专题02 离散型随机变量及其分布列知识归纳与题型突破（15类题型清单）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（湘教版2019选择性必修第二册）

专题02 离散型随机变量及其分布列知识归纳与题型突破 知识点1 离散型随机变量及其分布列 1.离散型随机变量： （1）随机变量：如果随机试验每一个结果e，都唯一地对应着一个实数X(e)，我们称这个随着试验结果不同而变化的变量称为随机变量；通常用X,Y,……等表示 （2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有取值都可以逐个列举出来则称X为离散型随机变量． 2.离散型随机变量的分布列： （1）定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． （2）表示方法：离散型随机变量可以用表格法、解析法、图象法表示． X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列． （3）性质：(1)pi≥0(i＝1,2，…，n)； (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 知识点2 两点分布 或表示为： X 0 1 P 1－p p 知识点3 二项分布 1.贝努利试验： 2.二项分布： X的分布列 X 0 1 … k … n P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0 知识点4 超几何分布 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，称分布列 X 0 1 … m P … 为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布． 知识点5 离散型随机变量的数学期望 1.一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn ①数学期望E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn． ②数学期望的含义：反映了离散型随机变量取值的平均水平． 2.两点分布的均值：若X~服从两点分布，则E(X)＝p， 3.二项分布的均值：若X～B(n，p)，则E(X)＝np). 4.服从超几何分布的均值： 若X～H(N，M，n)时，． 5.性质：若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量 ①Y也是随机变量； ②E(aX＋b)＝aE(X)＋b． 知识点6 离散型随机变量的方差 1.X的方差、标准差 2.两点分布的方差：D(X)＝p(1-p)． 3.二项分布的方差：若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p). 4.超几何分布的方差：若X～H(N，M，n)时，则D(X)＝(1－)． 5.方差的性质：D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)． 6．均值与方差的四个常用拓广性质 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数． (2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)． (3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2. (4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)． 题型一 写出简单离散型随机变量的分布列 【例1】（24-25高三·上海·课堂例题）某人有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，一次他醉酒后拿钥匙去开门.由于看不清是哪把钥匙，他只好逐一去试.若不能开门，则把钥匙扔到一边，记打开门时试开门的次数为，试求的分布，并求他至多试开3次的概率. 【变式1-1】（24-25高二下·全国·课前预习）某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人.现从中抽取1人，其血型为随机变量，求的分布列. 【变式1-2】（24-25高二下·全国·课前预习）某商场为满足市场需求要将单价分别为18元，24元，36元的3种糖果按的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记为这颗糖果的单价（元），你能写出的分布列吗？ 【变式1-3】（24-25高二下·全国·课后作业）为落实素质教育，促进学生全面发展，某校着重组织社团文化建设，对“心理协会”与“摄影协会”两个社团增设选修课学分，增设学分分别为0.5分和1分，现有一新生进入这两个社团的概率分别为0.7和0.6，求该新生获得社团选修课学分分数的分布列． 题型二 由随机变量的分布列求概率 【例2】（24-25高二下·全国·课前预习）设随机变量的分布列为，求： (1)； (2) 【变式2-1】（2025高三·全国·专题练习）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.1 0.3 若随机变量，则等于（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【变式2-2】（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）下表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 P A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二下·全国·课后作业）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ） A． B． C． D． 题型三 分布列性质的应用 【例3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知某个离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.3 0.1 则的最小值为 . 【变式3-1】（18-19高二下·重庆·期末）下表是离散型随机变量的概率分布，则常数a的值是（   ） 3 4 5 6 A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二下·陕西西安·期末）设随机变量的分布列为，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【变式3-3】（23-24高二下·安徽蚌埠·期中）若随机变量的分布列如表，则的最小值为（    ） 0 1 3 A． B． C． D． 题型四 两点分布及其应用 【例4】（22-23高二下·江苏·课后作业）已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的概率分布． 【变式4-1】（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4 【变式4-2】（23-24高二下·新疆·期中）已知X服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二下·全国·课堂例题）袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记，求的分布列． 题型五 随机变量的分布列与独立事件的概率 【例5】（24-25高二上·上海松江·阶段练习）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16. 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，求所有X的可能值及其发生的概率. (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 【变式5-1】（2025高三·全国·专题练习）某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草莓保鲜度为两天，若两天之内未售出，以每盒10元的价格全部处理完．店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40天草莓的日销售量（单位：十盒），获得如下数据： 日销售量/十盒 7 8 9 10 天数 8 12 16 4 假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．记每两天中销售草莓的总盒数为X（单位：十盒），求X的分布列． 【变式5-2】（23-24高二下·重庆·期中）第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中男子100米比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，其中． (1)甲、乙、丙三人中，哪个人进入决赛的可能性更大？ (2)在的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为，求的分布列． 【变式5-3】（2023高三上·全国·专题练习）某食堂为了了解同学们在高峰期打饭的时间，故安排一名食堂阿姨随机收集了在食堂某窗口打饭的100位同学的相关数据(假设同学们打饭所用时间均为下表列出时间之一)，如下表所示. 学生数(人) x 25 y 10 打饭时间(秒/人) 10 15 20 25 已知这100位同学的打饭时间从小排到大的第65百分位数为17.5秒． (1)确定x，y的值； (2)若各学生的结算相互独立，记X为该窗口开始打饭至20秒末已经打饭结束的学生人数，求X的分布列．(注：将频率视为概率) 题型六 随机变量的分布列与条件概率 【例6】（24-25高二上·河南·阶段练习）一个袋中装有2个红球和4个白球，这些球除了颜色以外完全相同.每次从袋中随机取出一个球，取出的球不放回. (1)求第二次取出的是红球的概率； (2)若第三次取球时发现取出的是红球，求此时袋中没有红球的概率； (3)设2个红球都被取出时，已经取出的白球个数为，求的分布列. 【变式6-1】（23-24高二下·河北承德·期中）某公司餐厅有米饭和面两类主食，员工小张每天中午选择其中一种就餐，已知小张第一天中午选面食的概率是，若小张第一天中午选择面食，则第二天中午选择米饭的概率为，若小张第一天中午选择米饭，则第二天中午选择面食的概率为． (1)求小张第二天中午吃米饭的概率； (2)记小张前两天中午吃面食的次数为X，求X的分布列． 【变式6-2】（24-25高二上·四川眉山·期中）现有甲，乙两个箱子，两个箱子中装有除颜色外其他都相同的小球若干．其中甲箱中有个红球，个黑球，个绿球；乙箱中有个红球，个黑球，个绿球． (1)若从甲箱中任取出两个球，求这两个球颜色不同的概率． (2)若从乙箱中任取个球，记取出的黑球的个数为随机变量，求的分布列与数学期望． (3)若先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个球，求从乙箱取出的球是绿球的概率． 【变式6-3】（23-24高二上·河南·期末）学校羽毛球社团中的甲､乙､丙三名社员进行羽毛球比赛，约定如下：先从甲､乙､丙三人中随机选择两人打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，率先获胜两局者为优胜者，比赛结束，且每局比赛均无平局.已知甲贏乙的概率为0.3，乙贏丙的概率为0.5，丙赢甲的概率为0.7. (1)若甲､乙二人率先开局比赛，求比赛局数的概率分布列； (2)求甲成为优胜者的概率. 题型七 利用二项分布求分布列 【例7】（24-25高二下·全国·课堂例题）已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有甲、乙、丙、丁4个患有该病的患者服用了这种药物，观察其中有多少患者会被这种药物治愈. (1)这能否看成独立重复试验？ (2)求甲、乙、丙都被治愈而丁没有被治愈的概率； (3)求恰有3个患者被治愈的概率； (4)设有X人被治愈，求X的分布列. 【变式7-1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）个零件中有个次品，从中每次抽检个，检验后放回，连续抽检次，则抽检的个零件中恰有个是次品的概率为 ； 【变式7-2】（22-23高二·全国·课堂例题）为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备），已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都为，它们之间相互不影响，设能正常工作的设备数为X． (1)写出X的分布列； (2)求出计算机网络不会断掉的概率． 【变式7-3】（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的，已知小明每次投篮投中的概率都是. (1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率； (2)求小明在4次投篮后的总得分的分布列（用列表法表示）. 题型八 服从二项分布的随机变量概率最值问题 【例8】（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）为了让人民群众度过一个平安健康快乐祥和的新春佳节，甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销，直播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系． (1)若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能他从甲、乙两家中选一家直播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.7；如果第一天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.8，求小李第二天去乙直播间购物的概率； (2)元旦期间，甲公司购物平台直播间进行“秒杀”活动，假设直播间每人下单成功的概率均为，每人下单成功与否互不影响，若从直播间中随机抽取五人，记五人中恰有2人下单成功的概率为，求的最大值点． 【变式8-1】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对道试题的概率为，则当 时，取得最大值. 【变式8-2】（24-25高二下·全国·课后作业）罚球是篮球运动员在篮球比赛时得分的方式之一．已知某篮球运动员经过长期的训练和比赛，将罚球命中率稳定在70%，若该运动员在某场比赛中获得了5次罚球的机会，且每罚中一球可得到1分，则该名运动员通过罚球最有可能得 分． 【变式8-3】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）现有甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为p，乙胜的概率为q，且，有以下两种比赛规则供使用：①三局两胜即有一方先胜2局即获胜，比赛结束；②五局三胜即有一方先胜3局即获胜，比赛结束 (1)如果采用“三局两胜”，当时，求乙获胜的概率； (2)试判断在哪种比赛规则下，甲胜的概率较大？并说明理由． 题型九 超几何分布问题 【例9】（24-25高二下·全国·课后作业）在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值的分布列，并求出的值. 【变式9-1】（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）10名同学中有名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式9-2】（24-25高二下·全国·课后作业）一口袋中有大小质地完全相同的黑球、白球共7个（白球不少于2个且不多于5个），从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为 ． 【变式9-3】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）某高中高二年级1班和2班的学生组队参加数学竞赛，1班推荐了2名男生1名女生，2班推荐了3名男生2名女生.由于他们的水平相当，最终从中随机抽取4名学生组成代表队. (1)求1班至少有1名学生入选代表队的概率； (2)设表示代表队中男生的人数，求的分布列. 题型十 两点分布的期望、方差 【例10】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知随机变量服从两点分布，其中，若，则 . 【变式10-1】（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（    ） A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3 【变式10-2】（23-24高二下·河南·期中）若甲同学在某次期中考试中数学成绩班级第一的概率为，记该同学在本次期中考试中数学成绩班级第一发生的次数为离散型随机变量，则 . 【变式10-3】（2024·河北·模拟预测）若随机变量X，Y分别服从成功概率为的两点分布，则的取值范围是 ． 题型十一 二项分布的期望、方差 【例11】（24-25高二下·全国·课后作业）某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖． (1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率； (2)求该节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和的分布列及数学期望． 【变式11-1】（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量，若，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25高二下·全国·课后作业）某厂一批产品的合格率是． (1)求从中抽取1件产品为正品的数量的方差； (2)若从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差． 【变式11-3】（24-25高三下·江苏·开学考试）已知数轴上有一质点，从原点开始每隔1秒向左或向右移动一个单位长度.设它向左移动的概率为，向右移动的概率为 (1)已知质点2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后该质点在处的概率; (2)记质点3秒后所在位置对应的实数为X，求X的分布列与数学期望. 题型十二 超几何分布的期望、方差 【例12】（24-25高二上·江西·期末）为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出4个球，将其中的白球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中.当参与者完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为3n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏.若第3轮后仍未过关，则游戏也结束，参与者不能获得纪念品，每位参与者只能参加一次游戏. (1)求随机变量X的分布列； (2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率. 【变式12-1】（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（多选）（24-25高二上·辽宁·期末）从6名女生和8名男生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用表示所选5人中女生的人数，用表示所选5人中男生的人数，则下列结论正确的是（    ） 备注：一般地，若一个随机变量的分布列为，其中，则称. A． B． C． D． 【变式12-3】（24-25高二上·江西南昌·期末）袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球. (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 题型十三 根据变量的期望、方差求参数 【例13】（22-23高二下·湖南长沙·期末）已知甲、乙两支队伍中各有20人，甲队中有个男生与个女生，乙队伍中有个男生与个女生，若从甲、乙两队中各取1个人，表示所取的2个人中男生的个数，则当方差取到最大值时，的值为 ． 【变式13-1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B．1 C． D． 【变式13-2】（24-25高二下·全国·课后作业）随机变量的分布列如表所示，则的最大值是（    ） 0 A． B． C． D． 【变式13-3】（24-25高二下·辽宁·开学考试）已知，，且，则下列选项中不正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十四 二项分布、超几何分布的综合应用 【例14】（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性. (1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望； (2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑，从N名员工(男女比例不变)中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作，在二项分布中，即男性员工的人数男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布(参考数据:) 【变式14-1】（24-25高三上·广东茂名·阶段练习）已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个黄球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球． (1)求有放回抽样时，取到黄球的次数X的期望与方差； (2)求不放回抽样时，取到黄球的个数Y的分布列． 【变式14-2】（2025高三·全国·专题练习）写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？ (1)表示次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数. (2)有一批产品共有件，其中次品有件（，采用有放回抽取方法抽取次，抽出的次品件数为. (3)有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法抽件，出现次品的件数为. 【变式14-3】（22-23高二下·广东湛江·期中）袋中有8个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，求； (1)有放回抽样时，取到黑球的次数X的分布列； (2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列． 题型十五 概率分布的实际应用 【例15】（24-25高二上·吉林·阶段练习）2023年10月31日，东北师大附中以“邂逅数学之美，闪耀科技之光”为主题的第17届科技节在自由、青华两校区开幕.在科技节中数学教研室组织开展了“送书券”活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球4个，白球2个 （红球编号为“1，2，3，4”，白球编号为“5，6”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个红球获胜 编号之和不超过获胜 (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)甲同学先玩了游戏一，当为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大． 【变式15-1】（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知正四面体的四个面分别标注有字母，随机抛掷该四面体，各面接触桌面的概率均相等． (1)若每次抛掷时标注有的面接触桌面为抛掷成功，将试验进行到恰好出现3次成功时结束试验，求结束试验时所抛掷的次数为4次的概率； (2)若每次抛掷标注有或的面接触桌面为抛掷成功，且试验进行到恰好出现2次成功时结束试验，用表示抛掷次数． ①求； ②要使得在次内（含次）结束试验的概率不小于，求的最小值． 【变式15-2】（24-25高二上·吉林延边·阶段练习）某校开展了“学党史”知识竞赛活动，竞赛试题由若干选择题和填空题两种题型构成，每位选手共需要回答三个问题.对于每一个问题，若回答错误得0分；若回答正确，填空题得30分，选择题得20分.现设置了两种活动方案供选手选择.方案一：只回答填空题；方案二：先回答填空题，后续选题按如下规则：若上一题回答正确，则下一次选择填空题；若上题回答错误，则下一次选择选择题.已知甲、乙两位同学能正确回答填空题的概率均为，能正确回答选择题的概率均为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)若甲同学采用方案一答题，求甲得分不低于60分的概率； (2)分别列出乙同学选择两种方案得分的分布列，并说明乙同学应该选择何种方案参加比赛更加有利. 【变式15-3】（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）某中学2022年10月举行了2022“翱翔杯”秋季运动会，其中有“夹球跑”和“定点投篮”两个项目，某班代表队共派出1男（甲同学）2女（乙同学和丙同学）三人参加这两个项目，其中男生单独完成“夹球跑”的概率为0.6，女生单独完成“夹球跑”的概率为（）．假设每个同学能否完成“夹球跑”互不影响，记这三名同学能完成“夹球跑”的人数为． (1)证明：在的概率分布中，最大． (2)对于“定点投篮”项目，比赛规则如下：该代表队先指派一人上场投篮，如果投中，则比赛终止，如果没有投中，则重新指派下一名同学继续投篮，如果三名同学均未投中，比赛也终止．该班代表队的领队了解后发现，甲、乙、丙三名同学投篮命中的概率依次为（，2，3），每位同学能否命中相互独立．请帮领队分析如何安排三名同学的出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小？并给出证明． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 离散型随机变量及其分布列知识归纳与题型突破 知识点1 离散型随机变量及其分布列 1.离散型随机变量： （1）随机变量：如果随机试验每一个结果e，都唯一地对应着一个实数X(e)，我们称这个随着试验结果不同而变化的变量称为随机变量；通常用X,Y,……等表示 （2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有取值都可以逐个列举出来则称X为离散型随机变量． 2.离散型随机变量的分布列： （1）定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． （2）表示方法：离散型随机变量可以用表格法、解析法、图象法表示． X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列． （3）性质：(1)pi≥0(i＝1,2，…，n)； (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 知识点2 两点分布 或表示为： X 0 1 P 1－p p 知识点3 二项分布 1.贝努利试验： 2.二项分布： X的分布列 X 0 1 … k … n P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0 知识点4 超几何分布 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，称分布列 X 0 1 … m P … 为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布． 知识点5 离散型随机变量的数学期望 1.一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn ①数学期望E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn． ②数学期望的含义：反映了离散型随机变量取值的平均水平． 2.两点分布的均值：若X~服从两点分布，则E(X)＝p， 3.二项分布的均值：若X～B(n，p)，则E(X)＝np). 4.服从超几何分布的均值： 若X～H(N，M，n)时，． 5.性质：若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量 ①Y也是随机变量； ②E(aX＋b)＝aE(X)＋b． 知识点6 离散型随机变量的方差 1.X的方差、标准差 2.两点分布的方差：D(X)＝p(1-p)． 3.二项分布的方差：若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p). 4.超几何分布的方差：若X～H(N，M，n)时，则D(X)＝(1－)． 5.方差的性质：D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)． 6．均值与方差的四个常用拓广性质 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数． (2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)． (3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2. (4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)． 题型一 写出简单离散型随机变量的分布列 【例1】（24-25高三·上海·课堂例题）某人有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，一次他醉酒后拿钥匙去开门.由于看不清是哪把钥匙，他只好逐一去试.若不能开门，则把钥匙扔到一边，记打开门时试开门的次数为，试求的分布，并求他至多试开3次的概率. 【答案】分布列见解析， 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列 【分析】根据题意，的可能取值为1,2,3,4,5，根据古典概型的概率计算公式即可求出概率分布列，进而可以求至多试开三次的概率. 【详解】的可能取值为1、2、3、4、5. ，，，，. 因此的分布为： 1 2 3 4 5 所以. 【变式1-1】（24-25高二下·全国·课前预习）某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人.现从中抽取1人，其血型为随机变量，求的分布列. 【答案】分布列见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列 【分析】根据古典概型的概率公式求解概率，即可列出分布列. 【详解】解  将四种血型分别编号为1，2，3，4，则的可能取值为1，2，3，4． ， ， ， . 故的分布列为 1 2 3 4 【变式1-2】（24-25高二下·全国·课前预习）某商场为满足市场需求要将单价分别为18元，24元，36元的3种糖果按的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记为这颗糖果的单价（元），你能写出的分布列吗？ 【答案】元，分布列见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】本质上是求3种糖果单价的加权平均值，只需将三种糖果的单价加权平均即可，根据求出比例即可． 【详解】（元）． 的分布列为 18 24 36 【变式1-3】（24-25高二下·全国·课后作业）为落实素质教育，促进学生全面发展，某校着重组织社团文化建设，对“心理协会”与“摄影协会”两个社团增设选修课学分，增设学分分别为0.5分和1分，现有一新生进入这两个社团的概率分别为0.7和0.6，求该新生获得社团选修课学分分数的分布列． 【答案】答案见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列 【分析】根据题意，由条件可得新生获得社团选修课学分分数的可能取值为，然后分别计算其对应概率，代入计算，即可得到结果. 【详解】设“该新生获得社团选修课学分分数”为，则的可能取值为． 所以； ； ；． 所以的分布列为： 0 0.5 1 1.5 0.12 0.28 0.18 0.42 题型二 由随机变量的分布列求概率 【例2】（24-25高二下·全国·课前预习）设随机变量的分布列为，求： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率 【分析】（1）根据分布列的性质可得，即可求解. （2）根据即可求解. 【详解】（1）由题意知， ，解得， . （2） . 【变式2-1】（2025高三·全国·专题练习）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.4 0.1 0.3 若随机变量，则等于（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【知识点】由随机变量的分布列求概率 【分析】根据求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：A. 【变式2-2】（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）下表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 P A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率 【分析】根据分布列的性质可得，利用对立事件概率性质运算求解. 【详解】由题意可得：，解得， 所以． 故选：B. 【变式2-3】（24-25高二下·全国·课后作业）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率 【分析】由离散型随机变量的分布列的性质列方程计算即可. 【详解】由离散型随机变量的性质可得， 即，解得或， 时，不合题意，. . 故选：A. 题型三 分布列性质的应用 【例3】（24-25高二下·全国·课后作业）已知某个离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.3 0.1 则的最小值为 . 【答案】15 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据题意，由分布列的性质可得，再由基本不等式代入计算，即可求解. 【详解】由分布列性质可知，，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为15. 故答案为： 【变式3-1】（18-19高二下·重庆·期末）下表是离散型随机变量的概率分布，则常数a的值是（   ） 3 4 5 6 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据分布列的性质可求的值. 【详解】由，解得， 故选：C. 【变式3-2】（23-24高二下·陕西西安·期末）设随机变量的分布列为，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据概率和为1列式求解即可. 【详解】根据题意，随机变量的分布列为，， 则有，解可得. 故选：A. 【变式3-3】（23-24高二下·安徽蚌埠·期中）若随机变量的分布列如表，则的最小值为（    ） 0 1 3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分布列求出，再由基本不等式求出最小值即可. 【详解】由随机变量的分布列知：     ， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 题型四 两点分布及其应用 【例4】（22-23高二下·江苏·课后作业）已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的概率分布． 【答案】答案见解析 【分析】由题意可得服从两点分布，利用古典概型概率公式，结合组合数公式，即可求解. 【详解】由题意知，X服从两点分布， ，所以， 所以随机变量X的概率分布为 X 0 1 P 【变式4-1】（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4 【答案】D 【分析】利用两点分布概率公式计算可得结果. 【详解】因为随机变量服从两点分布，则. 故选：D. 【变式4-2】（23-24高二下·新疆·期中）已知X服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两点分布 【分析】根据两点分布的特征计算即可. 【详解】由题意得，则． 故选：. 【变式4-3】（24-25高二下·全国·课堂例题）袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记，求的分布列． 【答案】答案见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列 【分析】由题意可知服从两点分布，求出对应概率，即可求出的分布列． 【详解】由题设可知服从两点分布， ， ， 所以的分布列为： 0 1 题型五 随机变量的分布列与独立事件的概率 【例5】（24-25高二上·上海松江·阶段练习）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16. 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，求所有X的可能值及其发生的概率. (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)丙 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式 【分析】（1）确定出甲优秀的成绩个数及成绩总的个数，由概率公式计算； （2）再求出乙、丙成绩优秀的概率，三个人优秀的人数可能为0，1，2，3，即为的可能值，然后由独立事件概率公式和对立事件事件公式计算出各概率； （3）根据已知成绩，确定三人比赛的总的情况数，再确定三人分别得冠军的情况数，比较可知． 【详解】（1）由题意甲共有10个成绩，其中优秀的有4个，优秀的概率是； （2）设甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖分别为事件， 由题意乙优秀的概率是，丙优秀的概率是， 的可能值是， ， ， ， ； （3）丙．理由如下： 由题意可知，甲、乙、丙三人参赛结果有种， 其中丙获得冠军的情况有种， 乙获得冠军的情况有种， 甲获得情况有种， 所以丙获得冠军的概率估计值最大． 【变式5-1】（2025高三·全国·专题练习）某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草莓保鲜度为两天，若两天之内未售出，以每盒10元的价格全部处理完．店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40天草莓的日销售量（单位：十盒），获得如下数据： 日销售量/十盒 7 8 9 10 天数 8 12 16 4 假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．记每两天中销售草莓的总盒数为X（单位：十盒），求X的分布列． 【答案】分布列见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式 【分析】先根据题意得X的所有可能取值，再应用独立事件的乘法公式计算对应概率，最后写出分布列即可. 【详解】日销售量为7盒、8盒、9盒、10盒的概率依次为，，，， 根据题意可得X的所有可能取值为14，15，16，17，18，19，20， 则， ，， ，， ，， 所以X的分布列为 X 14 15 16 17 18 19 20 P 【变式5-2】（23-24高二下·重庆·期中）第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中男子100米比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，其中． (1)甲、乙、丙三人中，哪个人进入决赛的可能性更大？ (2)在的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为，求的分布列． 【答案】(1)乙 (2)分布列见解析 【分析】（1）根据概率乘法公式分别求出甲，乙，丙进入决赛的概率，比较大小确定结论， （2）先确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【详解】（1）甲进入决赛的概率为，乙进入决赛的概率为， 丙进入决赛的概率为， 因为，所以， 所以乙进入决赛的概率最大， 所以乙进入决赛的可能性最大． （2）当时，丙进入决赛的概率为， 所以甲、乙、丙三人进入决赛的概率分别为， 根据题意，得到随机变量的可能取值为0，1，2，3， 可得； ，， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 【变式5-3】（2023高三上·全国·专题练习）某食堂为了了解同学们在高峰期打饭的时间，故安排一名食堂阿姨随机收集了在食堂某窗口打饭的100位同学的相关数据(假设同学们打饭所用时间均为下表列出时间之一)，如下表所示. 学生数(人) x 25 y 10 打饭时间(秒/人) 10 15 20 25 已知这100位同学的打饭时间从小排到大的第65百分位数为17.5秒． (1)确定x，y的值； (2)若各学生的结算相互独立，记X为该窗口开始打饭至20秒末已经打饭结束的学生人数，求X的分布列．(注：将频率视为概率) 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）根据百分位数的概念结合条件可得，从而即可得解. （2）由题可知X的可能取值为0，1，2，然后根据独立事件及互斥事件概率公式求概率，进而可得分布列. 【详解】（1）因为第65百分位数为17.5＝，所以， 所以. （2）由已知得打饭时间为10秒的概率为，打饭时间为15秒的概率为， 打饭时间为20秒的概率为，打饭时间为25秒的概率为， 由题可知X的可能取值为0，1，2， ∴，，， ∴分布列如下： X 0 1 2 P 0.1 0.74 0.16 题型六 随机变量的分布列与条件概率 【例6】（24-25高二上·河南·阶段练习）一个袋中装有2个红球和4个白球，这些球除了颜色以外完全相同.每次从袋中随机取出一个球，取出的球不放回. (1)求第二次取出的是红球的概率； (2)若第三次取球时发现取出的是红球，求此时袋中没有红球的概率； (3)设2个红球都被取出时，已经取出的白球个数为，求的分布列. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据古典概型及互斥事件的概率和公式求解； （2）由题意化为两个互斥事件的和，利用概率公式得解； （3）由题意得出的可能取值，分别求出对应的概率，列出分布列得解. 【详解】（1）第二次取出的是红球是两个互斥事件的和事件， 分别为第一次取出红球，第二次取出红球；第一次取出白球，第二次取出红球； 所以概率. （2）记第三次取球时发现取出的是红球为事件A，第三次取球后袋中无红球为事件B, 则, ， 所以. （3）由题意，的可能取值为， 则， ， ， ， , 所以分布列为： 0 1 2 3 4 【变式6-1】（23-24高二下·河北承德·期中）某公司餐厅有米饭和面两类主食，员工小张每天中午选择其中一种就餐，已知小张第一天中午选面食的概率是，若小张第一天中午选择面食，则第二天中午选择米饭的概率为，若小张第一天中午选择米饭，则第二天中午选择面食的概率为． (1)求小张第二天中午吃米饭的概率； (2)记小张前两天中午吃面食的次数为X，求X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、利用全概率公式求概率 【分析】（1）利用全概率公式即可得到答案； （2）首先分析出X的可能取值有0，1，2，再按步骤写出分布列即可. 【详解】（1）记“小张第i天中午吃面食”，，“小张第j天中午吃米饭”，， 由题意可知与对立，与对立， 由全概率公式，得， 即小张第二天中午吃米饭的概率为． （2）由题意可知，X的可能取值有0，1，2． 则，，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 【变式6-2】（24-25高二上·四川眉山·期中）现有甲，乙两个箱子，两个箱子中装有除颜色外其他都相同的小球若干．其中甲箱中有个红球，个黑球，个绿球；乙箱中有个红球，个黑球，个绿球． (1)若从甲箱中任取出两个球，求这两个球颜色不同的概率． (2)若从乙箱中任取个球，记取出的黑球的个数为随机变量，求的分布列与数学期望． (3)若先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个球，求从乙箱取出的球是绿球的概率． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【知识点】实际问题中的组合计数问题、求离散型随机变量的均值、超几何分布的分布列、利用全概率公式求概率 【分析】（1）利用组合计数原理、古典概型的概率公式以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知，随机变量的可能取值有、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）用事件、、分别表示从甲箱中取出红球、黑球、绿球，表示从乙箱子中取出绿球，利用全概率公式可求得的值. 【详解】（1）由题意可知，从甲箱中任取出两个球， 这两个球的颜色不同的概率为. （2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，. （3）用事件、、分别表示从甲箱中取出红球、黑球、绿球，表示从乙箱子中取出绿球， 则，，， ，， 由全概率公式可得. 【变式6-3】（23-24高二上·河南·期末）学校羽毛球社团中的甲､乙､丙三名社员进行羽毛球比赛，约定如下：先从甲､乙､丙三人中随机选择两人打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，率先获胜两局者为优胜者，比赛结束，且每局比赛均无平局.已知甲贏乙的概率为0.3，乙贏丙的概率为0.5，丙赢甲的概率为0.7. (1)若甲､乙二人率先开局比赛，求比赛局数的概率分布列； (2)求甲成为优胜者的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2)0.132 【分析】（1）根据题意比赛局数的可能取值为，，，根据对应的事件求其概率即可； （2）分别求甲乙、甲丙、乙丙开局时甲成为优胜者的概率，再根据全概率公式可得. 【详解】（1）比赛局数的可能取值为. 比赛两局结束，则甲连胜两局或乙连胜两局，所以， 比赛三局结束，则第二局､第三局丙连胜，所以， 比赛四局结束，所以， 所以的分布列为： 2 3 4 0.44 0.35 0.21 （2）记甲､乙比赛第一局为事件，甲､丙比赛第一局为事件，乙､丙比赛第一局为事件，甲成为优胜者为事件.第一局比赛双方可能是甲乙､甲丙､乙丙共三种情况， 则， 所以， . 所以 . 所以甲成为优胜者的概率为0.132. 题型七 利用二项分布求分布列 【例7】（24-25高二下·全国·课堂例题）已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有甲、乙、丙、丁4个患有该病的患者服用了这种药物，观察其中有多少患者会被这种药物治愈. (1)这能否看成独立重复试验？ (2)求甲、乙、丙都被治愈而丁没有被治愈的概率； (3)求恰有3个患者被治愈的概率； (4)设有X人被治愈，求X的分布列. 【答案】(1)可以看成4次独立重复试验； (2)； (3)； (4)分布列见解析 【知识点】独立事件的乘法公式、独立重复试验的概念、独立重复试验的概率问题、利用二项分布求分布列 【分析】（1）由独立重复事件的概念即可判断； （2）根据独立事件概率公式求解即可． （3）根据独立事件概率公式求解即可． （4）根据题意，判定为二项分布，根据概率公式求出概率，列出分布列． 【详解】（1）由题意可知：因为每名患者被治愈的概率不会互相影响， 所以构成独立重复实验．可以看成4次独立重复试验； （2）由独立事件乘法公式可得甲、乙、丙都被治愈而丁没有被治愈的概率： ； （3）恰有3个患者被治愈的概率：； （4）根据题意可知则 , , , , . 则分布列为： 【变式7-1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）个零件中有个次品，从中每次抽检个，检验后放回，连续抽检次，则抽检的个零件中恰有个是次品的概率为 ； 【答案】/ 【知识点】利用二项分布求分布列 【分析】记抽到次品的概率为，抽到正品的概率为，则，，用表示3次抽检中抽到次品的次数，则是一个随机变量，每次抽检抽到次品的概率为，由题意知，利用二项分布的概率公式可求解. 【详解】记抽到次品的概率为，抽到正品的概率为，则，， 用表示3次抽检中抽到次品的次数，则是一个随机变量， 每次抽检抽到次品的概率为，由题意知，故连续抽检3次， 抽检的3个零件中恰有2个是次品的概率为． 故答案为：. 【变式7-2】（22-23高二·全国·课堂例题）为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备），已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都为，它们之间相互不影响，设能正常工作的设备数为X． (1)写出X的分布列； (2)求出计算机网络不会断掉的概率． 【答案】(1)分布列见解析 (2)0.999 【分析】（1）利用二项分布的定义即可求解； （2）利用（1）的结论及离散型随机变量的分布列的性质即可求解. 【详解】（1）可以看出，X服从参数为3，0.9的二项分布，即． 因此 ， ， ， ， 从而X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 （2）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即， 因此所求概率为． 【变式7-3】（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的，已知小明每次投篮投中的概率都是. (1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率； (2)求小明在4次投篮后的总得分的分布列（用列表法表示）. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据题意结合独立事件的概率公式求解即可； （2）由题意得的可能取值为0，2，4，6，8，然后求出相应的概率，从而可求出的分布列. 【详解】（1）由题意得小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率为 ； （2）由题意得的可能取值为0，2，4，6，8，则 ，， ， ， ， 所以的分布列为 0 2 4 6 8 题型八 服从二项分布的随机变量概率最值问题 【例8】（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）为了让人民群众度过一个平安健康快乐祥和的新春佳节，甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销，直播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系． (1)若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能他从甲、乙两家中选一家直播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.7；如果第一天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.8，求小李第二天去乙直播间购物的概率； (2)元旦期间，甲公司购物平台直播间进行“秒杀”活动，假设直播间每人下单成功的概率均为，每人下单成功与否互不影响，若从直播间中随机抽取五人，记五人中恰有2人下单成功的概率为，求的最大值点． 【答案】(1) (2) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、服从二项分布的随机变量概率最大问题、利用全概率公式求概率 【分析】（1）利用全概率公式结合条件即得； （2）由题设可得，利用导数研究其单调性求上的最大值即可. 【详解】（1）小李第二天去乙直播间的基本事件：{第一天去甲直播间，第二天去乙直播间}；{第一天去乙直播间，第二天去乙直播间}，两种情况， 所以小李第二天去乙直播间购物的概率． （2）由题设，设五人中下单成功的人数为，则， 所以， 令， 所以，令， 所以， 开口向下，且在上递增，上递减，又， 故上，递减；上，递增； ，，故上，即，上，即， 所以在上递增，上递减，即在上递增，上递减， 所以，即． 【变式8-1】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对道试题的概率为，则当 时，取得最大值. 【答案】13或14 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】先得到，利用解不等式即可. 【详解】由题意得，且， 则，即 故又，所以或， 故当或时，取得最大值. 故答案为：13或14. 【变式8-2】（24-25高二下·全国·课后作业）罚球是篮球运动员在篮球比赛时得分的方式之一．已知某篮球运动员经过长期的训练和比赛，将罚球命中率稳定在70%，若该运动员在某场比赛中获得了5次罚球的机会，且每罚中一球可得到1分，则该名运动员通过罚球最有可能得 分． 【答案】4 【知识点】独立重复试验的概率问题、服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】设最有可能得分，根据独立重复试验的概率公式，得到，求得的值，即可求解. 【详解】设该名运动员通过罚球命中的次数为，则， 则， 再设最有可能得分，其中， 则，即， 解得，所以则，所以该名运动员通过罚球最有可能得分． 故答案为：. 【变式8-3】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）现有甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为p，乙胜的概率为q，且，有以下两种比赛规则供使用：①三局两胜即有一方先胜2局即获胜，比赛结束；②五局三胜即有一方先胜3局即获胜，比赛结束 (1)如果采用“三局两胜”，当时，求乙获胜的概率； (2)试判断在哪种比赛规则下，甲胜的概率较大？并说明理由． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）利用独立重复事件的概率公式计算得乙胜的概率即可； （2）利用相互独立事件概率乘法公式分别求出两种比赛规则下甲胜的概率，由作差法比较大小得在哪种比赛规则下，甲胜的概率较大. 【详解】（1）记在“三局两胜”比赛规则下，当时，乙获胜为事件A， 则， 则采用“三局两胜”，当时，乙获胜的概率为. （2）记在“三局两胜”比赛规则下，甲获胜为事件， 则， 记在“五局三胜”比赛规则下，甲获胜为事件， 则， 因为， 所以当时，， 当时，， 当时，， 综上，当时，在“三局两胜”比赛规则下，甲胜的概率较大， 当时，在两种比赛规则下，甲胜的概率相等， 当时，在“五局三胜”比赛规则下，甲胜的概率较大. 题型九 超几何分布问题 【例9】（24-25高二下·全国·课后作业）在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值的分布列，并求出的值. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【知识点】实际问题中的组合计数问题、利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）应用组合数及古典概型的概率、对立事件的概率求法求顾客中奖的概率； （2）由已知有的可能取值为0，10，20，50，60并求出对应概率，即得分布列，进而由求值. 【详解】（1）该顾客中奖的概率. （2）的可能取值为0，10，20，50，60. ，，， ，. 故随机变量的分布列为 0 10 20 50 60 所以. 【变式9-1】（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）10名同学中有名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】AD 【知识点】求超几何分布的概率 【分析】利用超几何分布概率公式计算即可. 【详解】根据题意，得， 解得或． 故选：AD 【变式9-2】（24-25高二下·全国·课后作业）一口袋中有大小质地完全相同的黑球、白球共7个（白球不少于2个且不多于5个），从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为 ． 【答案】3 【知识点】超几何分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】设口袋中有白球个（），取得白球个数的可能取值为0，1，2，得到对应的概率，从而求出期望，得到方程，求出，得到答案. 【详解】设口袋中有白球个（），由已知可得， 取得白球个数的可能取值为0，1，2， ，，，， ，解得，则口袋中白球的个数为3． 故答案为：3 【变式9-3】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）某高中高二年级1班和2班的学生组队参加数学竞赛，1班推荐了2名男生1名女生，2班推荐了3名男生2名女生.由于他们的水平相当，最终从中随机抽取4名学生组成代表队. (1)求1班至少有1名学生入选代表队的概率； (2)设表示代表队中男生的人数，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）求解1班没有入选学生的概率，即可利用对立事件的概率求解， （2）根据超几何的概率公式求解概率即可求解. 【详解】（1）设1班至少有1名学生入选代表为事件，则； （2）的所有可能取值为. . 因此的分布列为： 1 2 3 4 题型十 两点分布的期望、方差 【例10】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知随机变量服从两点分布，其中，若，则 . 【答案】/ 【知识点】两点分布、两点分布的均值、方差的性质 【分析】根据两点分布的特点和方差公式得，再利用方差的性质即可得到答案. 【详解】根据两点分布的特点得， 则， 根据方差的性质得， 故答案为：. 【变式10-1】（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（    ） A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3 【答案】A 【知识点】两点分布、方差的性质、两点分布的方差 【分析】由已知结合两点分布的方差公式和方差性质即可求解. 【详解】因为随机变量服从两点分布， 所以由题，又， 所以. 故选：A. 【变式10-2】（23-24高二下·河南·期中）若甲同学在某次期中考试中数学成绩班级第一的概率为，记该同学在本次期中考试中数学成绩班级第一发生的次数为离散型随机变量，则 . 【答案】/ 【知识点】两点分布、两点分布的方差 【分析】利用两点分布的方差公式计算即可. 【详解】由题意可得服从两点分布，故， 故. 故答案为： 【变式10-3】（2024·河北·模拟预测）若随机变量X，Y分别服从成功概率为的两点分布，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】两点分布、均值的性质 【分析】由两点分布及期望公式求解即可． 【详解】解：因为随机变量，分别服从成功概率为，的两点分布， 则，， ，， 所以或1， 所以 或 或， 因为或，且或， 所以或， 所以或， 即的取值范围是． 故答案为：． 题型十一 二项分布的期望、方差 【例11】（24-25高二下·全国·课后作业）某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖． (1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率； (2)求该节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为2 【知识点】独立事件的乘法公式、利用二项分布求分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）设“某节目的投票结果是最终获一等奖”， 则事件包括：该节目可以获2张“获奖”票，或者获3张“获奖”票，利用二项分布的概率公式求解即可； （2）所含“获奖”票和“待定”票票数之和的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，即可得到的分布列和数学期望. 【详解】（1）设“某节目的投票结果是最终获一等奖”， 则事件包括：该节目可以获2张“获奖”票，或者获3张“获奖”票． 因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响， 所以． （2）所含“获奖”票和“待定”票票数之和的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 因此的分布列为 0 1 2 3 所以的数学期望． （或由，得）. 【变式11-1】（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量，若，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】二项分布的均值、方差的性质、二项分布的方差 【分析】利用二项分布的概率公式即可得到答案. 【详解】因为随机变量，，所以①，， 又，，所以②， 由①②联立可得，，BC正确，A错误； 所以，D正确； 故选：BCD 【变式11-2】（24-25高二下·全国·课后作业）某厂一批产品的合格率是． (1)求从中抽取1件产品为正品的数量的方差； (2)若从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差． 【答案】(1)0.0196 (2)0.196 【知识点】两点分布的方差、二项分布的方差 【分析】（1）根据两点分布的方差计算公式，计算出正确答案； （2）根据二项分布的方差计算公式，计算出正确答案. 【详解】（1）用Y表示抽得的正品数，则． 可知Y服从两点分布，且，， 所以． （2）用X表示抽得的正品数，则X服从二项分布， 所以正品数的方差． 【变式11-3】（24-25高三下·江苏·开学考试）已知数轴上有一质点，从原点开始每隔1秒向左或向右移动一个单位长度.设它向左移动的概率为，向右移动的概率为 (1)已知质点2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后该质点在处的概率; (2)记质点3秒后所在位置对应的实数为X，求X的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，1 【知识点】计算条件概率、利用二项分布求分布列、二项分布的均值 【分析】（1）先利用独立事件的概率公式求出，再利用条件概率公式可求得结果； （2）由题意知可能的取值为，然后应用二项分布求出相应的概率，从而可求出的分布列与期望. 【详解】（1）记质点2 秒后所在位置对应的实数为非负数为事件A，记2秒后质点在处的概率为事件B， 则，， 故所求的概率为； （2）的可能取值为：，，1， 则， ， ， 分布列如下： X 1 3 P 数学期望 题型十二 超几何分布的期望、方差 【例12】（24-25高二上·江西·期末）为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出4个球，将其中的白球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中.当参与者完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为3n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏.若第3轮后仍未过关，则游戏也结束，参与者不能获得纪念品，每位参与者只能参加一次游戏. (1)求随机变量X的分布列； (2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、超几何分布的分布列 【分析】（1）写出X可能取值和对应的概率，得到分布列； （2）在（1）基础上，记其前n轮的累计得分为，求出，，相加得到概率. 【详解】（1）由题意得，随机变量X可取的值为2，3，4， 易知，，， 则随机变量X的分布列如下： X 2 3 4 P （2）由（1）可知，参与者每轮得2分，3分，4分的概率依次为，，， 记参与者第i轮的得分为，则其前n轮的累计得分为， 若参与者取球1次后可领取纪念品，即参与者得3分，则； 若参与者取球2次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为6分，有“”，“”的情形， 则； 若参与者取球3次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为9分，有“”，“”的情形， 则. 记“甲能够领取纪念品”为事件A， 则. 【变式12-1】（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布，求出对应的概率，根据数学期望，方差的公式及性质计算即可． 【详解】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布， 故 所以 ， ， 故选：D． 【变式12-2】（多选）（24-25高二上·辽宁·期末）从6名女生和8名男生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用表示所选5人中女生的人数，用表示所选5人中男生的人数，则下列结论正确的是（    ） 备注：一般地，若一个随机变量的分布列为，其中，则称. A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】超几何分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】根据超几何分布的概念和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，从6名女生和8名男生中任选5人， 则所选5人中女生的人数和男生的人数Y服从超几何分布， 即，所以选项A错误，选项B正确； 又由超几何分布的均值公式，可得: ,, 所以, ,所以选项C，D正确. 故选：BCD 【变式12-3】（24-25高二上·江西南昌·期末）袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球. (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】超几何分布的均值、超几何分布的分布列、求超几何分布的概率 【分析】（1）应用超几何分布的概率公式求概率即可. （2）先分别应用超几何分布的概率公式求出对应概率，再写出分布列，再求数学期望即可. 【详解】（1）所求概率为 （2）X可能的取值为0，1，2. ， . 故X的分布列为 0 1 2 故. 题型十三 根据变量的期望、方差求参数 【例13】（22-23高二下·湖南长沙·期末）已知甲、乙两支队伍中各有20人，甲队中有个男生与个女生，乙队伍中有个男生与个女生，若从甲、乙两队中各取1个人，表示所取的2个人中男生的个数，则当方差取到最大值时，的值为 ． 【答案】10 【知识点】随机变量函数的分布列、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】的可能取值为0，1，2，分别计算出其对应概率，利用方差公式结合基本不等式即可得到答案. 【详解】的可能取值为0，1，2， 则， ， ，所以的分布列为 0 1 2 ， ，当且仅当时，等号成立，所以当取到最大值时，的值为10． 故答案为：10. 【变式13-1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由离散型随机变量的均值求参数 【分析】根据概率之和等于建立等式求解出，再利用期望的性质及算法建立等式求解，即可求解． 【详解】由题意知， 解得， 因为，所以，即，则， 解得，所以， 故选：C． 【变式13-2】（24-25高二下·全国·课后作业）随机变量的分布列如表所示，则的最大值是（    ） 0 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、求离散型随机变量的均值 【分析】先根据分布列的性质可得，，进而，进而可得. 【详解】由题意，，得到，， 根据随机变量均值公式，得 ， 当时，取得最大值，经检验符合题意． 故选：B． 【变式13-3】（24-25高二下·辽宁·开学考试）已知，，且，则下列选项中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】根据，且求得，再逐项判断. 【详解】因为，且， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，，故D错误； 故选：D 题型十四 二项分布、超几何分布的综合应用 【例14】（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性. (1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望； (2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑，从N名员工(男女比例不变)中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作，在二项分布中，即男性员工的人数男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布(参考数据:) 【答案】(1)分布列见解析， (2)N至少为145 【知识点】建立二项分布模型解决实际问题、超几何分布的均值、超几何分布的分布列、求超几何分布的概率 【分析】（1）利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望； （2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解. 【详解】（1）由题意，当时，男性员工有4人，女性员工有6人， 服从超几何分布，， ，， ，， 则的分布列为 0 1 2 3 所以数学期望为. （2）由题意，男性员工有人，女性员工有人， 则， ， 由于，则， 即， 即， 由题意易知， 从而， 化简得， 又，于是. 由于函数在上单调递增，且， 从而在时单调递增， 又，. 因此当时，符合题意， 而又考虑到和都是整数，则一定是5的整数倍， 则N至少为145时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布. 【变式14-1】（24-25高三上·广东茂名·阶段练习）已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个黄球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球． (1)求有放回抽样时，取到黄球的次数X的期望与方差； (2)求不放回抽样时，取到黄球的个数Y的分布列． 【答案】(1)； (2)分布列见解析 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、建立二项分布模型解决实际问题、二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】（1）有放回抽样时，，由二项分布期望方差公式可得； （2）不放回抽样时，取到的黄球个数Y可能的取值为，分别求出对应的概率，即可得Y的分布列． 【详解】（1）有放回抽样时，取到黄球的次数X可能的取值为. 每次抽到黄球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则， 则期望，方差. （2）不放回抽样时，取到的黄球个数Y可能的取值为. ， 故Y的分布列为： Y 0 1 2 P 【变式14-2】（2025高三·全国·专题练习）写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？ (1)表示次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数. (2)有一批产品共有件，其中次品有件（，采用有放回抽取方法抽取次，抽出的次品件数为. (3)有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法抽件，出现次品的件数为. 【答案】(1)分布列见解析， (2)分布列见解析， (3)分布列见解析，服从超几何分布 【知识点】利用二项分布求分布列、超几何分布的分布列 【分析】（1）判断，写出二项分布列即可； （2）判断，写出二项分布列即可； （3）判断服从超几何分布，写出分布列即可. 【详解】（1）的分布列为 0 1 2 .. .. 服从二项分布，即. （2）的分布列为 0 1 2 .. .. 服从二项分布，即. （3）的分布列为 0 1 .. .. .. .. 服从超几何分布. 【变式14-3】（22-23高二下·广东湛江·期中）袋中有8个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，求； (1)有放回抽样时，取到黑球的次数X的分布列； (2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列． 【答案】(1)分布列见解析； (2)分布列见解析. 【知识点】有放回与无放回问题的概率、利用二项分布求分布列、超几何分布的分布列 【分析】（1）有放回抽样时，取到黑球的次数X可能的取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X的分布列． （2）不放回抽样时，取到的黑球个数Y可能的取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可得Y的分布列． 【详解】（1）有放回抽样时，取到黑球的次数X可能的取值为0，1，2，3， 每次抽到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P （2）不放回抽样时，取到的黑球个数Y可能的取值为0，1，2， ， 故Y的分布列为： Y 0 1 2 P 题型十五 概率分布的实际应用 【例15】（24-25高二上·吉林·阶段练习）2023年10月31日，东北师大附中以“邂逅数学之美，闪耀科技之光”为主题的第17届科技节在自由、青华两校区开幕.在科技节中数学教研室组织开展了“送书券”活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球4个，白球2个 （红球编号为“1，2，3，4”，白球编号为“5，6”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个红球获胜 编号之和不超过获胜 (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)甲同学先玩了游戏一，当为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大． 【答案】(1)， (2)可能取值为7,8,9,10,11 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解； （2）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，由此得解. 【详解】（1）设事件表示“游戏一获胜”，表示“游戏二获胜”，表示“游戏三获胜”， 游戏一中取出一个球的样本空间为，则，， ，所以游戏一获胜的概率为． 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，而，所以， ， 所以游戏二获胜的概率为． （2）设表示“先玩游戏二，获得书券”，表示“先玩游戏三，获得书券”， 则，且，，互斥，相互独立， ， 则，且互斥，相互独立， ， 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大，则， 即，解得， 设游戏三中两次取球的编号和为， 则，，， ，，， ，，， 所以当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 所以当时，都有， 所以符合题意的的取值有. 【变式15-1】（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知正四面体的四个面分别标注有字母，随机抛掷该四面体，各面接触桌面的概率均相等． (1)若每次抛掷时标注有的面接触桌面为抛掷成功，将试验进行到恰好出现3次成功时结束试验，求结束试验时所抛掷的次数为4次的概率； (2)若每次抛掷标注有或的面接触桌面为抛掷成功，且试验进行到恰好出现2次成功时结束试验，用表示抛掷次数． ①求； ②要使得在次内（含次）结束试验的概率不小于，求的最小值． 【答案】(1) (2)①；②6． 【知识点】判断数列的增减性、裂项相消法求和、独立重复试验的概率问题、建立二项分布模型解决实际问题 【分析】（1）分析事件，可得部分二项分布求概率； （2）利用（1）的解法来求出概率，然后利用裂项相消法来求和，最后用数列递推思想得出数列单调性，从而赋值求解最小值. 【详解】（1）因为共抛掷了4次，结束试验时恰好成功3次，说明前3次成功了2次且第4次成功， 所以． （2）①由题意可知，， 所以； ②由①可知，所以． 令， 则，所以单调递减． 又，，所以当时，，则的最小值为6． 【点睛】方法点睛：在求时，利用了裂项相消法，即. 【变式15-2】（24-25高二上·吉林延边·阶段练习）某校开展了“学党史”知识竞赛活动，竞赛试题由若干选择题和填空题两种题型构成，每位选手共需要回答三个问题.对于每一个问题，若回答错误得0分；若回答正确，填空题得30分，选择题得20分.现设置了两种活动方案供选手选择.方案一：只回答填空题；方案二：先回答填空题，后续选题按如下规则：若上一题回答正确，则下一次选择填空题；若上题回答错误，则下一次选择选择题.已知甲、乙两位同学能正确回答填空题的概率均为，能正确回答选择题的概率均为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)若甲同学采用方案一答题，求甲得分不低于60分的概率； (2)分别列出乙同学选择两种方案得分的分布列，并说明乙同学应该选择何种方案参加比赛更加有利. 【答案】(1) (2)分布列见解析，乙同学选择方案二参加比赛更加有利，理由见解析 【知识点】独立事件的乘法公式、利用二项分布求分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据二项分布的概率公式即可求解， （2）根据二项分布以及相互独立事件的概率乘法公式求解分布列，即可求解两种方案下的期望，比较期望大小即可求解. 【详解】（1）甲同学采用方案一答题，得分不低于60分的情况为至少答对两道填空题， ∴其概率； （2）乙同学选择方案二参加比赛更加有利，理由如下：若采用方案一，则其得分X的可能取值为0，30，60，90，∴；； ；， ∴X的分布列为 X 0 30 60 90 P ∴X的数学期望； 若采用方案二，则其得分Y的可能为取值为0，20，30，50，60，90， ∴；； ；； ；， ∴Y的分布列为 Y 0 20 30 50 60 90 P ∴Y的数学期望， ∵，∴乙同学选择方案二参加比赛更加有利. 【变式15-3】（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）某中学2022年10月举行了2022“翱翔杯”秋季运动会，其中有“夹球跑”和“定点投篮”两个项目，某班代表队共派出1男（甲同学）2女（乙同学和丙同学）三人参加这两个项目，其中男生单独完成“夹球跑”的概率为0.6，女生单独完成“夹球跑”的概率为（）．假设每个同学能否完成“夹球跑”互不影响，记这三名同学能完成“夹球跑”的人数为． (1)证明：在的概率分布中，最大． (2)对于“定点投篮”项目，比赛规则如下：该代表队先指派一人上场投篮，如果投中，则比赛终止，如果没有投中，则重新指派下一名同学继续投篮，如果三名同学均未投中，比赛也终止．该班代表队的领队了解后发现，甲、乙、丙三名同学投篮命中的概率依次为（，2，3），每位同学能否命中相互独立．请帮领队分析如何安排三名同学的出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小？并给出证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)应当以甲、乙、丙的顺序安排出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小，证明见解析 【知识点】随机变量函数的分布列、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值、均值的实际应用 【分析】（1）分别求出（，1，2，3）的值，作差法比较大小得证； （2）由（1）知，设三人任意顺序出场时三场投中的概率分别为，，，计算比赛时所需派出的人数的期望，证明成立，说明按排列时最小， 应当以甲、乙、丙的顺序安排出场. 【详解】（1）由已知，的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ∵，∴， 所以概率最大． （2）由（1）知，当时，有的值最大， 且，， 所以应当以甲、乙、丙的顺序安排出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小． 证明如下： 假设，，为，，的任意一个排列，即若甲、乙、丙按照某顺序派出， 该顺序下三人能完成项目的概率为，，，记在比赛时所需派出的人数为，则，2，3，且的分布列为： 1 2 3 数学期望， ∵，∴， 要使尽可能小，则需要尽可能大， 故当取时最小，所以， ∴， 所以应当以甲、乙、丙的顺序安排出场顺序，才能使得该代表队出场投篮人数的均值最小． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$