热点02 方程与不等式（16大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用）

热点02 方程与不等式 上海中考“方程与不等式”考情与备考方向如下： 考情特点：本土化情境建模，如2022年以“轨交换乘最短时间”为背景列分式方程（涉及上海地铁线路），2023年结合“垃圾分类成本优化”设计不等式组（静安模拟题改编）。 高频考点：① 分式方程必考检验增根（如2021年书店购书方案）；②二次方程判别式与几何结合，如2020年“进博会矩形展区”面积问题；③含参不等式（2022年徐汇模拟题“共享单车投放量”需讨论整数解）。 备考方向：① 强化上海特色应用题，如“五大新城”建设中的工程进度方程（2023松江模拟）；② 新定义题型参考2021年杨浦区“阶梯电价”分段函数与不等式；③ 真题拓展训练如2019年“老字号品牌利润最大化”需联立二次方程与不等式，体现代数工具对实际问题的转化能力。 2025年备考热点： 1．深度本土融合：预计结合上海＂十四五＂收官阶段重大工程（如北横通道建设，长三角生态绿色示范区）设计分式方程或不等式模型，参考2024年浦东＂智能交通调度＂含参方程题。 2．科技与政策导向：融入＂人工智能＋＂场景（如AI医疗资源分配方程），双碳目标下的能源优化不等式（类似2024年虹口模拟＂光伏发电量匹配＂）。 3．跨学科创新题：或借鉴2024年杨浦区＂生物制药浓度配比＂新定义方程，需结合化学知识建立动态数学模型。 核心方向： 参数讨论精细化：如2024徐汇三模＂社区智慧物流＂需多参数联动分析，强化分类讨论能力。 高开放性探究：2025 静安二模预测题＂老城厢改造经济平衡点＂，要求从数据中自主构建方程并验证合理性。 数智结合：可能引入简易代码逻辑（如循环语句中的代数关系），呼应上海数字化转型战略。 备考建议： （1）关注上海＂五大中心＂建设（科创，金融等）中的数学建模案例； （2）强化复杂参数题的逻辑链梳理（如参数范围解集 实际意义）； （3）真题拓展聚焦2024年＂临港新区产业链＂类综合题，提升从冗杂信息中抽象方程的能力。 考向一：一元一次方程 【题型1 解一元一次方程】 高频陷阱与对策 1．去分母漏乘项： 错误：仅乘分母中的项，忽略常数项。 对策：用括号将所有项括起来再乘。 2．移项符号错误： 错误：移项后未改变符号（如。 对策：牢记＂移项变号＂，可用箭头标记方向。 3．合并同类项错误： 错误：将不同类项强行合并（如）。 对策：仅合并含相同未知数的项。 4．分数方程增根： 错误：解分式方程后未检验分母是否为零。 对策：将解代入原方程分母验证。 口诀：去分母，括号开，移项变号莫心哀，合并同类简化快，系数归一解出来! 1．（2023•奉贤区模拟）如果与的值互为相反数，那么等于　　 A． B．1 C． D．3 【答案】 【分析】根据题意得，然后解出的值即可． 【解答】解：与的值互为相反数， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了解一元一次方程，相反数，解题的关键是明确两数互为相反数，它们的和为0． 2．（2022•徐汇区校级模拟）方程的解是　 　． 【分析】方程移项合并，把系数化为1，即可求出解． 【解答】解：方程移项合并得：， 解得：， 故答案为：5 【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【题型2 一元一次方程的应用】 一、解题核心步骤 1．审：明确已知条件和所求问题。 2．设：设未知数（直接设或间接设）。 3．列：根据等量关系列方程。 4．解：解方程并检验。 5．答：规范作答，标注单位。 二、常见题型与公式 1．行程问题 基本公式：路程速度时间 相遇问题：路程和速度和时间 追及问题：路程差速度差时间 2．利润问题 利润售价-成本，利润率利润成本 折扣问题：实际售价原价折扣率 3．工程问题 工作量工作效率时间 合作效率各效率之和 4．年龄问题 年龄差恒定，年龄增长同步。 1．（2024•宝山区二模）《孙子算经》记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木多出1尺．那么长木的长度为 　 　尺． 【答案】6.5． 【分析】设木长尺，则绳子长为尺，再由将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺列出方程求解即可． 【解答】解：设木长为尺， 根据题意得：， 解得， 答：木长6.5尺． 故答案为：6.5． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，读懂题意，找到等量关系列方程是解题的关键． 2．（2022•宝山区二模）《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．”意思是：有一群人共同出资买某物品，每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．那么根据条件，该物品值 　 　钱． 【分析】设有人，根据物品的价格不变，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，即可解决问题． 【解答】解：设有人， 依题意，得：， 解得：， 则， 即该物品值53钱， 故答案为：53． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 考向二：二元一次方程组 【题型3 二元一次方程的定义与解】 解法技巧 1．代入消元法 步骤： （1）用一个方程表示一个未知数（如）； （2）代入另一方程消元； （3）解一元一次方程； （4）回代求另一未知数。 2．加减消元法 步骤： （1）调整系数使某未知数系数相同或相反； （2）两方程相加减消元； （3）解一元一次方程； （4）回代求另一未知数。 例：解方程组 加减消元：两式相加得，回代得 。 口诀记忆：二元一次两变量，次数为 1整式藏:代入消元先变形，加减消元系数忙，解要成对写联立，符导检查不能忘。通过明确概念、掌握解法和规避易错点，可快速突破二元一次方程相关题目 1．（2022•杨浦区二模）下列方程中，二元一次方程的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义可得答案． 【解答】解：．含有2个未知数，未知数的项的最高次数是2的整式方程，不属于二元一次方程，不符合题意； ．含有1个未知数，未知数的项的最高次数是2的整式方程，不属于二元一次方程，不符合题意； ．含有2个未知数，未知数的项的最高次数是1的整式方程，属于二元一次方程，符合题意； ．是分式方程，不属于二元一次方程，不符合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 2．（2024•静安区校级模拟）求证：方程有无数多解． 【答案】见详解． 【分析】将方程化为，得出当取任意一个实数，则有对应的值，即可证明． 【解答】证明：方程可化为， 当时，， 当时，， 当时，， 以此类推，当取任意一个实数，则有对应的值， ，可以取任意值， 此时方程有无数组解． 【点评】该题主要考查了二元一次方程的解，正确理解题意是解题的关键． 【题型4 二元一次方程的应用】 易错点与避坑 遗漏方程：需根据两个不同条件列两个方程。 单位不统一：解题前统一单位（如分钟小时）。 解不实际：如人数为负数，时间为分数天等需舍去。 1．（2023•静安区二模）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”其意思就是：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．那么大和尚有 　 　人． 【答案】25． 【分析】设小和尚有人，大和尚有人，由题意：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设小和尚有人，大和尚有人， 由题意得：， 解得：， 即大和尚有25人， 故答案为：25． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（2024•金山区二模）如图，某农业合作社为农户销售草莓，经过测算，草莓销售的销售额（元和销售量（千克）的关系如射线所示，成本（元和销售量（千克）的关系如射线所示． （1）当销售量为 　 　千克时，销售额和成本相等； （2）每千克草莓的销售价格是 　　元； （3）如果销售利润为2000元，那么销售量为多少？ 【答案】（1）20； （2）20； （3）如果销售利润为2000元，那么销售量为多220千克． 【分析】（1）由图直接可得答案； （2）由20千克草莓销售额为400元列式计算即可； （3）求出，，再根据销售利润为2000元列方程计算即可． 【解答】解：（1）由图可知，当销售量为20千克时，销售额和成本相等； 故答案为：20； （2）（元千克）， 每千克草莓的销售价格是20元； 故答案为：20； （3）设，， 根据图象可知，，， 解得，， ，， 销售利润为2000元， ， 解得， 如果销售利润为2000元，那么销售量为多220千克． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． 考向三：一元二次方程 【题型5 解一元二次方程】 一、核心解法与适用条件 1．直接开平方法 适用：形如。 步骤：开平方得，解出。 2．配方法 步骤： （1）二次项系数化为1； （2）常数项移右边； （3）配方（两边加一次项系数一半的平方）； （4）开平方求解。 3．公式法 公式：（判别式）。 步骤：先算，再代入公式。 4．因式分解法 适用：方程可化为。 步骤：分解因式后，令每个因式为0求解。 二、判别式与根的关系 ：有两个不等实根。 ：有两个相等实根。 ：无实根（初中阶段）。 三、易错点与避坑 1．配方法错误： 忘记将二次项系数化为1（如需先除以2）。 2．公式法符号错误： 代入公式时忽略负号（如中的负号）。 3．因式分解不彻底： 分解后仍有可分解的二次项（如）。 4．忽略实际意义： 解应用题时未舍去负数解或不合理解。 四、口诀记忆 “先看能否因式分，常数移项再配方公式法是万能药，判别式前要先算解后勿忘检验根，实际问题要筛选。通过掌握解法步骤、强化判别式应用和规避常见错误，可快速准确解一元二次方程。 1．（2022•普陀区二模）如果关于的方程没有实数根，那么实数的取值范围是 　 　． 【答案】． 【分析】根据负数没有平方根，即可解答． 【解答】解：如果关于的方程没有实数根，那么实数的取值范围是：， 故答案为：． 【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握负数没有平方根是解题的关键． 2．（2022•黄浦区二模）解方程：． 【分析】观察可得方程最简公分母为．去分母，转化为整式方程求解．结果要检验． 【解答】解：方程两边同乘以得：（1分） ，（2分） 整理得：，（2分） 解得：，，（3分） 经检验：是原方程的增根，（1分） 所以，原方程的解为．（1分） 【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解； （2）解分式方程一定注意要验根． 【题型6 根的判别式】 一、核心知识 1．定义 对于一元二次方程，判别式。 2．根的情况 ：方程有两个不等实根。 ：方程有两个相等实根。 ：方程无实根（初中阶段）。 二、应用技巧 1．求参数范围 已知根的情况，求参数值或范围。 例：若方程有实根，求。 解：或 2．证明根的情况 通过配方或计算证明根的存在性。 例：证明方程总有实根。 解：，故总有实根。 3．结合韦达定理 已知根的情况，求参数与根的关系。 例：方程有两正根，求。 解：且。 三、易错点与避坑 1．忽略二次项系数 确保方程为一元二次方程。 例：若方程有实根，求。 解：需且且。 2．符号错误 计算时注意符号（如非负）。 例：方程的。 3．实际问题检验 参数需符合实际意义（如边长非负）。 1．（2024•上海）以下一元二次方程有两个相等实数根的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】求出的根为或，的根为或，可知，不符合题意；由得△，知不符合题意；由知△，知符合题意． 【解答】解：的根为或， 有两个不等实数根，故不符合题意； 的根为或， 有两个不等实数根，故不符合题意； 由知△， 有两个不等实数根，故不符合题意； 由知△， 有两个相等实数根，故符合题意； 故选：． 【点评】本题考查解一元二次方程和一元二次方程的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个相等实数根需满足△． 2．（2024•金山区二模）关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据根的判别式的意义得到△，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得△， 解得， 即的取值范围为． 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 3．（2024•长宁区二模）关于一元二次方程根的情况，正确的是　　 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有且只有一个实数根 D．没有实数根． 【答案】 【分析】先计算出根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断． 【解答】解：△， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 【题型7 一元二次方程的应用】 一、解题核心步骤 1.审:明确问题类型(增长率、面积、利润等)，标注关键数据。 2.设:设未知数(直接设或间接设)。 3.列:根据等量关系列一元二次方程 4.解:用因式分解法、公式法或配方法解方程。 5.验:检验解是否符合实际意义(如舍去负数解、超范围解)。 6.答:规范作答，标注单位。 二、常见题型与公式 1．增长率问题 公式：（为初始量，为增长率，为期数）。 例：原价100元，两年后为121元，求年增长率。 方程： 。 2．面积问题 矩形面积：长宽；路径问题：原面积-剩余面积路径面积。 例：矩形长比宽多2 cm，面积，求长和宽。 设宽，则长，方程：，长 。 3．利润问题 总利润（售价-成本）销量；销量随售价变化时需找函数关系。 例：单价10元，销量50件，每涨1元少卖5件，求最大利润。 设涨价元，利润 ，求顶点得，最大利润元。 4．握手／比赛问题 单循环赛：场；双循环赛：场。 例：同学互送贺卡共90张，求人数。 设人，方程：。 三、易错点与避坑 1．忽略二次项系数：确保方程为一元二次方程（二次项系数）。 2．解的实际意义： 舍去负数解（如时间，长度为负）。 舍去超范围解（如增长率超过100\％）。 3．等量关系错误： 例：＂降价后销量增加2倍＂应为销量原销量，而非+2。 1．（2022•上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为 　 　． 【分析】设平均每月的增长率为，根据5月份的营业额为25万元，7月份的营业额为36万元，表示出7月的营业额，即可列出方程解答． 【解答】解：设平均每月的增长率为， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去） 所以平均每月的增长率为． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于的一元二次方程是解题的关键． 2．（2024•静安区校级二模）为了全面落实“双减”政策，促进学生整体素质的均衡发展，师一学校小学部语文组的老师带领孩子们“泛舟书海”，举办了一系列丰富多彩的读书活动．小狮宝们纷纷把自己收藏的图书带到学校，充实班级“图书漂流角”和移动绘本小屋．语文组的老师对小学部借阅登记簿进行统计时发现，在4月份有1000名学生借阅了图书，5月份比4月份增加，6月份全校借阅图书人数比5月增加340人． （1）5月份借阅图书的学生人数 　 　，6月份借阅图书的学生人数 　　． （2）求从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率？ （3）由于小学部小狮宝们读书情绪十分高涨，于是在国庆节后，学校决定派图书室陈老师去锦江区“幸福里书屋”再购买一批图书，书店老板透露在九月底他以每本8元的价格进货500本图书，然后按照每本9.6元的价格在国庆节全部售出：国庆节后老板去进货发现进货价上涨了，进货量比九月底增加，他以12元的价格全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求的值． 【答案】（1）1100人，1440人； （2）； （3）． 【分析】（1）由题意分别列式计算即可； （2）设从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率为，根据在4月份有1000名学生借阅了图书，6月份全校借阅图书人数比5月增加340人．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）根据比国庆节的总利润多1200元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）5月份借阅图书的学生人数是：（人， 6月份借阅图书的学生人数为：（人， 故答案为：1100人，1440人； （2）设从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率为， 由题意得：， 解得：（负值已舍去）， 答：从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率为； （3）由题意得：， 设， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（2024•嘉定区二模）某企业在2022年1至3月的利润情况见表． 月份数 1 2 3 利润数（万元） 96 ？ 100 （1）如果这个企业在2022年1至3月的利润数是月份数的一次函数，求2月份的利润； （2）这个企业从3月份起，通过技术改革，经过两个月后的5月份获得利润为121万元，如果这个企业3月至5月中每月利润数的增长率相等，求这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率． 【答案】（1）98万元； （2）． 【分析】（1）设这个企业在2022年1至3月的利润数与月份数之间的函数关系式是，由1，3月份的利润数，利用待定系数法，即可求出关于的函数关系式，再代入，即可求出2月份的利润； （2）设这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率为，利用这个企业5月份的利润这个企业3月份的利润这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设这个企业在2022年1至3月的利润数关于月份数的函数关系式是， 将，代入得：， 解得：． 这个企业在2022年1至3月的利润数关于与月份数的函数关系式为， 当时，． 答：2月份的利润为98万元； （2）设这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：个企业3月至5月中利润数的月平均增长率为． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【题型8 高次方程】 —、核心定义 1．高次方程 未知数次数高于2的整式方程（如三次方程）。 二、解法技巧 1．因式分解法 步骤： （1）提取公因式； （2）分组分解； （3）利用公式（立方和／差，十字相乘）。 例：解方程 分解：或 。 2．换元法 适用：方程中含相同代数式（如）。 例：解方程 设，方程变为或（舍去）。 回代：。 3．特殊方程解法 双二次方程：形如，设降次。 对称方程：如，可分解为。 1．（2024•徐汇区二模）方程组的解是 　 　． 【答案】或． 【分析】方程组化为一元二次方程可解得答案． 【解答】解：由得， 代入得：， 解得或， 原方程组的解为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查解高次方程，解题的关键是把方程组化为一元二次方程． 2．（2024•宝山区校级二模）解方程组：． 【答案】或或． 【分析】整理方程组，再利用代入消元法求解方程即可． 【解答】解：方程组整理得， ②代入①得：，即， 解得：或， 将代入②得：， 解得：或， 即或； 将代入②得：， 解得：， 即； 综上，方程组的解为：或或． 【点评】本题考查了解二元二次方程组，先熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（2024•上海模拟）解方程组：． 【答案】或． 【分析】先将②式因式分解为，则可得或，再分别与①式联立求解即可． 【解答】解：由②得：， 或， 原方程组可化为两个方程组：或， 解得：或， 原方程组的解为：或． 【点评】本题主要考查了解二元二次方程组，解题的关键是将②式进行因式分解，把原方程组转化为两个二元一次方程组． 4．（2024•杨浦区二模）解方程组：． 【答案】或． 【分析】先化简组中的第二个方程，得两个二元一次方程与组中的第一个方程得新方程组，求解即可． 【解答】解：， 由②，得， ． 当，时， ，； 当，时， ，． 原方程组的解为或． 【点评】本题考查了二元二次方程组，把组中的二元二次方程化为一元一次方程，掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键． 【题型9 无理方程】 1．平方法 适用：形如的方程。 步骤： （1）两边平方消去根号； （2）解整式方程； （3）验根（代入原方程，舍去使根号无意义或等式不成立的解）。 2．换元法 适用：含重复根式或复杂结构（如）。 步骤： （1）设新变量替换根式部分； （2）解新方程； （3）回代并验根。 1．（2024•奉贤区二模）下列关于的方程中有实数根的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据根的判别式进行判断选项；根据偶次方的非负性即可判断选项；把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可判断选项；移项后根据算术平方根的非负性即可判断选项． 【解答】解：．， △， 不论为何值，， 即△， 所以方程有实数根，故本选项符合题意； ．， ， 不论为何值，， 方程无实数根，故本选项不符合题意； ．， 方程两边都乘，得， 经检验是增根， 即方程无实数根，故本选项不符合题意； ．， 移项，得， 算术平方根具有非负性，即， 方程无实数根，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了解无理方程，解分式方程，根的判别式等知识点，能选择适当的方法求解是解此题的关键． 2．（2024•崇明区二模）方程的根是 　 　． 【答案】． 【分析】将方程，移项得，再将方程两边同时平方转化为整式方程，解这个整式方程，然后再检验即可得出答案． 【解答】解：对于方程，移项得：， 方程两边同时平方，得：， 解得：， 经检验得：是方程的根． 方程的根是． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了解无理方程，熟练掌握解无理方程的一般方法是解决问题的关键． 3．（2024•静安区二模）方程的根为 　 　． 【答案】． 【分析】依据题意，，从而，可得，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意得，， ． ． ． ． ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了无理方程的意义，解题时要能根据二次根式的意义得出的范围是关键． 4．（2024•长宁区二模）方程的解是 　 　． 【答案】． 【分析】方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：， 方程两边平方，得， 解得：， 经检验：是原方程的解． 故答案为：． 【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键． 考向四：分式方程 【题型10 解分式方程】 一、核心步骤 1. 去分母 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程。注意:分母为多项式时先因式分解找公分母。 2.解整式方程 用解一元一次或二次方程的方法求解。 3.检验 将解代入原方程分母，若分母为0则为增根，舍去。 二、常见题型与技巧 1．简单分式方程 例： 解：两边乘得，检验成立。 2．含括号的分式方程 例： 解：交叉相乘得，检验成立。 3．复杂分式方程（换元法） 例： 解：设，方程变为，再联立求解。 三、易错点与避坑 1．去分母漏乘 确保方程中每一项都乘以最简公分母。 例：两边乘得（非 ）。 2．忽略检验 增根导致原方程无意义，必须检验。 例：解得 ，检验成立；若解得，则为增根。 3．符号错误 移项或去括号时注意符号变化。 例：化简为。 1．（2024•闵行区二模）分式方程的解是 　 　． 【答案】． 【分析】先根据等式的基本性质，把分式方程化为整式方程，解方程求出的值，然后进行检验，判断所求未知数是不是原分式方程的解即可． 【解答】解：， 方程两边同时乘得： ， ， 检验：当时，， 不是原分式方程的解， 当时，， 是原分式方程的解， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，注意：求出未知数的值后要检验． 2．（2024•宝山区二模）解方程：． 【答案】原方程的解是或． 【分析】通过方程两边都乘以最简公分母，将原方程化为整式方程再求解、检验． 【解答】解：方程两边同时乘， 得， 整理，得， 解得或， 检验：当时，最简公分母； 当时，最简公分母， 原方程的解是或． 【点评】此题考查了分式方程的求解能力，关键是能准确理解并运用其求解方法进行变式、计算和检验． 3．（2024•普陀区二模）解方程：． 【答案】． 【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：， ， 方程两边都乘，得， 整理得：， ， ，， 检验：当时，， 所以是分式方程的解； 当时，， 所以是增根， 所以分式方程的解是． 【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 【题型11 换元法解分式方程】 一、核心步骤 1．识别结构：观察方程中是否有重复的代数式（如）。 2．设新变量：用替换重复部分，将原方程转化为整式方程。 3．解新方程：用一元一次或二次方程解法求解。 4．回代求值：将的值代入换元式，求原未知数。 5．检验：代入原方程分母，排除增根。 二、常见题型与技巧 1．对称型方程 例： 设 ，方程变为，回代后解。 2．分母含相同代数式 例： 设，方程变为，回代得。 3．高次分式方程 例： 配方为设，解得，再解或。 三、易错点与避坑 1．换元后忽略定义域 新变量需满足原方程分母不为零（如中）。 2．回代后漏解 解后需回代所有可能的解（如和 ）。 3．忘记检验 即使有解，回代后的仍需代入原方程检验。 1．（2023•上海）在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设，则，原方程可变为：，再去分母得，即可得出结论． 【解答】解：设，则， 分式方程可变为：， 去分母得：， 整理得：， 故选：． 【点评】本题考查换元法解分式方程，熟练掌握换元法是解题的关键． 2．（2023•长宁区二模）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由设出的，将方程左边两项代换，得到关于的方程，整理后即可得到结果． 【解答】解：设， 方程化为， 整理得：． 故选：． 【点评】此题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根． 3．（2024•嘉定区二模）用换元法解方程：时，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程是 　 　． 【答案】． 【分析】根据设，则方程可转化为：，然后再去分母，将该分式方程转化为整式方程即可． 【解答】解：设，则方程可转化为：， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了换元法，熟练掌握换元法是解决问题的关键． 【题型12 分式方程的应用】 一、解题核心步骤 1．审：明确问题类型（行程，工程，利润等），标注关键数据。 2．设：设未知数（直接设所求量，或间接设关联量）。 3．列：根据分式关系列方程（如速度 路程 时间，效率 工作量 时间）。 4．解：解分式方程并检验增根。 5．验：验证解是否符合实际意义（如时间非负，人数为整数）。 6．答：规范作答，标注单位。 二、常见题型与公式 1．行程问题 速度路程／时间： 相遇问题：（时间相等） 2．工程问题 效率工作量／时间： 合作效率效率和： 3．利润问题 利润率利润成本：利润率 - 折扣问题：实际售价原价折扣率 4．其他问题 浓度问题：浓度 比例分配：按比例设未知数（如甲：乙 ，设甲，乙）。 三、易错点与避坑 1．单位不统一： 解题前统一单位（如分钟小时，千米米）。 2．忽略实际意义： 舍去使分母为零的解，或不符合实际的解（如时间为负数）。 3．等量关系错误： 例：＂甲比乙多用2小时＂应为，而非 4．分式方程解法错误： 去分母时漏乘常数项，或忘记验根。 1．（2024•静安区校级二模）“五一劳动节”期间，某校开展了以“劳动光荣”为主题的教育活动，该校组织全校教师和部分学生去郊区植树，已知老师平均每小时比学生多植5棵，且老师植树60棵所需的时间与学生植树45棵所需的时间相同，老师平均每小时植树　　 A．10棵 B．15棵 C．20棵 D．25棵 【答案】 【分析】设老师平均每小时植树棵，根据“老师植树60棵所需的时间与学生植树45棵所需的时间相同”列分式方程，解方程即可． 【解答】解：设老师平均每小时植树棵， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意， 老师平均每小时植树20棵， 故选：． 【点评】本题考查了分式方程的应用题，理解题意并根据题意建立分式方程是解题的关键． 2．（2023•青浦区二模）某中学初三年级在“阳光体育”活动中，参加各项球类运动的数据信息制作成了扇形统计图，如图所示．已知参加乒乓球运动的人数有80人，请根据图中的信息解决下列问题． （1）求参加篮球和足球运动的总人数； （2）学校为本次活动购买了一些体育器材，其中购买的篮球和足球的数量是根据参加的人数每人一只配备的，购买篮球的费用是3000元，购买足球费用是2400元，并且篮球的单价比足球的单价便宜10元．请你帮助计算一下，参加篮球运动和足球运动的学生各有多少人？ 【答案】（1）100人； （2）参加篮球运动的学生有60人，参加足球运动的学生有40人． 【分析】（1）根据参加乒乓球运动的人数和所占的百分比求得本次调查的总人数，然后用总人数乘以参加篮球和足球运动的百分比即可； （2）设参加篮球运动的学生有人，也就是购买了只篮球．根据篮球的单价比足球的单价便宜10元列出方程，即可求解． 【解答】解：（1）（人， （人． 故参加篮球和足球运动的总人数为100人； （2）设参加篮球运动的学生有人，也就是购买了只篮球． 根据题意，得， 整理，得， 解得，． 经检验，都是原方程的根，但不符合题意，舍去． 则参加足球运动的学生有：（人． 答：参加篮球运动的学生有60人，参加足球运动的学生有40人． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及扇形统计图，从统计图中获取有用信息是解答第（1）小题的关键，理解题意找准等量关系列出方程是解答第（2）小题的关键． 考向五：不等式与不等式组 【题型13 不等式的性质】 一、核心性质 1．传递性 若且，则。 例：且。 2．加法性质 若，则（不等号方向不变）。 例：。 3．乘法性质 正数：若且，则（方向不变）。 负数：若且，则（方向改变）。 例： 且。 且。 二、变形易错点 1．乘除负数末变号 错误：（正确应为）。 2．分式不等式忽略分母符号 例： 需分情况讨论： （1）且； （2）且。 3．不等式与等式混淆 错误：解时，误写成（正确）。 1．（2024•杨浦区二模）已知，下列不等式成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：已知， 两边同乘得，则不符合题意； 两边同乘，再同时加2得，则符合题意； 两边同乘2得，则不符合题意； 两边同时减得，则不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 2．（2024•松江区二模）如果，为任意实数，那么下列不等式一定成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据不等式的性质分析判断． 【解答】解：， 当时，，故选项不符合题意； 当时，，故选项不符合题意； ，是任意实数， ， ，故选项不符合题意，选项符合题意． 故选：． 【点评】此题考查了不等式的性质，注意解此题的关键是掌握不等式的性质． 3．（2024•上海）如果，那么下列正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：如果，两边同时加上5得，则不符合题意； 如果，两边同时减去5得，则不符合题意； 如果，两边同时乘5得，则符合题意； 如果，两边同时乘得，则不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查不等式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 【题型14 解一元一次不等式】 一、核心步骤 1．去分母 两边同乘最简公分母，注意分母不为零。 例：乘2得。 2．去括号 分配律展开，注意符号变化。 例：。 3．移项 含未知数项移左边，常数项移右边，移项变号。 例：。 4．合并同类项 简化表达式。 5．系数化为1 两边除以系数，若系数为负数，不等号方向改变。 例：。 二、易错点与避坑 1．去分母漏乘 确保每一项都乘公分母（包括常数项）。 例：误算为（正确应为）。 2．系数化为1时忘记变号 除以负数时必须改变不等号方向。 例：（非 ）。 3．移项未变号 例：（非）。 4．解集表示错误 数轴上用空心圈（不包含）或实心点（包含），箭头方向正确。 例：表示为实心点在2，向右延伸。 1．（2024•宝山区校级二模）若，则 　 　． 【答案】． 【分析】先判断出的符号，再把的系数化为1即可． 【解答】解：， ， ，即． 故答案为：． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 2．（2024•虹口区二模）解不等式：的解集为 　 　． 【答案】． 【分析】按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可求解． 【解答】解：， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 化系数为1，， 故答案为：． 【点评】本题主要考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． 3．（2024•宝山区二模）不等式的解集是 　 　． 【答案】． 【分析】根据不等式的性质：先分母，再移项，合并同类项即可． 【解答】解：去分母，得． 移项，得． 【点评】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质，能求一元一次不等式的解集． 【题型15 解一元一次不等式组】 一、核心步骤 1．分别解每个不等式 按解一元一次不等式的步骤求解（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1）。 2．确定解集的公共部分 用数轴法或口決法找交集： 口诀： 同大取大且，取较大数）。 同小取小 且，取较小数）。 大小小大中间找 且，取 。 大大小小找不到（且 ，无解）。 二、解集合并技巧 1．数轴法 在数轴上画出每个不等式的解集，重叠部分即为不等式组的解集。 例： 不等式组 的解集为。 2．口決法 直接根据口诀快速判断解集： 例：解集为（大小小大中间找）。 三、易错点与避坑 1．解单个不等式错误 系数化为1时，若系数为负，忘记改变不等号方向。 例：解（非）。 2．解集合并错误 忽略＂且＂与＂或＂的区别（不等式组需同时满足所有条件）。 例：无解（大大小小找不到）。 3．端点值处理 注意不等式是否包含等号（实心点／空心圈）。 例： 解集为。 1．（2024•奉贤区二模）不等式组的解集是 　 　． 【答案】． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 故答案为：． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 2．（2024•徐汇区二模）不等式组的解集是 　 　． 【答案】． 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 故答案为：． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 3．（2024•普陀区二模）不等式组的解集是 　 　． 【答案】． 【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集． 【解答】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 该不等式组的解集是， 故答案为：． 【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 【题型16 一元一次不等式组的整数解】 一、确定整数解范围 在解集区间内列出所有整数，注意端点是否包含。 例：解集的整数解为。 二、快速定位整数解技巧 1．数轴法 在数轴上画出解集区间，直接标出整数点。 例：解集的整数解为。 2．范围缩定法 用不等式明确整数范围（如是正整数，则）。 例：求为自然数且，解为。 3．参数讨论法（含参数的不等式组） 根据整数解的个数反推参数范围。 例：若的最小整数解为3，则。 三、易错点与避坑 1．端点值混淆 注意不等式是否含等号（如包含不包含）。 2．实际意义约束 应用题中需结合实际（如人数，天数为非负整数）。 例：解为，实际整数解为。 3．参数取值范围错误 例：若不等式有3个整数解，则的范围为（需具体分析）。 1．（2024•宝山区校级二模）若关于的一元一次不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为： ， 不等式组恰有两个整数解， ， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2．（2023•长宁区二模）不等式组的正整数解是 　 　． 【答案】3、4． 【分析】先解不等组，再找出正整数解． 【解答】解：解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， 所以不等式组的解集为：， 所以的正整数解为：3、4， 故答案为：3、4． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式组的解法是解题的关键． 3．（2024•静安区二模）解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】不等式组的整数解为：0，1，2，3． 【分析】求出每个不等式的解集，进而得到不等式组的公共解集，从公共解集中找到整数解即可． 【解答】解：． 解不等式①得：， ． 解不等式②得：， ， ． 不等式组的解集为：． 不等式组的整数解为：0，1，2，3． 【点评】本题考查求不等式组的整数解．得到不等式组的解集是解决本题的关键．用到的知识点为：求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． （建议用时：15分钟） 1．（2024•徐汇区二模）市“第届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同）同时出发送8名学生到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐4人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地15千米的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车．已知这辆车的平均速度是每小时60千米，人步行的平均速度是每小时5千米（上、下车时间忽略不计）． （1）如果该小汽车先送4名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截止进场的时刻前到达？并说明理由； （2）试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明方案可行性的理由． 【答案】（1）他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地；（2）采取此方案能使8个人在截止进考场的时刻前到达考场． 【分析】（1）根据题意，若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，则根据故障地点距考场的距离即可求出小汽车运动的总路程，又已知小汽车的平均速度，即可求得小汽车运动的总时间，随后与距截止进考场的时间进行比较，即可判断能否在截止进考场的时刻前到达考场； （2）由（1）知，若停留在原地等待则无法在截止进考场的时刻前到达考场，所以让在小汽车运送4人去考场的同时，留下的4人需步行前往考场，可节省一些时间，根据路程与速度的关系可分别求出小汽车运送第一批4人到达考场的时间、小汽车接到步行的4人的时间、小汽车从接到第二批4人到运送至考场的时间，三个时间相加后与距截止进考场的时间进行比较，即可判断方案的可行性． 【解答】解：（1）他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地， 小汽车先送4名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生， 总路程为：（千米）， 第二次到达考场所需时间为：（小时）， 0.75小时分钟， ， 他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地； （2）先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回接到步行的4人的后再载他们前往考场， 先将4人用车送到考场所需时间为 （分钟）， ， 此时他们与考场的距离为， 设汽车返回 后与步行的4人相遇， 则： 十， 解得， 此时汽车与考场的距离为， 汽车由相遇点再去考场所需时间为， 用这一方案送这8人到考场共需（分钟）． ， 采取此方案能使8个人在截止进考场的时刻前到达考场． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． 2．（2024•青浦区三模）方程组的解为 　 　． 【答案】． 【分析】先把方程①，然后把方程②减去方程③，消去，求出，再把值代入①，求出即可． 【解答】解：， ①得：③， ②③得：， 把代入①得：， 方程组的解为：． 【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用加减消元或代入消元法解二元一次方程组． 3．（2024•闵行区二模）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两．牛二、羊五，直金十六两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金19两．2头牛、5只羊共值金16两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，设1头牛值金两，1只羊值金两，那么可列方程组为 　 　． 【答案】． 【分析】根据“5头牛、2只羊共值金19两．2头牛、5只羊共值金16两”，得到2个等量关系，即可列出方程组． 【解答】解：由题意可得，， 故答案为：． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 4．（2023•虹口区二模）某商店以20元千克的单价进货了一批商品，经调查发现，每天的销售量（千克）与销售单价（元千克）之间的函数关系如图中线段所示． （1）求与的函数表达式； （2）要使每天的销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？ 【分析】（1）观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法可求出与的函数表达式； （2）根据总利润每千克利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设与的函数表达式为， 将，代入，得：， 解得：， 与的函数表达式为为． （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：销售单价应定为每千克40元或60元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 5．（2024•杨浦区二模）解方程组：． 【答案】或． 【分析】先化简组中的第二个方程，得两个二元一次方程与组中的第一个方程得新方程组，求解即可． 【解答】解：， 由②，得， ． 当，时， ，； 当，时， ，． 原方程组的解为或． 【点评】本题考查了二元二次方程组，把组中的二元二次方程化为一元一次方程，掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键． 6．（2024•崇明区二模）解方程组：． 【答案】，． 【分析】先由②得，则或，此时可将原方程组转化为（1）或（2）两个二元一次方程组，然后再解这两个二元一次方程组即可得出原方程组的解． 【解答】解：由②得：， 或， 原方程组可转化为：（1）或（2）； 解方程组（1）得：，解方程组（2）得：， 方程组的解为，． 【点评】此题主要考查了解二元二次方程组，熟练掌握因式分解法解二元二次方程组是解决问题的关键． 7．（2024•长宁区二模）解方程组：． 【答案】方程组的解为和． 【分析】把②变形为，可得或，故原方程组相当于和，分别解两个二元一次方程组可得原方程组的解． 【解答】解：由②得：， 或， 原方程组相当于和， 分别解两个二元一次方程组可得原方程组的解为和． 【点评】本题考查解二元二次方程组，解题的关键是用因式分解法“降次“，把二元二次方程组变形为两个二元一次方程组． 8．（2024•徐汇区二模）方程的根是 　 　． 【答案】． 【分析】移项后方程两边平方得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：， 移项，得， 方程两边平方，得， ， ， ， ， 经检验：是原方程的解． 故答案为：． 【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键． 9．（2024•宝山区二模）方程的解是 　 　． 【答案】． 【分析】首先将两边同时平方得，再解这个整式方程求出，然后再进行检验即可得出原方程的解． 【解答】解：对于方程，两边同时平方得：， 移项得：， ， 或， 由，解得：， 由，解得：， 经检验得：为增根，是原方程的根． 方程的解是． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了解无理方程，熟练掌握解无理方程的一般方法是解决问题的关键． 10．（2024•金山区二模）解方程：． 【答案】，， 【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：， ， 方程两边都乘，得， ， 整理得：， ， ， 解得：，， 经检验：和都是原方程的解， 所以分式方程的解是，． 【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 11．（2023•嘉定区二模）、两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从城到城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米． （1）如果列车提速前速度是每小时80千米，提速后从城到城的行驶时间减少小时，求的值； （2）如果提速后从城到城的行驶时间减少3小时，又这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定？请说明理由． 【答案】（1）4.5小时； （2）列车提速后速度符合规定，理由见解析． 【分析】（1）根据列车提速前所用的时间提速后所用的时间可得到的值； （2）设列车提速后速度是每小时千米，则列车提速前速度是每小时千米，根据列车提速前所用的时间提速后所用的时间列出分式方程，求解，与每小时140千米比较即可得到结论． 【解答】解：（1）列车提速前速度是每小时80千米，提速后速度是每小时100千米，（小时）． （2）列车提速后速度符合规定，理由如下： 设列车提速后速度是每小时千米，则列车提速前速度是每小时千米， 根据题意得， 解得，， 经检验，，都是原方程的解，但不符合题意，舍去． 提速后速度是每小时120千米， 这个速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度符合规定． 【点评】本题考查了分式方程的应用解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 12．（2024•金山区二模）不等式的解集是 　 　． 【答案】． 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、系数化为1可得． 【解答】解：， ， 则， 故答案为：． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 13．（2024•嘉定区二模）不等式的最小整数解是 　 　． 【答案】5． 【分析】移项、合并同类项得出其解集，从解集中找到最小整数即可． 【解答】解：移项，得：， 合并同类项，得：， 该不等式的最小整数解为5， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查一元一次不等式的整数解，严格遵循解不等式的基本步骤是关键． 14．（2023•黄浦区二模）小丽与妈妈去商场购物，商场正在进行打折促销，规则如下： 优惠活动一：任选两件商品，第二件半价（两件商品价格不同时，低价商品享受折扣）； 优惠活动二：所有商品打八折． （两种优惠活动不能同享） （1）如果小丽的妈妈看中一件价格600元的衣服和一双500元的鞋子，那么她选择哪个优惠活动会更划算？请通过计算说明； （2）如果小丽的妈妈想将之前看中的鞋子换成一条裤子，当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于多少元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二？为什么？ 【答案】（1）她选择优惠活动一会更划算； （2）当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于400元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二，理由见解答． 【分析】（1）根据购买衣服及鞋子的原价，结合商场给出的两种促销活动，可分别求出选择两种促销活动需支付的费用，比较后可得出结论； （2）当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于400元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二，设裤子的价格为元，则选择优惠活动一需支付元，选择优惠活动二需支付元，根据选择优惠活动二更省钱，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）选择优惠活动一需支付费用为（元； 选择优惠活动二需支付费用为（元． ， 她选择优惠活动一会更划算； （2）当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于400元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二，理由如下： 设裤子的价格为元，则选择优惠活动一需支付元，选择优惠活动二需支付元， 根据题意得：， 解得：， 当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于400元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及有理数的混合运算，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 15．（2024•松江区二模）不等式组的解集是 　 　． 【答案】． 【分析】求出各个不等式的解集，然后再根据判断不等式组解集的口诀“大小小大中间找”求出不等式组的解集即可． 【解答】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 故不等式组的解集为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤． 16．（2024•闵行区二模）不等式组的解集是 　 　． 【答案】． 【分析】求出各个不等式的解集，然后再根据判断不等式组解集的口诀“大小小大中间找”求出不等式组的解集即可． 【解答】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 故不等式组的解集为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤． 17．（2023•徐汇区二模）求不等式组的整数解． 【答案】2、3、4、5、6、7． 【分析】分别求出不等式组中每个不等式的解集，从而得到不等式组的解集，即可得出答案． 【解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得， 不等式组的解集为， 则不等式组整数解有2、3、4、5、6、7． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18．（2024•宝山区二模）若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则实数的值为　　 A． B． C． D．4 【答案】 【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到△，建立关于的方程，解答即可． 【解答】解：一元二次方程有两个相等的实数根， △， ， 解得， 故选：． 【点评】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时△；当一元二次方程有两个相等的实数根时，△；当方程没有实数根时，△，正确掌握此三种情况是正确解题的关键． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点02 方程与不等式 上海中考“方程与不等式”考情与备考方向如下： 考情特点：本土化情境建模，如2022年以“轨交换乘最短时间”为背景列分式方程（涉及上海地铁线路），2023年结合“垃圾分类成本优化”设计不等式组（静安模拟题改编）。 高频考点：① 分式方程必考检验增根（如2021年书店购书方案）；②二次方程判别式与几何结合，如2020年“进博会矩形展区”面积问题；③含参不等式（2022年徐汇模拟题“共享单车投放量”需讨论整数解）。 备考方向：① 强化上海特色应用题，如“五大新城”建设中的工程进度方程（2023松江模拟）；② 新定义题型参考2021年杨浦区“阶梯电价”分段函数与不等式；③ 真题拓展训练如2019年“老字号品牌利润最大化”需联立二次方程与不等式，体现代数工具对实际问题的转化能力。 2025年备考热点： 1．深度本土融合：预计结合上海＂十四五＂收官阶段重大工程（如北横通道建设，长三角生态绿色示范区）设计分式方程或不等式模型，参考2024年浦东＂智能交通调度＂含参方程题。 2．科技与政策导向：融入＂人工智能＋＂场景（如AI医疗资源分配方程），双碳目标下的能源优化不等式（类似2024年虹口模拟＂光伏发电量匹配＂）。 3．跨学科创新题：或借鉴2024年杨浦区＂生物制药浓度配比＂新定义方程，需结合化学知识建立动态数学模型。 核心方向： 参数讨论精细化：如2024徐汇三模＂社区智慧物流＂需多参数联动分析，强化分类讨论能力。 高开放性探究：2025 静安二模预测题＂老城厢改造经济平衡点＂，要求从数据中自主构建方程并验证合理性。 数智结合：可能引入简易代码逻辑（如循环语句中的代数关系），呼应上海数字化转型战略。 备考建议： （1）关注上海＂五大中心＂建设（科创，金融等）中的数学建模案例； （2）强化复杂参数题的逻辑链梳理（如参数范围解集 实际意义）； （3）真题拓展聚焦2024年＂临港新区产业链＂类综合题，提升从冗杂信息中抽象方程的能力。 考向一：一元一次方程 【题型1 解一元一次方程】 高频陷阱与对策 1．去分母漏乘项： 错误：仅乘分母中的项，忽略常数项。 对策：用括号将所有项括起来再乘。 2．移项符号错误： 错误：移项后未改变符号（如。 对策：牢记＂移项变号＂，可用箭头标记方向。 3．合并同类项错误： 错误：将不同类项强行合并（如）。 对策：仅合并含相同未知数的项。 4．分数方程增根： 错误：解分式方程后未检验分母是否为零。 对策：将解代入原方程分母验证。 口诀：去分母，括号开，移项变号莫心哀，合并同类简化快，系数归一解出来! 1．（2023•奉贤区模拟）如果与的值互为相反数，那么等于　　 A． B．1 C． D．3 2．（2022•徐汇区校级模拟）方程的解是　 　． 【题型2 一元一次方程的应用】 一、解题核心步骤 1．审：明确已知条件和所求问题。 2．设：设未知数（直接设或间接设）。 3．列：根据等量关系列方程。 4．解：解方程并检验。 5．答：规范作答，标注单位。 二、常见题型与公式 1．行程问题 基本公式：路程速度时间 相遇问题：路程和速度和时间 追及问题：路程差速度差时间 2．利润问题 利润售价-成本，利润率利润成本 折扣问题：实际售价原价折扣率 3．工程问题 工作量工作效率时间 合作效率各效率之和 4．年龄问题 年龄差恒定，年龄增长同步。 1．（2024•宝山区二模）《孙子算经》记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木多出1尺．那么长木的长度为 　 　尺． 2．（2022•宝山区二模）《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．”意思是：有一群人共同出资买某物品，每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．那么根据条件，该物品值 　 　钱． 考向二：二元一次方程组 【题型3 二元一次方程的定义与解】 解法技巧 1．代入消元法 步骤： （1）用一个方程表示一个未知数（如）； （2）代入另一方程消元； （3）解一元一次方程； （4）回代求另一未知数。 2．加减消元法 步骤： （1）调整系数使某未知数系数相同或相反； （2）两方程相加减消元； （3）解一元一次方程； （4）回代求另一未知数。 例：解方程组 加减消元：两式相加得，回代得 。 口诀记忆：二元一次两变量，次数为 1整式藏:代入消元先变形，加减消元系数忙，解要成对写联立，符导检查不能忘。通过明确概念、掌握解法和规避易错点，可快速突破二元一次方程相关题目 1．（2022•杨浦区二模）下列方程中，二元一次方程的是　　 A． B． C． D． 2．（2024•静安区校级模拟）求证：方程有无数多解． 【题型4 二元一次方程的应用】 易错点与避坑 遗漏方程：需根据两个不同条件列两个方程。 单位不统一：解题前统一单位（如分钟小时）。 解不实际：如人数为负数，时间为分数天等需舍去。 1．（2023•静安区二模）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”其意思就是：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．那么大和尚有 　 　人． 2．（2024•金山区二模）如图，某农业合作社为农户销售草莓，经过测算，草莓销售的销售额（元和销售量（千克）的关系如射线所示，成本（元和销售量（千克）的关系如射线所示． （1）当销售量为 　 　千克时，销售额和成本相等； （2）每千克草莓的销售价格是 　　元； （3）如果销售利润为2000元，那么销售量为多少？ 考向三：一元二次方程 【题型5 解一元二次方程】 一、核心解法与适用条件 1．直接开平方法 适用：形如。 步骤：开平方得，解出。 2．配方法 步骤： （1）二次项系数化为1； （2）常数项移右边； （3）配方（两边加一次项系数一半的平方）； （4）开平方求解。 3．公式法 公式：（判别式）。 步骤：先算，再代入公式。 4．因式分解法 适用：方程可化为。 步骤：分解因式后，令每个因式为0求解。 二、判别式与根的关系 ：有两个不等实根。 ：有两个相等实根。 ：无实根（初中阶段）。 三、易错点与避坑 1．配方法错误： 忘记将二次项系数化为1（如需先除以2）。 2．公式法符号错误： 代入公式时忽略负号（如中的负号）。 3．因式分解不彻底： 分解后仍有可分解的二次项（如）。 4．忽略实际意义： 解应用题时未舍去负数解或不合理解。 四、口诀记忆 “先看能否因式分，常数移项再配方公式法是万能药，判别式前要先算解后勿忘检验根，实际问题要筛选。通过掌握解法步骤、强化判别式应用和规避常见错误，可快速准确解一元二次方程。 1．（2022•普陀区二模）如果关于的方程没有实数根，那么实数的取值范围是 　 　． 2．（2022•黄浦区二模）解方程：． 【题型6 根的判别式】 一、核心知识 1．定义 对于一元二次方程，判别式。 2．根的情况 ：方程有两个不等实根。 ：方程有两个相等实根。 ：方程无实根（初中阶段）。 二、应用技巧 1．求参数范围 已知根的情况，求参数值或范围。 例：若方程有实根，求。 解：或 2．证明根的情况 通过配方或计算证明根的存在性。 例：证明方程总有实根。 解：，故总有实根。 3．结合韦达定理 已知根的情况，求参数与根的关系。 例：方程有两正根，求。 解：且。 三、易错点与避坑 1．忽略二次项系数 确保方程为一元二次方程。 例：若方程有实根，求。 解：需且且。 2．符号错误 计算时注意符号（如非负）。 例：方程的。 3．实际问题检验 参数需符合实际意义（如边长非负）。 1．（2024•上海）以下一元二次方程有两个相等实数根的是　　 A． B． C． D． 2．（2024•金山区二模）关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是　　 A． B． C． D． 3．（2024•长宁区二模）关于一元二次方程根的情况，正确的是　　 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有且只有一个实数根 D．没有实数根． 【题型7 一元二次方程的应用】 一、解题核心步骤 1.审:明确问题类型(增长率、面积、利润等)，标注关键数据。 2.设:设未知数(直接设或间接设)。 3.列:根据等量关系列一元二次方程 4.解:用因式分解法、公式法或配方法解方程。 5.验:检验解是否符合实际意义(如舍去负数解、超范围解)。 6.答:规范作答，标注单位。 二、常见题型与公式 1．增长率问题 公式：（为初始量，为增长率，为期数）。 例：原价100元，两年后为121元，求年增长率。 方程： 。 2．面积问题 矩形面积：长宽；路径问题：原面积-剩余面积路径面积。 例：矩形长比宽多2 cm，面积，求长和宽。 设宽，则长，方程：，长 。 3．利润问题 总利润（售价-成本）销量；销量随售价变化时需找函数关系。 例：单价10元，销量50件，每涨1元少卖5件，求最大利润。 设涨价元，利润 ，求顶点得，最大利润元。 4．握手／比赛问题 单循环赛：场；双循环赛：场。 例：同学互送贺卡共90张，求人数。 设人，方程：。 三、易错点与避坑 1．忽略二次项系数：确保方程为一元二次方程（二次项系数）。 2．解的实际意义： 舍去负数解（如时间，长度为负）。 舍去超范围解（如增长率超过100\％）。 3．等量关系错误： 例：＂降价后销量增加2倍＂应为销量原销量，而非+2。 1．（2022•上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为 　 　． 2．（2024•静安区校级二模）为了全面落实“双减”政策，促进学生整体素质的均衡发展，师一学校小学部语文组的老师带领孩子们“泛舟书海”，举办了一系列丰富多彩的读书活动．小狮宝们纷纷把自己收藏的图书带到学校，充实班级“图书漂流角”和移动绘本小屋．语文组的老师对小学部借阅登记簿进行统计时发现，在4月份有1000名学生借阅了图书，5月份比4月份增加，6月份全校借阅图书人数比5月增加340人． （1）5月份借阅图书的学生人数 　 　，6月份借阅图书的学生人数 　　． （2）求从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率？ （3）由于小学部小狮宝们读书情绪十分高涨，于是在国庆节后，学校决定派图书室陈老师去锦江区“幸福里书屋”再购买一批图书，书店老板透露在九月底他以每本8元的价格进货500本图书，然后按照每本9.6元的价格在国庆节全部售出：国庆节后老板去进货发现进货价上涨了，进货量比九月底增加，他以12元的价格全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求的值． 3．（2024•嘉定区二模）某企业在2022年1至3月的利润情况见表． 月份数 1 2 3 利润数（万元） 96 ？ 100 （1）如果这个企业在2022年1至3月的利润数是月份数的一次函数，求2月份的利润； （2）这个企业从3月份起，通过技术改革，经过两个月后的5月份获得利润为121万元，如果这个企业3月至5月中每月利润数的增长率相等，求这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率． 【题型8 高次方程】 —、核心定义 1．高次方程 未知数次数高于2的整式方程（如三次方程）。 二、解法技巧 1．因式分解法 步骤： （1）提取公因式； （2）分组分解； （3）利用公式（立方和／差，十字相乘）。 例：解方程 分解：或 。 2．换元法 适用：方程中含相同代数式（如）。 例：解方程 设，方程变为或（舍去）。 回代：。 3．特殊方程解法 双二次方程：形如，设降次。 对称方程：如，可分解为。 1．（2024•徐汇区二模）方程组的解是 　 　． 2．（2024•宝山区校级二模）解方程组：． 3． （2024•上海模拟）解方程组：． 4． （2024•杨浦区二模）解方程组：． 【题型9 无理方程】 1．平方法 适用：形如的方程。 步骤： （1）两边平方消去根号； （2）解整式方程； （3）验根（代入原方程，舍去使根号无意义或等式不成立的解）。 2．换元法 适用：含重复根式或复杂结构（如）。 步骤： （1）设新变量替换根式部分； （2）解新方程； （3）回代并验根。 1．（2024•奉贤区二模）下列关于的方程中有实数根的是　　 A． B． C． D． 2．（2024•崇明区二模）方程的根是 　 　． 3．（2024•静安区二模）方程的根为 　 　． 4．（2024•长宁区二模）方程的解是 　 　． 考向四：分式方程 【题型10 解分式方程】 一、核心步骤 1. 去分母 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程。注意:分母为多项式时先因式分解找公分母。 2.解整式方程 用解一元一次或二次方程的方法求解。 3.检验 将解代入原方程分母，若分母为0则为增根，舍去。 二、常见题型与技巧 1．简单分式方程 例： 解：两边乘得，检验成立。 2．含括号的分式方程 例： 解：交叉相乘得，检验成立。 3．复杂分式方程（换元法） 例： 解：设，方程变为，再联立求解。 三、易错点与避坑 1．去分母漏乘 确保方程中每一项都乘以最简公分母。 例：两边乘得（非 ）。 2．忽略检验 增根导致原方程无意义，必须检验。 例：解得 ，检验成立；若解得，则为增根。 3．符号错误 移项或去括号时注意符号变化。 例：化简为。 1．（2024•闵行区二模）分式方程的解是 　 　． 2．（2024•宝山区二模）解方程：． 3． （2024•普陀区二模）解方程：． 【题型11 换元法解分式方程】 一、核心步骤 1．识别结构：观察方程中是否有重复的代数式（如）。 2．设新变量：用替换重复部分，将原方程转化为整式方程。 3．解新方程：用一元一次或二次方程解法求解。 4．回代求值：将的值代入换元式，求原未知数。 5．检验：代入原方程分母，排除增根。 二、常见题型与技巧 1．对称型方程 例： 设 ，方程变为，回代后解。 2．分母含相同代数式 例： 设，方程变为，回代得。 3．高次分式方程 例： 配方为设，解得，再解或。 三、易错点与避坑 1．换元后忽略定义域 新变量需满足原方程分母不为零（如中）。 2．回代后漏解 解后需回代所有可能的解（如和 ）。 3．忘记检验 即使有解，回代后的仍需代入原方程检验。 1．（2023•上海）在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为　　 A． B． C． D． 2．（2023•长宁区二模）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的方程是　　 A． B． C． D． 3．（2024•嘉定区二模）用换元法解方程：时，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程是 　 　． 【题型12 分式方程的应用】 一、解题核心步骤 1．审：明确问题类型（行程，工程，利润等），标注关键数据。 2．设：设未知数（直接设所求量，或间接设关联量）。 3．列：根据分式关系列方程（如速度 路程 时间，效率 工作量 时间）。 4．解：解分式方程并检验增根。 5．验：验证解是否符合实际意义（如时间非负，人数为整数）。 6．答：规范作答，标注单位。 二、常见题型与公式 1．行程问题 速度路程／时间： 相遇问题：（时间相等） 2．工程问题 效率工作量／时间： 合作效率效率和： 3．利润问题 利润率利润成本：利润率 - 折扣问题：实际售价原价折扣率 4．其他问题 浓度问题：浓度 比例分配：按比例设未知数（如甲：乙 ，设甲，乙）。 三、易错点与避坑 1．单位不统一： 解题前统一单位（如分钟小时，千米米）。 2．忽略实际意义： 舍去使分母为零的解，或不符合实际的解（如时间为负数）。 3．等量关系错误： 例：＂甲比乙多用2小时＂应为，而非 4．分式方程解法错误： 去分母时漏乘常数项，或忘记验根。 1．（2024•静安区校级二模）“五一劳动节”期间，某校开展了以“劳动光荣”为主题的教育活动，该校组织全校教师和部分学生去郊区植树，已知老师平均每小时比学生多植5棵，且老师植树60棵所需的时间与学生植树45棵所需的时间相同，老师平均每小时植树　　 A．10棵 B．15棵 C．20棵 D．25棵 2．（2023•青浦区二模）某中学初三年级在“阳光体育”活动中，参加各项球类运动的数据信息制作成了扇形统计图，如图所示．已知参加乒乓球运动的人数有80人，请根据图中的信息解决下列问题． （1）求参加篮球和足球运动的总人数； （2）学校为本次活动购买了一些体育器材，其中购买的篮球和足球的数量是根据参加的人数每人一只配备的，购买篮球的费用是3000元，购买足球费用是2400元，并且篮球的单价比足球的单价便宜10元．请你帮助计算一下，参加篮球运动和足球运动的学生各有多少人？ 考向五：不等式与不等式组 【题型13 不等式的性质】 一、核心性质 1．传递性 若且，则。 例：且。 2．加法性质 若，则（不等号方向不变）。 例：。 3．乘法性质 正数：若且，则（方向不变）。 负数：若且，则（方向改变）。 例： 且。 且。 二、变形易错点 1．乘除负数末变号 错误：（正确应为）。 2．分式不等式忽略分母符号 例： 需分情况讨论： （1）且； （2）且。 3．不等式与等式混淆 错误：解时，误写成（正确）。 1．（2024•杨浦区二模）已知，下列不等式成立的是　　 A． B． C． D． 2．（2024•松江区二模）如果，为任意实数，那么下列不等式一定成立的是　　 A． B． C． D． 3．（2024•上海）如果，那么下列正确的是　　 A． B． C． D． 【题型14 解一元一次不等式】 一、核心步骤 1．去分母 两边同乘最简公分母，注意分母不为零。 例：乘2得。 2．去括号 分配律展开，注意符号变化。 例：。 3．移项 含未知数项移左边，常数项移右边，移项变号。 例：。 4．合并同类项 简化表达式。 5．系数化为1 两边除以系数，若系数为负数，不等号方向改变。 例：。 二、易错点与避坑 1．去分母漏乘 确保每一项都乘公分母（包括常数项）。 例：误算为（正确应为）。 2．系数化为1时忘记变号 除以负数时必须改变不等号方向。 例：（非 ）。 3．移项未变号 例：（非）。 4．解集表示错误 数轴上用空心圈（不包含）或实心点（包含），箭头方向正确。 例：表示为实心点在2，向右延伸。 1．（2024•宝山区校级二模）若，则 　 　． 2．（2024•虹口区二模）解不等式：的解集为 　 　． 3．（2024•宝山区二模）不等式的解集是 　 　． 【题型15 解一元一次不等式组】 一、核心步骤 1．分别解每个不等式 按解一元一次不等式的步骤求解（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1）。 2．确定解集的公共部分 用数轴法或口決法找交集： 口诀： 同大取大且，取较大数）。 同小取小 且，取较小数）。 大小小大中间找 且，取 。 大大小小找不到（且 ，无解）。 二、解集合并技巧 1．数轴法 在数轴上画出每个不等式的解集，重叠部分即为不等式组的解集。 例： 不等式组 的解集为。 2．口決法 直接根据口诀快速判断解集： 例：解集为（大小小大中间找）。 三、易错点与避坑 1．解单个不等式错误 系数化为1时，若系数为负，忘记改变不等号方向。 例：解（非）。 2．解集合并错误 忽略＂且＂与＂或＂的区别（不等式组需同时满足所有条件）。 例：无解（大大小小找不到）。 3．端点值处理 注意不等式是否包含等号（实心点／空心圈）。 例： 解集为。 1．（2024•奉贤区二模）不等式组的解集是 　 　． 2．（2024•徐汇区二模）不等式组的解集是 　 　． 3．（2024•普陀区二模）不等式组的解集是 　 　． 【题型16 一元一次不等式组的整数解】 一、确定整数解范围 在解集区间内列出所有整数，注意端点是否包含。 例：解集的整数解为。 二、快速定位整数解技巧 1．数轴法 在数轴上画出解集区间，直接标出整数点。 例：解集的整数解为。 2．范围缩定法 用不等式明确整数范围（如是正整数，则）。 例：求为自然数且，解为。 3．参数讨论法（含参数的不等式组） 根据整数解的个数反推参数范围。 例：若的最小整数解为3，则。 三、易错点与避坑 1．端点值混淆 注意不等式是否含等号（如包含不包含）。 2．实际意义约束 应用题中需结合实际（如人数，天数为非负整数）。 例：解为，实际整数解为。 3．参数取值范围错误 例：若不等式有3个整数解，则的范围为（需具体分析）。 1．（2024•宝山区校级二模）若关于的一元一次不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 2．（2023•长宁区二模）不等式组的正整数解是 　 　． 3．（2024•静安区二模）解不等式组，并写出它的整数解． （建议用时：15分钟） 1．（2024•徐汇区二模）市“第届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同）同时出发送8名学生到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐4人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地15千米的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车．已知这辆车的平均速度是每小时60千米，人步行的平均速度是每小时5千米（上、下车时间忽略不计）． （1）如果该小汽车先送4名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截止进场的时刻前到达？并说明理由； （2）试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明方案可行性的理由． 2．（2024•青浦区三模）方程组的解为 　 　． 3．（2024•闵行区二模）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两．牛二、羊五，直金十六两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金19两．2头牛、5只羊共值金16两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，设1头牛值金两，1只羊值金两，那么可列方程组为 　 　． 4．（2023•虹口区二模）某商店以20元千克的单价进货了一批商品，经调查发现，每天的销售量（千克）与销售单价（元千克）之间的函数关系如图中线段所示． （1）求与的函数表达式； （2）要使每天的销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？ 4． （2024•杨浦区二模）解方程组：． 5． （2024•崇明区二模）解方程组：． 6． （2024•长宁区二模）解方程组：． 8．（2024•徐汇区二模）方程的根是 　 　． 9．（2024•宝山区二模）方程的解是 　 　． 10．（2024•金山区二模）解方程：． 11．（2023•嘉定区二模）、两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从城到城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米． （1）如果列车提速前速度是每小时80千米，提速后从城到城的行驶时间减少小时，求的值； （2）如果提速后从城到城的行驶时间减少3小时，又这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定？请说明理由． 12．（2024•金山区二模）不等式的解集是 　 　． 13．（2024•嘉定区二模）不等式的最小整数解是 　 　． 14．（2023•黄浦区二模）小丽与妈妈去商场购物，商场正在进行打折促销，规则如下： 优惠活动一：任选两件商品，第二件半价（两件商品价格不同时，低价商品享受折扣）； 优惠活动二：所有商品打八折． （两种优惠活动不能同享） （1）如果小丽的妈妈看中一件价格600元的衣服和一双500元的鞋子，那么她选择哪个优惠活动会更划算？请通过计算说明； （2）如果小丽的妈妈想将之前看中的鞋子换成一条裤子，当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于多少元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二？为什么？ 15．（2024•松江区二模）不等式组的解集是 　 　． 16．（2024•闵行区二模）不等式组的解集是 　 　． 17．（2023•徐汇区二模）求不等式组的整数解． 18．（2024•宝山区二模）若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则实数的值为　　 A． B． C． D．4 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$