热点01 数与式（11大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用）

热点01 数与式 1．考查内容与分值分布 ＂数与式＂是上海中考数学的基础核心板块，涉及有理数、实数、代数式、整式、分式、二次根式等知识点，通常占卷面分值的 ，常见于选择题，填空题及解答题中的基础计算题。 2．近年命题趋势 注重实际应用：科学记数法结合生活数据（如人口，经济指标），代数式表示实际问题中的数量关系。 综合性与灵活性：与方程，函数，几何结合，如用代数式表示几何图形的面积，周长，或作为函数解析式的一部分。 易错点设计：隐含条件（如分式分母不为零，二次根式被开方数非负），符号错误，运算顺序混淆。中考 考向一：有理数 【题型1 有理数的概念】 技巧1有理数的定义：明确有理数的定义：整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数可化为分数。注意分母不能为 0 ，如无意义。 技巧2相反数、绝对值与倒数：用数轴辅助理解相反数（对称点）和绝对值（距离原点的距离）。计算倒数时，先确定符号，再交换分子分母（如-2的倒数是）。 技巧3有理数加减运算：统一成加法运算（减去一个数等于加上它的相反数）。 用 “同号相加，异号相减” 口诀简化计算。 技巧4有理数乘除与乘方：乘除运算中，先确定符号（奇负偶正），再计算绝对值，用括号明确乘方的底数。 技巧5混合运算顺序：用分步计算，避免跳步（如）。遇到复杂表达式，先分解为简单步骤。 技巧6科学记数法：移动小数点时，指数的绝对值等于移动位数（左移为正，右移为负）。有效数字从第一个非零数字开始计数。 1．（2023•金山区二模）的相反数为　　 A． B．6 C． D． 【答案】 【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可． 【解答】解：，则的相反数是6． 故选：． 【点评】本题考查了相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆． 2．（2024•静安区校级二模）下列各对数中，互为相反数的是　　 A．和2 B．6和 C．和 D．7和 【答案】 【分析】先化简、、三项中的相关数据，再根据相反数的定义逐项判断即得答案． 【解答】解：．和2不互为相反数，故本选项不符合题意； ．6和互为相反数，故本选项符合题意； ．和不互为相反数，故本选项不符合题意； ．7和不互为相反数，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了有理数的绝对值和相反数，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键． 3．（2023•徐汇区二模）下列互为倒数的是　　 A．3和 B．和2 C．3和 D．和 【答案】 【分析】根据倒数的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：、， 和互为倒数，符合题意； 、， 和2不互为倒数，不符合题意； 、， 和不互为倒数，不符合题意； 、， 和不互为倒数，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是1的两个数叫互为倒数是解题的关键． 4．（2023•黄浦区二模）冬季某日中午12时的气温是，经过10小时后气温下降，那么该时刻的气温是 　 　． 【答案】． 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：， 则该时刻的气温是． 故答案为：． 【点评】此题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．（2024•上海）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为，则蓝光唱片的容量是普通唱片的 　 　倍．（用科学记数法表示） 【答案】． 【分析】利用科学记数法的定义列式计算即可． 【解答】解：， 则， 即蓝光唱片的容量是普通唱片的倍， 故答案为：． 【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 6．（2023•嘉定区二模）已知1纳米米，那么2.5纳米用科学记数法表示为 　 　米． 【答案】米． 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：纳米米， 纳米米米． 故答案为：米． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【题型2 有理数的大小比较】 常见的方法有 1数轴定位法 用数轴直观标注位置，强化 “左小右大” 的记忆。 2符号优先法 永远优先判断符号，再比较绝对值。 3特殊数的比较 明确 “负数 < 0 < 正数” 的层级关系。 1．（2023•普陀区二模）下列各数在数轴上所对应的点与原点的距离最远的是　　 A．2 B．1 C． D． 【答案】 【分析】根据到原点距离最远的点就是绝对值最大的数，对每个数作出判断，即可求出答案． 【解答】解：．2到原点的距离是2个长度单位，不符合题意； ．1到原点的距离是1个长度单位，不符合题意； ．到原点的距离是1.5个长度单位，不符合题意； ．到原点的距离是3个长度单位，符合题意； 在数轴上所对应的点与原点的距离最远的点表示的数是． 故选：． 【点评】此题考查数轴，掌握到原点距离最近的点就是绝对值最小的点，到原点距离最远的点就是绝对值最大的点是解题的关键． 2．（2023•徐汇区校级二模）对于三个数，，，我们规定用，，表示这三个数的平均数，用，，表示这三个数中最小的数．例如：，，2，，如果，，，，，那么　 　． 【答案】或1． 【分析】根据新定义，先算出，，，再根据，，表示这三个数中最小的数分类讨论，即可求解． 【解答】解：根据题意得：， 当，即时，， 解得：； 当，即时，， 解得：，不符合题意，舍去； 当，即时，， 解得：； 终上所述，或1． 故答案为：或1． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，理解定义新运算的规程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 考向二：无理数与实数 【题型3 无理数的概念】 1排除法: 先判断是否为有理数(整数、分数、有限小数、无限循环小数)若不符合有理数特征，则为无理数。 2警惕 “伪装者”： 带根号的数未必是无理数，需先化简。 3无理数的三大类：根号型、常数型、特殊构造型 看到根号先判断根号内的数是否为完全平方 / 立方数。 注意分数中分子或分母含无理数的情况。 1．（2024•虹口区二模）下列各数中，无理数是　　 A． B．3.14159 C． D． 【答案】 【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； ．3.14159是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； ．是无理数，故本选项符合题意； ．是循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像（两个1之间依次多一个等有这样规律的数． 2．（2024•虹口区二模）计算：　 　． 【答案】． 【分析】一个数的立方等于，则这个数即为的立方根，记作，据此即可得出答案． 【解答】解：， ， 故答案为：． 【点评】本题考查立方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 3．（2024•上海）已知，则　 　． 【分析】根据算术平方根的定义，进行计算． 【解答】解：， ， ， 故答案为：1． 【点评】本题考查了算术平方根的定义，利用两边平方进行解题即可． 4．（2024•嘉定区二模）4的平方根是 　 　． 【答案】． 【分析】一个数的平方等于，即，那么这个数即为的平方根，据此即可得出答案． 【解答】解：，， 的平方根为， 故答案为：． 【点评】本题考查平方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 【题型4 实数的比较大小】 1数轴法（直观高效）：数轴上右边的数总比左边的大。 2绝对值法(处理负数)：正数>0>负数;两个负数比较，绝对值大的反而小。 3差值法：若，则；若，则。例：比较与2.3，计算 ，故。 4商值法：若，则；若，则。 例：比较与2.5，计算，故。 1．（2023•黄浦区二模）下列实数中，最小的数是　　 A．0 B． C． D．1 【答案】 【分析】根据正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数比较即可． 【解答】解：， ， 最小的数是． 故选：． 【点评】本题考查了实数的大小比较，比较实数大小的方法：1、数轴法：在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大；2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；3、绝对值法：①两个正数比较大小，绝对值大的数大；②两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 2．（2024•静安区校级模拟）实数中绝对值最小的数是 　 　． 【答案】0． 【分析】根据绝对值的定义，绝对值是数轴上表示一个数的点到原点的距离，距离是非负数进行解答． 【解答】解：实数中绝对值最小的数是0． 故答案为：0． 【点评】本题考查了实数的性质，绝对值的概念，正确理解实数的性质及绝对值的概念是解题的关键． 【题型5 实数的运算】 实数运算四大技巧 1．分母有理化 目的：消除分母中的根号，便于计算或比较大小。 方法：分子分母同乘以分母的有理化因式（通常是共轭根式）。 示例： 2．根式的化简与合并 化简： （注意符号）； 。 合并同类根式：仅当根指数和被开方数均相同时可合并。 示例：，但无法合并。 3．近似值计算 估算技巧： 记住常用根号值。 误差控制：结果保留到小数点后一位或两位，四舍五入。 示例：计算 ：（约等于 5.40）。 4．绝对值的灵活处理 性质： ； （三角不等式）。 去绝对值符号：需讨论表达式内部的正负性。 示例：解 ： 当 时， ； 当 时， ； 综上，解集为 。 1．（2024•松江区二模）当时，下列运算结果正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据分数指数幂的运算方法，有理数的乘方的运算方法，以及零指数幂、负整数指数幂的运算方法，逐项判断即可． 【解答】解：， 选项不符合题意； ， 选项不符合题意； ， 选项符合题意； ， 选项不符合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了分数指数幂的运算方法，有理数的乘方的运算方法，以及零指数幂、负整数指数幂的运算方法，解答此题的关键是要明确：（1）①；②．（2），为正整数）． 2．（2024•闵行区二模）计算：． 【答案】． 【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开平方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【解答】解： ． 【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 3．（2023•上海）计算：． 【答案】． 【分析】根据立方根定义，二次根式的化简，负整数指数幂，绝对值的性质进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查实数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握． 4．（2024•上海）计算：． 【分析】先化简绝对值，二次根式，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂等，掌握化简法则是解题的关键． 考向三：整式与因式分解 【题型6求代数式的值】 一、核心原则 1．先化简再代入 观察代数式结构，优先因式分解，约分或合并同类项，简化计算量。 例：。 2．代入顺序 复杂式子分步代入，避免出错；特殊值代入优先选对称数（如0，1，－1）。 二、必会化简技巧 因式分解、分式化简、整体代换 三、高频题型速解 1．对称式求值 利用已知条件整体代入（如代入。 难点：注意分母不为零，且需验证所有解的合法性。 2．分式与多项式综合 先约分化简，再代入数值。 错误示例：直接代入导致分母为零，忽略定义域。 3．绝对值处理 根据变量正负分情况讨论，去绝对值符号后代入计算。 一句话口诀：先化简，再代入，分情况，避陷阱！ 1．（2024•徐汇区二模）下列单项式中，与单项式是同类项的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，由此判断即可． 【解答】解：与单项式是同类项的是， 故选：． 【点评】本题考查了同类项，熟知同类项的定义是解题的关键，注意同类项与系数无关，与字母的顺序无关． 2．（2023•杨浦区二模）下列单项式中，的同类项是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项）即可作出判断． 【解答】解：．与所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意； ．与所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意； ．与所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故此选项符合题意； ．与所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了同类项，掌握同类项的定义是解答本题的关键． 3．（2023•闵行区二模）计算：　　． 【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变求解． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了合并同类项的法则，解题时牢记法则是关键． 【题型7整式的计算与化简求值】 一、核心原则 1．运算顺序 - 口决：先乘除，后加减，括号优先算到底。 例：。 2．符号处理 去括号法则： 例： 。 二、必会技巧 合并同类项、因式分解、分式化简 三，高频题型速解 1．整式乘法 单项式单项式：系数相乘，指数相加。 例：。 多项式多项式：用分配律逐项相乘。 例：。 2．整式除法 长除法：按降幂排列，逐项相除。 例：。 3．化简求值 先化简再代入，避免复杂计算。 例：已知 ，求 ： 直接代入得 。 1．（2024•崇明区二模）下列运算中，计算结果正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，去括号与填括号，同底数幂的除法法则进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：、，故不符合题意； 、，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，去括号与填括号，同底数幂的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2．（2024•上海模拟）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案． 【解答】解：、，故此选项错误； 、，故此选项错误； 、，故此选项错误； 、，正确． 故选：． 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3．（2024•润州区二模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用同底数幂的运算、完全平方公式、积的乘方进行计算逐一判断即可． 【解答】解：．，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项符合题意． 故选． 【点评】本题主要考查完全平方公式、积的乘方及幂的乘方，解题的关键是熟练掌握以上知识点是解题的关键． 4．（2024•金山区二模）单项式的系数和次数分别是　　 A．和2 B．和3 C．2和2 D．2和3 【答案】 【分析】数字与字母的积叫做单项式，其中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；由此计算即可． 【解答】解：单项式的系数是，次数是， 故选：． 【点评】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的系数、次数的定义是解题的关键． 5．（2024•金山区二模）下列多项式分解因式正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平方差公式和完全平方公式对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：、，故本选项不符合题意； 、不能因式分解，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了用公式法正确进行因式分解的能力，熟记平方差公式和完全平方公式结构是解题的关键． 6．（2023•青浦区二模）因式分解：　 　 【分析】直接找出公因式再提取公因式分解即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 7．（2024•宝山区校级二模）因式分解：　 　． 【分析】原式提取，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式， 故答案为： 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 8．（2024•宝山区校级二模）若，，那么代数式的值为 　 　． 【答案】． 【分析】根据，，可得，，，再将其代入原式计算即可． 【解答】解：，， ，即， ， ， ，， ， 原式 ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 考向四：分式 【题型8分式有意义与分式的值为零】 一、分式有意义的条件 1．核心原则：分母。 判断方法：找到分母的表达式，解方程使其等于零，排除这些值即可。 例：分式中，分母，故且。 二、分式值为零的条件 1．核心原则：分子且分母。 步骤： 1．解方程分子等于零，得到可能的解； 2．代入分母验证是否为零，排除无效解。 例：分式值为零时：解得或，但导致分母为零，故唯一解为。 三、高频题型速解 1．分式方程的定义域 直接写出分母的条件，通常需因式分解简化。 错误示例：忽略分母为多项式的情况（如应分解为，故 。 2.分式值为零的求解 先解分子方程，再检验分母是否为零。 关键：若分子分解后含与分母相同的因式，需约去后再验证。 一句话口诀：分式有意义看分母，值为零先解分子，排除分母为零值！ 1．（2023•嘉定区二模）如果分式有意义，那么实数的取值范围是 　 　． 【答案】． 【分析】根据分式有意义的条件可得，再解即可． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 2．（2023•宝山区二模）分式中字母的取值范围是 　 　． 【答案】． 【分析】根据题意得，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得， 解得， 即的取值范围为． 故答案为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了分式有意义的条件：分式有意义的条件是分母不等于零． 3．（2023•闵行区二模）若分式的值为零，则的值为 　　． 【分析】根据且即可求解． 【解答】解：依题意，且 解得：， 故答案为：2． 【点评】本题考查了分式的值是0的条件：若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 【题型9分式的计算与化简求值】 一、分式计算核心步骤 1．运算顺序： 先乘除，后加减；有括号先算括号内。 例：需先算括号内加法，再算除法。 2．通分与约分： 找最简公分母：取各分母因式的最高次幂相乘（系数也需考虑）。 例：分母为和，最简公分母为。 约分技巧：分子分母因式分解后，公共因子直接消去。 错误：（正确），但不可直接写成而忽略的限制。 二、分式化简求值满分技巧 1．先化简，后代入： －步骤： （1）因式分解分子分母； （2）约去公因式； （3）代入数值（注意分式有意义条件）。 例：化简。 2．代入技巧： 若代入值使原式无意义，需注明＂无解＂； 代数式化简后为常数，直接写出结果（如化简后为1，则无论如何都等于1，前提是原式有意义）。 三、高频题型速解 1．分式加减法： 步骤：通分合并分子约分。 例：。 2．分式乘除法： 乘法：分子乘分子，分母乘分母； 除法：乘以倒数，再约分。 例：。 3．复杂混合运算： 技巧：逐步化简，每步标注关键步骤（如通分，约分）。 例：计算通分后合并为。 一句话口诀：分式计算先通分，化简求值验条件，约分彻底不犯难！ 1．（2023•奉贤区二模）化简分式的结果为 　 　． 【答案】． 【分析】先将分式的分母分解因式，然后约分即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查约分，解答本题的关键是明确因式分解的方法． 2．（2023•上海）化简：的结果为 　　． 【答案】2． 【分析】根据分式的运算法则进行计算即可． 【解答】解：原式 ， 故答案为：2． 【点评】本题考查分式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握． 3．（2024•长宁区二模）计算：　 　． 【答案】． 【分析】根据负整数指数幂法则进行解题即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查负整数指数幂，掌握运算法则是解题的关键． 4．（2024•静安区校级二模）计算：． 【答案】． 【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 5．（2024•虹口区二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把的值代入计算即可． 【解答】解：原式 ， 当时，原式． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 6．（2024•静安区二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】根据分式的除法法则、减法法则把原式化简，把的值代入计算即可． 【解答】解：原式 ， 当时，原式． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 考向五：二次根式 【题型10二次根式有意义的条件】 核心规则 1．基本条件： 二次根式中，被开方数必须。 有效： 无效：（无意义） 2．分母限制： 若根式在分母中，需同时满足 被开方（分母不能为 0 ）。 有效： 无效：或 解题步骤 1．单独根式： 直接令被开方数，解不等式即可。 例：有意义。 2．复合表达式： 分式＋根式：分别满足分母和根式被开方数。 例：有意义且且。 多重根式：逐个分析被开方数。 例：有意义且。 高频陷阱 1．忽略分母为0的情况： 错误：仅考虑，忽略分母。 正确：有意义。 2．复合条件综合错误： 错误：解时，只取即，忽略。 正确：需同时满足 且。 1．（2024•宝山区二模）若二次根式有意义，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【解答】解：二次根式有意义， ， 解得：． 故选：． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 2．（2024•上海模拟）若代数式有意义，则实数的取值范围是 　 　． 【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不等于0列不等式求解即可． 【解答】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握分母不为零且被开方数大于等于0是解题的关键． 3．（2022•徐汇区二模）如果代数式有意义，那么实数的取值范围是 　 　． 【答案】． 【分析】根据二次根式的有意义的条件即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：， ， 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 【题型11二次根式的运算】 一、核心规则 1．最简形式： 被开方数不含分母，且被开方数中无平方因子。 最简： 未最简：（需分母有理化） 2．同类根式： 化简后被开方数相同且根指数相同。 同类： 与 不同类：与 二、四则运算技巧 1．加减法 规则：仅同类根式可合并，系数相加减，根式部分不变。 例： 陷阱：无法合并，直接保留原式。 2．乘法 规则： 系数与系数相乘，根式部分相乘再化简。 例： 3． 除法 规则： 分母有理化：乘以共轭根式 。 例： 三、混合运算要点 1．运算顺序： 先乘除后加减，有括号先算括号内。 例： 2．化简优先： 每步运算后尽量化简，避免复杂计算。 例： 四、高频陷阱与对策 1．错误合并同类项： 陷阱：（误将系数与根号内数相加） 正确： 2．分母有理化遗漏： 陷阱：（未完全有理化） 正确： 3．平方与开方混淆： 陷阱： ，但（注意符号） 例： 1．（2024•静安区二模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分别根据同底数幂的除法法则，二次根式的性质与化简，幂的乘方与积的乘方法则，合并同类项的法则对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：、，正确，符合题意； 、，原计算错误，不符合题意； 、，原计算错误，不符合题意； 、，原计算错误，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是同底数幂的除法法则，二次根式的性质与化简，幂的乘方与积的乘方法则，合并同类项的法则，熟知以上知识是解题的关键． 2．（2024•崇明区二模）在下列二次根式中，最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；开方中不含得尽的因或因式．据此进行解题即可． 【解答】解：、是最简二次根式，符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查最简二次根式，熟练最简二次根式的概念是解题的关键． 3．（2024•青浦区二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】各项化简后，利用同类二次根式定义判断即可． 【解答】解：与是同类二次根式的是， 故选：． 【点评】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键． 4．（2023•宝山区二模）计算：　 　． 【分析】根据二次根式乘方的意义与二次根式乘法的运算法则，即可求得答案． 【解答】解：． 故答案为：2． 【点评】此题考查了二次根式乘法与乘方运算．此题比较简单，注意运算符号的确定． 5．（2024•松江区二模）计算：　 　． 【分析】根据二次根式的减法法则进行计算即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的运算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 6．（2024•松江区二模）计算：． 【答案】． 【分析】根据分数指数幂、负整数指数幂的运算法则及分母有理化、去绝对值计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查分母有理化、负整数指数幂，熟练掌握分数指数幂、负整数指数幂的运算法则及分母有理化、去绝对值的方法是本题的关键． 7．（2024•黄浦区二模）计算：． 【答案】． 【分析】根据二次根式的混合运算法则和零指数幂与特殊的三角函数值等知识点计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，零指数幂和特殊的三角函数值，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （建议用时：15分钟） 1．（2024•徐汇区校级三模）2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．嫦娥六号返回器在距地面高度约120公里处，以接近第二宇宙速度（约为112000米秒）高速在大西洋上空第一次进入地球大气层，实施初次气动减速．其中112000用科学记数法可表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】把一个大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（2024•黄浦区三模）下列各数中是无理数的是　　 A． B．1.3 C．83 D． 【答案】 【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【解答】解：是分数，1.3是有限小数，83是整数，它们都不是无理数； 是无限不循环小数，它是无理数； 故选：． 【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 3．（2024•浦东新区三模）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据合并同类项，单项式除以单项式，单项式乘单项式的法则，完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：、与不能合并，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．（2024•静安区校级模拟）如果一个数的平方等于36，那么这个数是　 　． 【分析】直接利用平方根的定义得出答案． 【解答】解：如果一个数的平方等于36，那么这个数是：或6． 故答案为：或6． 【点评】此题主要考查了有理数的乘法，正确计算是解题关键． 5．（2024•黄浦区三模）计算：　 　． 【答案】． 【分析】先根据零指数幂和算术平方根运算，然后进行减法运算即可． 【解答】解：原式． 故答案为：． 【点评】本题考查了实数运算，掌握零指数幂和算术平方根运算法则是关键． 6．（2022•嘉定区二模）计算：　 　． 【答案】． 【分析】根据去括号法则进行解答． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查了去括号．解题的关键是掌握去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 7．（2022•上海模拟）计算：　 　． 【答案】． 【分析】根据合并同类项的法则化简即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变是解题的关键． 8．（2024•宝山区校级二模）因式分解：　 　． 【分析】原式提取，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式， 故答案为： 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 9．（2022•嘉定区二模）计算：　 　． 【分析】根据分式的加减运算法则进行化简即可求出答案． 【解答】解：原式 ， 故答案为：1． 【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型． 10．（2024•上海模拟）若代数式有意义，则实数的取值范围是 　 　． 【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不等于0列不等式求解即可． 【解答】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握分母不为零且被开方数大于等于0是解题的关键． 11．（2024•浦东新区校级三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法，再将的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解： ， 当时，原式． 【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 12．（2024•普陀区校级三模）计算：． 【答案】5． 【分析】利用有理数的乘方法则，绝对值的性质，立方根的定义，负整数指数幂计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查实数及二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点01 数与式1．考查内容与分值分布 ＂数与式＂是上海中考数学的基础核心板块，涉及有理数、实数、代数式、整式、分式、二次根式等知识点，通常占卷面分值的 ，常见于选择题，填空题及解答题中的基础计算题。 2．近年命题趋势 注重实际应用：科学记数法结合生活数据（如人口，经济指标），代数式表示实际问题中的数量关系。 综合性与灵活性：与方程，函数，几何结合，如用代数式表示几何图形的面积，周长，或作为函数解析式的一部分。 易错点设计：隐含条件（如分式分母不为零，二次根式被开方数非负），符号错误，运算顺序混淆。中考 考向一：有理数 【题型1 有理数的概念】 技巧1有理数的定义：明确有理数的定义：整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数可化为分数。注意分母不能为 0 ，如无意义。 技巧2相反数、绝对值与倒数：用数轴辅助理解相反数（对称点）和绝对值（距离原点的距离）。计算倒数时，先确定符号，再交换分子分母（如-2的倒数是）。 技巧3有理数加减运算：统一成加法运算（减去一个数等于加上它的相反数）。 用 “同号相加，异号相减” 口诀简化计算。 技巧4有理数乘除与乘方：乘除运算中，先确定符号（奇负偶正），再计算绝对值，用括号明确乘方的底数。 技巧5混合运算顺序：用分步计算，避免跳步（如）。遇到复杂表达式，先分解为简单步骤。 技巧6科学记数法：移动小数点时，指数的绝对值等于移动位数（左移为正，右移为负）。有效数字从第一个非零数字开始计数。 1．（2023•金山区二模）的相反数为　　 A． B．6 C． D． 2．（2024•静安区校级二模）下列各对数中，互为相反数的是　　 A．和2 B．6和 C．和 D．7和 3．（2023•徐汇区二模）下列互为倒数的是　　 A．3和 B．和2 C．3和 D．和 4．（2023•黄浦区二模）冬季某日中午12时的气温是，经过10小时后气温下降，那么该时刻的气温是 　 　． 5．（2024•上海）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为，则蓝光唱片的容量是普通唱片的 　 　倍．（用科学记数法表示） 6．（2023•嘉定区二模）已知1纳米米，那么2.5纳米用科学记数法表示为 　 　米． 【题型2 有理数的大小比较】 常见的方法有 1数轴定位法 用数轴直观标注位置，强化 “左小右大” 的记忆。 2符号优先法 永远优先判断符号，再比较绝对值。 3特殊数的比较 明确 “负数 < 0 < 正数” 的层级关系。 1．（2023•普陀区二模）下列各数在数轴上所对应的点与原点的距离最远的是　　 A．2 B．1 C． D． 2．（2023•徐汇区校级二模）对于三个数，，，我们规定用，，表示这三个数的平均数，用，，表示这三个数中最小的数．例如：，，2，，如果，，，，，那么　 　． 考向二：无理数与实数 【题型3 无理数的概念】 1排除法: 先判断是否为有理数(整数、分数、有限小数、无限循环小数)若不符合有理数特征，则为无理数。 2警惕 “伪装者”： 带根号的数未必是无理数，需先化简。 3无理数的三大类：根号型、常数型、特殊构造型 看到根号先判断根号内的数是否为完全平方 / 立方数。 注意分数中分子或分母含无理数的情况。 1．（2024•虹口区二模）下列各数中，无理数是　　 A． B．3.14159 C． D． 2．（2024•虹口区二模）计算：　 　． 3．（2024•上海）已知，则　 　． 4．（2024•嘉定区二模）4的平方根是 　 　． 【题型4 实数的比较大小】 1数轴法（直观高效）：数轴上右边的数总比左边的大。 2绝对值法(处理负数)：正数>0>负数;两个负数比较，绝对值大的反而小。 3差值法：若，则；若，则。例：比较与2.3，计算 ，故。 4商值法：若，则；若，则。 例：比较与2.5，计算，故。 1．（2023•黄浦区二模）下列实数中，最小的数是　　 A．0 B． C． D．1 2．（2024•静安区校级模拟）实数中绝对值最小的数是 　 　． 【题型5 实数的运算】 实数运算四大技巧 1．分母有理化 目的：消除分母中的根号，便于计算或比较大小。 方法：分子分母同乘以分母的有理化因式（通常是共轭根式）。 示例： 2．根式的化简与合并 化简： （注意符号）； 。 合并同类根式：仅当根指数和被开方数均相同时可合并。 示例：，但无法合并。 3．近似值计算 估算技巧： 记住常用根号值。 误差控制：结果保留到小数点后一位或两位，四舍五入。 示例：计算 ：（约等于 5.40）。 4．绝对值的灵活处理 性质： ； （三角不等式）。 去绝对值符号：需讨论表达式内部的正负性。 示例：解 ： 当 时， ； 当 时， ； 综上，解集为 。 1．（2024•松江区二模）当时，下列运算结果正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2024•闵行区二模）计算：． 3．（2023•上海）计算：． 4． （2024•上海）计算：． 考向三：整式与因式分解 【题型6求代数式的值】 一、核心原则 1．先化简再代入 观察代数式结构，优先因式分解，约分或合并同类项，简化计算量。 例：。 2．代入顺序 复杂式子分步代入，避免出错；特殊值代入优先选对称数（如0，1，－1）。 二、必会化简技巧 因式分解、分式化简、整体代换 三、高频题型速解 1．对称式求值 利用已知条件整体代入（如代入。 难点：注意分母不为零，且需验证所有解的合法性。 2．分式与多项式综合 先约分化简，再代入数值。 错误示例：直接代入导致分母为零，忽略定义域。 3．绝对值处理 根据变量正负分情况讨论，去绝对值符号后代入计算。 一句话口诀：先化简，再代入，分情况，避陷阱！ 1．（2024•徐汇区二模）下列单项式中，与单项式是同类项的是　　 A． B． C． D． 2．（2023•杨浦区二模）下列单项式中，的同类项是　　 A． B． C． D． 3．（2023•闵行区二模）计算：　 　． 【题型7整式的计算与化简求值】 一、核心原则 1．运算顺序 - 口决：先乘除，后加减，括号优先算到底。 例：。 2．符号处理 去括号法则： 例： 。 二、必会技巧 合并同类项、因式分解、分式化简 三，高频题型速解 1．整式乘法 单项式单项式：系数相乘，指数相加。 例：。 多项式多项式：用分配律逐项相乘。 例：。 2．整式除法 长除法：按降幂排列，逐项相除。 例：。 3．化简求值 先化简再代入，避免复杂计算。 例：已知 ，求 ： 直接代入得 。 1．（2024•崇明区二模）下列运算中，计算结果正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2024•上海模拟）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 3．（2024•润州区二模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 4．（2024•金山区二模）单项式的系数和次数分别是　　 A．和2 B．和3 C．2和2 D．2和3 5．（2024•金山区二模）下列多项式分解因式正确的是　　 A． B． C． D． 6．（2023•青浦区二模）因式分解：　 　 7．（2024•宝山区校级二模）因式分解：　 　． 8．（2024•宝山区校级二模）若，，那么代数式的值为 　 　． 考向四：分式 【题型8分式有意义与分式的值为零】 一、分式有意义的条件 1．核心原则：分母。 判断方法：找到分母的表达式，解方程使其等于零，排除这些值即可。 例：分式中，分母，故且。 二、分式值为零的条件 1．核心原则：分子且分母。 步骤： 1．解方程分子等于零，得到可能的解； 2．代入分母验证是否为零，排除无效解。 例：分式值为零时：解得或，但导致分母为零，故唯一解为。 三、高频题型速解 1．分式方程的定义域 直接写出分母的条件，通常需因式分解简化。 错误示例：忽略分母为多项式的情况（如应分解为，故 。 2.分式值为零的求解 先解分子方程，再检验分母是否为零。 关键：若分子分解后含与分母相同的因式，需约去后再验证。 一句话口诀：分式有意义看分母，值为零先解分子，排除分母为零值！ 1．（2023•嘉定区二模）如果分式有意义，那么实数的取值范围是 　 　． 2．（2023•宝山区二模）分式中字母的取值范围是 　 　． 3．（2023•闵行区二模）若分式的值为零，则的值为 　　． 【题型9分式的计算与化简求值】 一、分式计算核心步骤 1．运算顺序： 先乘除，后加减；有括号先算括号内。 例：需先算括号内加法，再算除法。 2．通分与约分： 找最简公分母：取各分母因式的最高次幂相乘（系数也需考虑）。 例：分母为和，最简公分母为。 约分技巧：分子分母因式分解后，公共因子直接消去。 错误：（正确），但不可直接写成而忽略的限制。 二、分式化简求值满分技巧 1．先化简，后代入： －步骤： （1）因式分解分子分母； （2）约去公因式； （3）代入数值（注意分式有意义条件）。 例：化简。 2．代入技巧： 若代入值使原式无意义，需注明＂无解＂； 代数式化简后为常数，直接写出结果（如化简后为1，则无论如何都等于1，前提是原式有意义）。 三、高频题型速解 1．分式加减法： 步骤：通分合并分子约分。 例：。 2．分式乘除法： 乘法：分子乘分子，分母乘分母； 除法：乘以倒数，再约分。 例：。 3．复杂混合运算： 技巧：逐步化简，每步标注关键步骤（如通分，约分）。 例：计算通分后合并为。 一句话口诀：分式计算先通分，化简求值验条件，约分彻底不犯难！ 1．（2023•奉贤区二模）化简分式的结果为 　 　． 2．（2023•上海）化简：的结果为 　　． 3．（2024•长宁区二模）计算：　 　． 4．（2024•静安区校级二模）计算：． 5． （2024•虹口区二模）先化简，再求值：，其中． 6． （2024•静安区二模）先化简，再求值：，其中． 考向五：二次根式 【题型10二次根式有意义的条件】 核心规则 1．基本条件： 二次根式中，被开方数必须。 有效： 无效：（无意义） 2．分母限制： 若根式在分母中，需同时满足 被开方（分母不能为 0 ）。 有效： 无效：或 解题步骤 1．单独根式： 直接令被开方数，解不等式即可。 例：有意义。 2．复合表达式： 分式＋根式：分别满足分母和根式被开方数。 例：有意义且且。 多重根式：逐个分析被开方数。 例：有意义且。 高频陷阱 1．忽略分母为0的情况： 错误：仅考虑，忽略分母。 正确：有意义。 2．复合条件综合错误： 错误：解时，只取即，忽略。 正确：需同时满足 且。 1．（2024•宝山区二模）若二次根式有意义，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 2．（2024•上海模拟）若代数式有意义，则实数的取值范围是 　 　． 3．（2022•徐汇区二模）如果代数式有意义，那么实数的取值范围是 　 　． 【题型11二次根式的运算】 一、核心规则 1．最简形式： 被开方数不含分母，且被开方数中无平方因子。 最简： 未最简：（需分母有理化） 2．同类根式： 化简后被开方数相同且根指数相同。 同类： 与 不同类：与 二、四则运算技巧 1．加减法 规则：仅同类根式可合并，系数相加减，根式部分不变。 例： 陷阱：无法合并，直接保留原式。 2．乘法 规则： 系数与系数相乘，根式部分相乘再化简。 例： 3． 除法 规则： 分母有理化：乘以共轭根式 。 例： 三、混合运算要点 1．运算顺序： 先乘除后加减，有括号先算括号内。 例： 2．化简优先： 每步运算后尽量化简，避免复杂计算。 例： 四、高频陷阱与对策 1．错误合并同类项： 陷阱：（误将系数与根号内数相加） 正确： 2．分母有理化遗漏： 陷阱：（未完全有理化） 正确： 3．平方与开方混淆： 陷阱： ，但（注意符号） 例： 1．（2024•静安区二模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2024•崇明区二模）在下列二次根式中，最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 3．（2024•青浦区二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 4．（2023•宝山区二模）计算：　 　． 5．（2024•松江区二模）计算：　 　． 6．（2024•松江区二模）计算：． 7． （2024•黄浦区二模）计算：． （建议用时：15分钟） 1．（2024•徐汇区校级三模）2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回．嫦娥六号返回器在距地面高度约120公里处，以接近第二宇宙速度（约为112000米秒）高速在大西洋上空第一次进入地球大气层，实施初次气动减速．其中112000用科学记数法可表示为　　 A． B． C． D． 2．（2024•黄浦区三模）下列各数中是无理数的是　　 A． B．1.3 C．83 D． 3．（2024•浦东新区三模）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 4．（2024•静安区校级模拟）如果一个数的平方等于36，那么这个数是　 　． 5．（2024•黄浦区三模）计算：　 　． 6．（2022•嘉定区二模）计算：　 　． 7．（2022•上海模拟）计算：　 　． 8．（2024•宝山区校级二模）因式分解：　 　． 9．（2022•嘉定区二模）计算：　 　． 10．（2024•上海模拟）若代数式有意义，则实数的取值范围是 　 　． 11．（2024•浦东新区校级三模）先化简，再求值：，其中． 12．（2024•普陀区校级三模）计算：． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$