微专题5-25 导数小题10种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-25导数小题10种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1导数的运算 题型2函数的切线问题 题型3利用导数解决函数的单调性问题 题型4利用导数解决函数的极值问题 题型5利用导数解决函数的最值问题 题型6利用导数比较大小 题型7利用导数解不等式 题型8导数中的函数零点（方程根）问题 题型9利用导数解决不等式恒（能）成立问题 题型10利用导数解决双变量问题 1．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 2．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略： ①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率； ②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0). 3．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法： ①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)； ②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)； ③将已知条件代入②中的切线方程求解. 4．确定函数单调区间的步骤； (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 5．含参函数的单调性的解题策略： (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内. 6．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 7．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 8．根据函数极值求参数的一般思路： 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方 程组，利用待定系数法求解. 9．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和 极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 10．导数中函数的零点（方程的根）的求解策略 (1)利用导数研究方程根（函数零点）的技巧 ①研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等． ②根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置． ③利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现． (2)已知函数零点个数求参数的常用方法 ①分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． ②分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围． 11．导数中恒成立、存在性问题的求解策略 恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题． 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值；当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，结合函数图象，利用导数来求解． 12．导数中的双变量问题 导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 题型1导数的运算 【例1】已知函数，则（） A． B． C． D． 【变式1】已知为定义在上的奇函数，设为的导函数，若，则（） A．1 B． C．2 D．2023 题型2函数的切线问题 【例2】过点作函数的切线方程为（） A． B． C． D． 【变式1】经过点所作曲线的切线有（） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式2】若直线为函数且的图象的一条切线，则（） A． B． C． D． 【变式3】已知函数的图象与函数的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为. 【变式4】已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（） A． B． C． D． 题型3利用导数解决函数的单调性问题 【例3】若函数，则函数的单调递减区间为（） A． B． C． D． 【变式1】已知函数是减函数，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【变式2】已知，则（） A． B． C． D． 题型4利用导数解决函数的极值问题 【例4】设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（） A． B． C． D． 【变式1】已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【变式2】已知函数在处有极大值，则（） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】已知函数恰有两个极值点，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 【变式4】已知函数，若在开区间内存在极大值点，则实数a的取值范围是（） A． B． C． D． 题型5利用导数解决函数的最值问题 【例5】函数在上的最大值和最小值分别是（） A． B． C． D． 【变式1】函数，已知在时取得极值，则上的最大值为（） A． B．1 C．9 D．4 【变式2】已知函数，若存在实数满足，则的最大值为（） A． B． C． D．1 【变式3】已知直线分别与函数和的图象交于点A，B，则的最小值为. 题型6利用导数比较大小 【例6】已知函数，设，则（） A． B． C． D． 【变式1】设，则（） A． B． C． D． 【变式2】设，，则的大小关系为（） A． B． C． D． 【变式3】则（） A． B． C． D． 题型7利用导数解不等式 【例7】已知函数，则满足的的取值范围是（） A． B． C． D． 【变式1】已知定义在上的函数是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（） A． B． C． D． 【变式2】已知定义在上的函数，若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【变式3】定义在上的函数满足，且，则不等式解集为（） A． B． C． D． 题型8导数中的函数零点（方程根）问题 【例8】已知函数有两个零点，则（） A． B． C． D． 【变式1】已知为函数的零点，则（） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】已知函数有两个零点，且，则下列命题正确的是（） A． B． C． D． 【变式3】已知函数若函数有5个不同的零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 题型9利用导数解决不等式恒（能）成立问题 【例9】已知函数，若对任意的恒成立，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【变式1】已知，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 【变式2】已知函数，若恒成立，则实数的最小值为（） A． B． C．1 D． 【变式3】已知函数，若存在，使，则实数的取值范围是. 【变式4】已知函数（其中且），若存在，使得，则实数a的取值范围是． 题型10利用导数解决双变量问题 【例10】已知为正实数，，则（） A． B． C． D． 【变式1】已知函数，若，则的最小值为. $$2024-2025学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-25导数小题10种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1导数的运算 题型2函数的切线问题 题型3利用导数解决函数的单调性问题 题型4利用导数解决函数的极值问题 题型5利用导数解决函数的最值问题 题型6利用导数比较大小 题型7利用导数解不等式 题型8导数中的函数零点（方程根）问题 题型9利用导数解决不等式恒（能）成立问题 题型10利用导数解决双变量问题 1．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 2．求曲线“在”某点的切线方程的解题策略： ①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率； ②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0). 3．求曲线“过”某点的切线方程的解题通法： ①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)； ②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)； ③将已知条件代入②中的切线方程求解. 4．确定函数单调区间的步骤； (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 5．含参函数的单调性的解题策略： (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内. 6．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 7．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 8．根据函数极值求参数的一般思路： 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方 程组，利用待定系数法求解. 9．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和 极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 10．导数中函数的零点（方程的根）的求解策略 (1)利用导数研究方程根（函数零点）的技巧 ①研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等． ②根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置． ③利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现． (2)已知函数零点个数求参数的常用方法 ①分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． ②分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围． 11．导数中恒成立、存在性问题的求解策略 恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题． 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值；当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，结合函数图象，利用导数来求解． 12．导数中的双变量问题 导数中的双变量问题往往以双参数不等式的形式呈现，要想解决双变量问题，就需要掌握破解双参数不等式的方法： 一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式； 二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值； 三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果． 题型1导数的运算 【例1】已知函数，则（） A． B． C． D． 【分析】求导，通过赋值逐项判断即可. 【解析】因为，所以， 则，所以， 则，所以. 故选：C. 【变式1】已知为定义在上的奇函数，设为的导函数，若，则（） A．1 B． C．2 D．2023 【分析】根据进行奇偶性和周期性的推导，得到是周期为4的偶函数，从而算出的值. 【解析】因为，所以两边求导，得， 即① 因为为定义在上的奇函数，则， 所以两边求导，得，所以是定义在上的偶函数， 所以，结合①式可得，， 所以，两式相减得，， 所以是周期为4的偶函数， 所以. 由①式，令，得，所以. 故选：C. 题型2函数的切线问题 【例2】过点作函数的切线方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点为，利用导数几何意义求切线方程，结合所过的点求参数m，进而确定切线方程. 【详解】由，设切点为，则， 所以，切线方程为，又过点， 所以，整理得， 所以，切线方程为，则. 故选：C 【变式1】经过点所作曲线的切线有（） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】求导，后根据导数几何意义，转化为：的根的个数，结合根的判别式判定即可. 【详解】因为，所以曲线在点处的切线方程为. 将代入，得. 因为，所以方程有两个不同的根，且根不为0， 所以方程共有3个不同的根， 即经过点所作曲线的切线有3条. 故选：C. 【变式2】若直线为函数且的图象的一条切线，则（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设切点为，利用导数的几何意义可得出关于、的方程组，即可解出的值. 【详解】设切点为，因为且，则， 由导数的几何意义可得， 所以，即，故， 所以，解得， 故选：B. 【变式3】已知函数的图象与函数的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为. 【分析】设公共点为，由，可得，进而利用导数可得，求解即可. 【解析】函数的定义域为，可得，由， 设曲线与曲线的公共点为， 由于在公共点处有共同的切线，所以，所以， 由，可得，联立可得， 解得，所以，所以公共点坐标为. 故答案为：. 【变式4】已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】曲线上的切点为，曲线上的切点为，由题意可得，求解即可. 【详解】设曲线上的切点为，曲线上的切点为， ，， 解得. 故选：A. 题型3利用导数解决函数的单调性问题 【例3】若函数，则函数的单调递减区间为（） A． B． C． D． 【分析】求函数的导数，利用导数小于零并结合定义域得出结果. 【解析】函数，定义域为， 由，令，解得， 则函数的单调递减区间为. 故选：C. 【变式1】已知函数是减函数，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【分析】求导得，根据题意可得对恒成立，求得的最小值即可. 【解析】由，可得， 因为函数是减函数，所以对恒成立， 即对恒成立，所以对恒成立， 所以，又，当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以的取值范围为. 故选：D. 【变式2】已知，则（） A． B． C． D． 【分析】先构造函数，再应用函数单调性得出，再根据，取对数判断得出，最后比较可得选项； 【解析】设，则，所以在上单调递增， 所以，即，所以； 因为，所以，即； 又，所以． 故选：C． 题型4利用导数解决函数的极值问题 【例4】设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数与函数极值点的关系判断可得出合适的选项. 【详解】因为函数在处取得极小值， 在左侧附近，，此时，， 在右侧附近，即存在，使得当，使得， 此时，，C选项合乎题意. 故选：C. 【变式1】已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，根据在区间上有极值，由在区间上有不等根求解. 【详解】解：因为， 所以， 因为函数在区间上有极值， 所以在区间上有变号根， 即在区间上有变号根， 令，则， 令，得或（舍去）， 当时，，递减； 当时，，递增； 所以当时，取得极小值，又，， 所以，则， 又当时，， 递增，无极值， 所以实数的取值范围是， 故选：B 【变式2】已知函数在处有极大值，则（） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】首先根据，求，再代入验证，即可求解. 【解析】， 由题意可知，，得或， 当时，，得或， 当，得或，，得， 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是， 所以是极小值，故， 时，，得或， 当，得或，，得， 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是， 所以是极大值，故. 故选：C. 【变式3】已知函数恰有两个极值点，则a的取值范围是（） A． B． C． D． 【分析】对函数求导后，令，则只需要有两个不同的零点，利用导数求得在上单调递减，在上单调递增，则，得，再结合零点存在性定理可判断出在和上各有一个零点，从而可求得结果. 【解析】的定义域是，，令， 所以，令，解得；令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 要使恰有两个极值点，则，解得， 此时， 所以在上有唯一的零点， 令，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以， 所以， 所以在上有唯一的零点， 综上，当时，在上有两个不同的零点，且零点两侧的函数异号， 所以a的取值范围是． 故选：D． 【变式4】已知函数，若在开区间内存在极大值点，则实数a的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，分离参数得，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可结合分类讨论以及极值的定义求解. 【详解】由题意可得， 令，则，记，则， 当时，此时在上单调递增， 当时，此时在上单调递减，故， 当，且， 若，则，此时存在， 当时，，此时，，故在上单调递减， 当，，此时，，故在上单调递增，此时只有极小值无极大值，不符合题意舍去， 当，则，存在，使， 故当，，此时，，故在上单调递减， 当，，此时，，故在上单调递增， 当，，此时，，故在上单调递减，此时是的极大值点，符合要求， 当，即时，此时，此时，，故单调递减，不符合题意，舍去， 综上可得， 故选：C. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 题型5利用导数解决函数的最值问题 【例5】函数在上的最大值和最小值分别是（） A． B． C． D． 【分析】求导，判断导数正负得函数在上的单调性求得结果. 【解析】，， 令，解得，即在上单调递增， 令，解得，所以在和上单调递减， 又，，，， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 故选：D. 【变式1】函数，已知在时取得极值，则上的最大值为（） A． B．1 C．9 D．4 【答案】C 【分析】利用，求得，代入利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，即可求解函数的最值. 【详解】因为函数， 所以， 因为在时取得极值， 所以，解得， 所以，， ， 令，则，解得或（舍）， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时取得最大值为. 故选：C. 【变式2】已知函数，若存在实数满足，则的最大值为（） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据可得，构造函数和，求导即可根据函数的单调性求解最值. 【详解】因为，所以，所以，所以， 设函数，则， 设，由于均为上的减函数，易知在区间内单调递减，且， 故当时，；当时，． 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 所以，故． 故选：C 【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 【变式3】已知直线分别与函数和的图象交于点A，B，则的最小值为. 【答案】 【分析】由题设条件可得出，构造函数，并利用导数求出函数的最小值即可. 【详解】当时，. 令，， 在上单调递减，在上单调递增， 则， 的最小值为. 故答案为：. 题型6利用导数比较大小 【例6】已知函数，设，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明函数为偶函数，利用导数判断函数的单调性，比较大小，可得大小关系. 【详解】函数的定义域为， ，故为偶函数， 当时，，令， 则，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增，，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立，所以在上单调递增， 因为函数为减函数，所以， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，所以，，故. 故选：A. 【变式1】设，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，用导数求函数的单调性，即可求得题目. 【详解】由， 设函数，则， 当时，单调递减， 因为，所以， 所以． 故选：A． 【变式2】设，，则的大小关系为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件构造函数，利用导数判断函数在区间单调递增，根据函数的单调性得不等式，可得． 【详解】设，（），则. 令得，所以函数在区间单调递增. 因为，所以， 即，即，所以． 故选：B 【变式3】则（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性，再比较大小即可. 【详解】设，，函数在上单调递增， 则，即，因此； 设，，函数在上单调递增， 则，即，因此； 设，， 函数在上单调递增，则，因此， 所以. 故选：D 题型7利用导数解不等式 【例7】已知函数，则满足的的取值范围是（） A． B． C． D． 【分析】求导分析函数单调性，利用函数单调性解不等式可得结果. 【解析】∵， ∴， ∴在上为增函数， 由得，，解得，故的取值范围是. 故选：B. 【变式1】已知定义在上的函数是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（） A． B． C． D． 【分析】构造函数，由导数确定单调性，将已知不等式转化为关于不等式，然后利用单调性即可求解． 【解析】设，则， 因为，，所以，可得在上单调递减， 不等式，即，即，所以， 因为在上单调递减，所以，解得：， 所以不等式的解集为：， 故选：D. 【变式2】已知定义在上的函数，若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【分析】根据的奇偶性以及单调性，即可将问题转化为，即可求解. 【解析】记，则， 故为的奇函数， 又， 因此为上的单调递增函数， 因为， 由可得，进而， 故，解得， 故选：D. 【变式3】定义在上的函数满足，且，则不等式解集为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数单调性可得，构造函数并利用可证明在上单调递减，可得，由单调性可解得. 【详解】不等式等价于，可得， 即可得； 令函数，可得， 又可得恒成立， 因此在上单调递减，又， 所以等价于，即； 解得， 所以不等式解集为. 故选：C 题型8导数中的函数零点（方程根）问题 【例8】已知函数有两个零点，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求得函数的单调性，分和两种情况讨论，要使函数有两个零点，则且，则答案可解. 【详解】定义域为， 当时，单调递增， 此时至多只有一个零点，不符合题意． 当时，当单调递增； 当单调递减． 当时，；当时，， 所以函数有两个零点的充要条件为， 即，所以． 故选：C. 【变式1】已知为函数的零点，则（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题意确定为方程的根，构造函数，由其单调性即可求解. 【详解】由得，即，即， 因为，所以，所以为方程的根， 令，则，所以在上单调递增， 又，所以， 即，即， 故选：B． 【变式2】已知函数有两个零点，且，则下列命题正确的是（） A． B． C． D． 【分析】根据零点可将问题转化为，构造，求导即可根据函数的单调性得函数的大致图象，即可根据图象求解A，根据极值点偏移，构造函数，结合函数的单调性即可求解B，根据可得，即可求解C，根据不等式的性质即可求解D. 【解析】由可得，令，其中， 则直线与函数的图象有两个交点，， 由可得，即函数的单调递增区间为， 由可得，即函数的单调递减区间为， 且当时，，当时，，， 如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，故A错误； 由图可知，， 因为，由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为，则必有， 所以，，则， 令，其中， 则，则函数在上单调递减， 所以，，即，即， 又，可得， 因为函数的单调递减区间为，则，即，故B错误； 由，两式相加整理可得， 所以，，可得，故C错误； 由图可知，则，又因为，所以，，故D正确. 故选：D. 【变式3】已知函数若函数有5个不同的零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【分析】求得，得到函数的单调性和极值，作出函数的图象，根据题意，转化为和共有5个不相等实数根，结合图象，即可求解. 【解析】当时，，此时， 则时，单调递减；时，单调递增， 所以，当是的极小值点，作出如图所示的函数的图象， 函数有5个不同的零点，则方程， 即有5个不相等实数根， 也即是和共有5个不相等实数根， 其中有唯一实数根， 只需有4个且均不为-2的不相等实数根，由图可知， 即实数的取值范围为. 故选：C. 题型9利用导数解决不等式恒（能）成立问题 【例9】已知函数，若对任意的恒成立，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【分析】依题意可得对任意的恒成立，即可得到对任意的恒成立，参变分离可得，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围. 【解析】因为对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则，所以在上单调递增， 又对任意的恒成立，， 所以对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 令，， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，则，即的取值范围为. 故选：D. 【变式1】已知，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 【分析】根据题意，转化为恒成立，令，利用导数求得为单调递增函数，得到恒成立，进而转化为恒成立，构造函数，利用导数求得单调性和最小值，即可求解. 【解析】因为，所以整理不等式， 可得，转化为恒成立， 令，则， 因为，所以在上单调递增，所以恒成立， 又因为，所以， 所以对任意的恒成立，即恒成立， 构造函数，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，当时，，所以，即． 故选：B． 【变式2】已知函数，若恒成立，则实数的最小值为（） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式求出，分离参数可求答案. 【详解】由，得，求导得， 因为，所以恒成立. 令， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，所以，即最小值为1. 故选：C. 【变式3】已知函数，若存在，使，则实数的取值范围是. 【答案】 【分析】问题等价于存在，使，令，求出在上的最小值即可. 【详解】函数，若存在，使， 即存在，使， 令，，则， 当，；当，， 则有在上单调递减，在上单调递增，， 存在，使，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【变式4】已知函数（其中且），若存在，使得，则实数a的取值范围是． 【答案】 【分析】按照且的限制条件进行分类讨论：，，，存在性问题转化为求函数极值最值问题即可. 【详解】由题知，， 若，则当时，，当且仅当时第一个等号成立，所以f（x）在上单调递增， 所以当时，，不满足题意； 若，则当时，，f（x）在上单调递减， 所以当时，，满足题意； 若，则当时，则， 令，则，所以g（x）在上单调递增， 当时，，所以存在唯一的，使得， 且时，f（x）单调递减，所以时，，满足题意． 故实数a的取值范围是． 故答案为：. 题型10利用导数解决双变量问题 【例10】已知为正实数，，则（） A． B． C． D． 【分析】利用构造一个函数，结合求导思想分析单调性，从而可得出选项. 【解析】由得：， 构造函数，则， 可知在上递增， 结合，得，即 由基本不等式可知：， 当且仅当时等号成立，所以. 故选：C. 【变式1】已知函数，若，则的最小值为. 【分析】令，则，求导，利用导数研究函数的最小值即可. 【解析】设，即，解得， 所以，令，则，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为，所以的最小值为. 故答案为：. $$