精品解析：2025届江苏省射阳中学高三模拟预测数学试题

2025届高三数学学科模拟测试2 时间：120分钟 分值：150分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数值域求出集合，函数定义域求出集合，由交集定义求得. 【详解】依题意，， ∵，∴， ∴， 所以  故选：C. 2. 已知复数的共轭复数为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算以及共轭复数的定义，再结合乘法运算即可求得结果. 【详解】， 所以， 所以 故选：C 3. 在公差不为的等差数列中，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】，，，显然， ， 当且仅当，即 ，时取等号. 故选：D． 4. 若非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用投影向量的公式，结合数量积运算即可. 【详解】在上投影向量， ，， 则， 由于，， 故选：B． 5. 在复平面内，复数（i为虚数单位）与点对应，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的几何意义得到方程组，然后相加，结合同角三角函数关系式和两角差的余弦公式计算即可. 【详解】， ，，， 故选：C． 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用多项式的运算及组合，得，即可求解. 【详解】由题知， 故选：D． 7. 已知椭圆，称点和直线是椭圆的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系当在椭圆外时，其极线 是椭圆从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）结合阅读材料回答下面的问题：已知是直线上的一个动点，过点向椭圆引两条切线，切点分别为，直线恒过定点 ，当时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据极点极线的定义，写出极点坐标和极线方程，再利用切点弦和弦中点斜率乘积为定值，得直线的方程. 【详解】设,则的直线方程为，， 整理得, 由解得，，定点 ，则 为中点， ，即 ． 故选：A. 8. 已知一几何体上半部分为圆台 ，下半部分为圆锥 ，其中圆锥 底面的半径为，高为．圆台 的两底面的半径分别为和，高为．该几何体内接于表面积为的球，则圆台 的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】组合体的存在外接球，作出图形，由图形去列出关系式，从而求出半径和高，然后求体积． 【详解】外接球半径，则． ， 设外接球球心，在即 在即 则， ， 故选：D． 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 已知，，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，据基本不等式可得；选项B，进而根据基本不等式可得；选项C，将代入，得，进而可得；选项D，利用基本不等式，进而根据指数的运算可得 【详解】，当且仅当时取等号，故A确； ， 当且仅当时取等号，故B错误； ， 当，时取等号，故C正确； ， 当且仅当时取等号，故D正确， 故选：ACD 10. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 若在区间上存在极大值点和极小值点，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，由已知求出即得解析式，再利用正弦函数的图象性质逐项判断. 【详解】， 由关于原点对称，得，， 而，则，， 对于A，的最小正周期，A正确； 对于BC，由，得，直线是的图象一条对称轴，B正确，C错误； 对于D，由，得，而在上有极大值点又有极小值点， 则，解得，D正确 故选：ABD 11. 投掷一枚质地均匀的硬币，规定抛出正面得2分，抛出反面得1分，记投掷若干次后，得n分的概率为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当 时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件的概率，逐项分析计算即可得解. 【详解】对于A，第一次投掷出现反面，则，A正确； 对于B，得2分的事件，可以是投掷2次都出现反面，也可以是投掷1次出现正面， ，B错误； 对于C，当 时，得n分的事件，可以在得分后投掷出现反面， 也可以是在得分后投掷出现正面，因此，C正确； 对于D，由选项C知，当时，，则， 因此数列是常数列，，即， 所以当时，，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，则这3项能构成等比数列的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，可知任取3项能构成等比数列共有12种取法，根据计数原理，前8项中任取三项，共有种取法，结合古典概型可得答案. 【详解】从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，共有种取法， 其中能构成等比数列的有，，，，，，，，，，，，共12种取法， 假设任取三项并能构成等比数列为事件A，所以． 故答案为：. 13. 已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据是偶函数得出的一个等式关系，再对其求导得到的一个等式关系，然后结合推出的周期，最后根据周期求出的值. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以，即. 两边求导，可得：，可得. 因为，所以的图象关于直线 对称，则. 用代替可得. 将代入中，可得 ①. 用代替可得 ②. 由②-①可得：. 所以是周期为的周期函数. 所以. 在中，令，可得. 又因为的图象关于直线 对称，所以. 在中，令，可得，解得， 所以，即. 故答案为：3. 14. 如图，将边长为1的正五边形的各边延长，得到一个正五角星.若点 在正五角星的内部（含边界），则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】按照PQ所处的位置分类，结合向量数量积的几何意义及图形特征可得 点分别在图中的处时取最小值，利用黄金分割即可求解. 【详解】要使最小，它们夹角必定为钝角或平角，若 在五角星内， 只要延长与边界相交于点，在保持夹角不变情形下，，则， 所以 必定在五角星边界上先考察点位置，根据对称性，分两种情形： 1．点在边上： ①先考虑极端情形：若点与右顶点 重合， 则在上投影向量的模最长且与反向的就是（即 与重合），所以此时最小， ②再考虑一般情形：利用微调法分析，当点在边上由 向 移动时，变小， 且在上投影向量的模也变小为，故变大，不合题意； 2．点在的边上： ①先考虑极端情形：若点与顶点重合，则此时，但注意到在上投影向量的模最长且反向的是， 且根据相交弦定理知：，所以此时 ②再考虑一般情形：利用微调法分析，当点在边上由向移动时，变小，而在上投影向量的模会变大， 过作 的垂线，垂足为，则四点共圆， 由相交弦定理知， 所以此时， 如图：在顶角为的等腰三角形，设， 取 ,则,所以，解得， 所以, 综上，当， 分别与顶点重合时，取最小值 由于黄金分割比，而，则， 同理，则， 所以 , 故答案为： 【点睛】关键点点睛：按照PQ所处的位置分类，结合向量数量积的几何意义及图形特征分类求解. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的三边 所对的角分别为． （1）求证：； （2）若，求 的取值范围． 【答案】（1）由正弦定理得 ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）可以采用正弦定理边角互化，再用余弦定理得到，最后结合和角公式和同角三角函数关系式计算即可； （2）由（1），直接将用 和表示，转变成关于的函数，借助函数单调性求范围即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ，令， 由于在上单调递增， 则原函数也是在上单调递增. ，即 的取值范围为． 16. 在四棱锥 中，底面 是等腰梯形， ，面底面． （1）证明：； （2）求平面 与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 平面底面 ， 平面平面， 平面平面 又因为平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质可得 平面再利用线面垂直的性质可得结论. （2）以 为原点，以 分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量以及平面 的一个法向量，利用空间向量夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面 是等腰梯形， ， ， ， ， 由 （1） 平面 以 为原点，以 分别为轴，建立如图所示的坐标系． ， 设平面的一个法向量， ， 令可得， 而平面 的一个法向量， 设平面 与平面的夹角为 ． 17. 若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线. （1）当 时，求函数与在公共点处的切线方程； （2）求的最小值： 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】(1)设切点，求斜率，建立方程组求解即可； (2) 设切点，求斜率，建立方程组，包含三个未知数，消参，得到关于的关系式，再转化为函数关系式，通过研究函数单调性进而求值域即可. 【小问1详解】 当 时， ， 设为与的一个公共点， 因， 则得， 故切点为且 ， 所以与在公共点处的切线方程为 【小问2详解】 设为与的一个公共点， 因， 则 由②得，即，将其代入①中得，， 即， 令，则， 则当时，在区间单调递增； 当时，在单调递减， 故，又因，故，当且仅当时取“”， 故的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题的主要考点为求曲线的切线方程，在本题中需要注意两点，其一，切勿忽视函数的定义域，导致的范围扩大；其二，多变量问题的处理可通过消参来降元，与此同时，务必重视函数与方程的关系. 18. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线，离心率为，点P是上任意一点．抛物线， （1）求的方程； （2）过点P作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形PAOB的面积为定值； （3）是的两条切线，是切点，求面积的最小值． 【答案】（1） （2） 证明：设，不妨设OA为渐近线，OB为渐近线， 直线AP的方程为， 联立方程，解得，所以 同理可得， 所以 由于直线OA的斜率，因此， 所以， 所以平行四边形PAOB的面积为， 因为点P在双曲线C上，所以 ，即， 所以平行四边形PAOB的面积为 （3） 【解析】 【分析】（1）由离心率即可求解； （2），求得坐标，进而得到再结合面积公式求解即可； （3）设，，，通过导数求得切线方程，结合韦达定理求得弦长，点到线的距离公式求得高，代入面积公式，进而可求解； 【小问1详解】 解：设双曲线的焦半距为c，则， 又因为离心率为，所以， 代入得，解得， 所以双曲线的方程为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，，， 因为函数的导数为，所以直线PC的方程为， 由于在直线PC上，则，， 同理， 所以，均满足方程， 所以直线CD的方程为， 联立方程，得， 所以，， 则， 又因为P到直线CD的距离， 所以面积， 又因为， 所以，当P为时T取最小值， 所以面积最小值为 【点睛】方法点睛：定值问题常见方法： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 19. 在”五四”来临之际，某学校团委组织以“春风吹，青春启航”为主题的知识竞赛，比赛分初赛和决赛两个阶段，甲、乙两人进入决赛争夺冠军，决赛规则如下：每轮答题获得分，其概率为，获得 分，其概率为.最多进行轮答题，某同学累计得分为分时，比赛结束，该同学获得冠军，另一同学获得亚军. （1）当进行完轮答题后，甲同学总分为 ，求 的分布列及 ； （2）若累计得分为的概率为，（初始得分为分， ） ①求的表达式(). ②求获得亚军的概率. 【答案】（1） 的分布列为： 3 4 5 6 （2）① ； ②获得亚军的概率为 【解析】 【分析】（1）利用二项分布，来求概率即可； （2）①利用递推思想，也就是要分析累计得分，可能是上一次累计得 分，再得2分，也可能是上一次累计得分，再得1分，然后计算相应的概率即可得到递推关系； ②有了递推关系和首项，就可以用数列中的累加思想求通项，然后求出的值即可表示得冠军的概率，而两人争夺冠亚军是对立事件，所以利用对立事件概率求法即可解决问题. 【小问1详解】 设进行完轮答题时，得分的次数为， . ， ， 随机变量 表示甲同学的总分，其可能取值为，， ，， ， ， ， 所以 的分布列为： 3 4 5 6 【小问2详解】 ①当 时，即累计得分为分，是第一轮抢答得分，，则， 累计得分为分的情况分两种： （i） ，即累计得分为 分，又一轮抢答得 分，其概率为. （ii） ，即累计得分为分，又一轮抢答得分，其概率为. 则，所以. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以. ②由①得，，，， 各式累加得：. 而 ，所以. 所以获得冠军的概率：. 所以获得亚军的概率为：. 【点睛】关键点点睛：关键就是找到相邻两个累计总分之间的关系，然后利用相互独立事件和互斥事件来求它们的相等关系，即，有了这个递推关系，就可以用构造等比数列的思想和累加法思想，来求出通项. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三数学学科模拟测试2 时间：120分钟 分值：150分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数的共轭复数为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 在公差不为的等差数列中，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 若非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 在复平面内，复数（i为虚数单位）与点对应，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆，称点和直线是椭圆 的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系当 在椭圆外时，其极线 是椭圆从点 所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）结合阅读材料回答下面的问题：已知 是直线上的一个动点，过点 向椭圆引两条切线，切点分别为，直线 恒过定点，当时，直线 的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知一几何体上半部分为圆台 ，下半部分为圆锥 ，其中圆锥 底面的半径为，高为．圆台 的两底面的半径分别为和，高为．该几何体内接于表面积为的球，则圆台 的体积为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 已知，，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 若在区间上存在极大值点和极小值点，则实数的取值范围为 11. 投掷一枚质地均匀的硬币，规定抛出正面得2分，抛出反面得1分，记投掷若干次后，得n分的概率为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当 时， D. 当时， 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从公比不为1的正项等比数列的前8项中任取三项，则这3项能构成等比数列的概率为______． 13. 已知是定义域为的偶函数，的导函数满足，则______． 14. 如图，将边长为1的正五边形的各边延长，得到一个正五角星.若点 在正五角星的内部（含边界），则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的三边 所对的角分别为． （1）求证：； （2）若，求 的取值范围． 16. 在四棱锥 中，底面是等腰梯形， ，面底面． （1）证明：； （2）求平面 与平面夹角的余弦值． 17. 若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线. （1）当 时，求函数与在公共点处的切线方程； （2）求的最小值： 18. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线，离心率为，点P是上任意一点．抛物线， （1）求的方程； （2）过点P作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形PAOB的面积为定值； （3）是的两条切线，是切点，求面积的最小值． 19. 在”五四”来临之际，某学校团委组织以“春风吹，青春启航”为主题的知识竞赛，比赛分初赛和决赛两个阶段，甲、乙两人进入决赛争夺冠军，决赛规则如下：每轮答题获得分，其概率为，获得分，其概率为.最多进行轮答题，某同学累计得分为分时，比赛结束，该同学获得冠军，另一同学获得亚军. （1）当进行完轮答题后，甲同学总分为 ，求 的分布列及 ； （2）若累计得分为的概率为，（初始得分为分， ） ①求的表达式(). ②求获得亚军的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $