热点03 一次函数与反比例函数（20大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用）

热点03 一次函数与反比例函数 上海中考数学对一次函数和反比例函数的考查紧密贴合本地教学大纲和实际应用需求，命题风格兼具基础性、综合性与生活化，体现出鲜明的地区特点。 考情特点： 1. 立足基础，强调核心概念 一次函数必考解析式求解（如通过待定系数法求直线方程）、图像性质（斜率与截距的几何意义）及与方程/不等式的联系（如求交点、解集）。（例如2024年上海中考第11题考查了一次函数图象上点的坐标特征，第13题考了待定系数法解一次函数解析式） 反比例函数聚焦于k的符号与几何意义（如双曲线与坐标轴围成的矩形面积）、增减性判断（仅限同一象限）及实际意义下的自变量限制。（例如2023年上海卷第19题以“油价调整”为背景，结合分段一次函数计算费用；2022年第22题通过反比例函数解析式求矩形面积，融入崇明生态区农田规划情境） 2. 情境本土化，贴近生活实际 上海卷常以本地生活场景为载体，如出租车阶梯计价（如“3公里内14元，超3公里后每公里2.5元”）、地铁客流量与发车间隔的反比例关系、社区垃圾分类处理效率等，要求学生建立函数模型并分析实际意义。 （例如2021年考题以“长三角一体化示范区交通建设”为背景，结合一次函数图像分析工程进度与成本优化） 3. 综合性强，注重数形结合 一次函数常与几何图形结合，如坐标系中三角形、梯形的面积计算（如黄浦江沿岸地标连线的几何问题）；反比例函数则多与直线、几何变换（对称性）结合，考查交点坐标及动态分析能力。 4. 突出数学思维与创新设问 上海卷近年创新题增多，如通过动态图像探究函数性质（如滑动窗口截取双曲线与直线的交点变化），或结合电子屏幕分辨率（长宽反比例关系）、智能物流运输成本（分段函数最优化）等科技场景命题。 备考建议 1. 抓牢基础：熟练待定系数法求解析式，掌握斜率k对函数图像的影响及反比例函数k的几何意义。 2. 真题精练：重点研究2019-2024年上海卷真题，如2023年“油价阶梯收费”、2020年“社区防疫物资分配”等题，总结生活化建模思路。 3. 强化应用：关注上海本地社会热点（如“五个新城”建设、智慧城市交通），尝试用函数模型解决实际问题。 4. 细节避坑：规范答题步骤，注意实际问题的定义域限制（如时间、长度非负），区分函数增减性的描述（反比例函数不可直接称“单调递减”）。 上海中考对函数的考查始终贯穿“用数学的眼光观察现实”的理念，备考需兼顾深度理解与灵活应用，尤其注重从本土情境中提炼数学模型的能力。 考向一：函数基础 【题型1 函数自变量的取值范围】 ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如中的． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 1．（2024•上海）函数的定义域是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意可得，解得的取值范围即可． 【解答】解：由题意得， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查函数自变量的取值范围，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 2．（2024•宝山区校级二模）函数中，自变量的取值范围是　 　． 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 3．（2024•虹口区二模）函数的定义域是 　 　． 【答案】． 【分析】根据二次根式的性质和分母不能等于0解答即可． 【解答】解：函数的定义域是， 解得：． 故答案为：． 【点评】此题考查函数自变量的取值范围，关键是根据二次根式的性质和分母不能等于0解答． 【题型2 函数值】 【易混易错提醒】 ①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 1．（2024•金山区二模）已知，　 　． 【答案】． 【分析】把直接代入函数，即可求出函数值． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了函数值，熟练掌握函数值的计算方法进行求解是解决本题的关键． 2．（2024•崇明区二模）已知，那么　 　． 【答案】． 【分析】把代入函数解析式计算即可． 【解答】解：， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了求函数值，属于基础题． 【题型3 函数的图象】 1．（2023•黄浦区二模）“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着探究函数，其图象经过　　 A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】 【分析】根据的取值，判断的范围，即可求解． 【解答】解：当时，；此时点在二象限； 当时，；此时点在四象限； 故选：． 【点评】本题考查函数的图象，研究函数图象一般的方法是描点法． 考向二：一次函数 【题型4 一次函数的性质】 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升； k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 1．（2024•静安区二模）一次函数中，如果，，那么该函数的图象一定不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行判断即可． 【解答】解：当一次函数中，，该函数的图象一定不经过第三象限， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． 2．（2024•浦东新区二模）直线经过的象限是　　 A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限． 【答案】 【分析】】根据一次函数图象与系数的关系，由，的符号直接判断直线所经过的象限． 【解答】解：由于，， 故函数过一、二、四象限． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数解析式：，、的符号决定函数所经过的象限． 3．（2024•徐汇区二模）已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，那么直线经过　　 A．第二、三、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】 【分析】先根据题意判断出，的符号，进而可得出结论． 【解答】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，， 经过一、三、四象限． 故选：． 【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 【题型5 正比例函数的性质】 正比例函数的性质： 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数； 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称． 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 1．（2023•金山区二模）已知函数，为常数）的函数值随值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由函数，为常数）的函数值随值的增大而减小，可得出，进而可得出正比例函数，为常数）的图象经过第二、四象限，再对照四个选项即可得出结论． 【解答】解：函数，为常数）的函数值随值的增大而减小， ， 正比例函数，为常数）的图象经过第二、四象限， 这个函数图象可能经过的点是． 故选：． 【点评】本题考查了正比例函数的性质，牢记“当时，函数图象位于第一、三象限，随的增大而增大；当时，函数图象位于第二、四象限，随的增大而减小”是解题的关键． 【题型6 一次函数图象与系数的关系】 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 1．（2023•虹口区二模）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，那么的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正比例函数的图象经过第二、四象限列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【解答】解：正比例函数的图象经过第二、四象限， 比例系数， ． 故选：． 【点评】本题考查了正比例函数的性质，正比例函数，时，图象过第一、三象限；时，图象过第二、四象限． 2．（2023•崇明区二模）如果函数的图象经过第一、三、四象限，那么的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行分析判断． 【解答】解：函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是：． 故选：． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当，时，函数的图象经过一、三、四象限是解答此题的关键． 【题型7 一次函数图象上点的坐标特征】 一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是 ；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 1．（2024•普陀区二模）已知正比例函数是常数，的图象经过点，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图象上的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出的值，进而可得出正比例函数解析式为，再分别代入各选项中点的横坐标，求出值，将其与纵坐标比较后即可得出结论． 【解答】解：正比例函数是常数，的图象经过点， ， 解得：， 正比例函数解析式为． ．当时，，， 点在这个正比例函数图象上，选项符合题意； ．当时，，， 点不在这个正比例函数图象上，选项不符合题意； ．当时，，， 点不在这个正比例函数图象上，选项不符合题意； ．当时，，， 点不在这个正比例函数图象上，选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键． 2．（2024•静安区校级二模）点在一次函数图象上，则该直线经过　 　象限． 【答案】一、二、四． 【分析】先求出一次函数的解析式，再画出函数图象的示意图，结合所画函数图象即可解决问题． 【解答】解：将点代入得， ， 解得， 所以一次函数的解析式为． 函数图象如图所示， 所以该直线经过第一、二、四象限． 故答案为：一、二、四． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 3．（2024•上海）若正比例函数的图象经过点，则的值随的增大而 　 　（选填“增大”或“减小” 【答案】减小． 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出的值，由，利用正比例函数的性质，可得出的值随的增大而减小． 【解答】解：正比例函数的图象经过点， ， 解得：． ， 的值随的增大而减小． 故答案为：减小． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解题的关键． 【题型8 一次函数图象与几何变换】 一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 1．（2024•黄浦区二模）将直线向上平移2个单位，所得直线与轴、轴所围成的三角形面积是 　　． 【答案】1． 【分析】根据函数图象“上加下减”的平移规律得到直线解析式，求出解析式与坐标轴交点，可得答案． 【解答】解：直线向上平移2个单位长度得到：， 令，即， 解得， 令，得， 所以直线与轴和轴的交点坐标分别为：与， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为． 故答案为：1． 【点评】本题考查了一次函数的几何变换，以及图象与坐标轴的交点求面积，解题的关键是掌握“左加右减，上加下减”． 2．（2024•静安区校级模拟）将正比例函数向左平移个单位，就是向下平移 　 　个单位． 【答案】． 【分析】由将正比例函数向左平移个单位，得到平移后的解析式为，即，从而确定正比例函数图象的另一种平移方式， 【解答】解：将正比例函数向左平移个单位，则平移后的解析式为，即， 将正比例函数向左平移个单位，就是向下平移个单位， 故答案为：． 【点评】本题考查正比例函数图象的平移，熟练掌握函数图象的平移法则是解决问题的关键． 【题型9 待定系数法求一次函数解析式】 待定系数法求一次函数解析式一般步骤： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 1．（2023•闵行区二模）一次函数的图象经过第一、二、三象限，它的解析式可以是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、三象限可知，，然后问题可求解． 【解答】解：由一次函数的图象经过第一、二、三象限可知，，所以符合题意的只有选项； 故选：． 【点评】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【题型10 一次函数与一元一次方程】 一次函数与一元一次方程的相互联系 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数函数值为0时，自变量的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 1．已知直线经过点和点，那么关于的方程的解是　　 A． B． C． D． 【分析】直线与轴交点的横坐标的值即为关于的方程的解． 【解答】解：直线经过点， 关于的方程的解是． 故选：． 【点评】本题本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值． 【题型11 一次函数与一元一次不等式】 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为 ． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：，不等式kx+b＜0的解为：； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：，不等式kx+b＜0的解为：． 1．（2024•杨浦区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象如图所示，那么关于的一元一次不等式的解集是　 　． 【分析】一次函数的图象在轴上方时，，再根据图象写出解集即可． 【解答】解：当不等式时，一次函数的图象在轴上方，因此． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是能正确利用数形结合的方法解决问题． 2．已知直线与轴和轴的交点分别是和，那么关于的不等式的解集是　 　． 【分析】先利用待定系数法求出一次函数解析式，然后解不等式即可． 【解答】解：把和代入得，解得， 所以一次函数解析式为， 解不等式得． 故答案为． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围． 3．（2024•奉贤区模拟）对于平面直角坐标系中第一象限内的点和．已知，，，给出如下定义：过点作轴和轴的垂线，垂足分别为．，若中的任意一点满足，，则称四边形是的一个覆盖，点为这个覆盖的一个特征点．例如，就是的某两个覆盖的特征点．若直线的图象上存在覆盖的特征点，则的取值范围是 　 　． 【答案】． 【分析】当且时，为的覆盖特征点，当直线过点时，求出是的临界值；则可求的取值范围为． 【解答】解：由题意得：当且时，点为的覆盖的特征点． 又点在一次函数的图象上， 当直线过点时，解得：， 结合函数图象可知， 故答案为：． 【点评】本题考查新定义，理解题意，根据所给条件，确定是的覆盖特征点的特征是解题的关键． 【题型12 一次函数与二元一次方程（组）】 一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． 1．（2024•宝山区校级二模）已知直线与的交点为，则这个方程组的解为 　 　． 【分析】先确定交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【解答】解：把代入得， 所以方程组的解为． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【题型13 两条直线相交或平行问题】 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合． （1）两条直线的交点问题 两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解． （2）两条直线的平行问题 若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． 例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2． 1．（2024•静安区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点，它们的夹角为．直线交轴负半轴于点，直线与轴正半轴交于点，那么点的坐标是 　 　． 【答案】． 【分析】根据已知条件证得，再根据相似三角形的性质即可求出的长，从而得出点的坐标． 【解答】解：， ， 轴轴， ， ， ， ， ， 点，点， ，， ， ， 点在轴的负半轴， 点的坐标是， 故答案为：． 【点评】本题考查了两直线相交的问题，点的坐标，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（2023•黄浦区二模）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，那么这个一次函数的解析式是 　 　． 【答案】． 【分析】本题通过已知与直线平行，可知要求的函数解析式为，将点代入表达式，求出值，就求出了函数解析式． 【解答】解：设这个一次函数的解析式为， 该一次函数的图象与直线平行， ，即函数表达式为， 将点代入表达式得， ， ， 函数表达式为：， 故答案为：． 【点评】本题考查一次函数图象平行时，值相等，通过代入经过的点来求出函数表达式． 3．（2022•宝山区二模）在平面直角坐标系中，已知某个一次函数的图象平行于直线，经过点，且与轴交于点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）设点在轴上，当的面积等于2时，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）或． 【分析】（1）设这个一次函数的解析式为，利用两直线平行一次项系数相等得到，再把点坐标代入得到，然后求出得到一次函数解析式； （2）先确定直线与轴的交点的坐标为，再确定，设，根据三角形面积公式，利用得到，然后解方程求出，从而得到点坐标． 【解答】解：（1）设这个一次函数的解析式为， 直线与直线平行， ， 直线经过点， ， 即， 解得， 一次函数解析式为； （2）当时，，则直线与轴的交点的坐标为，如图， 当时，，解得，则， 设， ， ， 解得或， 点坐标为或． 【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：直线与直线平行，那么．也考查了待定系数法求一次函数解析式． 【题型14 一次函数的应用】 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 1．（2024•上海）某种商品的销售量（万元）与广告投入（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元．则投入80万元时，销售额为 　 　万元． 【答案】4500． 【分析】设，根据当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，可得，令得． 【解答】解：设， 当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元， ， 解得， ， 当时，， 故答案为：4500． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是用待定系数法求出一次函数解析式． 2.（2024•宝山区校级二模）某单位准备与汽车租赁公司签订租车合同，以每月用车路程千米计算，甲公司每月收取的租赁费为元，乙公司每月收取的租赁费为元，若、与之间的函数关系如右图所示，其中对应的函数值为月固定租赁费，则下列判断中不一定正确的是　　 A．当月用车路程为2000千米时，两家公司租赁费相同 B．当月用车路程为2500千米时，租乙公司的车比较合算 C．除去月固定租赁费，甲公司每公里收取的费用比乙公司多 D．乙公司的月固定租赁费比甲公司多200元 【答案】 【分析】观察函数图象可知，函数的横坐标表示路程，纵坐标表示收费，根据图象上特殊点的意义即可求出答案． 【解答】解：、交点为，那么当月用车路程为，两家汽车租赁公司租赁费用相同，说法正确，不符合题意； 、由图象可得超过时，相同路程，乙公司收费便宜，说法正确，不符合题意； 、由图象易得乙的租赁费较高，当行驶2000千米时，总收费相同，那么可得甲租赁公司每公里收取的费用比乙租赁公司多，说法正确，不符合题意； 、甲乙固定费用是函数与轴交点，图中无法确定具体数值，故不能确定乙比甲多多少，说法错误，故本选项符合题意， 故选：． 【点评】此题主要考查了一次函数的应用，解决本题的关键是理解两个函数图象交点的意义． 3．（2024•虹口区二模）一根蜡烛长30厘米，点燃后匀速燃烧，经过50分钟其长度恰为原长的一半．在燃烧的过程中，如果设蜡烛的长为（厘米），燃烧的时间为（分钟），那么关于的函数解析式为 　 　（不写定义域）． 【答案】． 【分析】求出蜡烛每分钟燃烧的长度，再根据“蜡烛的长蜡烛原长蜡烛每分钟燃烧的长度燃烧时间”解答即可． 【解答】解：蜡烛每分钟燃烧的长度为（厘米）， ， 关于的函数解析式为． 【点评】本题考查一次函数的应用，弄清各量之间的关系是本题的关键． 考向三：一次函数 【题型16 反比例函数的定义、图象和性质】 1.判断一个函数是否是反比例函数： 首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 2.反比例函数的性质： （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 1．（2024•闵行区模拟）若函数是反比例函数，则的值是 　　． 【答案】． 【分析】形如为常数，的函数叫做反比例函数，也可以写成为常数，，据此解答即可． 【解答】解：若函数是反比例函数， 则， 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟知其定义是解题的关键． 2．（2024•浦东新区模拟）在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据、的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论． 【解答】解：， ①若，，则经过一、三、四象限，反比例函数位于二、四象限， ②若，，则经过一、二、四象限，反比例函数位于一、三象限， 只有选项符合题意， 故选：． 【点评】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象． 3．（2024•宝山区校级二模）下列函数中，其图象一定不经过第二象限的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分别根据正比例函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质、一次函数的性质进行解答． 【解答】解：、开口向下，对称轴是直线，且函数图象过点， 则函数图象过一、三、四象限，故本选项正确； 、的系数， 函数图象过二、四象限，故本选项错误； 、在中，，， 则函数过一、二、三象限，故本选项错误； 、中，， 函数图象过二、四象限，故本选项错误； 故选：． 【点评】本题考查了正比例函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质、一次函数的性质，关键是根据系数的符号判断图象的位置． 4．（2024•长宁区二模）下列函数中，函数值随自变量的值增大而增大的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质、一次函数的性质及正比例函数的性质、二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：、函数中，当时随的增大而减小，不符合题意； 、函数中，在每一象限内随的增大而增大，不符合题意； 、函数中，随的增大而减小，不符合题意； 、函数中，随的增大而增大，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质、一次函数的性质及正比例函数的性质、二次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键． 5．（2024•崇明区二模）下列函数中，如果，的值随的值增大而减小，那么这个函数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分别根据正比例函数，反比例函数和二次函数的图象和性质判断即可． 【解答】解：、，当时，随值的增大而增大，故选项不符合题意； 、，因为，所以时，的值随的值增大而增大，故选项不符合题意； 、，因为，随值的增大而减小，此选项符合题意； 、，因为图象开口向上，对称轴为轴，所以时，的值随的值增大而增大，故选项不符合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了二次函数、一次函数、正比例函数的性质等知识，熟练应用函数的性质是解题关键． 6．（2024•普陀区二模）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是 　 　． 【分析】根据反比例函数的图象位于第二、四象限，可以得到，然后求解即可． 【解答】解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 【题型17 反比例函数系数k的几何意义】 比例系数k的几何意义 （1）在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． （2）在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 1．（2024•浦东新区二模）如图，点、在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，轴，那么的面积等于 　 　． 【答案】． 【分析】根据反比例函数的图象和性质，设，根据题意则，，，则有：，，利用三角形面积公式列式计算即可． 【解答】解：点在反比例函数的图象上，设， 轴，且点、在反比例函数的图象上 ，，，则有：，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数图象和性质，充分利用直线与坐标轴的平行关系设点的坐标是关键． 2．（2024•徐汇区二模）如图，点是函数图象上一点，联结交函数图象于点，点是轴负半轴上一点，且，联结，那么的面积是 　　． 【答案】． 【分析】过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，反比例函数比例系数的几何意义得，，证得，由此得，则，再由得，然后根据等腰三角形的性质得，则，由此得得，进而可得的面积． 【解答】解：过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，如图所示： 点是函数图象上一点，点是反比例函数图象上的点， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：，， 轴，轴， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，轴， ， ， ， 即， ， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【题型18 反比例函数图象上点的坐标特征】 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 1．（2024•奉贤区二模）下列函数中，能同时满足以下三个特征的是　　 ①函数图象经过点； ②图象经过第二象限； ③当时，随的增大而增大． A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据函数，随的增大而减小可对选项进行判断；根据函数不经过第二象限可对选项进行判断；根据函数，当时，，则该函数经过点，再根据函数图象的两个分支在第二，四象限，且当时，随的增大而增大即可对选项进行判断；根据函数，当时，，则不经过点，由此可对选项进行判断． 【解答】解：函数，随的增大而减小， 故选项不符合题意； 函数不经过第二象限， 故选项不符合题意； 函数，当时，， 该函数经过点， 函数图象的两个分支在第二，四象限，且当时，随的增大而增大， 故选项符合题意； 函数，当时，， 不经过点， 故选项不符合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了一次函数、反比例函数，二次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数、反比例函数，二次函数的图象及其增减性是解决问题的关键． 2．（2024•黄浦区二模）反比例函数的图象有下述特征：图象与轴没有公共点且与轴无限接近．下列说明这一特征的理由中，正确的是　　 A．自变量且的值可以无限接近0 B．自变量且函数值可以无限接近0 C．函数值且的值可以无限接近0 D．函数值且函数值可以无限接近0 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质和题目条件，逐项分析判断即可． 【解答】解：、自变量且的值可以无限接近0，与题目条件不符，错误，不符合题意； 、自变量且函数值可以无限接近0，与题目条件不符，错误，不符合题意； 、函数值且的值可以无限接近0，与题目条件不符，错误，不符合题意； 、函数值且函数值可以无限接近0，与题目条件相符，正确，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象的特点是关键． 【题型19 待定系数法求反比例函数解析式】 待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 1．（2024•徐汇区模拟）已知点在双曲线上． （1）求此双曲线的表达式与点的坐标； （2）如果点在此双曲线上，图象经过点、的一次函数的函数值随的增大而增大，求此一次函数的解析式． 【分析】（1）把点代入求得，即可求出结果； （2）把点代入求得得到点的坐标，由待定系数法求出一次函数解析式，根据题意舍去不合题意的解析式即可得到此一次函数的解析式． 【解答】解：（1）点在双曲线上， ， 解得：， ， 此双曲线的表达式为， 点的坐标为； （2）点在此双曲线上， ， 解得：或， 点的坐标为或， 由（1）知， 设一次函数的解析式为， 当时， ，时，显然，两点分别在第四、二象限，即直线经过第二、四象限，此时随的增大而减小，不符合题意，舍去； 当时， 则， 解得：， 一次函数的解析式为， ， 一次函数的函数值随的增大而增大， 符合题意， 此一次函数的解析式为． 【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式以及一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 2．（2024•静安区三模）已知：如图，第一象限内的点，在反比例函数的图象上，点在轴上，轴，点的坐标为，且 求：（1）反比例函数的解析式； （2）点的坐标； （3）的余弦值． 【分析】（1）待定系数法求解可得； （2）作轴于点，与交于点，则，根据得，即可知，从而得出答案； （3）先求出点的坐标．继而由勾股定理得出的长，最后由三角函数可得答案． 【解答】解：（1）设反比例函数解析式为， 将点代入，得：， 反比例函数的解析式； （2）过点作轴于点，与交于点，则， ， ， ， 点的坐标为； （3）当时，由可得， 点的坐标为， ， ， ． 【点评】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【题型20 反比例函数与一次函数的交点问题】 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 1．（2024•上海）在平面直角坐标系中，反比例函数为常数且上有一点，且与直线交于另一点． （1）求与的值； （2）过点作直线轴与直线交于点，求的值． 【答案】（1），．（2）． 【分析】（1）将点坐标代入一次函数解析式求出，再将点坐标代入反比例函数解析式求出值，最后将点坐标代入反比例函数解析式求出即可； （2）求出点坐标，根据正弦函数定义直接写出结果即可． 【解答】解：（1）点在直线图象上， ，解得， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为， 点在反比例函数图象上， ． ． （2）在函数中，当时，， ， ， ． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 2．（2024•崇明区二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点为直线上位于点右侧的一点，且，过点作轴，垂足为，交反比例函数的图象于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）试判断的形状． 【答案】（1）反比例函数的解析式为：；（2）是等腰三角形． 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）证明得到点、坐标，根据两点间距离公式计算出三边长即可判断三角形形状． 【解答】解：（1）点在正比例函数的图象上， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为：； （2）如图，作轴，垂足为， ， ， ， ， ， ， ， 将代入正比例函数得：， 将代入反比例函数得， ，， ，，， ， 是等腰三角形． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握两点间距离公式是解答本题的关键． 3．（2024•宝山区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点作轴的平行线，如果点在直线上，且，求的面积． 【答案】（1）反比例函数解析式为：．（2）． 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）分两种情况求面积，①当点坐标为时，②当点坐标为时，分别计算出的面积即可． 【解答】解：（1）点在直线图象上， ， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为：． （2），点在直线上，，轴， 或， 与轴、轴分别交于点、， ，， ①当点坐标为时， ， ②当点坐标为时， ． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． 4．（2024•虹口区二模）如图，一次函数图象在反比例函数图象相交于点和点，与轴交于点．点在反比例函数图象上，过点作轴的垂线交一次函数图象于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）一次函数解析式为：．反比例函数解析式为：；（2）． 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）分别求出点、、的坐标，利用三角形面积公式计算即可． 【解答】解：（1）点和点点在反比例函数图象上， ， ，，， ，，， 反比例函数解析式为：， 设直线的解析式为，将点坐标代入得： ，解得， 一次函数解析式为：． （2）当时，，当时，， ， ． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． 【题型21 反比例函数的应用】 1．（2024•浦东新区校级模拟）建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图由两条曲线，（反比例函数图象的一部分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形与四边形均为矩形，，，，，，以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 请回答下列问题： （1）如图2，求所在图象的函数表达式． （2）如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂用来雕刻所在曲面的花纹，请问点在上滑动过程中，最长为多少米？ 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据已知条件得到，设所在双曲线的表达式为，将点坐标代入表达式中，即可得到结论； （2）根据点与点坐标分别为，，设所在直线解析式，求得所在直线解析式为，根据反比例函数图象轴对称的性质，曲线关于直线对称，解方程组即可得到结论 【解答】解：（1），，，为中点，， ， 设所在双曲线的表达式为， 将点坐标代入表达式中， 得：， 解得， 双曲线的表达式为； （2）如图：点与点坐标分别为，， 设所在直线解析式， 将、两点坐标代入得， 解得，， 所在直线解析式为， 根据反比例函数图象轴对称的性质，曲线关于直线对称， ， 解得， ， 解，得， ； 的最大值为． 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，轴对称的性质，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 2．（2022•杨浦区二模）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数随时间（分变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是双曲线的一部分，根据函数图像回答下列问题： （1）点的注意力指标数是 　 　． （2）当时，求注意力指标数随时间（分的函数解析式； （3）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要21分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由． 【答案】（1）24； （2）； （3）张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36． 【分析】（1）根据的坐标求解析式，再求得坐标，从而得得坐标； （2）待定系数法求解； （3）利用函数和不等式的关系求解． 【解答】解：（1）设，由得， ， 由图可知：点的注意力指标数是24． （2）当时，的解析式为， ． （3）张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36． 理由：当时，，解之得； 当时，反比例函数解析为：． 当时，，解之得． 当时，注意力指标数都不低于36． 而， 张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36． 【点评】本题考查了函数在生活中的应用，熟练掌握各种函数的性质是解题的关键． 3．（2024•宝山区校级二模）如图，正方形，的顶点，，在坐标轴上，点在上，点，在双曲线上，若点的横坐标为2，则直线的函数解析式为　　． 【分析】由点的横坐标为2，根据图形得到正方形的边长和点的坐标，设出正方形的边长为，由点和在同一个双曲线上，列出关于的方程，求出方程的解得到的值，进而得到点的坐标，设出直线的解析式为，把点和的坐标代入即可求出和的值，确定出直线的解析式． 【解答】解：设正方形的边长为，由点的横坐标为2， 得到正方形的边长为2，即坐标为， 则点的坐标为，，又点和在同一个双曲线上， ，即，解得：或（舍去）， 点坐标为，， 设直线的函数解析式为，将点和的坐标代入得： ，解得， 直线的解析式为． 故答案为：． 【点评】此题考查了正方形及反比例函数的性质，以及会利用待定系数法求直线的解析式．解题的思路是设出正方形的边长，表示出点的坐标，且由正方形的边长求出点的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线交于点，直线分别与直线和双曲线交于点、． （1）求和的值； （2）当点在线段上时，如果，求的值； （3）点是轴上一点，如果四边形是菱形，求点的坐标． 【答案】（1），； （2）； （3）点的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法将点分别代入直线和双曲线的解析式中，即可求出和的值； （2）由题意可得，，可得，利用，建立方程求解即可； （3）过点作轴于点，运用勾股定理求出，由于四边形是菱形，可得，建立方程求解即可． 【解答】解：（1）把点代入，得：， 解得：； 把点代入，得：， 解得：； （2）在直线中，令，得：， ， ， 令，得：， 解得：， ， 直线分别与直线和双曲线交于点、． ，， 点在线段上， ， ， ， ， 解得：，， 经检验，，都是原方程的解，但， ； （3）如图，过点作轴于点， ，，， ， ， ， 又有， 四边形是菱形， ， ， 解得：，， 当时，，， ， ， ； 当时，，，，， ， ， ； 综上所述，点的坐标为或． 【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的综合题，待定系数法，勾股定理，菱形性质等，熟练掌握反比例函数图象和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想和方程思想是解题关键． （建议用时：15分钟） 1．（2024•奉贤区三模）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点位置判断，，的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象． 【解答】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴在轴左侧， ， 抛物线与轴交点在轴下方， ， 直线经过第一，二，四象限，反比例函数图象分布在第二、四象限， 故选：． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系． 2．（2024•浦东新区模拟）下列说法错误的是　　 A．“对顶角相等”的逆命题是真命题 B．通过平移或旋转得到的图形与原图形全等 C．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件 D．函数的图象经过点 【答案】 【分析】根据平移、旋转的性质、对顶角的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、随机事件的概念判断即可． 【解答】解：“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，错误，符合题意； 通过平移或旋转得到的图形与原图形全等，正确，不符合题意； “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，正确，不符合题意； 因为时，，所以函数的图象经过点，正确，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 3．（2024•上海模拟）如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上．若直线的函数表达式为，则反比例函数表达式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】解方程求得，，得到，，过作轴于，过作轴于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论． 【解答】解：在中，令，则， 令，则， ，， ，， 过作轴于，过作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 设，， ，， ，， 点，点在反比例函数图象上， ， ，（不合题意舍去）， ， ， 反比例函数表达式为， 故选：． 填空题 【点评】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 4．（2024•普陀区二模）已知直线与直线相交于点，那么点的横坐标是 　 　． 【分析】代入，求出的值即可． 【解答】解：将代入得：， 解得：， 点的横坐标是． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键． 5．（2024•浦东新区模拟）如图，过反比例函数图象上一点作轴的平行线，交双曲线于点，过作交双曲线于点，交轴于点，连接交轴于点．若，则的面积是 　 　． 【答案】． 【分析】连接，设交轴于，利用反比例函数比例系数的几何意义得，再证四边形为平行四边形，则，再由得，进而可得点，点，再分别求出直线的表达式为，进而得直线的表达式为，由此可得点，由此可求出直线的表达式为，从而得点，据此可得的面积． 【解答】解：连接，设交轴于，如图所示： 轴， 轴， 点在反比例函数的图象上，点在双曲线的图象上， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：，， ， 轴，， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， 故得点和点的纵坐标均为3， 点，点， 设直线的表达式为：， 将点代入，得， 直线的表达式为：， ， 可设的表达式为：， 将点代入，得：， 直线的表达式为：， 解方程组，得：，， 点的坐标为， 设直线的表达式为：， 将点，点代入， 得：，解得：， 直线的表达式为：， 对于，当时，， 点，则， 又点，轴， ， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数比例系数的几何意义，反比例函数与一次函数的交点坐标，待定系数法求一次函数的表达式，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义，待定系数法求一次函数的表达式是解决问题的关键． 6．（2024•松江区二模）一种弹簧秤称重不超过8千克的物体时，弹簧的长度（厘米）与所挂重物质量（千克）是一次函数关系．又已知挂2千克重物时弹簧的长度为11厘米，挂4千克重物时弹簧的长度为12厘米，那么挂5千克重物时弹簧的长度为 　 　厘米． 【答案】12.5． 【分析】利用待定系数法求出与之间的函数关系式，并标明的取值范围，将代入求出对应的值即可． 【解答】解：设与之间的函数关系式为、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， 与之间的函数关系式为． 当时，， 挂5千克重物时弹簧的长度为12.5厘米． 故答案为：12.5． 【点评】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求出与之间的函数关系式是本题的关键． 7．（2023•奉贤区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线上有一点，将点先向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到点，点恰好在直线上． （1）写出点的坐标，并求出直线的表达式； （2）如果点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）设点的坐标为：． 【分析】（1）将点先向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到点，则点，再用待定系数法即可求解； （2）由，则，则点在的中垂线上，即可求解． 【解答】解：（1）将点先向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到点，则点， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：，则， 则直线的表达式为：； （2）设点， ，则， 则点在的中垂线上， 由中点坐标公式得：， 解得：， 即点的坐标为：． 【点评】本题为一次函数综合题，涉及到点的平移、中点坐标公式的运用、等腰三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中． 8．（2024•闵行区二模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆分钟） 25 22 19 16 13 （1）请用一次函数分别表示与、与之间的函数关系．（不写定义域） （2）如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，求出关于的函数关系式，分，两种情况讨论，求出对应的取值范围即可． 【解答】解：（1）设、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， ． 设、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， ． （2）． 当时，即，解得； 当时，即，解得． 时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数表达式是解题的关键． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点03 一次函数与反比例函数 上海中考数学对一次函数和反比例函数的考查紧密贴合本地教学大纲和实际应用需求，命题风格兼具基础性、综合性与生活化，体现出鲜明的地区特点。 考情特点： 1. 立足基础，强调核心概念 一次函数必考解析式求解（如通过待定系数法求直线方程）、图像性质（斜率与截距的几何意义）及与方程/不等式的联系（如求交点、解集）。（例如2024年上海中考第11题考查了一次函数图象上点的坐标特征，第13题考了待定系数法解一次函数解析式） 反比例函数聚焦于k的符号与几何意义（如双曲线与坐标轴围成的矩形面积）、增减性判断（仅限同一象限）及实际意义下的自变量限制。（例如2023年上海卷第19题以“油价调整”为背景，结合分段一次函数计算费用；2022年第22题通过反比例函数解析式求矩形面积，融入崇明生态区农田规划情境） 2. 情境本土化，贴近生活实际 上海卷常以本地生活场景为载体，如出租车阶梯计价（如“3公里内14元，超3公里后每公里2.5元”）、地铁客流量与发车间隔的反比例关系、社区垃圾分类处理效率等，要求学生建立函数模型并分析实际意义。 （例如2021年考题以“长三角一体化示范区交通建设”为背景，结合一次函数图像分析工程进度与成本优化） 3. 综合性强，注重数形结合 一次函数常与几何图形结合，如坐标系中三角形、梯形的面积计算（如黄浦江沿岸地标连线的几何问题）；反比例函数则多与直线、几何变换（对称性）结合，考查交点坐标及动态分析能力。 4. 突出数学思维与创新设问 上海卷近年创新题增多，如通过动态图像探究函数性质（如滑动窗口截取双曲线与直线的交点变化），或结合电子屏幕分辨率（长宽反比例关系）、智能物流运输成本（分段函数最优化）等科技场景命题。 备考建议 1. 抓牢基础：熟练待定系数法求解析式，掌握斜率k对函数图像的影响及反比例函数k的几何意义。 2. 真题精练：重点研究2019-2024年上海卷真题，如2023年“油价阶梯收费”、2020年“社区防疫物资分配”等题，总结生活化建模思路。 3. 强化应用：关注上海本地社会热点（如“五个新城”建设、智慧城市交通），尝试用函数模型解决实际问题。 4. 细节避坑：规范答题步骤，注意实际问题的定义域限制（如时间、长度非负），区分函数增减性的描述（反比例函数不可直接称“单调递减”）。 上海中考对函数的考查始终贯穿“用数学的眼光观察现实”的理念，备考需兼顾深度理解与灵活应用，尤其注重从本土情境中提炼数学模型的能力。 考向一：函数基础 【题型1 函数自变量的取值范围】 ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如中的． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 1．（2024•上海）函数的定义域是　　 A． B． C． D． 2．（2024•宝山区校级二模）函数中，自变量的取值范围是　 　． 3．（2024•虹口区二模）函数的定义域是 　 　． 【题型2 函数值】 【易混易错提醒】 ①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 1．（2024•金山区二模）已知，　 　． 2．（2024•崇明区二模）已知，那么　 　． 【题型3 函数的图象】 1．（2023•黄浦区二模）“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着探究函数，其图象经过　　 A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 考向二：一次函数 【题型4 一次函数的性质】 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升； k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 1．（2024•静安区二模）一次函数中，如果，，那么该函数的图象一定不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024•浦东新区二模）直线经过的象限是　　 A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限． 3．（2024•徐汇区二模）已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，那么直线经过　　 A．第二、三、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【题型5 正比例函数的性质】 正比例函数的性质： 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数； 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称． 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 1．（2023•金山区二模）已知函数，为常数）的函数值随值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是　　 A． B． C． D． 【题型6 一次函数图象与系数的关系】 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 1．（2023•虹口区二模）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，那么的取值范围是　　 A． B． C． D． 2．（2023•崇明区二模）如果函数的图象经过第一、三、四象限，那么的取值范围是　　 A． B． C． D． 【题型7 一次函数图象上点的坐标特征】 一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是 ；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 1．（2024•普陀区二模）已知正比例函数是常数，的图象经过点，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图象上的是　　 A． B． C． D． 2．（2024•静安区校级二模）点在一次函数图象上，则该直线经过　 　象限． 3．（2024•上海）若正比例函数的图象经过点，则的值随的增大而 　 　（选填“增大”或“减小” 【题型8 一次函数图象与几何变换】 一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 1．（2024•黄浦区二模）将直线向上平移2个单位，所得直线与轴、轴所围成的三角形面积是 　　． 2．（2024•静安区校级模拟）将正比例函数向左平移个单位，就是向下平移 　 　个单位． 【题型9 待定系数法求一次函数解析式】 待定系数法求一次函数解析式一般步骤： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 1．（2023•闵行区二模）一次函数的图象经过第一、二、三象限，它的解析式可以是　　 A． B． C． D． 【题型10 一次函数与一元一次方程】 一次函数与一元一次方程的相互联系 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数函数值为0时，自变量的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 1．已知直线经过点和点，那么关于的方程的解是　　 A． B． C． D． 【题型11 一次函数与一元一次不等式】 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为 ． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：，不等式kx+b＜0的解为：； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：，不等式kx+b＜0的解为：． 1．（2024•杨浦区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象如图所示，那么关于的一元一次不等式的解集是　 　． 2．已知直线与轴和轴的交点分别是和，那么关于的不等式的解集是　 　． 3．（2024•奉贤区模拟）对于平面直角坐标系中第一象限内的点和．已知，，，给出如下定义：过点作轴和轴的垂线，垂足分别为．，若中的任意一点满足，，则称四边形是的一个覆盖，点为这个覆盖的一个特征点．例如，就是的某两个覆盖的特征点．若直线的图象上存在覆盖的特征点，则的取值范围是 　 　． 【题型12 一次函数与二元一次方程（组）】 一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． 1．（2024•宝山区校级二模）已知直线与的交点为，则这个方程组的解为 　 　． 【题型13 两条直线相交或平行问题】 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合． （1）两条直线的交点问题 两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解． （2）两条直线的平行问题 若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． 例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2． 1．（2024•静安区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点，它们的夹角为．直线交轴负半轴于点，直线与轴正半轴交于点，那么点的坐标是 　 　． 2．（2023•黄浦区二模）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，那么这个一次函数的解析式是 　 　． 3．（2022•宝山区二模）在平面直角坐标系中，已知某个一次函数的图象平行于直线，经过点，且与轴交于点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）设点在轴上，当的面积等于2时，求点的坐标． 【题型14 一次函数的应用】 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 1．（2024•上海）某种商品的销售量（万元）与广告投入（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元．则投入80万元时，销售额为 　 　万元． 2.（2024•宝山区校级二模）某单位准备与汽车租赁公司签订租车合同，以每月用车路程千米计算，甲公司每月收取的租赁费为元，乙公司每月收取的租赁费为元，若、与之间的函数关系如右图所示，其中对应的函数值为月固定租赁费，则下列判断中不一定正确的是　　 A．当月用车路程为2000千米时，两家公司租赁费相同 B．当月用车路程为2500千米时，租乙公司的车比较合算 C．除去月固定租赁费，甲公司每公里收取的费用比乙公司多 D．乙公司的月固定租赁费比甲公司多200元 3．（2024•虹口区二模）一根蜡烛长30厘米，点燃后匀速燃烧，经过50分钟其长度恰为原长的一半．在燃烧的过程中，如果设蜡烛的长为（厘米），燃烧的时间为（分钟），那么关于的函数解析式为 　 　（不写定义域）． 考向三：一次函数 【题型15 反比例函数的定义、图象和性质】 1.判断一个函数是否是反比例函数： 首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 2.反比例函数的性质： （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 1．（2024•闵行区模拟）若函数是反比例函数，则的值是 　 　． 2．（2024•浦东新区模拟）在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是　　 A． B． C． D． 3．（2024•宝山区校级二模）下列函数中，其图象一定不经过第二象限的是　　 A． B． C． D． 4．（2024•长宁区二模）下列函数中，函数值随自变量的值增大而增大的是　　 A． B． C． D． 5．（2024•崇明区二模）下列函数中，如果，的值随的值增大而减小，那么这个函数是　　 A． B． C． D． 6．（2024•普陀区二模）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是 　 　． 【题型16 反比例函数系数k的几何意义】 比例系数k的几何意义 （1）在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． （2）在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 1．（2024•浦东新区二模）如图，点、在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且轴，轴，那么的面积等于 　 　． 2．（2024•徐汇区二模）如图，点是函数图象上一点，联结交函数图象于点，点是轴负半轴上一点，且，联结，那么的面积是 　 　． 【题型17 反比例函数图象上点的坐标特征】 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 1．（2024•奉贤区二模）下列函数中，能同时满足以下三个特征的是　　 ①函数图象经过点； ②图象经过第二象限； ③当时，随的增大而增大． A． B． C． D． 2．（2024•黄浦区二模）反比例函数的图象有下述特征：图象与轴没有公共点且与轴无限接近．下列说明这一特征的理由中，正确的是　　 A．自变量且的值可以无限接近0 B．自变量且函数值可以无限接近0 C．函数值且的值可以无限接近0 D．函数值且函数值可以无限接近0 【题型17 待定系数法求反比例函数解析式】 待定系数法求反比例函数解析式 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 1．（2024•徐汇区模拟）已知点在双曲线上． （1）求此双曲线的表达式与点的坐标； （2）如果点在此双曲线上，图象经过点、的一次函数的函数值随的增大而增大，求此一次函数的解析式． 2．（2024•静安区三模）已知：如图，第一象限内的点，在反比例函数的图象上，点在轴上，轴，点的坐标为，且 求：（1）反比例函数的解析式； （2）点的坐标； （3）的余弦值． 【题型19 反比例函数与一次函数的交点问题】 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 1．（2024•上海）在平面直角坐标系中，反比例函数为常数且上有一点，且与直线交于另一点． （1）求与的值； （2）过点作直线轴与直线交于点，求的值． 2．（2024•崇明区二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点为直线上位于点右侧的一点，且，过点作轴，垂足为，交反比例函数的图象于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）试判断的形状． 3．（2024•宝山区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点作轴的平行线，如果点在直线上，且，求的面积． 4．（2024•虹口区二模）如图，一次函数图象在反比例函数图象相交于点和点，与轴交于点．点在反比例函数图象上，过点作轴的垂线交一次函数图象于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积． 【题型20 反比例函数的应用】 1．（2024•浦东新区校级模拟）建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面（图由两条曲线，（反比例函数图象的一部分）和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形与四边形均为矩形，，，，，，以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 请回答下列问题： （1）如图2，求所在图象的函数表达式． （2）如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂用来雕刻所在曲面的花纹，请问点在上滑动过程中，最长为多少米？ 2．（2022•杨浦区二模）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数随时间（分变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是双曲线的一部分，根据函数图像回答下列问题： （1）点的注意力指标数是 　 　． （2）当时，求注意力指标数随时间（分的函数解析式； （3）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要21分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由． 3．（2024•宝山区校级二模）如图，正方形，的顶点，，在坐标轴上，点在上，点，在双曲线上，若点的横坐标为2，则直线的函数解析式为　 　． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线交于点，直线分别与直线和双曲线交于点、． （1）求和的值； （2）当点在线段上时，如果，求的值； （3）点是轴上一点，如果四边形是菱形，求点的坐标． （建议用时：15分钟） 1．（2024•奉贤区三模）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是　　 A． B． C． D． 2．（2024•浦东新区模拟）下列说法错误的是　　 A．“对顶角相等”的逆命题是真命题 B．通过平移或旋转得到的图形与原图形全等 C．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件 D．函数的图象经过点 3．（2024•上海模拟）如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上．若直线的函数表达式为，则反比例函数表达式为　　 A． B． C． D． 4．（2024•普陀区二模）已知直线与直线相交于点，那么点的横坐标是 　 　． 5．（2024•浦东新区模拟）如图，过反比例函数图象上一点作轴的平行线，交双曲线于点，过作交双曲线于点，交轴于点，连接交轴于点．若，则的面积是 　 　． 6．（2024•松江区二模）一种弹簧秤称重不超过8千克的物体时，弹簧的长度（厘米）与所挂重物质量（千克）是一次函数关系．又已知挂2千克重物时弹簧的长度为11厘米，挂4千克重物时弹簧的长度为12厘米，那么挂5千克重物时弹簧的长度为 　 　厘米． 7．（2023•奉贤区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线上有一点，将点先向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到点，点恰好在直线上． （1）写出点的坐标，并求出直线的表达式； （2）如果点在轴上，且，求点的坐标． 8．（2024•闵行区二模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆分钟） 25 22 19 16 13 （1）请用一次函数分别表示与、与之间的函数关系．（不写定义域） （2）如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$