件作差即可. （2）第二问第一小问为含参数的函数不等式恒成立问题，作差构造函数，利用导数讨论单调性即可；第二小问关键在于定积分意义的理解. 【变式2】以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在上的函数满足条件①在闭区间上连续，②在开区间内可导，则，.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若，则.现已知函数. (1)设可导函数，证明：，； (2)若在上的最小值为，求a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据题设新定义即可证结论； （2）令，并对其求导，讨论参数的范围，结合函数区间最值确定参数范围. 【详解】（1）因为，且在上连续，在内可导， 所以，由罗尔中值定理得，. （2）设，则. 当，即时，， 当，得，则在上单调递减， 当，得，则在上单调递增， 从而，故符合题意. 当时，即时，令，得或. 当，即时， 当或，得，则在和上单调递增， 当，得，则在上单调递减. 因为在上的最小值为，且，则，得； 当，即时，恒成立，则在上单调递增，故，不合题意； 当，即时， 当或，得，则在和上单调递增， 当，得，则在上单调递减， 从而，故，不合题意； 综上，a的取值范围为. 在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式.当时泰勒展开式也称为麦克劳林公式.比如在处的麦克劳林公式为：，由此当时，可以非常容易得到不等式请利用上述公式和所学知识完成下列问题： (1)写出在处的泰勒展开式. (2)若，恒成立，求a的范围;（参考数据） (3)估计的近似值（精确到） 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）求导，根据题意写出在处的泰勒展开式； （2）结合在处的泰勒展开式，构造函数证明，再令，，求导得到函数单调性，证明出，当时， ，满足要求，当时，令，，易求得，所以必存在一个区间，使得在上单调递减， 所以时，，不合要求，从而得到答案； （3）求出和的泰勒展开式，得到，令，估计的近似值. 【详解】（1），，，， 其中， 在处的泰勒展开式为：， （2）因为， 由在处的泰勒展开式，先证， 令， ，易知，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 再令，，易得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而，所以恒成立， 当时， ，所以成立， 当时，令，，易求得， 所以必存在一个区间，使得在上单调递减， 所以时，，不符合题意. 综上所述，. （3）因为转化研究的结构， ， ， 两式相减得 ， 取得， 所以估计的近似值为（精确到）. 【点睛】麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下： ，， ， ， ， 题型3 定义新性质 【例3】设定义在上，若对任意实数，存在实数，使得成立，则称满足“性质”，下列函数满足“性质”的有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对题干条件变形，转化为在上不单调，即可满足“性质”，再分别对选项一一判断即可. 【详解】将变形为：， 令，则在上至少有2个不等实数使得， 所以在上不单调，即可满足“性质”； 对于A，，当时，在上单调递增，所以不满足“性质”； 对于B，，，所以时，，当时，，所以在上不单调，满足“性质”； 对于C，，当时，则，所以在上单调递减，则不满足“性质”； 对于D，，当时，，在上单调递减，则不满足“性质”； 故选：B 【变式1】若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列四个函数中，具有T性质的所有函数的序号为（    ） ①，②，③，，④ A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据题意可知其导函数上存在两点的导函数值乘积为；对每一个函数进行求导，逐个判断即可. 【详解】，所以，其导函数上存在两点的导函数值乘积为，即这两点处的切线互相垂直，满足条件； ，所以恒成立，不满足条件； ，，所以，其导函数上存在两点的导函数值乘积为，即这两点处的切线互相垂直，满足条件； ，所以，函数单调递增，且，，其导函数上存在两点的导函数值的乘积为，即这两点处的切线互相垂直，满足条件. 故选：C. 【变式2】设函数的定义域是R，它的导数是．若存在常数，使得对一切恒成立，那么称函数具有性质． (1)求证：函数不具有性质； (2)判别函数是否具有性质．若具有求出的取值集合；若不具有请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)具有性质，的取值集合 【分析】（1）假设具有性质，由定义求解结论成立的条件；         （2）假设具有性质，由定义求解结论成立的条件. 【详解】（1）假设具有性质， 即 对一切恒成立          化简得到，显然不存在实数使得成立，所以假设错误， 因此函数不具有性质. （2）假设具有性质， 即 对一切恒成立， 即 对一切恒成立，则对一切恒成立，      由，所以当时，具有性质， 所以具有性质，的取值集合. 【变式3】已知定义在正整数集上的函数，若函数同时具有性质：①对任意，；②存在实数a，使得对任意，，则称函数为“可积函数”，此时a称为的“可积指标”.（e是自然对数的底数） (1)判断函数，是否“可积函数”，若是，求出的“可积指标”；若不是，请说明理由； (2)若定义在正整数集上的函数是“可积指标”为a的“可积函数”，求的解析式，及“可积指标”a的最大值. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)； 【分析】（1）根据可积函数定义，结合反比例函数的单调性，通过常变量分离求得，由函数单调性可知不为常数； （2）结合定义求的解析式，再由不等式分离参数，转化为恒成立问题，再构造函数利用导数求最值可得. 【详解】（1）函数，不是“可积函数”，理由如下： 当时，函数是单调递减， 所以有，符合性质①； 假设存在实数a，使得对任意，， 即，则， 所以，两边取对数得， 得，令， 设，， 则， 由，， 则， 故在单调递减，且， 因此给定一个值，对应的值不同，即值不同， 所以对于对任意，因此不存在实数a，使， 因此不符合性质②， 故函数，不是“可积函数”； （2）当，有成立， 当时，有， 两式相除，得，显然当时，也成立， 综上，； 因为函数是“可积指标”为a的“可积函数”， 所以有，可变形为. 令，则， 设，， 则 令，其中， 则， 令，其中， 则，则在单调递减， 所以，即，故在单调递减； 所以，即，故在单调递减； 当时，，即， 且当时，， 故要使恒成立，则. 故，且“可积指标”a的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于运算，利用整体换元法，进而简化函数运算探求函数性质. 【变式4】【多选】若直线与曲线满足下列两个条件：（1）直线在点处与曲线相切；（2）曲线在点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.下列结论正确的是（ ） A．直线在点处“切过”曲线 B．直线在点处“切过曲线 C．直线在点处“切过”曲线 D．直线在点处“切过”曲线 【解析】对于A，由，得，则从而可得曲线在点处的切线为. 当时，，当时，，则曲线在点附近位于直线的两侧，故A正确. 对于B，由，得，则，从而可得曲线在点处的切线为. 因为， 故当时，，当时，， 则曲线在点附近位于直线的两侧，故B正确. 对于C，由，得，则，从而可得曲线在点的切线为.因为，所以，则曲线在点附近位于直线的同侧，故C错误. 对于D，由得，则，从而可得曲线在点处的切线为.令，则且， ，故且， 当时，；当时，， 故在为增函数，在上为减函数，故在上，，在上， 故当且仅当时等号成立，故当时，，当时，， 故当时，，当，，则曲线在点附近位于直线的两侧，故D正确. 故选：ABD. $$