第11讲 圆中的计算（压轴题）（讲练，1考点+9种题型（含18种考向）+命题预测）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

模块四 几何压轴 第11讲 圆中的计算（压轴题） （思维导图+1考点+1命题点9种题型（含18种考向）+命题预测） 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点 圆中的计算 ►题型01 与圆有关的覆盖问题 ►题型02 与圆有关的截取问题 ►题型03 与圆有关的折叠问题 ►题型04 与圆有关的旋转问题 ►题型05 面积法 考向一 三角形与圆 考向二 四边形与圆 ►题型06 与圆有关的阅读理解问题 考向一 理解公式 考向二 理解方法 考向三 理解定理 ►题型07 圆与全等 考向一 全等转边 考向二 全等转角 考向三 全等证线段的关系 ►题型08 圆与相似 考向一 作垂线构相似 考向二 由隐含直角构相似 考向三 作平行线构“A，X”型相似 考向四 构母子型相似 ►题型09 圆与三角函数 考向一 用已知直角 考向二 作垂线构直角 考向三 作垂径构直角 考向四 用直径构直角 考向五 用切线构直角 考向六 等角转换 01考情透视·目标导航 中考考点 命题预测 圆中的计算（压轴题） 圆中的计算问题是中考数学压轴题中的常见题型，其综合性强、难度较高，常涉及几何证明、线段长度计算、弧长计算及阴影部分面积计算等。 【考点分析】 1. 圆的切线性质：切线与圆心的连线垂直是常见的考点，考生需熟练掌握并能灵活运用。 2. 圆周角定理及其推论：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，以及直径所对的圆周角是直角等，是求解角度和证明三角形相似的重要依据。 3. 相似三角形的判定与性质：利用相似三角形的比例关系求解线段长度是圆中计算问题的常见方法。 【命题趋势】 1. 综合性强：圆中的计算问题往往与其他几何知识（如三角形、四边形等）相结合，考查考生的综合应用能力。 2. 注重思维方法：题目注重考查考生的逻辑推理能力、数形结合思想、方程思想等。例如，通过设未知数建立方程求解未知量。 3. 创新性与灵活性：命题者常设计新颖的图形和问题情境，要求考生具备灵活的思维能力和较强的应变能力。 【备考建议】 1. 夯实基础：熟练掌握圆的基本性质、切线性质、圆周角定理、相似三角形等基础知识。 2. **强化训练**：多做圆中计算的压轴题，熟悉各种题型和解题方法，提高解题速度和准确率。 3. 注重思维训练：培养逻辑推理能力、数形结合思想和方程思想，学会从不同角度分析问题、解决问题。 4. 总结归纳：及时总结解题经验和技巧，形成自己的解题思路和方法体系 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 圆中的计算 ►题型01 与圆有关的覆盖问题 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为20，现用一个半径为的圆形纸片将阴影部分完全覆盖，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·安徽淮北·模拟预测）综合与实践 定义：能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆． 探索发现：用大小不同的圆形纸片去覆盖一张三角形纸片，经过多次操作发现： （1）锐角三角形（和直角三角形）的最小覆盖圆是其外接圆， （2）钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆． 如图1，以斜边为直径作圆，刚好是可以把覆盖的面积最小的圆，称之为该直角三角形的最小覆盖圆． (1)实践与操作：如图2．在中，，试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖圆（不写作法，保留作图痕迹）． (2)应用与计算：如图3，在中，，，，请求出的最小覆盖圆的半径． ►题型02 与圆有关的截取问题 3．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形材料中， ，，，，．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，在四边形材料中，，，，现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径为（    ）    A．10cm B．12cm C．cm D．13cm ►题型03 与圆有关的折叠问题 5．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，扇形中，，，点为上一点，将扇形沿折叠，使点的对应点落在射线上，则图中阴影部分的面积为 ． 6．（2024·湖北·模拟预测）如图，是的直径，将劣弧沿弦折叠，折叠后的弧恰好与相切于的中点，若，则的半径为（     ） A． B． C． D． ►题型04 与圆有关的旋转问题 7．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，，点E在边上运动，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接，当的长最小时的长是 ． 8．（2024·山东济宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；……；按此规律，则的值为 ． 9．（2023·辽宁本溪·模拟预测）如图，已知为等腰直角三角形，，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为上一动点，连接，并绕点A顺时针旋转得到，连接，的最小值是 ． ►题型05 面积法 考向一 三角形与圆 10．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 考向二 四边形与圆 11．（2022·广西崇左·一模）如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片，分别裁出扇形和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 ． 12．（2024·上海·模拟预测）如图，正方形内切圆半径为2，点G为边上一点，作正方形，则 13．（2024·浙江·一模）如图，四边形为矩形，点在边上，，与四边形的各边都相切，的半径为，的内切圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．（2024·河北唐山·二模）木匠师傅用长 ， 宽 的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面（圆形桌面可以由一块木板锯成，也可以由拼接的木板锯成），有如下三种方案： 方案一：如图1，直接锯一个半径最大的圆； 方案二：如图2，沿对角线将矩形锯成两个三角形；适当平移三角形并锯一个最大的圆； 方案三：如图3，锯一块矩形拼到矩形下面，利用拼成的木板锯一个最大的圆． （1）方案二比方案一做出的圆形桌面的半径大 ； （2）方案三中所锯最大圆的半径是 ． ►题型06 与圆有关的阅读理解问题 考向一 理解公式 15．（2024·山西朔州·一模）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 在某科技杂志上有这样一道题：如图1，在中，三边分别为是的内切圆，切点分别为．求的半径． 思路分析：如图1．连接，则存，，设． 于是有， ∴．（其中S表示的面积，p表示的周长的一半） 用语言叙述：三角形的内切圆的半径． 若已知的三边长，如何求的面积呢？ 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261），曾提出利用三角形的三边长求它的面积的秦九韶公式：若 则秦九韶公式为． 例如：在中，若，利用秦九韶公式求的面积． 解：，…… 任务：(1)请完成材料中利用秦九韶公式求面积的剩余步骤，并求出的内切圆的半径． (2)如图2，在中，为它的内切圆，则的长为______． 考向二 理解方法 16．（2025·湖北恩施·一模）我国古代伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接AG，CF，AG交CF于点P，若，则的长为 ． 17．（2024·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为 ． 考向三 理解定理 18．（2023·河南周口·三模）“莱洛三角形”是机械学家、数学家莱洛首先发现的，在现代机械上得到了广泛的应用．分别以等边三角形的每一个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是“莱洛三角形”，如图②，若等边三角形的边长为，则图中阴影部分的面积为 ．    19．（2022·湖南株洲·二模）阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图2，已知等边内接于，，为上一点，，于点，则的周长是 ．    20．（2024·山东日照·二模）三角形的角平分线长可用斯库顿定理计算，其内容为：如图（1），在中，为的平分线，则．如图（2），四边形是的内接四边形，对角线，相交于点．若，，，，，则的长为 ． ►题型07 圆与全等 考向一 全等转边 21．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 考向二 全等转角 22．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接．   (1)若，求的长． (2)求证：． (3)若，猜想的度数，并证明你的结论． 考向三 全等证线段的关系 23．（2024·广东·模拟预测）综合运用 如图所示，圆内接四边形中，点B平分，平分． (1)求证：． (2)若，求证：． (3)求证：． 24．（2024·四川广元·二模）如图，在 中， 平分 ，交 于点D，点O是边 上的点，以点O为圆心，长为半径的圆恰好经过点A，交于点E，弦 于点G． (1)求证：是的切线． (2)若 求的半径． (3)设与 的另一个交点为 H，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． ►题型08 圆与相似 考向一 作垂线构相似 25．（2024·广东·模拟预测）综合运用 如图所示，圆内接四边形中，点B平分，平分． (1)求证：． (2)若，求证：． (3)求证：． 23．（2024·四川广元·二模）如图，在 中， 平分 ，交 于点D，点O是边 上的点，以点O为圆心，长为半径的圆恰好经过点A，交于点E，弦 于点G． (1)求证：是的切线． (2)若 求的半径． (3)设与 的另一个交点为 H，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 26．（2023·湖北·中考真题）如图，等腰内接于，，是边上的中线，过点作的平行线交的延长线于点，交于点，连接．    (1)求证：为的切线； (2)若的半径为，，求的长．   考向二 由隐含直角构相似 27．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，已知⊙O经过菱形ABCD的顶点A,C,且与CD相切，直径CF交AB于点E． (1)求证：AD与⊙O相切； (2)若,求的值． 28．（2024·山东济南·一模）如图，为的直径，与相交于点，过点的切线，垂足为点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 29．（2025·陕西西安·二模）如图，为的直径，为上一点，连接，过点的直线与相切，与延长线交于点，点为上一点，且，连接并延长交射线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 考向三 作平行线构“A，X”型相似 29．（2024·山东威海·中考真题）如图，已知是的直径，点C，D在上，且．点E是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点F．的平分线交射线于点H，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 30.（2022·四川泸州·中考真题）如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 31．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，是的直径，点是弧的中点，连接并延长至点，使，点是上一点，且，的延长线交的延长线于点，交于点，连接．    (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 考向四 构母子型相似 32．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 33．（2023·湖北黄冈·中考真题）如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 34．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，是的直径，是的切线，、是的弦，且，垂足为，连接并延长，交于点． (1)求证：； (2)若的半径，，求线段的长． 35．（2023·四川达州·中考真题）如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． ►题型09 圆与三角函数 考向一 用已知直角 36．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，， 点D在边上，以为直径作交的延长线于点E，且．    (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，求的长． 37．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，为的直径，D，E是上的两点，延长至点C，连接，．    (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，求的半径． 考向二 作垂线构直角 38．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，，若平分且． (1)求的度数． (2)若，求的值． (3)如图2，当点O恰好在上且时，求的长． 39．（2023·四川乐山·中考真题）如图，已知是的外接圆，，D是圆上一点，E是延长线上一点，连结，且．    (1)求证：直线是是的切线； (2)若，的半径为3，求的长． 考向三 作垂径构直角 40．（2023·湖北武汉·二模）如图，在中，为直径，为弦，连接，交于点P，且F为的中点．    (1)求证：； (2)若，求的值． 41．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，的平分线交于点D，点O在上，以为半径的经过点D，与交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 考向四 用直径构直角 42．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A，D的分别交于点E，F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 43．（2021·湖北武汉·一模）如图，⊙O过▱ABCD的顶点A，D，C，边AB与⊙O相切于点A，边BC与⊙O相交于点H． (1)求证：AB=AH； (2)若AD =，sin∠BAH = ．求⊙O的半径． 考向五 用切线构直角 44．（2024·福建漳州·二模）如图， 是的直径，点C在上，交于点D，为的切线．    (1)求证：； (2)若，，求的值． 45．（2024·陕西西安·一模）如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接．    (1)求证：； (2)若的半径为6，，求的长．   46．（20-21九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰Rt△ABC中，，点D是以AB为直径的⊙O上一点，连接BD，CD，BD交AC于点P，且． （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）求cos∠BPC的值． 考向六 等角转换 47．（2024·广东广州·一模）如图，内接于，，的延长线交于点． (1)求证：平分； (2)若，，求和的长． 48．（2024·福建莆田·模拟预测）如图，中，，以为直径的交边于点D，过点D作的切线交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，，求的值． 49．（2024·四川巴中·一模）如图，在中，，以为直径的分别交于点D、E，点F在的延长线上，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求和的长． 圆中的计算问题常常作为考试中的压轴题出现，其综合性强、涉及知识点多，对学生的逻辑思维和解题技巧提出了较高要求。以下是针对圆中计算的压轴题的一些解题思路，希望能为考生提供有效的解题策略。 一、明确已知条件，画出准确图形 首先，仔细阅读题目，明确给出的所有已知条件，包括圆的半径、弦长、圆心角、切线等。根据这些条件，画出准确的图形，有助于直观理解问题。在画图过程中，注意标注已知的长度、角度等关键信息。 二、运用圆的基本性质 1. 切线的性质：切线垂直于过切点的半径。 2. 圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。 3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 4. 相似三角形的判定与性质：利用相似三角形求解线段长度或角度。 三、选择合适的解题方法 根据题目类型和已知条件，选择合适的解题方法至关重要。以下是几种常用的解题方法： 1. 勾股定理：在直角三角形中，利用勾股定理求解边长。 2. 三角函数：已知角的三角函数值，利用三角函数关系求解相关边长。 3. 相似三角形：通过证明三角形相似，利用比例关系求解未知线段长度。 4. 构造辅助线：通过作辅助线（如半径、切线、中位线等），将复杂图形分解为简单图形，便于利用已知定理进行求解。 四、分类讨论与综合应用 对于复杂的圆中计算问题，常常需要进行分类讨论。例如，当题目中存在动点或不确定的位置关系时，需要根据不同情况分别进行分析。此外，综合运用代数和几何方法，将几何问题转化为代数问题（如建立坐标系、使用参数方程等），有助于解决一些复杂的计算问题。 五、实战演练与总结反思 通过大量的实战演练，熟悉各种题型和解题技巧。在解题过程中，注意总结常见错误和解题思路，形成自己的解题策略。同时，定期回顾错题，加深对知识点的理解和记忆。 总之，圆中的计算（压轴题）虽然难度较大，但只要掌握了基本性质和解题方法，通过大量的练习和总结反思，就能够有效提高解题能力，取得理想的成绩。 1．（2025·浙江宁波·一模）如图，已知内接于，点M为的中点，连接交于点E，且C为弧的中点，连接 ，在上存在点 H，使得    若 ， 则的长（    ） A．4 B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是等边三角形的外接圆，点D是的中点，连结．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，阴影部分的面积为，则等边三角形的边长为（  ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·江苏扬州·期中）如图，在锐角三角形中，分别以三边为直径作圆，记三角形外的阴影面积为，三角形内的阴影面积为，在以下四个选项的条件中，不一定能求出的是（    ） A．已知的三条中位线的长度 B．已知的面积 C．已知的长度及 D．已知的长度，以及的长度和 4．（2025·湖北·模拟预测）如图，在菱形中，，，点E、F分别在、上，且，连接、交于点G，则的度数为 ，四边形面积的最大值为 ． 5．（2025·陕西·模拟预测）如图，在菱形中，，，点分别在边和上，且．当的面积最大时，的面积为 ． 6．（2025·上海徐汇·一模）如图，四边形中，，如果，且，那么的长是 （用含的式子表示）． 7．（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，内接于⊙，⊙的弦交于点，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在上，连接交于点，连接、，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，，若，的面积为6，求线段的长． 9．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在四边形中，，的平分线交于，过三点的圆交于，且恰好是圆的切线，是上一点，连接． (1)求的度数； (2)当是圆的直径， ①求证：四边形是平行四边形； ②若是的中点，，求的长． 10．（2025·四川成都·一模）已知点是以为直径的圆上一点，连结，在上截取，连结并延长交圆于点，连结，设． (1)如图1，若时，求度数； (2)如图2，过点作，证明：； (3)如图3，若，连结并延长，交的延长线于点，设的面积为，设面积为，用含的代数式表示． $$模块四 几何压轴 第11讲 圆中的计算（压轴题） （思维导图+1考点+1命题点9种题型（含18种考向）+命题预测） 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点 圆中的计算 ►题型01 与圆有关的覆盖问题 ►题型02 与圆有关的截取问题 ►题型03 与圆有关的折叠问题 ►题型04 与圆有关的旋转问题 ►题型05 面积法 考向一 三角形与圆 考向二 四边形与圆 ►题型06 与圆有关的阅读理解问题 考向一 理解公式 考向二 理解方法 考向三 理解定理 ►题型07 圆与全等 考向一 全等转边 考向二 全等转角 考向三 全等证线段的关系 ►题型08 圆与相似 考向一 作垂线构相似 考向二 由隐含直角构相似 考向三 作平行线构“A，X”型相似 考向四 构母子型相似 ►题型09 圆与三角函数 考向一 用已知直角 考向二 作垂线构直角 考向三 作垂径构直角 考向四 用直径构直角 考向五 用切线构直角 考向六 等角转换 01考情透视·目标导航 中考考点 命题预测 圆中的计算（压轴题） 圆中的计算问题是中考数学压轴题中的常见题型，其综合性强、难度较高，常涉及几何证明、线段长度计算、弧长计算及阴影部分面积计算等。 【考点分析】 1. 圆的切线性质：切线与圆心的连线垂直是常见的考点，考生需熟练掌握并能灵活运用。 2. 圆周角定理及其推论：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，以及直径所对的圆周角是直角等，是求解角度和证明三角形相似的重要依据。 3. 相似三角形的判定与性质：利用相似三角形的比例关系求解线段长度是圆中计算问题的常见方法。 【命题趋势】 1. 综合性强：圆中的计算问题往往与其他几何知识（如三角形、四边形等）相结合，考查考生的综合应用能力。 2. 注重思维方法：题目注重考查考生的逻辑推理能力、数形结合思想、方程思想等。例如，通过设未知数建立方程求解未知量。 3. 创新性与灵活性：命题者常设计新颖的图形和问题情境，要求考生具备灵活的思维能力和较强的应变能力。 【备考建议】 1. 夯实基础：熟练掌握圆的基本性质、切线性质、圆周角定理、相似三角形等基础知识。 2. **强化训练**：多做圆中计算的压轴题，熟悉各种题型和解题方法，提高解题速度和准确率。 3. 注重思维训练：培养逻辑推理能力、数形结合思想和方程思想，学会从不同角度分析问题、解决问题。 4. 总结归纳：及时总结解题经验和技巧，形成自己的解题思路和方法体系 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 圆中的计算 ►题型01 与圆有关的覆盖问题 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为20，现用一个半径为的圆形纸片将阴影部分完全覆盖，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点M，连接，求出，，得出，，证明C、D、E、M四点共圆，且此圆正好将阴影部分完全覆盖，半径r最小，根据，得出，求出，根据勾股定理得出，即可求出结果． 【详解】解：延长交于点M，连接，如图所示： ∵大正方形的面积为20， ∴正方形的边长为， ∵直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，， ∴， 即， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴，， ∵， ∴C、D、E、M四点共圆，且此圆正好将阴影部分完全覆盖，半径r最小， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为直径， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，平行线的性质，四点共圆，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和判定． 2．（2023·安徽淮北·模拟预测）综合与实践 定义：能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆． 探索发现：用大小不同的圆形纸片去覆盖一张三角形纸片，经过多次操作发现： （1）锐角三角形（和直角三角形）的最小覆盖圆是其外接圆， （2）钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆． 如图1，以斜边为直径作圆，刚好是可以把覆盖的面积最小的圆，称之为该直角三角形的最小覆盖圆． (1)实践与操作：如图2．在中，，试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖圆（不写作法，保留作图痕迹）． (2)应用与计算：如图3，在中，，，，请求出的最小覆盖圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查的是作三角形的外接圆，垂径定理，勾股定理的应用，熟练的作三角形的外接圆是解本题的关键． （1）由题意，这个三角形的最小覆盖圆就是以为直径的圆．先作出的垂直平分线，得出的中点，再以为半径作圆即可； （2）连接、，过O作，求解，可得，证明，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：如图，是这个三角形的最小覆盖圆． （2）解：如图，的最小覆盖圆为的外接圆 连接、，过O作于点H ， ， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， 故的最小覆盖圆的半径为2． ►题型02 与圆有关的截取问题 3．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形材料中， ，，，，．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，延长BA交CD延长线于E，当这个圆为△BCE的内切圆时，此圆的面积最大，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，延长BA交CD延长线于E，当这个圆为△BCE的内切圆时，此圆的面积最大， ∵，∠BAD=90°， ∴△EAD∽△EBC，∠B=90°， ∴，即， ∴， ∴EB=32cm， ∴， 设这个圆的圆心为O，与EB，BC，EC分别相切于F，G，H， ∴OF=OG=OH， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此圆的半径为8cm， 故选B． 【点睛】 本题主要考查了三角形内切圆半径与三角形三边的关系，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 4．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，在四边形材料中，，，，现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径为（    ）    A．10cm B．12cm C．cm D．13cm 【答案】A 【分析】当，，相切于于点，，时，的面积最大．连接，，，，，过点作于点，过点作于点．利用勾股定理法构建方程求解即可． 【详解】解：如图，当，，相切于于点，，时，的面积最大．连接，，，，，过点作于点，过点作于点．    ∵，， ∴，， ∵，，相切于于点，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∵，， 四边形是矩形， ∴， 设 ， 则有，即， ， 故选：． 【点睛】本题考查切线的性质，直角梯形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用面积法构建方程解决问题． ►题型03 与圆有关的折叠问题 5．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，扇形中，，，点为上一点，将扇形沿折叠，使点的对应点落在射线上，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】π+4–4 【分析】连接AB，在Rt△AOB中，由勾股定理，求得AB=，由折叠可得：，，则，设OC=x，则=2-x，在Rt△CO中，由勾股定理，得，解得：x=，最后由S阴影=S扇形-2S△AOC求解即可． 【详解】解：连接AB， 在Rt△AOB中，由勾股定理，得 AB=， 由折叠可得：，， ∴， 设OC=x，则=2-x， 在Rt△CO中，由勾股定理，得 ， 解得：x=， S阴影=S扇形-2S△AOC = = =π+4–4， 故答案为：π+4–4． 【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，扇形的面积，利用折叠的性质和勾股定理求出OC长是解题的关键． 6．（2024·湖北·模拟预测）如图，是的直径，将劣弧沿弦折叠，折叠后的弧恰好与相切于的中点，若，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对称的性质，圆的相关性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．设实线劣弧所在圆的圆心为，连接，，，，根据题意可得和互相垂直平分，设圆的半径为，即，得到，由勾股定理可得，则，由切线定理和是的中点，可得，，在中，由勾股定理可得，进而得到，求出，即可求解． 【详解】解：如图，设实线劣弧所在圆的圆心为，连接，，，， 、关于对称，垂直平分， ，的半径相等，两圆为等圆， 设圆的半径为，即， 为和的公共弦， 也垂直平分， ， 在中，， ， 为切点，是的中点， ，， 在中，， ， ， 解得：， ， 的半径为， 故选：B． ►题型04 与圆有关的旋转问题 7．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，，点E在边上运动，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接，当的长最小时的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．通过证明点A，点F，点C，点E四点共圆，可得，可求的度数，由全等三角形的性质可求的长即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵将绕点E顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴点A，点F，点C，点E四点共圆， ∴， ∴， ∴当时，有最小值， 过点F作，交的延长线于N，的延长线于H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3 8．（2024·山东济宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；……；按此规律，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与旋转，等腰三角形的判定和性质，扇形的面积．根据旋转的性质，得到、、、、都是等腰直角三角形，分别求出 ，，，利用扇形面积求出，抽象概括出相应的数字规律，进而得出结论即可． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转到，交x轴于点 ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 同理可得：、、、都是等腰直角三角形，，…， ∴ ，，，，； ∴， ∴， 故答案为： ． 9．（2023·辽宁本溪·模拟预测）如图，已知为等腰直角三角形，，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为上一动点，连接，并绕点A顺时针旋转得到，连接，的最小值是 ． 【答案】 【分析】连接、，根据同角的余角相等求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可． 【详解】解：如图，连接、， ，旋转角为， ， ， 在和中， ， ， ， 在等腰中， ， ， 在中，有， 当三点共线时取到等号，此时不是三角形，但符合题意． 所以，的取值范围是：， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，圆的认识，三角形的三边关系，熟记各性质并作辅助线构造成全等三角形是解题的关键． ►题型05 面积法 考向一 三角形与圆 10．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设的内切圆为，与 分别相切于点，由，，得，，连接，由可得，即得，同理得，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设的内切圆为，与 分别相切于点， ∵，，， ∴， ， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴， 连接，，，，，，则， ∵ ，且，，， ∴， 解得， 同理可得，， 解得， ∴， 故选：C． 考向二 四边形与圆 11．（2022·广西崇左·一模）如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片，分别裁出扇形和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的相关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．设，则，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可． 【详解】解：设，则， 根据题意，得： ， 整理得： ∴ 解得：， 即：． 故答案为：． 12．（2024·上海·模拟预测）如图，正方形内切圆半径为2，点G为边上一点，作正方形，则 【答案】8 【分析】本题考查了正方形的性质，内切圆的性质，根据正方形内切圆半径为2，得出，结合，再代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵正方形内切圆半径为2 ∴ ∵四边形是正方形 ∴ 则 故答案为：8 13．（2024·浙江·一模）如图，四边形为矩形，点在边上，，与四边形的各边都相切，的半径为，的内切圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了内切圆的性质和相似三角形的判定与性质，延长，于点，由四边形为矩形，可证，再根据性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：延长，相交于点， ∵与，，均相切， ∴是的内切圆， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 连接，设与的边分别相切于H，M，N，连接O与三边的切点，则， ∴， 同理：， ∴ ∴， ∴， 故选：． 14．（2024·河北唐山·二模）木匠师傅用长 ， 宽 的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面（圆形桌面可以由一块木板锯成，也可以由拼接的木板锯成），有如下三种方案： 方案一：如图1，直接锯一个半径最大的圆； 方案二：如图2，沿对角线将矩形锯成两个三角形；适当平移三角形并锯一个最大的圆； 方案三：如图3，锯一块矩形拼到矩形下面，利用拼成的木板锯一个最大的圆． （1）方案二比方案一做出的圆形桌面的半径大 ； （2）方案三中所锯最大圆的半径是 ． 【答案】 / 【分析】（1）由题意知，直接锯一个半径最大的圆的半径为，如图2，作于，于，则四边形是正方形，设正方形的半径为，则，由，可得，即，可求，然后求解作答即可； （2）设图3圆的半径为，，则新拼图形的水平长度为，竖直长度为，所截得的圆的直径最大为或，当时，即时，；当时，即时，；当时，即时，；然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，直接锯一个半径最大的圆的半径为， 如图2，作于，于，则四边形是正方形， ∴，， ∴， 设正方形的半径为，则， ∵， ∴，即， 解得，， ∴沿对角线将矩形锯成两个三角形；适当平移三角形并锯一个最大的圆的半径为， ∵， ∴方案二比方案一做出的圆形桌面的半径大 ， 故答案为：； （2）解：设图3圆的半径为，， ∴新拼图形的水平长度为，竖直长度为， ∴所截得的圆的直径最大为或， 当时，即时，； 当时，即时，； 当时，即时，； 综上所述，所截得的圆的直径最大为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆，切线的性质，正切，一次函数的应用等知识．熟练掌握圆，切线的性质，正切，一次函数的应用是解题的关键． ►题型06 与圆有关的阅读理解问题 考向一 理解公式 15．（2024·山西朔州·一模）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 在某科技杂志上有这样一道题：如图1，在中，三边分别为是的内切圆，切点分别为．求的半径． 思路分析：如图1．连接，则存，，设． 于是有， ∴．（其中S表示的面积，p表示的周长的一半） 用语言叙述：三角形的内切圆的半径． 若已知的三边长，如何求的面积呢？ 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261），曾提出利用三角形的三边长求它的面积的秦九韶公式：若 则秦九韶公式为． 例如：在中，若，利用秦九韶公式求的面积． 解：， …… 任务： (1)请完成材料中利用秦九韶公式求面积的剩余步骤，并求出的内切圆的半径． (2)如图2，在中，为它的内切圆，则的长为______． 【答案】(1)剩余步骤见解析，的内切圆的半径为 (2)1 【分析】本题考查实数的混合运算，三角形的内切圆，正方形的判定和性质，正确运用材料中的公式是解题的关键． （1）利用二次根式及有理数的运算法则计算出，再根据计算的内切圆的半径； （2）先利用勾股定理求出，进而求出的周长的一半和，根据即可求出的内切圆的半径，再证四边形是正方形，即可求解． 【详解】（1）解： ， 又 的周长的一半， 的内切圆的半径． （2）解：如图，连接和， 在中，， ， 设，p为的周长的一半， 则，， 的内切圆的半径． ； 又 为的内切圆， ，， ， 四边形是正方形， ． 故答案为：1． 考向二 理解方法 16．（2025·湖北恩施·一模）我国古代伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接AG，CF，AG交CF于点P，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆，正六边形和正十二边形的性质，解直角三角形，弧长的计算，正确的理解题意是解题的关键． 设正六边形外接圆的圆心为，连接，于是得到，由题意得，，，过作于，推出是等腰直角三角形，得到，求得，得到圆的半径，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：设正六边形外接圆的圆心为， 连接，则， 由题意得，，， 过作于， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的长为 故答案为：． 17．（2024·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等，正确求出正八边形的面积是解题的关键．过点A作，求得，根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】 如图，是正八边形的一条边，点O是正八边形的中心，过点A作， 在正八边形中， ∴ ∵，，解得： ∴ ∴正八边形为 ∴ ∴ ∴的估计值为 故答案为：． 考向三 理解定理 18．（2023·河南周口·三模）“莱洛三角形”是机械学家、数学家莱洛首先发现的，在现代机械上得到了广泛的应用．分别以等边三角形的每一个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是“莱洛三角形”，如图②，若等边三角形的边长为，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】设等边的中心为点O，连接，过点O作于点D，根据锐角三角函数的定义，求出，的长，从而求出，进而可得，根据扇形的面积公式，得，进而可得，然后即可得到答案． 【详解】解：设等边的中心为点O，连接，过点O作于点D， 则 ∵， ∴， ∵在中，，即：， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积是 ． 故答案是：．    【点睛】本题主要考查等边三角形的性质定理，解直角三角形，扇形的面积公式，添加合适的辅助线，构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 19．（2022·湖南株洲·二模）阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图2，已知等边内接于，，为上一点，，于点，则的周长是 ．    【答案】/ 【分析】根据等边三角形的性质可得点是弧的中点，则可用阿基米德折弦定理得，，根据中，，于点，可得是等腰直角三角形，可求出的长，即的长，根据的周长的计算方法即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴外接圆中，，即点是弧的中点，且于点， ∴根据阿基米德折弦定理得，， ∵中，，于点，且， ∴，，即是等腰直角三角形，则， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查定义新运算，等边三角形的性质，圆的基础知识，等腰直角三角形的性质，几何图形的周长的计算方法等知识，掌握以上知识是解题的关键． 20．（2024·山东日照·二模）三角形的角平分线长可用斯库顿定理计算，其内容为：如图（1），在中，为的平分线，则．如图（2），四边形是的内接四边形，对角线，相交于点．若，，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是根据阅读部分的提示灵活运用新的知识点，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，先求解，再证明，利用相似三角形的性质可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴由斯库顿定理可得：， ∵，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ►题型07 圆与全等 考向一 全等转边 21．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证； （2）在中，勾股定理求得,证明，设的半径为r，则，，在中，，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． （2）解：在中，， ∵， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r，则，， 在中，， 解得， ∴半径的长为3 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 考向二 全等转角 22．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接．    (1)若，求的长． (2)求证：． (3)若，猜想的度数，并证明你的结论． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）由垂径定理可得，结合可得，根据圆周角定理可得，进而可得，通过证明 可得； （2）证明 ，根据对应边成比例可得，再根据，，可证； （3）设，，可证，，通过证明，进而可得，即，则． 【详解】（1）解：直径垂直弦， ， ， ， ， ， 由圆周角定理得， ， 在和中， ， ， ； （2）证明： 是的直径， ， 在和中， ， ， ， ， 由（1）知， ， 又 ， ； （3）解：，证明如下： 如图，连接，    ， ， 直径垂直弦， ，， 又 ， ， ， 设，， 则，   ， ， 又 ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ，   ， 即， ， ． 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论证． 考向三 全等证线段的关系 23．（2024·广东·模拟预测）综合运用 如图所示，圆内接四边形中，点B平分，平分． (1)求证：． (2)若，求证：． (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由点B平分，可知，由平分，可知，即可证明结论； （2）结合题意可知，，，设，，则，，结合，求得，再求得，即可证明结论； （3）如图， 过点作， 在上取点，使，连接， 则，可知，得，可证，得，可知，根据即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵点B平分， ∴，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点B平分， ∴，则， ∴． ∵平分， ∴，则， 设，，则，， ∴ ∴，则， ∴． ∵ ， ∴． （3）如图， 过点作， 在上取点，使，连接， 则． ∴． ∵点平分， ∴，则， ∴． ∴， 在和中， ∴． ∴． ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，锐角三角函数，弦与弧之间的关系，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质等知识点，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 24．（2024·四川广元·二模）如图，在 中， 平分 ，交 于点D，点O是边 上的点，以点O为圆心，长为半径的圆恰好经过点A，交于点E，弦 于点G． (1)求证：是的切线． (2)若 求的半径． (3)设与 的另一个交点为 H，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）先证明，，可得，可得，结合从而可得结论； （2）如图，连接，由，结合 ，再建立方程求解即可； （3）如图，过作于，连接，，先证明，再证明，，可得，从而可得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵平分 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，即， ∴是的切线； （2）如图，连接， ∵， ∴， ∵ ， ∴， 解得：，即的半径为． （3）如图，过作于，连接，， ∵平分，， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，圆的内接四边形的性质，切线的判定，作出合适的辅助线是解本题的关键． ►题型08 圆与相似 考向一 作垂线构相似 25．（2024·广东·模拟预测）综合运用 如图所示，圆内接四边形中，点B平分，平分． (1)求证：． (2)若，求证：． (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由点B平分，可知，由平分，可知，即可证明结论； （2）结合题意可知，，，设，，则，，结合，求得，再求得，即可证明结论； （3）如图， 过点作， 在上取点，使，连接， 则，可知，得，可证，得，可知，根据即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵点B平分， ∴，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点B平分， ∴，则， ∴． ∵平分， ∴，则， 设，，则，， ∴ ∴，则， ∴． ∵ ， ∴． （3）如图， 过点作， 在上取点，使，连接， 则． ∴． ∵点平分， ∴，则， ∴． ∴， 在和中， ∴． ∴． ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，锐角三角函数，弦与弧之间的关系，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质等知识点，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 23．（2024·四川广元·二模）如图，在 中， 平分 ，交 于点D，点O是边 上的点，以点O为圆心，长为半径的圆恰好经过点A，交于点E，弦 于点G． (1)求证：是的切线． (2)若 求的半径． (3)设与 的另一个交点为 H，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）先证明，，可得，可得，结合从而可得结论； （2）如图，连接，由，结合 ，再建立方程求解即可； （3）如图，过作于，连接，，先证明，再证明，，可得，从而可得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵平分 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，即， ∴是的切线； （2）如图，连接， ∵， ∴， ∵ ， ∴， 解得：，即的半径为． （3）如图，过作于，连接，， ∵平分，， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，圆的内接四边形的性质，切线的判定，作出合适的辅助线是解本题的关键． 26．（2023·湖北·中考真题）如图，等腰内接于，，是边上的中线，过点作的平行线交的延长线于点，交于点，连接．    (1)求证：为的切线； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，得出，则四边形是平行四边形，，作于．得出为的垂直平分线．则．又点在上，即可得证； 过点作于，连接．垂径定理得出，勾股定理得，进而可得，勾股定理求得，证明，可得，根据相似三角形的性质得出，，然后求得，勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明，∵， ∴． 又， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． 作于．    又∵， ∴为的垂直平分线． ∴点在上． ∴． 即．又点在上， ∴为的切线； （2）解：过点作于，连接．    ∵为的垂直平分线， ∴． ∴．∴． ∴． ∴． ∵， ∴ ∴， 又， ∴． ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 考向二 由隐含直角构相似 27．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，已知⊙O经过菱形ABCD的顶点A,C,且与CD相切，直径CF交AB于点E． (1)求证：AD与⊙O相切； (2)若,求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，根据与相切，为半径，得出，通过“”证明，得出，即可证明与相切； （2）连接，，，由，，得出，进而得出，由，，得出垂直平分，得出，由，得出，得出，进而得出，即可得出． 【详解】（1）证明：如图1，连接，， 与相切，为半径， ， 经过菱形的顶点，， ，， ， ， ， 为半径， 与相切； （2）解：如图2，连接，，， ，， ， ， ，， 垂直平分， ， ， ， ， ， 在中，． 【点睛】本题考查了菱形的性质，切线的判定与性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握菱形的性质，切线的判定与性质，正切的定义是解决问题的关键． 28．（2024·山东济南·一模）如图，为的直径，与相交于点，过点的切线，垂足为点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）连接，由切线的性质，等腰三角形的性质即可求证； （）连接，由勾股定理求出的长，证明，得出，即可求解； 本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，和勾股定理，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵是⊙O的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）连接， ∵为的直径， ∴，即， ∴在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 29．（2025·陕西西安·二模）如图，为的直径，为上一点，连接，过点的直线与相切，与延长线交于点，点为上一点，且，连接并延长交射线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）连接，可证，根据为的切线，得，根据平行线的性质即可求证； （）设，，可得，设的半径为，则，，，根据（）中，可得，即得，可得，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线，点为切点， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴可设，， ∴， 设的半径为，则，，， 由（）可知，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴的半径为， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 考向三 作平行线构“A，X”型相似 29．（2024·山东威海·中考真题）如图，已知是的直径，点C，D在上，且．点E是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点F．的平分线交射线于点H，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据角平分线的定义得到是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，即可得到，然后根据角平分线的定义得到，然后得到即可证明切线； （2）设的半径为，根据，可以求出，然后根据，即可得到结果． 【详解】（1）证明：连接， 则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为，则， ∵，即， 解得， ∴，， 又∵ ∴， ∴，即，解得． 30.（2022·四川泸州·中考真题）如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，过点作的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接OD，由CD平分∠ACB，可知，得∠AOD=∠BOD=90°，由DF是切线可知∠ODF=90°=∠AOD，可证结论； （2）过C作CM⊥AB于M，已求出CM、BM、OM的值，再证明△DOF∽△MCO，得，代入可求． 【详解】（1）证明：连接OD，如图， ∵CD平分∠ACB， ∴， ∴∠AOD=∠BOD=90°， ∵DF是⊙O的切线， ∴∠ODF=90° ∴∠ODF=∠BOD， ∴DF∥AB． （2）解：过C作CM⊥AB于M，如图， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∴AB=． ∴， 即， ∴CM=2， ∴， ∴OM=OB-BM=， ∵DF∥AB， ∴∠OFD=∠COM， 又∵∠ODF=∠CMO=90°， ∴△DOF∽△MCO，   ∴， 即， ∴FD=． 【点睛】本题考查了圆的圆心角、弦、弧关系定理、圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握这些定理，灵活运用相似三角形的性质求解． 31．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，是的直径，点是弧的中点，连接并延长至点，使，点是上一点，且，的延长线交的延长线于点，交于点，连接．    (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先判断出，再判断出，即可得出结论； （2）先利用相似三角形求出，进而利用勾股定理求出，最后利用面积即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径，点是的中点， ∴， ∵，， ∴是是中位线， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线；    （2）解：由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理．利用相似三角形的性质确定的长是解题的关键． 考向四 构母子型相似 32．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）如图1，连接，则，由切线的性质可知，则，，进而结论得证； （2）如图2，连接，由为的直径，可得，证明为的中点，根据，证明即可； （3）由（2）可知，，，则，证明，则，求的值，则可得的值，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图2，连接， 由（1）可知，， ∵为的直径， ∴， ∴，即为的中点， ∴， ∴； （3）解：由（2）可知，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得， ∴， ∴， ∴的长为9． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，弦与弧的关系，相似三角形的判定与性质．熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 33．（2023·湖北黄冈·中考真题）如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据已知可得，则，又，等量代换得出，即可证明； （2）连接，证明，在中，，求得，根据得出，进而可得，根据，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，    ∵以为直径的交于点，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图， 则，    ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，平行线分线段成比例，正切的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 34．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，是的直径，是的切线，、是的弦，且，垂足为，连接并延长，交于点． (1)求证：； (2)若的半径，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定； （1）根据切线的性质以及平行线的性质得出，根据，即可得证； （2）连接，证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：是的切线， ， ， ， ， ， . （2）解：如图，连接， 是直径， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， . 35．（2023·四川达州·中考真题）如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】（1）由，为半径，可知，，则，，，如图1，连接，由，可得，则，即，进而结论得证； （2）如图2，记与交点为，连接，过作于，证明是等边三角形，则，，设半径为，则，由，，可得，证明，则，即，解得或（舍去）， 根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴，由等边对等角可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：如图2，记与交点为，连接，过作于，    ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 设半径为， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得或（舍去）， ∴， ∴ 的长为6． 【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，切线的判定，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦、正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．36 ►题型09 圆与三角函数 考向一 用已知直角 36．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，， 点D在边上，以为直径作交的延长线于点E，且．    (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定和勾股定理是解答的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，，进而得到，根据切线的判定可证得结论； （2）连接，先推导出，进而由正切定义得到，，根据勾股定理求得，进而求得，，然后再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线；    （2）解：连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∴，则， ∴，， ∵， ∴由得， 解得（负值已舍去）， ∵，, ∴由得， 解得或（舍去）， ∴，， 在中，． 37．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，为的直径，D，E是上的两点，延长至点C，连接，．    (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的半径为． 【分析】（1）利用两角对应相等两个三角形相似，得出结论； （2）连接，由圆周角定理得出，证出，由切线的判定可得出结论； （3）由相似三角形的性质得出，由比例线段求出和的长，可求出的长，则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）证明：连接，    ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （3）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴． ∴的半径为． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 考向二 作垂线构直角 38．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）如图1，锐角内接于，D为的中点，连接并延长交于点E，连接，，过C作的垂线交于点F，点G在上，连接，，若平分且． (1)求的度数． (2)若，求的值． (3)如图2，当点O恰好在上且时，求的长． 【答案】(1)90° (2) (3) 【分析】（1）先证明，结合，，可得，从而可得答案； （2）证明，可得，设，，可得，，根据勾股定理求出，可得，从而可得答案； （3）设的半径为r，过点O作于点M，连接交于点N，证明，，可得，证明，可得，，证明，，即，再解方程可得答案． 【详解】（1）解：如图1，过点C作于点H． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，D为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 设， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴； （3）解：如图2，过点O作于点M，连接交于点N． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ∴， 解得或（舍去）， 由（2）知：， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，求解锐角的正切，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 39．（2023·四川乐山·中考真题）如图，已知是的外接圆，，D是圆上一点，E是延长线上一点，连结，且．    (1)求证：直线是是的切线； (2)若，的半径为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，可知是的直径，由，可得，由，，可得，，则，由，可得，即，进而结论得证； （2）作，垂足为E，如图所示，由题意知，是等腰三角形，则，由题意知，，，可求，，，由勾股定理得，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴是的直径， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴直线是是的切线； （2）解：作，垂足为E，如图所示，    ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 由题意知，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定，的圆周角所对的弦为直径，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质，正弦，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 考向三 作垂径构直角 40．（2023·湖北武汉·二模）如图，在中，为直径，为弦，连接，交于点P，且F为的中点．    (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）由F是的中点推出，再加上公共角推出； （2）连接，交于点M，利用设，则，求出，，，证明从而求出，，最后计算即可． 【详解】（1）证明：∵F是的中点， ∵， ∴， ∵，， ∴． （2）解：连接，交于点M．    ∵， ∴，，垂直平分， ∴． ∵是直径， ∴．． 设，则， 由勾股定理得：， ∴．   在中，， ∴． ∴， ∴． 在中，，， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，同圆中同弧所对的圆周角相等，弦、弧、圆心角的关系，三角函数有关的计算，直径所对的圆周角是，勾股定理，垂直平分线的判定等知识，连接构造直角三角形求三角函数值是解题的关键． 41．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，的平分线交于点D，点O在上，以为半径的经过点D，与交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，如图，利用角平分线的定义及等边对等角的性质证明，则根据平行线的性质得到，进而证明即可； （2）先在中利用余弦的定义得到，设，则，利用勾股定理计算出，所以，则，，然后根据平行线分线段成比例定理计算的长． 【详解】（1）连接，如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵以为半径的经过点D， ∴是的切线； （2）∵， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，等边对等角，平行线分线段成比例，平行线的性质和判定，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 考向四 用直径构直角 42．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A，D的分别交于点E，F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，等边对等角得到，角平分线得到，得到，进而得到，得到，即可； （2）连接，三角函数求出的长，圆周角定理，得到，证明，得到，进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，则． ． 是的平分线， ． ． ． ． 点D在上， 是的切线． （2）解：如图，连接． ，， ，解得． 是直径， ． ． ． 又， ． 又， ， ，即． ，， ，． ， ． ． ． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 43．（2021·湖北武汉·一模）如图，⊙O过▱ABCD的顶点A，D，C，边AB与⊙O相切于点A，边BC与⊙O相交于点H． (1)求证：AB=AH； (2)若AD =，sin∠BAH = ．求⊙O的半径． 【答案】(1)详见解析 (2)⊙O的半径为． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠B=∠D，根据圆内接四边形的性质得到∠AHB=∠D，等量代换得到∠AHB=∠B，根据等腰三角形的判定定理证明结论； （2）连接AO延长分别交CD和⊙O于点P、F，连DF、OD，过A作AQ⊥BC于点Q，根据切线的性质得到AF⊥AB，进而证明根据等腰三角形的性质∠BAQ=∠FAD，进而证明∠BAH=∠DOP，根据正弦的定义以及勾股定理列式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D， ∵四边形AHCD内接于⊙O， ∴∠AHC+∠D=180°， ∵∠AHC+∠AHB=180°， ∴∠AHB=∠D， ∴∠AHB=∠B， ∴AB=AH； （2）解：连接AO延长分别交CD和⊙O于点P、F，连DF、OD，过A作AQ⊥BC于点Q， ∵AD∥BC， ∴AQ⊥AD， ∵AB与⊙O相切于点A， ∴AF⊥AB， ∴∠QAD=∠BAF， ∴∠BAQ=∠FAD， ∵AB=AH， ∴∠BAH=2∠BAQ， ∵OA=OD， ∴∠DOP=2∠FAD， ∴∠BAH=∠DOP， ∵sin∠BAH = ， ∴sin∠DOP= = ， 设DP=8a，DO=17a， ∴OP=15a， ∴AP=17a+15a=32a， 在Rt△ADP中，AD2=AP2+DP2，即()2=(32a)2+(8a)2， 解得：a=， ∴⊙O的半径为DO=17×=． 【点睛】本题考查的是切线的性质、平行四边形的性质、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 考向五 用切线构直角 44．（2024·福建漳州·二模）如图， 是的直径，点C在上，交于点D，为的切线．    (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由切线的性质和圆周角定理可得，．由平行线的性质可得，由此可得，又由可得． （2）先证，再证，则可得，求出的长，则可得，即可求解． 本题考查了圆与三角形的综合，切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质．遇切线连半径，这是常用的解题思路．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明： 如图， 连接，   是 的切线， ． 是 的直径， ． ， ， ，， ． ， ， ． （2）由（1） 知， ， ． ，， ， ， ， ，     ， ． 45．（2024·陕西西安·一模）如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接．    (1)求证：； (2)若的半径为6，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，解直角三角形及正方形与相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解决此题的关键， （1）连接，根据切线的性质得出，再由平行线的性质得出，利用圆周角定理及等腰直角三角形的性质即可证明； （2）设与交于点，根据平行线的性质得出，根据，求得，进而勾股定理求得，过点作 于点．．，等面积法求得，进而根据为等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图所示：    ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，设与交于点，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为6， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 过点作于点F， ∴， 由（1）得， ∴为等腰直角三角形， 故 ． 46．（20-21九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰Rt△ABC中，，点D是以AB为直径的⊙O上一点，连接BD，CD，BD交AC于点P，且． （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）求cos∠BPC的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）连OD，根据可得，在⊙O中，可得到，进而得到，结论得证； （2）连OD，OC交BD于H，先证得∠ABD=∠BOC，则可得，设，则，，，根据∠ADB=90°及AD∥CH，可得到，继而可求得，Rt△PHC中，根据勾股定理可求得PC，继而可求出． 【详解】（1）证明：连OD， ∵， ∴ ， 在⊙O中， ∴， ∴， 即， 又∵点D在⊙O上， ∴CD为⊙O的切线 ； （2）连OD，OC交BD于H， ∵BC=CD，OB=OD， ∴OC垂直平分BD， ∴∠ABD+∠BOH=∠BCO+∠BOH=90°， ∴∠ABD=∠BCO， ∵Rt△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=BC， 又∵， ∴， ∴， 设，则，，， ∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∴AD∥CH， ∴， ∴， 在Rt△PHC中，由勾股定理得： ， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定、直角三角形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是综合运用相关知识解题． 考向六 等角转换 47．（2024·广东广州·一模）如图，内接于，，的延长线交于点． (1)求证：平分； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)证明见详解； (2)；． 【分析】（1）延长交于，连接，证明，在线段的垂直平分线上，得出，再由等腰三角形的性质即可得出结论； （2）延长交于，连接，则是的直径，可得，由圆周角定理得出，可得，求出的长，由勾股定理求出，利用平行线判定出，由相似三角形的比值关系求出，即可得到；由三角形的中位线定理求出的长，再通过勾股定理求即可． 【详解】（1）延长交于，连接，如图所示： ∵，， ∴，在线段的垂直平分线上， ∴， 又∵， ∴平分； （2）延长交于，连接，如图所示： ∴是的直径， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴， ∵，， ∴是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴ ， ∴在中：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的性质及判定，三角函数等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． 48．（2024·福建莆田·模拟预测）如图，中，，以为直径的交边于点D，过点D作的切线交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，则，再根据切线的性质得到，所以； （2）连接．根据为的直径，得出，证出．再根据，得出．在中，算出，利用正切的定义得到即可求解． 【详解】（1）解：连接． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵是的切线， ∴， ∴． （2）解：连接． ∵为的直径， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 在中，，， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出辅助线． 49．（2024·四川巴中·一模）如图，在中，，以为直径的分别交于点D、E，点F在的延长线上，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题属于圆的综合题，主要考查了切线的判定与性质、直角所对的圆周角是直角、解直角三角形等知识点，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理及勾股定理． （1）连接．欲证是的切线，只需证明即可； （2）根据，，求得，进而求得，过点作于点，则．解直角三角形求得，然后由三角形相似知，从而求得的值． 【详解】（1）证明：连接． 为的直径， （直径所对的圆周角是直角）， （直角三角形的两个锐角互余）； ，， 平分，即； ， ， ，即， 是半径， 为的切线； （2）解：由（1）知：，，， ， ， ， 过点作于点． ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即， ． 圆中的计算问题常常作为考试中的压轴题出现，其综合性强、涉及知识点多，对学生的逻辑思维和解题技巧提出了较高要求。以下是针对圆中计算的压轴题的一些解题思路，希望能为考生提供有效的解题策略。 一、明确已知条件，画出准确图形 首先，仔细阅读题目，明确给出的所有已知条件，包括圆的半径、弦长、圆心角、切线等。根据这些条件，画出准确的图形，有助于直观理解问题。在画图过程中，注意标注已知的长度、角度等关键信息。 二、运用圆的基本性质 1. 切线的性质：切线垂直于过切点的半径。 2. 圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。 3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 4. 相似三角形的判定与性质：利用相似三角形求解线段长度或角度。 三、选择合适的解题方法 根据题目类型和已知条件，选择合适的解题方法至关重要。以下是几种常用的解题方法： 1. 勾股定理：在直角三角形中，利用勾股定理求解边长。 2. 三角函数：已知角的三角函数值，利用三角函数关系求解相关边长。 3. 相似三角形：通过证明三角形相似，利用比例关系求解未知线段长度。 4. 构造辅助线：通过作辅助线（如半径、切线、中位线等），将复杂图形分解为简单图形，便于利用已知定理进行求解。 四、分类讨论与综合应用 对于复杂的圆中计算问题，常常需要进行分类讨论。例如，当题目中存在动点或不确定的位置关系时，需要根据不同情况分别进行分析。此外，综合运用代数和几何方法，将几何问题转化为代数问题（如建立坐标系、使用参数方程等），有助于解决一些复杂的计算问题。 五、实战演练与总结反思 通过大量的实战演练，熟悉各种题型和解题技巧。在解题过程中，注意总结常见错误和解题思路，形成自己的解题策略。同时，定期回顾错题，加深对知识点的理解和记忆。 总之，圆中的计算（压轴题）虽然难度较大，但只要掌握了基本性质和解题方法，通过大量的练习和总结反思，就能够有效提高解题能力，取得理想的成绩。 1．（2025·浙江宁波·一模）如图，已知内接于，点M为的中点，连接交于点E，且C为弧的中点，连接 ，在上存在点 H，使得    若 ， 则的长（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，证明，可得，即，设，则，证明，可得，过作于，作于，结合面积法可得：，再进一步建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点M为的中点， ∴， ∵C为弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 同理可得：， ∴， ∵，， ∴， 过作于，作于， ∴， 由面积法可得：， ∴， 解得：， ∴； 故选：C 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 2．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是等边三角形的外接圆，点D是的中点，连结．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，阴影部分的面积为，则等边三角形的边长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过D作于E，利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出，利用弧、弦的关系证明，利用三线合一性质求出 ，在中，求出，最后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过D作于E， ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，灵活应用以上知识是解题的关键． 3．（22-23九年级上·江苏扬州·期中）如图，在锐角三角形中，分别以三边为直径作圆，记三角形外的阴影面积为，三角形内的阴影面积为，在以下四个选项的条件中，不一定能求出的是（    ） A．已知的三条中位线的长度 B．已知的面积 C．已知的长度及 D．已知的长度，以及的长度和 【答案】D 【分析】由题意，推出．再一一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． A、若已知的三条中位线的长度，即可得到三边的长度，利用海伦公式是三角形的三边，，可求得三角形的面积，即可得到的值，故本选项不符合题意； B、已知的面积，即可求得的值，故本选项不符合题意； C、如解图，过点A作于点D． ∵， 在和中， ∴， ∴，据此即可求得的值，故本选项不符合题意； D、∵已知两边长度和， ∴的长度不确定， ∴的面积也不确定， ∴不一定能求出的值，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题三角形综合题，考查了三角形的面积，圆等知识，解题的关键是学会用割补法求阴影部分的面积，本题的突破点是证明． 4．（2025·湖北·模拟预测）如图，在菱形中，，，点E、F分别在、上，且，连接、交于点G，则的度数为 ，四边形面积的最大值为 ． 【答案】 /度 【分析】如图，连接，证明．可得．，证明点B，C，D，G四点共圆．如图，连接交于，过作于，过作于，可得当经过圆心O时，取得最大值，取得最大值，四边形面积取得最大值，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是菱形，， ∴为等边三角形，， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴点B，C，D，G四点共圆． 如图，连接交于，过作于，过作于， ∴四边形面积， ∵，， ∴当经过圆心O时，取得最大值，取得最大值， ∴四边形面积取得最大值， 此时， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为4． ∴四边形面积取得最大值为； 故答案为：，． 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 5．（2025·陕西·模拟预测）如图，在菱形中，，，点分别在边和上，且．当的面积最大时，的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、垂径定理、锐角三角函数、隐形圆求最值问题等知识，利用圆的相关知识得到的面积最大是解答的关键．作的外接圆，设圆心为O，过O作于H，过A作于P，由，当A、O、H共线时取等号，此时最大，点P、H重合，，则的面积最大；设、相交于，由菱形的性质和锐角三角函数分别求得，再由垂径定理和等腰三角形的性质证得点A、O、P、、C共线，进而求得，则，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴作的外接圆，设圆心为O，过O作于H，过A作于P，如图，则， ∴，当A、O、H共线时取等号，此时最大，点P、H重合，， ∵， ∴最大时，的面积最大； 如图1，设、相交于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴点A、O、P、、C共线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2025·上海徐汇·一模）如图，四边形中，，如果，且，那么的长是 （用含的式子表示）． 【答案】 【分析】延长，过点D作，交的延长线于点H，证明A、B、C、D四点共圆，得出，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理得出，即，求出，即可得出答案． 【详解】解：延长，过点D作，交的延长线于点H，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴A、B、C、D四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 即， ∴，（舍去）， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了四点共圆，圆内角四边形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆内接四边形的判定和性质． 7．（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ． 【答案】或或2 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， 将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故答案为：或或2． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，内接于⊙，⊙的弦交于点，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在上，连接交于点，连接、，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，，若，的面积为6，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用圆周角定理和角的等量关系求出，即可证明； （2）根据直径所对应的圆周角是，结合第（1）问，利用角的等量关系求出，即可证明； （3）连接，过点作于，过点作于；由（1）知，从而得，则；由对顶角相等及同弧对的圆周角相等，可得；设，由（2）及已知易得，从而，则；设，则，; 由等腰直角三角形的性质及勾股定理分别求得，由面积关系建立方程即可求得的值；再证明，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解： ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：作⊙的直径，连接，如图， 是⊙的直径， ， ， ， 由（1）得， 又 ， ， ， ． （3）解：如图，连接，过点作于，过点作于； 由（1）知； ∵， ∴， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 设，则； 由（2）知， ∴，； ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 设，则； ∵， ∴，; ∵，， ∴都是等腰直角三角形， ∴，， ∴； ∵， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）； ∴，， 由勾股定理得：； ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是圆的综合问题，主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点的综合运用，第（3）小题得到是解题的关键． 9．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在四边形中，，的平分线交于，过三点的圆交于，且恰好是圆的切线，是上一点，连接． (1)求的度数； (2)当是圆的直径， ①求证：四边形是平行四边形； ②若是的中点，，求的长． 【答案】(1) (2)①见解析；（2） 【分析】（1）连接，证明是直径，从而可证，求出，然后根据等弧所对的圆周角相等即可求解； （2）①连接，求出可证，再证明可得，从而可证四边形是平行四边形； ②延长相较于点H，先求出，，再求出，证明得，代入数据即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴是直径． ∵是圆的切线， ∴． ∵的平分线交于， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）①证明：连接， ∵，是圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②解：延长相较于点H， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，切线的性质，平平行四边形的判定，等角对等边，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 10．（2025·四川成都·一模）已知点是以为直径的圆上一点，连结，在上截取，连结并延长交圆于点，连结，设． (1)如图1，若时，求度数； (2)如图2，过点作，证明：； (3)如图3，若，连结并延长，交的延长线于点，设的面积为，设面积为，用含的代数式表示． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，作于点，由等腰三角形的性质可得，由圆周角定理可得，则，据此求解； （2）连接，由两角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，由对顶角的性质可得，则，推出，据此证明； （3）作的垂直平分线，交于，则，由外角的性质可得，由（2）知，则，结合三角函数的概念可得 ，设，由勾股定理可得，表示出，进而可得，由圆周角定理可得，由两角对应相等的两个三角形相似可得，然后根据相似三角形的性质进行解答． 【详解】（1）解：连接，作于点，如图所示： ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ； （2）证明：连接，如图所示： ，， ， ，， ，， ，，， ， ， ， ， ； （3）解：作的垂直平分线，交于，连接，如图所示： ， ， ， 由（2）知：， ， ， ， 设，，， ， ， 在中，，则， ， 是直径， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查圆综合，难度较大，涉及等腰三角形性质、圆周角定理、三角形相似的判定与性质、对顶角相等、垂直平分线性质、外角性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握圆的相关性质及相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． $$