专题03 一元一次不等式的应用重难点题型专训（10大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题03 一元一次不等式的应用重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 方案问题 题型二 销售利润问题 题型三 分配问题 题型四 几何问题 题型五 行程问题 题型六 和差倍分问题 题型七 水电费问题 题型八 不等式与一次函数结合的应用 题型九 新定义问题 题型十 其他问题 知识点1:盈不足与行程问题 1. 盈不足问题 2. 行程问题，常用等量关系：路程=速度×时间 知识点2：经济与方案问题 一．经济问题： 常见等量关系： 利润=售价-成本. 利润率=（售价-成本）/成本 X100%. 售价=成本X（1+利润率） 二．方案问题 【经典例题一 方案问题】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）小红家开了一家糕点店，现有面粉，鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共盒．已知加工盒一般糕点需面粉和鸡蛋；加工盒精制糕点需面粉和鸡蛋． (1)有哪几种加工方案？ (2)如果销售盒一般糕点和盒精制糕点的利润分别为元和元，那么按哪一种方案加工小红家可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)因此加工方案有三种：加工一般糕点盒，精制糕点盒 加工一般糕点盒，精制糕点盒 加工一般糕点盒，精制糕点盒 (2)元 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出不等式组是解答本题的关键． （1）根据“现有面粉，鸡蛋”列出不等式组，求出自变量的取值范围，判断出符合条件的方案即可； （2）根据一盒一般糕点和精制糕点的利润，可以看出，制作的精制糕点越多，利润越大，因此找出（1）中精制糕点最多的方案，计算出这个方案的利润即可． 【详解】（1）解：设加工一般糕点盒，则加工精制糕点盒， 根据题意，得， 解得：， 为整数， 可取，，， 因此加工方案有三种：加工一般糕点盒，精制糕点盒； 加工一般糕点盒，精制糕点盒 ； 加工一般糕点盒，精制糕点盒； （2）解：由题意知，精制糕点数量越多利润越大，故当加工一般糕点盒、精制糕点盒时，可获得最大利润，最大利润为（元）． 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）某企业计划购买A、B两种型号的笔记本电脑共15台，已知A型笔记本电脑每台5200元，B型笔记本电脑每台6400元，设购买A型笔记本电脑x台，购买两种型号的笔记本电脑共需要总费用y元． (1)求出y与x之间的函数表达式 (2)若因为经费有限，该企业预算不超过8.6万元，且购买A型笔记本电脑的数量不得大于B型笔记本电脑数量的4倍，请问该企业共有几种购买方案?哪种方案费用最省，并求出该方案所需费用 【答案】(1) (2)共有4种购买方案，购买型笔记本电脑12台，型笔记本电脑3台费用最省，费用为81600元． 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出一次函数是解此题的关键． （1）根据题意直接可以写出y与x之间的函数表达式； （2）根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出，再由一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得． ∴y与x之间的函数表达式为； （2）解：∵学校预算不超过万元，购买A型笔记本电脑的数量不得大于B型笔记本电脑数量的4倍， ∴， 解得：， ∴共有4种购买方案，其中， ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为， ∴购买型笔记本电脑12台，型笔记本电脑3台费用最省，为81600元． 2．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）在党的二十大报告中，强调了教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑．某校为提升教学质量，计划购买、两种型号的教学设备．已知购买台型设备和台型设备共需万元；购买台型设备和台型设备共需万元． (1)求型、型设备每台各是多少万元； (2)根据该校的实际情况，需购买、两种型号的教学设备共台，要求购买的总费用不超过万元，并且型设备的数量不少于型设备数量的，那么该校共有几种购买方案？ 【答案】(1)型设备每台万元，型设备每台万元 (2)一共有种购买方案 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式组的应用； （1）设型设备万元台，型设备万元台，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设型设备购买台，则购买型设备台，根据题意列出不等式组，求得整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设型设备万元台，型设备万元台， 依题意得： 解得 答：型设备每台万元，型设备每台万元． （2）设型设备购买台，则购买型设备台， 依题意得： 解得：， 又因为为正整数，所以的取值为，， 答：一共有种购买方案． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）某市教育局计划购买台阅卷扫描仪，有，两种型号可供选择，其中型号功能多一点．已知购买台型号和台型号共需要万元；购买台型号和台B型号共需要万元． (1)求，两种型号阅卷扫描仪的单价； (2)若购买阅卷扫描仪的费用不超过万元，请你通过计算说明，共有哪几种购买方案； (3)在（2）的购买方案中，教育局想多购买功能多一点的阅卷扫描仪，应选择哪种方案？ 【答案】(1)型号阅卷扫描仪的单价是万元/台，型号阅卷扫描仪的单价是万元/台 (2)有三种购买方案．方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案二：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案三：购买型号阅卷扫描仪台 (3)选择方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设型号阅卷扫描仪的单价是万元，B型号阅卷扫描仪的单价是万元，根据题意列出方程组并求解； （2）设购买型号阅卷扫描仪台，根据题意列出不等式即可； （3）写出所有可能的方案，然后选出型号最多的方案． 【详解】（1）设型号阅卷扫描仪的单价是万元/台，型号阅卷扫描仪的单价是万元/台， 根据题意，得解得 答：型号阅卷扫描仪的单价是万元/台，型号阅卷扫描仪的单价是万元/台． （2）设购买型号阅卷扫描仪台，则购买型号阅卷扫描仪台． 根据题意，得， 解得． ∵m为正整数，， ∴m可取，，，对应的值为，，． ∴有三种购买方案．方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案二：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案三：购买型号阅卷扫描仪台． （3）在（2）的购买方案中，教育局想多购买功能多一点的阅卷扫描仪，应选择方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台． 【经典例题二 销售利润问题】 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）某商场计划购进甲、乙两种空调共50台，这两种空调的进价、售价如下表所示： 类型 进价（元/台） 售价（元/台） 甲 2300 2800 乙 3300 4000 (1)若该商场此次进货共用去13万元，则这两种空调各购进多少台； (2)若商场规定每种空调至少购进10台，并且在当月全部销售完，应怎样进货才能使商场在销售完这批空调时获利最多，并求出最大利润． 【答案】(1)购进甲空调35台，购进乙空调15台 (2)购进甲空调10台、乙空调40台才能使商场在销售完这批空调时获利最多，最大利润为33000元 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数的实际应用： （1）设购进甲空调x台，购进乙空调y台，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）设购进甲空调m台，则购进乙空调台，根据题意，列出不等式组，求出的取值范围，设获得的总利润为W元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设购进甲空调x台，购进乙空调y台． 根据题意，得， 解得． 答：购进甲空调35台，购进乙空调15台． （2）设购进甲空调m台，则购进乙空调台． 根据题意，得， 解得． 设获得的总利润为W元，则， ∵， ∴W随m的减小而增大， ∵， ∴当时，W的值最大，， （台）． 答：购进甲空调10台、乙空调40台才能使商场在销售完这批空调时获利最多，最大利润为33000元． 1、（24-25八年级上·四川泸州·开学考试）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的、两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 (1)求、两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)、两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元 (2)能，采购种型号的电风扇36台，种型号的电风扇14台或采购种型号的电风扇37台，种型号的电风扇13台 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，方案设计，根据题意弄清等量（不等）关系是解题的关键． （1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解； （2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据题意，列不等式组求解． 【详解】（1）解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元； （2）解：设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台． 依题意得：， 解得：， 应为整数， 或 当时，采购种型号的电风扇36台，种型号的电风扇14台； 当时，采购种型号的电风扇37台，种型号的电风扇13台． 2．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）一个车间有30个工人．已知每个工人每天可以制造甲种零件8个或乙种零件4个．车间以两种零件各自的出厂价对外进行订单式销售，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润350元．在这30人中，车间每天安排x人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件，其中制造甲种零件的的人数不少于制造乙种零件的人数，且车间每天所获利润不低于38000元． (1)设车间每天所获利润为y元，试求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)由于市场行情的变化，车间对两种零件的出厂价分别进行了调整：每个甲种零件出厂价上调m元（），每个乙种零件出厂价下调20元．试说明m取何值时，车间每天获得的利润最低是40320元？ 【答案】(1)， (2)定为21元时，车间每天获得的利润最低是40320元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、不等式组的应用等知识点，根据题意列出函数解析式是解题的关键． （1）根据每天所获利润为甲种与乙种零件所获利润之和列出函数关系式，再根据题意列不等式组确定x的取值范围即可； （2）先求出价格调整后，y与x的函数关系式，然后分、、三种情况，结合一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：， ∵制造甲种零件的的人数不少于制造乙种零件的人数，且车间每天所获利润不低于38000元， ∴，解得：． ∴y与x的函数关系式，x的取值范围为． （2）解：； ①当时，随的增大而减小， ， 时，利润最小， ，得，（不符合题意，舍去）． ②当时，利润为39600元，不符合题意， ③当时，随的增大而增大， ， 时，利润最小， ，得． 综上所述，定为21元时，车间每天获得的利润最低是40320元． 3．（24-25八年级上·重庆·期末）新年将至，小开计划购进部分年货进行销售．若购进40副春联和30对窗花共需410元；购进60副春联和80对窗花共需720元． (1)求每副春联、每对窗花的进价各是多少元； (2)小开计划购进春联、窗花共300件进行销售，春联和窗花的售价分别定为15元和6元．春联和窗花的总进价不超过1300元，且全部销售完后总销售额不低于2250元，若购进的春联和窗花全部售出，则购进多少副春联时销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)每副春联的进价是8元，每对窗花的进价是3元 (2)购进副春联时销售利润最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用（最大利润问题），二元一次方程组的应用（销售、利润问题），一元一次不等式组的应用等知识点，读懂题意，利用题中的等量关系列出二元一次方程组、一次函数解析式及一元一次不等式组，并利用一次函数的性质求解其最值是解题的关键． （1）设每副春联、每对窗花的进价分别是x元、y元，根据“购进40副春联和30对窗花共需410元，购进60副春联和80对窗花共需720元”列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设批发春联a副，总利润为W元，根据“总利润（售价进价）销售数量”即可得出W与a的函数关系式，根据总进价和总销售额的条件列出不等式组，解不等式组即可求出a的取值范围，然后根据一次函数的增减性即可求出最大利润． 【详解】（1）解：设每副春联、每对窗花的进价分别是x元、y元，由题意可得： ， 解得：， 每副春联的进价是8元，每对窗花的进价是3元； （2）解：设批发春联a副，总利润为W元， ∴， 由题意可得： ， 解得：， ∵在中，W随a的增大而增大， ∴当时，W取得最大值，此时， 购进副春联时销售利润最大，最大利润为元． 【经典例题三 分配问题】 【例3】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）某公司有A型产品80件，B型产品120件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中140件给甲店，60件给乙店，且都能卖完．甲店销售A型产品利润每件400元，销售B型产品利润每件340元；乙店销售A型产品利润每件320元，销售B型产品利润每件300元． (1)若公司要求总利润不低于70280元，求出公司能采用几种不同的分配方案？ (2)为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利m元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？ 【答案】(1)有四种不同的分配方案 (2)见解析 【分析】此题主要考查了一次函数的应用，不等式组的应用，得到总利润的关系式是解决本题的关键． （1）根据所有产品数量及所给产品数量分别得到甲店B型商品，乙店A型商品，乙店B型商品的数量，那么总利润等于每件相应商品的利润相应件数之和，再根据根据各个店面的商品的数量为非负数可得自变量的取值范围； （2）根据让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润可得m的取值，结合（1）得到相应的总利润，根据m的取值结合函数的性质可得最大值的方案即可． 【详解】（1）解：设公司给甲店A型产品x件，则甲店B型产品有件；乙店A型有件，B型有件．公司总利润为W元，根据题意得： ． 由， ， 由，解得 ， 为整数， ， ∴有四种不同的分配方案； （2）解：依题意：， ， ， 当时，越大，W越大，得出即甲店A型80件，B型60件；乙店A型0件，B型60件，能使总利润最大， 当时，为定值，符合题意的各种方案使总利润最大， 当时，越小，W越大，得出即甲店A型20件，B型120件；乙店A型60件，B型0件，使总利润最大． 1．（2024·浙江宁波·一模）根据以下素材，探索完成任务． 如何确定木板分配方案？ 素材1 我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为80cm，40cm.                  素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为3:1，其余木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），给部分盒子配上盖子． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 问题解决 任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务2 确定分配方案1 若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案． 任务3 确定分配方案2 为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润． 【答案】任务1  10cm 任务2  有四种分配方案：76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖，77张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖，78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖，79张木板制作无盖的收纳盒，21张制作盒盖 任务3  76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖，利润最大，最大值为1004元 【分析】本题考查了方程组及不等式组的应用，找出相等关系或不等关系是解题的关键． 任务1：根据“底面长与宽之比为”列方程求解； 任务2：根据“制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍”列不等式组求解； 任务3：根据题意理出函数表达式，再根据函数的性质求解． 【详解】解：任务1：设长方体的高度为， 则：， 解得：， 答：长方体的高度为； 任务2：设张木板制作无盖的收纳盒， 则：， 解得：， 的整数解有：76，77，78，79， 共有4种方案：①76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖； ②77张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖； ③78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖； ④79张木板制作无盖的收纳盒，21张制作盒盖； 任务3：设：张木板制作无盖的收纳盒，则张制作盒盖，利润为元， 由题意得： 即：， 的整数解有：76，77，78，79， 当时，有最大值，为：， 答：76张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖，利润最大，最大值为1004元． 2．（2023·江苏苏州·二模）某公司有型产品件，型产品件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中件给甲店，件给乙店，且都能卖完两商店销售这两种产品每件的利润元如下表： 型利润 型利润 甲店 乙店 (1)设分配给甲店型产品件，这家公司卖出这件产品的总利润为元，求关于的函数关系式，并求由的取值范围； (2)为了促销，公司决定仅对甲店型产品让利销售，每件让利元，但让利后型产品的每件利润仍高于甲店型产品的每件利润甲店的型产品以及乙店的，型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？ 【答案】(1) (2)当时，总利润最大，此时分配给甲店产品件，产品件，分配给乙店产品件，产品件． 【分析】此题主要考查了一次函数的应用；得到分配给甲乙两店的不同型号的产品的数量是解决本题的突破点；得到总利润的关系式是解决本题的关键； （1）根据所有产品数量及所给产品数量分别得到甲店B型商品，乙店A型商品，乙店B型商品的数量，那么总利润等于每件相应商品的利润×相应件数之和，再根据根据各个店面的商品的数量为非负数可得自变量的取值范围； （2）根据让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润可得a的取值，结合（1）得到相应的总利润，根据a的取值结合函数的性质可得最大值的方案即可． 【详解】（1）解：分配给甲店型产品件，则分配给甲店型产品件，分配给乙店型产品件，分配给乙店型产品件， ， ， ， ； （2）由题意得：， 即， ， ． ∴，函数随的增大而增大， 当时，总利润最大，此时分配给甲店产品件，产品件，分配给乙店产品件，产品件 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给甲，乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完，两商店销售这两种产品每件利润（元）如下表 A型利润 B型利润 甲店 200 170 乙店 160 150 (1)设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W（元），求W关于x的函数关系式？ (2)若要求总利润不低于17560元，有多少种不同分配方案？请写出来 (3)为了促销，公司决定仅对甲店让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品每件利润仍高于甲店B产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A，B型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使利润达到最大？ 【答案】(1) (2)3种，见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据所有产品数量及所给产品数量分别得到甲店B型商品，乙店A型商品，乙店B型商品的数量，那么总利润等于每件相应商品的利润×相应件数之和 （2）根据各个店面的商品的数量为非负数可得自变量的取值范围，让（1）中的代数式，结合（1）中自变量的取值可得相应的分配方案； （3）根据让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润可得a的取值，结合（1）得到相应的总利润，根据a的不同取值得到利润的函数应得到的最大值的方案即可． 【详解】（1）解：依题意，分配给甲店A型产品x件，则甲店B型产品有件，乙店A型有件，B型有件，则 ． （2）∵由，解得， 由， ∴． ∴，，39，40． ∴有三种不同的分配方案． 方案一：时，甲店A型38件，B型32件，乙店A型2件，B型28件； 方案二：时，甲店A型39件，B型31件，乙店A型1件，B型29件； 方案三：时，甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件． （3）依题意：，即，，． ①当时，，W随x增大而增大， ∴，W有最大值， 即甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件，能使总利润达到最大； ②当时，，，符合题意的各种方案，使总利润都一样； ③当时，，W随x增大而减小， ∴，W有最大值， 即甲店A型10件，B型60件，乙店A型30件，B型0件，能使总利润达到最大． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用；得到分配给甲乙两店的不同型号的产品的数量是解决本题的突破点；得到总利润的关系式是解决本题的关键；根据a的不同取值得到相应的最大利润是解决本题的难点． 【经典例题四 几何问题】 【例4】（23-24七年级下·福建泉州·期末）参观完蟳埔村古民居，小强随着父母一起散步到蟳埔村海边，欣赏海边美景，来到一个休闲娱乐场所，喜欢台球运动的小强爸爸兴致勃勃教小强打台球，并告诉小强如何利用数学知识击打台球．如图所示，若长方形表示台球桌，在点处的白色球体经过击打，在台球桌边的点反弹后，恰好碰到在点的蓝色球体．请你帮小强解决下列个问题．其中，在解决问题时，小强爸爸给他补充了八年级勾股定理的知识： 在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．我们把这个结论称为勾股定理． 例如，在如图所示的直角中，，若， ，则由勾股定理得：，所以． (1)请帮助小强找到台球桌边点的位置（在图中画出，保留痕迹）； (2)若白色球体到台球桌边的距离为，蓝色球体到台球桌边的距离为，白色球体与蓝色球体的水平距离为，试求在问题（1）中白色球体的运动距离（忽略球体的大小）； (3)小强爸爸老王发现在台球室原有名顾客，过了一会儿有名顾客离开，老王问小强台球室原来有多少名顾客？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)名 【分析】本题是四边形综合题，考查了点的对称，勾股定理，一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握以上知识． （1）过点作，延长至，使得，连接交于点，作答即可； （2）过点作于点，过点作于点，在直角中，由勾股定理得：，进而作答即可； （3）根据题意得，再根据为正整数，即可求出结果． 【详解】（1）解：过点作，延长至，使得，连接交于点，如图所示， （2）解：如图所示，过点作于点，过点作于点， 由题意得，，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 白球的运动距离为； （3）解：由题意得，， 解得：， 为正整数， ，（名）， 答；台球室原来有名顾客． 1．（24-25八年级上·江西上饶·期中）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)若腰长为a，则a的取值范围是 ； (2)能围成一条边是的等腰三角形吗？若能，求出其他两边；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)能围成一条边是的等腰三角形，其他两边长分别为， 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键． （1）设等腰三角形的一边长为x厘米，则腰长为2x厘米，进而根据题意可列不等式组求解即可； （2）由题意可分当5cm为该等腰三角形的腰长和为底边长进行分类求解即可． 【详解】（1）解：腰长为a，则底边长为，由题意得： ， 解得：， ∴故答案为：； （2）解：由题意可分： ①当为该等腰三角形的腰长时，则底边长为， ∵， ∴不符合三角形三边关系； ②当为该等腰三角形的底边长时，则腰长为， ∵， ∴符合三角形的三边关系， 综上所述：能围成一条边是的等腰三角形，其他两边长分别为，． 2．（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）李大爷准备用一段长的篱笆围成一个三角形形状的场地用于饲养鸡，已知第一条边长为．由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的2倍少3． (1)第二条边长为________________ ，第三条边长为_______________ （用含的式子表示）； (2)第一条边长能否为？为什么？ (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2)不能．理由见解析 (3) 【分析】本题考查了列代数式，三角形三边关系的应用，一元一次不等式组的应用．熟练掌握列代数式，三角形三边关系的应用，一元一次不等式组的应用是解题的关键． （1）由题意知，第二条边长为，则第三条边长为，整理作答即可； （2）若第一条边长为，则第二条边长为，第三条边长为，由，可判断不能构成三角形； （3）由题意知，三角形的三边长分别为，则，可求；由三角形两边之和大于第三边，可得，可求；进而可确定的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，第二条边长为． ∴第三条边长为， 故答案为：； （2）解：不能．理由如下： 若第一条边长为，则第二条边长为，第三条边长为， ∵，不符合三角形任意两边之和大于第三边， 不能构成三角形， 第一条边长不能为． （3）解：由题意知，三角形的三边长分别为， ∴， 解得； ∵三角形两边之和大于第三边， ∴， 解得； 综上所述，的取值范围是． 3．（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知a，b，c分别为的三边，且满足． (1)求c的取值范围； (2)若的周长为，求c的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用．熟练掌握三角形三边关系的应用，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，，即，计算求解即可； （2由题意知，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， 解得，， ∴c的取值范围为； （2）解：由题意知，， 解得，， ∴c的值为4． 【经典例题五 行程问题】 【例5】（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图1，一条笔直的公路上有，，三地，，两地相距千米，甲、乙两辆汽车分别从，两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往，两地．甲、乙两车到地的距离，（千米）与行驶时间x（时）的关系如图2所示． 根据图象进行以下探究： (1)请在图1中标出地的位置，并求图2中点的坐标，同时解释该点的实际意义； (2)在图2中补全甲车的函数图象，并求甲车到地的距离与行驶时间的函数关系式； (3)地设有指挥中心，指挥中心及两车都配有对讲机，两部对讲机在千米之内（含千米）时能够互相通话，直接写出两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间． 【答案】(1)位置见解析，，表示乙车出发1.2时到达地 (2)图见解析， (3)小时（或15分钟） 【分析】本题考查从函数图像获取信息、待定系数法求一次函数解析式及一元一次不等式组的应用，正确从图像获取信息，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键． （1）根据一次函数图像找出对应关系即可得点位置及乙车速度，即可求出点坐标，即可得答案； （2）由图像求出甲车的速度及到达终点的时间，作图即可，然后根据图像，利用待定系数法分段求出表达式即可； （3）先利用待定系数法求出乙车到地的距离与行驶时间的函数关系式，根据两部对讲机在千米之内（含千米）时能够互相通话列出两个不等式组，求出的取值范围即可得答案． 【详解】（1）解：由图2可知：，都随的增大而减小， ∴点地在、两地之间， 由，与轴交点坐标可知：，两地相距千米，，两地相距千米， ∴地的位置如图所示： 乙车的速度为：（千米/小时）， （小时）， ∴点的坐标为，点表示乙车出发小时到达地． （2）甲车的速度为：（千米/小时）， （小时）， ∴甲车出发小时从地达到地， ∴补全甲车的函数图象如图所示： 设甲车、之间的解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴（） 设甲车、之间的解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴ 综上所述：甲车到A地的距离与行驶时间的函数关系式为． （3）设乙车、之间的解析式为， 把，代入得， 解得：， ∴， 设乙车、之间的解析式为， 把，代入得， 解得：， ∴， ∴乙车到地的距离与行驶时间的函数关系式为， ∵地设有指挥中心，两部对讲机在千米之内（含千米）时能够互相通话， ∴，， 解得：，， ∵两车可以同时与指挥中心用对讲机通话， ∴， ∴两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间为（小时）． 1．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图1，一条笔直的公路上有、、三地，、两地相距150千米，甲、乙两辆汽车分别从、两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往、两地．甲、乙两车到地的距离、（千米）与行驶时间（时）的关系如图2所示．根据图象进行以下探究：    (1)请在图1中标出地的位置，并写出相应的距离：_，_； (2)在图2中求出甲汽车到达地的时间，并写出甲车从地到地与甲车从地到地的与行驶时间的关系式． (3)地设有指挥中心，指挥中心及两车都配有对讲机，对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话，请问两车至少有一辆车能与指挥中心用对讲机通话的时间一共有多长？写出过程． 【答案】(1)作图见解析， (2)， (3)小时（或分钟） 【分析】本题是一次函数的应用，属于行程问题，利用平面直角坐标系读出已知条件，有难度，关键是读懂题意，结合图象确定点的坐标，根据点的坐标求一次函数解析式；再根据解析式解决问题． （1）由图2知，甲从用了小时，路程是，再由、两地相距150千米即可得到，则，据此画图； （2）由（1）知，甲车的行驶速度为，从而得到甲车从用时即可得到；甲车从，即当时，设解析式为， 将、代入由待定系数法即可确定与行驶时间的函数关系式；甲车从，即当时，设解析式为，将、代入由待定系数法即可确定与行驶时间的函数关系式； （3）根据题意，标出图象，分别求、、的解析式，求两车距离地小于等于时对应的时间，列不等式组求解，并计算时间差即可． 【详解】（1）解：由图2知，甲从用了小时，路程是，即， 、两地相距150千米， ，即， 如图所示：    故答案为：； （2）解：由（1）知，甲车的行驶速度为， 甲车从用时为，则； 甲车从，即当时，设解析式为， 把、代入得，解得， ， 甲车从，即当时，设解析式为， 把、代入得，解得， ， 综上所述，； （3）解：如图所示：    由（2）知的解析式为； 由图2可知，乙车全程用时， 乙车的行驶速度为， 乙车从用时为，即， 乙车从，即当时，设的解析式为，将把、代入得，解得， ， 乙车从，即当时，设的解析式为，将把、代入得，解得， ， 由题意得，解得；由题意得，解得； ∴∴两车至少有一辆车能与指挥中心用对讲机通话的时间，即， 答：两车至少有一辆车能与指挥中心用对讲机通话的时间为小时（或分钟）． 2．（2023·黑龙江绥化·中考真题）某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用、两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．型车每辆租金元，型车每辆租金元．若辆型和辆型车坐满后共载客人；辆型和辆型车坐满后共载客人．    (1)每辆型车、型车坐满后各载客多少人？ (2)若该校计划租用型和型两种客车共辆，总租金不高于元，并将全校人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ (3)在这次活动中，学校除租用、两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为千米，甲车从学校出发小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早小时到达目的地．下图是两车离开学校的路程（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，为何值时两车相距千米． 【答案】(1)每辆型车、型车坐满后各载客人、人 (2)共有种租车方案，租辆型车，辆型车最省钱 (3)在甲乙两车第一次相遇后，当小时或小时时，两车相距千米 【分析】（1）设每辆型车、型车坐满后各载客人、人，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设租用型车辆，则租用型车辆，由题意列出一元一次不等式组，解不等式组，求整数解即可得出的值，设总租金为元，根据一次函数的性质即可求解； （3）设，，由题意可知，甲车的函数图像经过；乙车的函数图像经过，两点．求出函数解析式，进而即可求解． 【详解】（1）解：设每辆型车、型车坐满后各载客人、人，由题意得      解得     答：每辆型车、型车坐满后各载客人、人 （2）设租用型车辆，则租用型车辆，由题意得   解得：     取正整数， ，，， 共有种租车方案     设总租金为元，则 随着的增大而减小 时，最小 租辆型车，辆型车最省钱 （3）设，． 由题意可知，甲车的函数图象经过；乙车的函数图象经过，两点． ∴，     ，即 解得     或 解得 所以，在甲乙两车第一次相遇后，当小时或小时时，两车相距25千米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意找到等量关系，列出方程组，不等式组，以及函数解析式是解题的关键． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段表示货车离甲地距离千米与时间小时之间的函数关系；线段表示轿车离甲地距离千米与时间小时之间的函数关系．点在线段上，请根据图象解答下列问题： (1)试求点的坐标； (2)当轿车与货车相遇时，求此时的值； (3)在整个过程中，问在什么范围时，轿车与货车之间的距离小于千米． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）设的函数解析式为，将点，，代入，待定系数法求解析式，令，即可求解； （2）由的函数解析式：，，求得的函数解析式：，联立解析式即可求解； （3）根据当两车都在行驶时，由题意列出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】（1）设的函数解析式为． ，在其图象上，得 ， 解得： ，， ， 令，解得 故 （2）的函数解析式：，； ∵，设的解析式为， 则，解得： 的函数解析式：， ， 解得， 当时，轿车与货车相遇； （3）当时，，轿车还未行驶，两车相距千米，故时，轿车与货车之间的距离小于千米． 当时，，两车相距千米，故时，轿车与货车之间的距离小于千米   当两车都在行驶时，由题意可得： ， 解得：． 故，，时两车相距小于千米， 答：在整个过程中当轿车与货车相距小于千米时，的取值范围为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意求出函数关系是解题的关键． 【经典例题六 和差倍分问题】 【例6】（23-24七年级下·河南驻马店·期末）某超市打算试销，两个品种的水果，拟定品种每箱售价比品种每箱售价贵25元，且已知销售2箱品种和3箱品种的总价为550元． (1)问A品种与品种每箱的售价分别是多少元？ (2)若品种每箱的进价为100元，品种每箱的进价为80元，现水果店打算购进A品种与品种共21箱，要求所花资金不高于1960元，且购进品种的数量不超过A品种数量的倍，则该超市应如何设计购进方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)品种每箱的售价是125元，品种每箱的售价是100元 (2)购进14箱品种和7箱品种时，利润最大，最大利润是490元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和不等式组的应用，根据等量关系，列出方程组，根据不等关系，列出不等式组． （1）设A种每箱售价为元，种每箱售价为元，根据品种每箱售价比品种每箱售价贵25元，且已知销售2箱品种和3箱品种的总价为550元，列出不等式组，解不等式组即可； （2）设购进品种箱，则品种箱，根据所花资金不高于1960元，且购进品种的数量不超过A品种数量的倍，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设A种每箱售价为元，种每箱售价为元，根据题意得： ， 解得：， 答品种每箱的售价是125元，品种每箱的售价是100元； （2）解：设购进品种箱，则品种箱， ， 解得， 取正整数， 可取12 ，13 ，14， 方案一：品种12箱，品种9箱， 利润元； 方案二：品种13箱，品种8箱， 利润元； 方案三：品种14箱，品种7箱， 利润元； 答：购进14箱品种和7箱品种时，利润最大，最大利润是490元． 1．（23-24八年级上·重庆九龙坡·开学考试）华为P40Pro5G手机上市以来深受广大市民喜爱，其中A，B两种型号销售量最高，故某商场计划购进A，B两种型号的手机，已知每部A种型号手机进价比每部B种型号手机进价少3000元，每部A种型号手机售价是4200元，每部B种型号手机售价是7800元． (1)商场用12万元共购进A种型号手机20部，B种型号手机10部，求A，B两种型号手机每部的进价分别是多少钱？ (2)为了满足市场需求，商场决定用不超过15万元采购A，B两种型号的手机共40部，且A型号手机的数量不大于B型号手机数量的4倍，则该商场有哪几种进货方式？ (3)在（2）的条件下，该商场选择哪种进货方式获得的利润最大？为什么？ 【答案】(1)A、B两种型号的手机每部进价分别是3000元、6000元 (2)有3种进货方式；进货方式一：A种型号的手机购进30部，则B种型号的手机购进10部；进货方式二：A种型号的手机购进31部，则B种型号的手机购进9部；进货方式三：A种型号的手机购进32部，则B种型号的手机购进8部； (3)该商场选择购进A种型号的手机30部，购进B种型号的手机10部的进货方式，获得的利润最大；理由见解析 【分析】（1）设A种型号的手机每部进价是x元，B种型号的手机每部进价是y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果； （2）设A种型号的手机购进a部，则B种型号的手机购进部，根据题意列出不等式组，求出不等式组的解集的正整数解，即可确定出进货方式； （3）设A种型号的手机购进a部时，获得的利润为w元．列出w关于a的函数解析式，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设A、B两种型号的手机每部进价各是x元、y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号的手机每部进价分别是3000元、6000元； （2）解：设A种型号的手机购进a部，则B种型号的手机购进部， 根据题意得：， 解得：， ∵a为解集内的正整数， ∴，31，32， ∴有3种进货方式： 进货方式一：A种型号的手机购进30部，则B种型号的手机购进10部； 进货方式二：A种型号的手机购进31部，则B种型号的手机购进9部； 进货方式三：A种型号的手机购进32部，则B种型号的手机购进8部； （3）解：设A种型号的手机购进a部时，获得的利润为w元， 根据题意得： ， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，能获得最大利润，此时（元）， ∴该商场选择购进A种型号的手机30部，购进B种型号的手机10部的进货方式，获得的利润最大． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用等知识；找出满足题意的等量关系与不等关系是解本题的关键． 2．（24-25八年级上·浙江·期中）学校举行八年级段数学知识竞赛，设立了一、二、三等奖，计划共购买件奖品，其中二等奖奖品件数比一等奖奖品件数的倍还少件，已知购买一等奖奖品件，各种奖品的单价如表： 奖品 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品 单价（元） (1)学校购买二等奖奖品　　件，三等奖奖品　　件；（用含的代数式表示） (2)若购买三等奖奖品的费用不超过二等奖奖品的费用的倍，且三等奖奖品的件数不少于一等奖奖品件数的倍．问学校共有几种购买方案？如何购买这三种奖品，使总费用最少？并求出最少的总费用． 【答案】(1)； (2)共有两种购买方案，且当购买一等奖件，二等奖件，三等奖件时，总费用最少为元 【分析】（1）根据一等奖奖品件及二等奖奖品件数比一等奖奖品件数的倍还少件，可得二等奖奖品件，由计划共购买件奖品，可得三等奖奖品件； （2）根据题意列出不等式组，解出的取值范围，由为正整数，可得或，即共有两种购买方案，设总运费为，得出，分别求出当和时的总运费，比较选出运费最少的，并求出此时每种奖品的件数即可． 【详解】（1）解：学校购买二等奖奖品件，三等奖奖品件； 故答案为：；． （2）解：根据题意可得：， 解得， ∵为正整数， ∴或， 设总费用为，则， 当时，（元）， 当时，（元）． ∴共有两种购买方案，且当购买一等奖件，二等奖件，三等奖件时，总费用最少为元． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的实际应用，根据题目中的数量关系和不等关系列出不等式组是解答本题的关键． 3．（24-25八年级下·重庆·期中）清明节，除了扫墓踏青之外，传统时令小吃——青团也深受大家欢迎，知味观推出一款鲜花牛奶青团和一款芒果青团，鲜花牛奶青团每个售价是芒果青团的倍，4月份鲜花牛奶青团和芒果青团总计销售60000个，且鲜花牛奶青团和芒果青团销售量之比为，鲜花牛奶青团销售额为250000元． (1)求鲜花牛奶青团和芒果青团的售价？ (2)5月份正值知味观店庆，决定再生产12000个青团回馈新老顾客，但考虑到芒果青团较受欢迎，同时也考虑受机器设备限制，因此芒果青团的个数不少于鲜花牛奶青团个数的，且不多于鲜花牛奶青团的2倍，其中，鲜花牛奶青团每个让利a元销售，芒果青团售价不变，并且让利后的鲜花牛奶青团售价不得低于芒果青团售价的，知味观如何设计生产方案使总销售额最大？ 【答案】(1)鲜花牛奶青团和芒果青团的售价分别为10元和8元； (2)答：当0＜a＜2时，生产芒果青团7200个、鲜花牛奶青团4800个，使总销售额最大；当a=2时，生产芒果青团不少于7200个、不超过8000个，总销售额不变；当时，生产芒果青团8000个、鲜花牛奶青团4000个，使总销售额最大． 【分析】（1）由鲜花牛奶青团和芒果青团销售量之比为可设鲜花牛奶青团有5x个，芒果青团销售7x个，根据鲜花牛奶青团和芒果青团总计销售60000个列方程可求出鲜花牛奶青团和芒果青团销售量，再根据鲜花牛奶青团销售额为250000元可得出结论； （2）设生产芒果青团m个，则生产鲜花牛奶青团（12000-m）个，根据“芒果青团的个数不少于鲜花牛奶青团个数的；不多于鲜花牛奶青团的2倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，由让利后的鲜花牛奶青团售价不得低于芒果青团售价的，可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，设总销售额w元，根据总销售额=销售单价×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）∵鲜花牛奶青团和芒果青团销售量之比为， ∴设鲜花牛奶青团有5x个，芒果青团销售7x个，根据题意得， 解得， ∴ 所以，鲜花牛奶青团有25000个，芒果青团销售35000个， 设芒果青团的单价为y元/个，则鲜花牛奶青团的单价为元/个，根据题意得， 解得，y=8 ∴ ∴鲜花牛奶青团和芒果青团的售价分别为10元和8元； （2）设生产芒果青团m个，则生产鲜花牛奶青团（12000-m）个， 依题意，得：， 解得：7200≤m≤8000． ∵让利后的鲜花牛奶青团售价不得低于芒果青团售价的， ∴10-a≥×8， ∴a≤3． 设总销售额w元，则w=（10-a）（1200-m）+8m=（a-2）m+1200（10-a）． 当0＜a＜2时，a-2＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m=7200时，w取得最大值； 当a=2时，a-2=0，w为定值； 当2＜a≤3时，a-2＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m=8000时，w取得最大值． 答：当0＜a＜2时，生产芒果青团7200个、鲜花牛奶青团4800个，使总销售额最大；当a=2时，生产芒果青团不少于7200个、不超过8000个，总销售额不变；当时，生产芒果青团8000个、鲜花牛奶青团4000个，使总销售额最大． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【经典例题七 水电费问题】 【例7】（24-25八年级上·浙江丽水·期中）为了节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，将居民的每月生活用水水价分为三个等级：一级：20吨及以下，二级：大于20吨，不超过30吨，三级：30吨以上．以下是小青家水费发票的部分信息：（居民生活水费自来水费污水处理费） 丽水市xx县自来水公司水费专用 发票联 计费日期：2023-07-01至2023-08-11                         付款期限： 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量/吨 本期用水量/吨 884 919 35 自来水费 污水处理费 用水量/吨 单价/元 金额/元 用水量/吨 单价/元 金额/元 阶梯一20 1.30 26.00 20 0.50 10.00 阶梯二10 19.00 10 0.50 5.00 阶梯三5 15.00 5 0.50 2.50 本期实付金额 （大写）染拾染元伍角整 77.50元 (1)从以上信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）：每月用水20吨及以内为_______元/吨，每月用水20~30吨（含30吨）为______元/吨，30吨及以上为______元/吨． (2)随着气温的降低，小青家的用水量也在逐步下降，已知2024年2月份小青家所缴的水费为55.20元，请你计算小青家该月份的用水量为多少吨？ (3)为了提倡节约用水，小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元，那么用水量应该如何控制？ 【答案】(1)1.8，2.4，3.5； (2)小青家该月份的用水量为28吨； (3)用水量应该控制在25吨至34吨之间（含25元和34吨）． 【分析】本题主要考查一元一次方程及一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据居民生活到户水价=居民生活自来水费+居民生活污水处理费，从小青家的用水信息即可得出答案； （2）设小青家该月份的用水量为x吨，然后根据题意可列方程进行求解； （3）设用水量为y吨，然后根据题意可列不等式组进行求解． 【详解】（1）解：根据表格得： 每月用水20吨及以内为（元/吨）；每月用水20~30吨（含30吨）为（元/吨）；30吨及以上为（元/吨）； 故答案为1.8；2.4；3.5； （2）解：由（1）可知：当用水量为30吨时，则水费为（元）， 设小青家该月份的用水量为x吨，由可知： ， 解得：； 答：小青家该月份的用水量为28吨． （3）解：设用水量为y吨，由题意得： 解得：； 答：用水量应该控制在25吨至34吨之间（含25元和34吨）． 1．（23-24·浙江杭州·一模）甲市居民生活用水收费按阶梯式水价计量：20立方米及以下，按基本水价计收，20﹣30立方米（包括30立方米）的部分，按基本水价的1.5倍计收，30立方米以上的部分，按基本水价的2倍计收．从2018年7月1日起，该市居民生活用水基本水价将进行调整，收费方式仍按原来阶梯式水价计量．小明读到有关新闻后立刻对他家两个月的水费进行计算，得到下表： 请根据以上信息，回答以下问题： 月份 用水量（立方米） 按调整前水价计费（元） 若按调整后水价计费（元0 2 16 45.6 52.8 3 22 65.55 75.9 （1）求本次基本水价调整提幅的百分率？（保留3个有效数字） （2）小明家07年7月的水费是128.25元，该月用水量若按调整后水价计费需缴多少元？ （3）小明又上网查了有关资料发现：甲市取水点分散，引水管线合计350千米，而同类城市乙市只有一座水库供水，引水管线合计70千米．若两市每年每千米引水管线的运行成本都为150万元，乙市的现行基本水价为2.35元，甲市共有200万户家庭，乙市共有180万户家庭．若甲乙两市都按平均每户每月用水量为11.21立方米计算，请你确定出甲市的基本水价至少调整为多少时甲市自来水公司的年收入（全市居民总水费﹣引水管线运行成本）不低于乙市？（保留3个有效数字） 【答案】（1）15.8%；（2）148.5元；（3）甲市的基本水价至少调整为3.68元/立方米时，甲市自来水公司的年收入不低于乙市． 【分析】（1）基本水价调整提幅的百分率为：（3月份的基本水价−2月份的基本水价）2月份的基本水价×100%； （2）应先判断出是否超过基本用水单位，若超过基本用水单位，应先算出用水量，则：新付费为：3.3×20+3.3×10×1.5+（用水数-30）×3.3×2； （3）关系式为：甲市水费收入-运营成本≥乙市水费收入-运营成本． 【详解】解：（1）调整前基本水价为：45.6÷16＝2.85（元）； 调整后基本水价为：52.8÷16＝3.3（元）； ∴本次水价调整提幅为：×100%≈15.8%； （2）∵2.85×20+2.85×1.5×10＝99.75＜128.25， ∴用水量超过30m3， 设小明家09年7月的用水量为x立方米． 2.85×20+2.85×10×1.5+（x﹣30）×2.85×2＝128.25， 解得：x＝35， ∴新付费为：3.3×20+3.3×10×1.5+（35﹣30）×3.3×2＝148.5（元）； （3）设基本水价为y元/立方米，则 11.21×12×y×200﹣350×150≥11.21×12×2.35×180﹣70×150， 解得y≥3.68， 答：甲市的基本水价至少调整为3.68元/立方米时，甲市自来水公司的年收入不低于乙市． 【点睛】此类题目是一元一次方程和不等式的综合题目,旨在考查学生对一元一次方程和不等式求解的掌握程度,所以掌握解一元一次方程和不等式的一般步骤是解题的关键. 2．（23-24七年级下·河南南阳·期中）为实现自然资源的可持续利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计费方案，具体实施方案如下： 档次 月用电量x（度） 电价（元/度） 1档 2档 … … … (1)小李家2024年3月份共缴电费元，求该月小李家的用电量； (2)小李家计划6月份用电量不超过度，且使平均费用不超过元/度．设小李家月份的用电量为度，求的最大值． 【答案】(1) (2)a的最大值为300． 【分析】本题考查了一元一次方程，一元一次不等式的应用； （1）先得出，进而根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）当时，，符合题意．当时，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：当时，（元）， ∵， ∴． ∵， ∴． 答：该月小李家的用电量为120度． （2）当时，，符合题意． 当时， ∴， ∴ ∴， ∴a的最大值为300． 3．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）为鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费），规定．用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费，用电度数均取整数． 下表是刘先生家2022年4月和5月所交电费的清单． 户名 电表号 月份 用电量（度） 金额（元） 刘×× 1205 4 220 112 刘×× 1205 5 265 139 (1)该市规定的第一阶梯电费和第二阶梯电费单价分别为多少元/度? (2)刘先生家6月份家庭支出计划中电费不超过160元，他家最大用电量为多少度？ 【答案】(1)该市规定的第一阶梯电费单价为0.5元/度，第二阶梯电费单价为0.6元/度． (2)他家最大用电量为300度． 【分析】（1）设该市规定的第一阶梯电费单价为元度，第二阶梯电费单价为元度，根据刘先生家2022年4月和5月所交电费的清单中的数据，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设刘先生6月份用电量为度，根据刘先生家6月份家庭支出计划中电费不超过160元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设该市规定的第一阶梯电费单价为元度，第二阶梯电费单价为元度， 依题意得：， 解得：． 答：该市规定的第一阶梯电费单价为0.5元度，第二阶梯电费单价为0.6元度． （2）解：设刘先生6月份用电量为度， 依题意得：， 解得：． 答：他家最大用电量为300度． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【经典例题八 不等式与一次函数结合的应用】 【例8】（24-25九年级上·广东惠州·开学考试）“琅琅书声浸校园，悠悠书韵满人生”，为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，某校启动校园“读书季”，并计划购进两种图书作为年级竞诵活动的奖品．经调查，购进种图书的总费用元与购进种图书本数之间的函数关系如图所示： (1)当时，求与之间的函数关系式； (2)现学校准备购进，两种图书共300本，已知种图书每本22元．若购进种图书不少于60本，且不超过种图书本数的2倍，购进两种图书的总费用为元，请求出符合条件的与之间的函数表达式，并说明怎样购买，两种图书才能使总费用最少？总费用少为多少元？ 【答案】(1) (2)当购进种图书200本，购进种图书100本时，总费用最少，为6450元 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）根据函数关系图示，分别求与之间的函数关系式即可； （2）购进种图书本，则购进种图书本，根据题意列出不等式组，求得，然后表示出总费用，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设当时，与之间的函数关系式为， 将点，代入， 可得，解得， 所以，当时，与之间的函数关系式为； （2）∵购进种图书本，则购进种图书本， 根据题意得，， 解得， ∴购进两种图书的总费用， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最小值， 此时， ∴当购进种图书200本，购进种图书100本时，总费用最少，为6450元． 1．（24-25八年级上·安徽六安·期中）太湖山景区有三处景点，三处景点门票价格如下： 票种 类型一 类型二 类型三 景点 月亮湖 动物园 真人CS游戏 单价（元） 20 30 60 某地方企业家支持地方经济和教育事业的发展，购买以上三处景点的门票90张用来奖励某校优秀学生，其中购买类型一票数x张，类型二票数是类型一票数的3倍少20张票，类型三票数y张． (1)求y与x之间的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围） (2)设购买90张票总费用为w元，求w（元）与x（张）之间的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围） (3)若计划每种票至少购买20张，请你列出所有购票方案，并求购买总费用最少是多少元． 【答案】(1)； (2)； (3)方案一：购买类型一票数20张，购买类型二票数40张，购买类型三票数30张；方案二：购买类型一票数21张，购买类型二票数43张，购买类型三票数26张；方案三：购买类型一票数22张，购买类型二票数46张，购买类型三票数22张；购买总费用最少是3140元． 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意和题目中的数据，可以写出y与x之间的函数表达式； （2）根据题意和（1）中的结果，可以写出w（元）与x（张）之间的函数表达式； （3）根据计划每种票至少购买20张，可以求得x的取值范围，然后即可写出所有购票方案，并求购买总费用最少是多少元． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即y与x之间的函数表达式为； （2）解：由题意可得， ， 即w（元）与x（张）之间的函数表达式为； （3）解：∵计划每种票至少购买20张， ∴， 解得， ∵x为整数， ∴，21，22， ∴共有三种购票方案， 方案一：购买类型一票数20张，购买类型二票数40张，购买类型三票数30张； 方案二：购买类型一票数21张，购买类型二票数43张，购买类型三票数26张； 方案三：购买类型一票数22张，购买类型二票数46张，购买类型三票数22张； 当时，w取得最小值，此时， 答：方案一：购买类型一票数20张，购买类型二票数40张，购买类型三票数30张；方案二：购买类型一票数21张，购买类型二票数43张，购买类型三票数26张；方案三：购买类型一票数22张，购买类型二票数46张，购买类型三票数22张；购买总费用最少是3140元． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，直线的函数表达式为，交轴于点．直线的函数表达式为，经过点，且分别交轴、直线于点、，已知点坐标为． (1)求、、的值； (2)的面积为 ． (3)结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，一次函数与不等式（组）的关系，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用经过点，将代入求出，再利用在上，代入求出，再利用在上，代入求出； （2）分别在和中，令，求出、的横坐标，求出，再结合，利用即可求解； （3）先由，得出或，再分别结合图象求解和即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， 解得：， ∴， ∵在上， ∴， ∴， ∵点在上， ∴， 解得：， 故，，； （2）解：在中，令， 得：， 解得：， 则， 在中，令， 得：， 解得：， 则， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴或， 结合图象可得的解集为， 的解集为， 综上，不等式的解集为或． 3．（23-24七年级下·山东烟台·期末）从荣获“四家级旅游度假区”到荣登“中国避暑休闲百佳县榜”榜首，海阳这座滨海小城展示出其独特的韵味和魅力．为进一步建设宜居海阳，某部门准备在海边广场种植甲、乙两种绿植．经调查，甲种绿植的种植费用y（元）与种植面积x（平方米）之间的函数关系如图所示，乙种绿植的种植费用为每平方米90元．    (1)当时，y与x之间的函数表达式为_______，当时，y与x之间的函数表达式为_______； (2)已知甲、乙两种绿植的种植面积共600平方米，若甲种绿植的种植面积不少于150平方米，且不超过乙种绿植种植面积的2倍．应怎样分配甲、乙两种绿植的种植面积，才能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 【答案】(1)， (2)当甲种绿植的种植面积为400平方米，乙种绿植的种植面积为200平方米时， 总费用最少为58000元 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，一元一次不等式组的应用，熟练的求解函数解析式是解本题的关键； （1）直接利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）设甲种绿植的种植面积为x平方米，则乙种绿植的种植面积为平方米．根据甲种绿植的种植面积不少于150平方米，且不超过乙种绿植种植面积的2倍建立不等式组求解的范围，再建立一次函数，利用一次函数的性质解答即可； 【详解】（1）解：当时，设函数为， ∴， 解得：， ∴函数解析式为， 当时，设y与x之间的函数表达式为, ∴， 解得：， ∴函数关系式为． （2）解：设甲种绿植的种植面积为x平方米，则乙种绿植的种植面积为平方米． 由题意，得， 解得不等式组的解集为．    设种植总费用为w元． 当时，．       随x的增大而增大． 当时，．     当时，．    随x的增大而减小． 当时，． ， 所以，当甲种绿植的种植面积为400平方米，乙种绿植的种植面积为200平方米时，总费用最少为58000元． 【经典例题九 新定义问题】 【例9】（23-24七年级下·辽宁大连·期末）定义：在平面直角坐标系中，点坐标为，若点的坐标为，则称点为点的“伴动点” (1)已知点，则点的“伴动点”的坐标为______； (2)已知点，当点与它的“伴动点”所在的直线与轴平行时，此时的值为______； (3)已知点，点与它的“伴动点”所在的直线与轴交于点， ①若、、三点中有一点是连接其他两点所得线段的中点时，求的值； ②点坐标为，以原点为中心作正方形，当线段与正方形的边有公共点（含端点）时，直接写出此时的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①若是中点，；若为中点，；若为中点，；②或 【分析】本题考查了坐标与图形，不等式组，坐标中点的定义，解题的关键是掌握相关的知识． （1）根据“伴动点”的定义求解即可； （2）根据题意可得，即可求解； （3）①分三种情况：若为中点，若为中点，若是中点，根据中点坐标列方程即可求解；②分两种情况讨论：当点、在轴的正半轴时，当点、在轴的负半轴时，根据线段与正方形的边有公共点（含端点），列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：点， ，， ，， 点的“伴动点”的坐标为， 故答案为：； （2）点，当点与它的“伴动点”所在的直线与轴平行， ， 解得：， 故答案为：； （3）①若为中点，， 解得：； 若为中点，， 解得：； 若是中点，， 解得：； 综上所述，的值为或或； ②点， ， 当点、在轴的正半轴时，， 解得：； 当点、在轴的负半轴时，， 解得：； 综上所述，的取值范围或． 1．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：________； (2)已知，求的取值范围； (3)化简：． 【答案】(1)1 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算“”、有理数混合运算、一元一次不等式（组）的应用、完全平方公式的应用等知识，理解新定义的运算法则是解本题的关键． （1）结合，由新定义运算求解即可； （2）分和两种情况，分别求解即可； （3）首先确定，然后由新定义运算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：1； （2）当时，则有， 此时可有， ∴， 解得， 故的取值范围为； 当时，则有， 此时可有 ∴， 解得， 故的取值范围为． 综上所述，的取值范围为或． （3）∵， ∴， ∴． 2．（23-24七年级下·湖南·期中）定义：表示不大于的最大整数，表示大于的最小整数，例如：，，；，，解决下列问题： (1)______，______． (2)若，则的取值范围是______；若，则的取值范围是______； (3)已知，满足方程组，求，的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)、的取值范围分别为， 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用和解二元一次方程组， （1）根据题目所给信息求解； （2）根据题意，容易得出、的取值范围； （3）先求出和的值，然后求出和的取值范围； 解题的关键是读懂题意，按照题目所给的信息求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ，； 故答案为：；； （2）解：∵， ∴的取值范围是； ∵， ∴的取值范围是； 故答案为：；； （3）解：解方程组， 解得：， ∴、的取值范围分别为，． 3．（23-24八年级下·福建宁德·期中）阅读理解： 材料一，对于任意实数a，我们规定表示不大于a的最大整数．例如：，，． 材料二：对于任意实数，我们定义一种新运算，等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中叫做线性数的一个数对． (1)_______， _______； (2)如果，求满足条件的所有整数x； (3)若线性数的值为1，求x的值． 【答案】(1)3， (2)，， (3) 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，不等式组的应用，理解题意是解题的关键 （1）由题意知，，，计算求解即可； （2）由，可得，计算求解，然后作答即可； （3）由题意知，，即，由表示不大于a的最大整数，可得，则，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 故答案为：3，； （2）解：∵， ∴， 解得，， ∴满足条件的所有整数x为，，； （3）解：由题意知，， ∴， ∴， 由题意知，表示不大于a的最大整数， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴． 【经典例题十 其他问题】 【例10】（24-25七年级下·全国·课后作业）某学校的编程课上，一名同学设计了一个运算程序，如图所示． 按上述程序进行运算，程序运行到“判断x是否大于23”为1次运行．若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据程序流程图列出不等式组，然后再解不等式组即可． 【详解】解：依题意，得， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为． 故x的取值范围为． 1．（24-25八年级上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，过点作直线轴，图形W关于直线l的对称图形为，图形上任一点到x轴，y轴的距离的最大值是d，称d是图形W关于直线l的m倍镜像“接收距离”． 已知点，． (1)①线段关于直线l的1倍镜像“接收距离”是______； ②线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”是2，m的取值范围是______； (2)点，关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值是______． (3)点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”小于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”，求m的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】本题在新定义的基础上，考查了轴对称的性质，解一元一次不等式等知识，解决问题的关键是数形结合． （1）①求出A、B关于直线l的1倍镜像的对应点坐标，进而根据定义判断； ②表示出A、B关于直线l的m倍镜像的对应点坐标，根据定义列出不等式组，进一步得出结果； （2）可推出B、C关于直线l的m倍镜像、的距离之差也是8，从而得出关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值； （3）表示出A、B、C、D于直线l的m倍镜像的对应点坐标，关于直线l的m倍镜像的线段是，根据当点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”等于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”时，得出，从而求得临界m的值，进而得出结果． 【详解】（1）解：①设线段关于直线l的1倍镜像的线段为， ，， 点距离y轴距离最大为：3， 故答案为：3； ②点A和B关于直线的对称点为：，， 线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”是2， ， ， 故答案为：； （2）解：如图1， ，，， 、C距离y轴的距离之差是8， 、C关于直线l的m倍镜像、的距离之差也是8， ，关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值是 4， 故答案为：4； （3）解：如图2， 点A和B关于直线的对称点为：，， 线段关于直线l的m倍镜像的线段是，则，， 当点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”等于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”时， ， ， 当点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”小于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”时，． 2．（24-25七年级下·全国·期中）（新考法）对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如：，，根据以上材料，解决下列问题： (1)__________， __________； (2)若，则的取值范围是__________； (3)求满足的所有非负数的值． 【答案】(1)2；2 (2) (3)或2或 【分析】本题以新定义为背景，考查了一元一次不等式组的解法，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组，求出相应的数值． （1）根据题意和四舍五入法，可以写出题目中的数据的结果； （2）根据题意和，可以得到不等式组，然后求解即可； （3）根据题意和，可以设，然后可以得到，从而可得关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围，进而求得的值． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：2，2； （2）解：由题意可得：， 解得， 故答案为：； （3）解：设，为整数，则，， ，解得． 为整数， 或2或3， 时，，； 时，，； 时，，； 或2或． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁段滑动．已知，，根据杠杆原理，平衡时：左盘物体质量右盘物体质量（托盘与横梁的质量不计）．小慧在存钱罐里存了若干个1元硬币（只有1元硬币），她想利用这个自制天平估计存钱罐里一元硬币的数量．进行了如下操作： (1)测量一个硬币的质量：如图1，在天平左侧托盘放置一个砝码，右侧托盘放入10个相同的1元硬币，调整点P的位置，发现当时，天平平衡，则测得每个1元硬币的质量为 g； (2)估算硬币的数量：已知空的存钱罐的质量约为，将装了若干个1元硬币的存钱罐放在左侧托盘，右侧托盘放入砝码，调整点P的位置，发现当时，天平向左侧倾斜（如图2），当时，天平向右侧倾斜（如图3），请你帮小慧算一下存钱罐里大约有几个1元硬币？ 【答案】(1)6 (2)存钱罐里大约有个1元硬币． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用． （1）设每个1元硬币的质量为，根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设存钱罐里有个1元硬币，根据题意列出不等式组，，据此求解即可． 【详解】（1）解：设每个1元硬币的质量为，10个1元硬币的质量为， 由题意得， 解得， 答：每个1元硬币的质量为； 故答案为：6； （2）解：设存钱罐里有个1元硬币， 当时，由题意得， 解得， 当时，由题意得， 解得， ∴， ∵为正整数， ∴， 答：存钱罐里大约有个1元硬币． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）某班级奖励“德、智、体、美、劳”五育表现优异的学生，计划用不超过100元的资金购买A，B两种笔记本作为奖品，A种笔记本每本8元，B种笔记本每本10元．若每种笔记本至少买5本，则购买方案有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】本题考查不等式组的应用，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键． 设购买x本A种笔记本，根据B种笔记本的数量分类讨论即可解答． 【详解】解：设购买x本A种笔记本，y本B种笔记本．则，， 当购买5本B种笔记本时， ∴，解得：， 又∵为正整数， ∴x可以为5，6， ∴当购买5本B种笔记本时，有2种购买方案； 当购买6本B种笔记本时， ，解得：， 又∵x为正整数， ∴x可以为5， ∴购买6本B种笔记本时，有3种购买方案； 当购买7本B种笔记本时，， 不等式组无解，即不存在该种情况． 上所述，购买方案共有（种）． 故选：C． 2．（24-25八年级上·福建福州·期中）在中，，点为上一点，，将沿折叠得到，与相交于点，点不与点重合，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质、三角形内角和定理、一元一次不等式组的应用等知识，结合题意作出图形，熟练掌握折叠的性质是解题关键．首先根据题意作图，结合三角形内角和定理可得，，，再根据折叠的性质可得，，根据与相交于点，点不与点重合，可知，，进而解得的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵，， ∴，， ， ∵将沿折叠得到， ∴，， 又∵与相交于点，点不与点重合， ∴，， 即，， 解得， ∴的值可以是． 故选：A． 3．（24-25七年级下·山东济宁·期末）对一个实数按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于？”为一次操作，如果操作恰好进行三次才停止，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组即可求解，看懂题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故选：． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）某数学社团计划将社团成员分成若干小组，开展深究活动．若每个小组8人，则还余3人；若每个小组9人，则有1个小组的人数不足7人，但多于4人．该数学社团的人数是 ． 【答案】51或59 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设共分为x组，根据每个小组8人，则还余3人；若每个小组9人，则有1个小组的人数不足7人，但多于4人，表示出该班人数以及不等式组，进而可求出班级人数． 【详解】解：设共分为x组， 由题意得， 解得， x为整数， x的值为6或7， 当时，该数学社团的人数是：， 当时，该数学社团的人数是：， 故答案为：51或59． 5．（24-25七年级下·全国·期末）某医院安排护士若干名负责护理病人，若每名护士护理名病人，则有名病人没人护理，如果每名护士护理名病人，有一名护士护理的病人多于人不足人，那么这个医院安排了 名护士护理病人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，正确列出不等式组．设这个医院安排了名护士护理病人，根据题意列不等式组即可求解． 【详解】解：设这个医院安排了名护士护理病人， 根据题意可得：， 解得：， 为整数， ， 故答案为：． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）某校志愿服务小组的学生在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人盒牛奶，那么剩下盒牛奶；如果分给每位老人盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足盒，但至少分得盒，则这个敬老院的老人最少有 位． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设这个敬老院有位老人，则牛奶有盒，根据题意列出不等式组解答即可求解，根据题意列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：设这个敬老院有位老人，则牛奶有盒， 根据题意得，， 解得， ∵为整数， ∴这个敬老院的老人最少有位， 故答案为：． 7．（24-25九年级下·陕西西安·期中）芷阳村组织辆汽车装运完，，三种不同品质的石榴共吨到外地销售，按计划辆汽车都要装满，且每辆汽车只能装同一种石榴，根据下表提供的信息，解答以下问题： 石榴品种 每辆汽车运载量（吨） (1)设装运种石榴的车辆数为，装运种石榴的车辆数为，求与之间的函数关系式； (2)如果装运每种石榴的车辆数都不少于辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案． 【答案】(1) (2)有3种安排方案：方案一：装A种2辆车，装B种6辆车，装C种2辆车；方案二：装A种3辆车，装B种4辆车，装C种3辆车；方案三：装A种4辆车，装B种2辆车，装C种4辆车； 【分析】本题考查了列函数关系式，一元一次不等式组的应用； （1）根据题意列式：，变形后即可得到； （2）根据装运每种石榴的车辆数都不少于辆，，，解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设装种为辆，装种为辆，则装种为辆， 由题意得：， ； （2）解：， ∴装种石榴的车也为 辆， ∴ 解得：．为整数， ，，， 故车辆有种安排方案，方案如下： 方案一：装种辆车，装种辆车，装种辆车； 方案二：装种辆车，装种辆车，装种辆车； 方案三：装种辆车，装种辆车，装种辆车． 8．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价元，售价元；乙种服装每件进价元，售价元．现计划购进两种服装共件，其中甲种服装不少于件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进件服装的总费用不超过元，求最大利润为多少元 (3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少元，售价不变，且，若最大利润为元，求的值． 【答案】(1)； (2)4500； (3)10． 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意建立函数关系式是求解本题的关键． （1）由总利润等于两种服装的利润之和可得函数关系式． （2）先求解自变量x的取值范围，再根据一次函数增减性求最值． （3）先建立总利润关于x的函数关系式，再结合一次函数的性质，建立关于a，b的方程组求值即可． 【详解】（1）解： 其中：； （2）解：由题意得：， ∴， ∵中，， ∴随的增大而增大， ∴当时，(元)． （3）解：∵， ∴， 由题意得： ． ∵， ∴当时，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，， ∴，符合题意． 当时，， 不合题意． 当时，， y随x的增大而减小． ∴当时，， ∴，不合题意，舍去． 综上，． 9．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用900元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是50元 (2)共有4种购买方案，最低费用是5780元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用，一次函数的应用． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，根据买套甲型号和10套乙型号共用900元列一元一次方程求解即可； （2）设需购进乙种型号“文房四宝”套，则需购进甲种型号“文房四宝”套， 根据总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的倍列一元一次不等式组求解得，再设总费用为元，列出一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意可得， 解得，． 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是50元； （2）解：设需购进甲种型号“文房四宝”套，则需购进乙种型号“文房四宝”套， 由题意可得：， 解得， 又为正整数， 可以取26，27，28，29； 共有4种购买方案， 设总费用为元，则， ， 随着的增大而增大， 当时，最小，最小值为， 答：共有4种购买方案，最低费用是5780元． 10．（23-24七年级下·福建泉州·期末）“今生簪花，来世漂亮”，福建省泉州市蟳埔村簪花园今年“火出圈”．小强在五一节期间，随爸爸妈妈一起前往蟳埔村，簪花、观景、休闲、品美食，体验蟑埔文化．在游玩间隙，热爱数学的小强发现许多有趣的数学问题，让我们与小强一起探究如下的数学问题． 小强陪妈妈去簪花店去簪花，簪花店老板林阿姨介绍说，簪花分为簪生花和簪熟花两种类型．妈妈想体验簪生花，挑选了颜色鲜艳的朵玫瑰花和朵石榴花，林阿姨只收取妈妈元，林阿姨又告诉小强每朵石榴花的价格比每朵玫瑰花的价格少元． (1)求石榴花与玫瑰花单价分别是多少元？ (2)小强爸爸发现簪花时如果玫瑰花多一些，整个头型更好看些，建议妈妈下次来簪花时，玫瑰花的数量比石榴花要多朵，但是两种花的数量不少于朵，小强爸爸告诉林阿姨总费用不得高于元．请你与小强一道帮帮林阿姨设计一下簪花方案． 【答案】(1)石榴花每朵元，玫瑰花每朵元 (2)共有两种方案：石榴花朵，玫瑰花朵或石榴花朵，玫瑰花朵 【分析】本题考查一元一次方程，一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式组． （1）设石榴花每朵元，玫瑰花每朵元，可得：，即可解得答案； （2）设石榴花朵，玫瑰花朵，根据两种花的数量不少于朵，小强爸爸告诉林阿姨总费用不得高于元得：，解得范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设石榴花每朵元，玫瑰花每朵元， 根据题意得：， 解得：， ， 答：石榴花每朵元，玫瑰花每朵元； （2）解：设石榴花朵，玫瑰花朵， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， 或， 答：共有两种方案：石榴花朵，玫瑰花朵或石榴花朵，玫瑰花朵． 11．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）某中学开学初到商场购买、两种品牌的足球，购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知购买一个种品牌的足球比购买一个钟品牌的足球多花元． (1)求购买一个种品牌、一个种品牌的足球各需多少元． (2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进、两种品牌足球共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高元，品牌足球按第一次购买时售价的折出售，如果学校此次购买、两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的%，且保证这次购买的种品牌足球不少于个，则这次学校有哪几种购买方案？ (3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？ 【答案】(1)购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元 (2)见解析 (3)学校在第二次购买活动中最多需要元资金 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用， （1）设A种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元，根据“总费用买种足球费用买种足球费用，以及种足球单价比种足球多花元”可得出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）设第二次购买种足球个，则购买种足球个，根据“总费用买种足球费用买种足球费用，以及种足球不小于个”可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组可得出的取值范围，由此即可得出结论； （3）分析第二次购买时，、种足球的单价，即可得出哪种方案花钱最多，求出花费最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元， 依题意得：，解得：． 答：购买一个种品牌的足球需要元，购买一个种品牌的足球需要元． （2）解：设第二次购买种足球个，则购买种足球个， 依题意得：， 解得：． 故这次学校购买足球有五种方案： 方案一：购买A种足球个，B种足球个； 方案二：购买A种足球个，B种足球个； 方案三：购买A种足球个，B种足球个． 方案四：购买A种足球个，B种足球个． 方案五：购买A种足球个，B种足球个． （3）解：∵第二次购买足球时，A种足球单价为(元)，B种足球单价为(元)， ∴当购买方案中B种足球最多时，费用最高，即方案一花钱最多． ∴(元)． 答：学校在第二次购买活动中最多需要元资金． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）有一种规格为的标准板材，可按如图所示的两种裁法得到规格为的A型板材与规格为的B型板材． 项目 裁法一 裁法二 x（张） ______（张） A型板材（张） ______ B型板材（张） ______ (1)某公司装修需要A型板材140张，B型板材215张．现购得标准板材100张，将其全部裁完．设按裁法一裁剪的标准板材为x张． ①根据题意，完成以上表格： ②按以上两种裁法的张数来分，共有哪几种裁剪方案？ (2)若装修师傅购买标准板材若干张，按以上两种方法裁剪后，得到A型板材恰为140张，B型板材恰为a张，则购进的标准板材可以是______张（写出一种即可）． 【答案】(1)①见解析；②共有三种裁剪方案：按裁法一裁剪58张，按裁法二裁剪42张；按裁法一裁剪59张，按裁法二裁剪41张；按裁法一裁剪60张，按裁法二裁剪40张； (2) 【分析】（1）①根据裁法一可知，一块标准板可裁一张，3张；根据裁法二可知，一块标准板可裁2张，1张，由此可完成表格．②根据型板材共不小于140张，型板材共不小于215张，作为不等关系列不等式组求其正整数解，即可求得裁板方案； （2）结合（1）中不等式组即可求解． 本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系． 【详解】（1）解：①依题意， 标准板材裁法一（张 标准板材裁法二（张 型板材（张 型板材（张 ②由题意，得 ， 解得， 又是整数， ，59，60； 答：共有三种裁剪方案：按裁法一裁剪58张，按裁法二裁剪42张；按裁法一裁剪59张，按裁法二裁剪41张；按裁法一裁剪60张，按裁法二裁剪40张． （2）解：设标准板中有张按裁法1裁剪，有张按裁法2裁剪， 根据题意得：， 整理得：， 解得， 由于为正整数，则，46，47， 则，48，46， 故标准板材为：95张，94张，93张， 故答案为：95（答案不唯一）． 13．（24-25八年级上·北京·期中）数表操作：设A是由个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”． (1)数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表； 4 1 0 2 表1 第一次操作后的数表 → 第二次操作后的数表 (2)数表A如表2所示，若该数表必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负数，则实数a的取值范围是______． 表2 1 a 1 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查有理数的运算，整式的加减运算，一元一次不等式组的应用，读懂题意，理解“操作”要求是解题的关键． （1）根据某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变改行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”，先改变表1的第2行，再改变第2列即可； （2）先求出表2的各行的各数之和，得到需对第二行进行一次“操作”，再分别求出“操作”后的各列的各数之和，根据数表2必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负数，即可列出不等式组，求解即可． 【详解】（1）解： 第一次操作后的数表 → 第二次操作后的数表 4 1 3 4 1 6 0 3 6 0 3 （2）解：表2的第一行各数之和为：， 第二行各数之和为：， ∴需对第二行进行一次“操作”，结果为： 1 a 1 此时第一列各数之和为：， 第二列各数之和为：， 第三列各数之和为：， 第四列各数之和为：， ∵数表2必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负数， ∴或， 解得． 14．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列．    如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： (1)当n辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为L米，则L与n的关系式是________； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； (3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有几种方案可供选择？请说明理由． 【答案】(1)； (2)直立电梯一次性最多可以运输辆购物车； (3)共有种运输方案，理由见解析． 【分析】（）根据“一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加”，列出函数关系式； （）把代入解析式，求出的值即可； （）设用扶手电梯运输次，直立电梯运输次，根据题意得 ，求出的取值范围即可； 本题考查了一次函数的应用和一元一次不等式组的应用，解题的关键是列出函数解析式和不等式组． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴车身总长与购物车辆数的表达式为， 故答案为：； （2）解：当时，， 解得：，（辆）， 答：直立电梯一次性最多可以运输辆购物车； （3）解：有3种，设用扶手电梯运输次，直立电梯运输次， 由（）得：直立电梯一次性最多可以运输辆购物车， ∴ ， 解得：， ∴为正整数， ∴，，， ∴共有种运输方案： 扶手电梯运次，直立电梯运次； 扶手电梯运次，直立电梯运次； 扶手电梯运次． 15．（24-25九年级上·全国·期末）我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元． (1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？ (2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于50棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有几种购买方案？ (3)某包工队承包种植任务，若种好一棵A种树苗可获工钱30元，种好一棵B种树苗可获工钱20元，在第（2）问的各种购买方案中，种好这100棵树苗，哪一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？ 【答案】(1)购买A种树苗每棵需要100元，B种树苗每棵需要50元 (2)有四种购买方案 (3)购买A种树苗50棵、B种树苗50棵时所付的种植工钱最少，最少工钱是2500元 【分析】本题主要考查一元一次不等式组、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用． （1）设种树苗每棵元，种树苗每棵元，根据“购买种树苗8棵，种树苗3棵，需要950元；若购买种树苗5棵，种树苗6棵，则需要800元”列二元一次方程组求解可得； （2）设购进种树苗棵，则购进种树苗棵，根据“种树苗不能少于50棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元”列不等式组求解可得； （3）设种植工钱为，得到关于的一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设种树苗每棵元，种树苗每棵元， 根据题意，得：， 解得：， 答：种树苗每棵100元，种树苗每棵50元； （2）解：设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵， 根据题意，得：， 解得：， 故有四种购买方案； （3）解：设种植工钱为，由已知得：， ∵， 随的增大而增大， ∴当时，最小，最小值为2500元； 故购买A种树苗50棵、B种树苗50棵时所付的种植工钱最少，最少工钱是2500元． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元一次不等式的应用重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 方案问题 题型二 销售利润问题 题型三 分配问题 题型四 几何问题 题型五 行程问题 题型六 和差倍分问题 题型七 水电费问题 题型八 不等式与一次函数结合的应用 题型九 新定义问题 题型十 其他问题 知识点1:盈不足与行程问题 1. 盈不足问题 2. 行程问题，常用等量关系：路程=速度×时间 知识点2：经济与方案问题 一．经济问题： 常见等量关系： 利润=售价-成本. 利润率=（售价-成本）/成本 X100%. 售价=成本X（1+利润率） 二．方案问题 【经典例题一 方案问题】 【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）小红家开了一家糕点店，现有面粉，鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共盒．已知加工盒一般糕点需面粉和鸡蛋；加工盒精制糕点需面粉和鸡蛋． (1)有哪几种加工方案？ (2)如果销售盒一般糕点和盒精制糕点的利润分别为元和元，那么按哪一种方案加工小红家可获得最大利润？最大利润是多少？ 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）某企业计划购买A、B两种型号的笔记本电脑共15台，已知A型笔记本电脑每台5200元，B型笔记本电脑每台6400元，设购买A型笔记本电脑x台，购买两种型号的笔记本电脑共需要总费用y元． (1)求出y与x之间的函数表达式 (2)若因为经费有限，该企业预算不超过8.6万元，且购买A型笔记本电脑的数量不得大于B型笔记本电脑数量的4倍，请问该企业共有几种购买方案?哪种方案费用最省，并求出该方案所需费用 2．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）在党的二十大报告中，强调了教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑．某校为提升教学质量，计划购买、两种型号的教学设备．已知购买台型设备和台型设备共需万元；购买台型设备和台型设备共需万元． (1)求型、型设备每台各是多少万元； (2)根据该校的实际情况，需购买、两种型号的教学设备共台，要求购买的总费用不超过万元，并且型设备的数量不少于型设备数量的，那么该校共有几种购买方案？ 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）某市教育局计划购买台阅卷扫描仪，有，两种型号可供选择，其中型号功能多一点．已知购买台型号和台型号共需要万元；购买台型号和台B型号共需要万元． (1)求，两种型号阅卷扫描仪的单价； (2)若购买阅卷扫描仪的费用不超过万元，请你通过计算说明，共有哪几种购买方案； (3)在（2）的购买方案中，教育局想多购买功能多一点的阅卷扫描仪，应选择哪种方案？ 【经典例题二 销售利润问题】 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）某商场计划购进甲、乙两种空调共50台，这两种空调的进价、售价如下表所示： 类型 进价（元/台） 售价（元/台） 甲 2300 2800 乙 3300 4000 (1)若该商场此次进货共用去13万元，则这两种空调各购进多少台； (2)若商场规定每种空调至少购进10台，并且在当月全部销售完，应怎样进货才能使商场在销售完这批空调时获利最多，并求出最大利润． 1、（24-25八年级上·四川泸州·开学考试）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的、两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 (1)求、两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 2．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）一个车间有30个工人．已知每个工人每天可以制造甲种零件8个或乙种零件4个．车间以两种零件各自的出厂价对外进行订单式销售，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润350元．在这30人中，车间每天安排x人制造甲种零件，其余人去制造乙种零件，其中制造甲种零件的的人数不少于制造乙种零件的人数，且车间每天所获利润不低于38000元． (1)设车间每天所获利润为y元，试求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)由于市场行情的变化，车间对两种零件的出厂价分别进行了调整：每个甲种零件出厂价上调m元（），每个乙种零件出厂价下调20元．试说明m取何值时，车间每天获得的利润最低是40320元？ 3．（24-25八年级上·重庆·期末）新年将至，小开计划购进部分年货进行销售．若购进40副春联和30对窗花共需410元；购进60副春联和80对窗花共需720元． (1)求每副春联、每对窗花的进价各是多少元； (2)小开计划购进春联、窗花共300件进行销售，春联和窗花的售价分别定为15元和6元．春联和窗花的总进价不超过1300元，且全部销售完后总销售额不低于2250元，若购进的春联和窗花全部售出，则购进多少副春联时销售利润最大，并求出最大利润． 【经典例题三 分配问题】 【例3】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）某公司有A型产品80件，B型产品120件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中140件给甲店，60件给乙店，且都能卖完．甲店销售A型产品利润每件400元，销售B型产品利润每件340元；乙店销售A型产品利润每件320元，销售B型产品利润每件300元． (1)若公司要求总利润不低于70280元，求出公司能采用几种不同的分配方案？ (2)为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利m元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？ 1．（2024·浙江宁波·一模）根据以下素材，探索完成任务． 如何确定木板分配方案？ 素材1 我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为80cm，40cm.                  素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为3:1，其余木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），给部分盒子配上盖子． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 问题解决 任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务2 确定分配方案1 若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案． 任务3 确定分配方案2 为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润． 2．（2023·江苏苏州·二模）某公司有型产品件，型产品件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中件给甲店，件给乙店，且都能卖完两商店销售这两种产品每件的利润元如下表： 型利润 型利润 甲店 乙店 (1)设分配给甲店型产品件，这家公司卖出这件产品的总利润为元，求关于的函数关系式，并求由的取值范围； (2)为了促销，公司决定仅对甲店型产品让利销售，每件让利元，但让利后型产品的每件利润仍高于甲店型产品的每件利润甲店的型产品以及乙店的，型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？ 3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给甲，乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完，两商店销售这两种产品每件利润（元）如下表 A型利润 B型利润 甲店 200 170 乙店 160 150 (1)设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W（元），求W关于x的函数关系式？ (2)若要求总利润不低于17560元，有多少种不同分配方案？请写出来 (3)为了促销，公司决定仅对甲店让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品每件利润仍高于甲店B产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A，B型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使利润达到最大？ 【经典例题四 几何问题】 【例4】（23-24七年级下·福建泉州·期末）参观完蟳埔村古民居，小强随着父母一起散步到蟳埔村海边，欣赏海边美景，来到一个休闲娱乐场所，喜欢台球运动的小强爸爸兴致勃勃教小强打台球，并告诉小强如何利用数学知识击打台球．如图所示，若长方形表示台球桌，在点处的白色球体经过击打，在台球桌边的点反弹后，恰好碰到在点的蓝色球体．请你帮小强解决下列个问题．其中，在解决问题时，小强爸爸给他补充了八年级勾股定理的知识： 在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．我们把这个结论称为勾股定理． 例如，在如图所示的直角中，，若， ，则由勾股定理得：，所以． (1)请帮助小强找到台球桌边点的位置（在图中画出，保留痕迹）； (2)若白色球体到台球桌边的距离为，蓝色球体到台球桌边的距离为，白色球体与蓝色球体的水平距离为，试求在问题（1）中白色球体的运动距离（忽略球体的大小）； (3)小强爸爸老王发现在台球室原有名顾客，过了一会儿有名顾客离开，老王问小强台球室原来有多少名顾客？ 1．（24-25八年级上·江西上饶·期中）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)若腰长为a，则a的取值范围是 ； (2)能围成一条边是的等腰三角形吗？若能，求出其他两边；若不能，说明理由． 2．（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）李大爷准备用一段长的篱笆围成一个三角形形状的场地用于饲养鸡，已知第一条边长为．由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的2倍少3． (1)第二条边长为________________ ，第三条边长为_______________ （用含的式子表示）； (2)第一条边长能否为？为什么？ (3)求的取值范围． 3．（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知a，b，c分别为的三边，且满足． (1)求c的取值范围； (2)若的周长为，求c的值． 【经典例题五 行程问题】 【例5】（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图1，一条笔直的公路上有，，三地，，两地相距千米，甲、乙两辆汽车分别从，两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往，两地．甲、乙两车到地的距离，（千米）与行驶时间x（时）的关系如图2所示． 根据图象进行以下探究： (1)请在图1中标出地的位置，并求图2中点的坐标，同时解释该点的实际意义； (2)在图2中补全甲车的函数图象，并求甲车到地的距离与行驶时间的函数关系式； (3)地设有指挥中心，指挥中心及两车都配有对讲机，两部对讲机在千米之内（含千米）时能够互相通话，直接写出两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间． 1．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图1，一条笔直的公路上有、、三地，、两地相距150千米，甲、乙两辆汽车分别从、两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往、两地．甲、乙两车到地的距离、（千米）与行驶时间（时）的关系如图2所示．根据图象进行以下探究：    (1)请在图1中标出地的位置，并写出相应的距离：_，_； (2)在图2中求出甲汽车到达地的时间，并写出甲车从地到地与甲车从地到地的与行驶时间的关系式． (3)地设有指挥中心，指挥中心及两车都配有对讲机，对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话，请问两车至少有一辆车能与指挥中心用对讲机通话的时间一共有多长？写出过程． 2．（2023·黑龙江绥化·中考真题）某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用、两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．型车每辆租金元，型车每辆租金元．若辆型和辆型车坐满后共载客人；辆型和辆型车坐满后共载客人．    (1)每辆型车、型车坐满后各载客多少人？ (2)若该校计划租用型和型两种客车共辆，总租金不高于元，并将全校人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ (3)在这次活动中，学校除租用、两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为千米，甲车从学校出发小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早小时到达目的地．下图是两车离开学校的路程（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，为何值时两车相距千米． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段表示货车离甲地距离千米与时间小时之间的函数关系；线段表示轿车离甲地距离千米与时间小时之间的函数关系．点在线段上，请根据图象解答下列问题： (1)试求点的坐标； (2)当轿车与货车相遇时，求此时的值； (3)在整个过程中，问在什么范围时，轿车与货车之间的距离小于千米． 【经典例题六 和差倍分问题】 【例6】（23-24七年级下·河南驻马店·期末）某超市打算试销，两个品种的水果，拟定品种每箱售价比品种每箱售价贵25元，且已知销售2箱品种和3箱品种的总价为550元． (1)问A品种与品种每箱的售价分别是多少元？ (2)若品种每箱的进价为100元，品种每箱的进价为80元，现水果店打算购进A品种与品种共21箱，要求所花资金不高于1960元，且购进品种的数量不超过A品种数量的倍，则该超市应如何设计购进方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 1．（23-24八年级上·重庆九龙坡·开学考试）华为P40Pro5G手机上市以来深受广大市民喜爱，其中A，B两种型号销售量最高，故某商场计划购进A，B两种型号的手机，已知每部A种型号手机进价比每部B种型号手机进价少3000元，每部A种型号手机售价是4200元，每部B种型号手机售价是7800元． (1)商场用12万元共购进A种型号手机20部，B种型号手机10部，求A，B两种型号手机每部的进价分别是多少钱？ (2)为了满足市场需求，商场决定用不超过15万元采购A，B两种型号的手机共40部，且A型号手机的数量不大于B型号手机数量的4倍，则该商场有哪几种进货方式？ (3)在（2）的条件下，该商场选择哪种进货方式获得的利润最大？为什么？ 2．（24-25八年级上·浙江·期中）学校举行八年级段数学知识竞赛，设立了一、二、三等奖，计划共购买件奖品，其中二等奖奖品件数比一等奖奖品件数的倍还少件，已知购买一等奖奖品件，各种奖品的单价如表： 奖品 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品 单价（元） (1)学校购买二等奖奖品　　件，三等奖奖品　　件；（用含的代数式表示） (2)若购买三等奖奖品的费用不超过二等奖奖品的费用的倍，且三等奖奖品的件数不少于一等奖奖品件数的倍．问学校共有几种购买方案？如何购买这三种奖品，使总费用最少？并求出最少的总费用． 3．（24-25八年级下·重庆·期中）清明节，除了扫墓踏青之外，传统时令小吃——青团也深受大家欢迎，知味观推出一款鲜花牛奶青团和一款芒果青团，鲜花牛奶青团每个售价是芒果青团的倍，4月份鲜花牛奶青团和芒果青团总计销售60000个，且鲜花牛奶青团和芒果青团销售量之比为，鲜花牛奶青团销售额为250000元． (1)求鲜花牛奶青团和芒果青团的售价？ (2)5月份正值知味观店庆，决定再生产12000个青团回馈新老顾客，但考虑到芒果青团较受欢迎，同时也考虑受机器设备限制，因此芒果青团的个数不少于鲜花牛奶青团个数的，且不多于鲜花牛奶青团的2倍，其中，鲜花牛奶青团每个让利a元销售，芒果青团售价不变，并且让利后的鲜花牛奶青团售价不得低于芒果青团售价的，知味观如何设计生产方案使总销售额最大？ 【经典例题七 水电费问题】 【例7】（24-25八年级上·浙江丽水·期中）为了节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计量，将居民的每月生活用水水价分为三个等级：一级：20吨及以下，二级：大于20吨，不超过30吨，三级：30吨以上．以下是小青家水费发票的部分信息：（居民生活水费自来水费污水处理费） 丽水市xx县自来水公司水费专用 发票联 计费日期：2023-07-01至2023-08-11                         付款期限： 上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量/吨 本期用水量/吨 884 919 35 自来水费 污水处理费 用水量/吨 单价/元 金额/元 用水量/吨 单价/元 金额/元 阶梯一20 1.30 26.00 20 0.50 10.00 阶梯二10 19.00 10 0.50 5.00 阶梯三5 15.00 5 0.50 2.50 本期实付金额 （大写）染拾染元伍角整 77.50元 (1)从以上信息可知，水费的收费标准（含污水处理费）：每月用水20吨及以内为_______元/吨，每月用水20~30吨（含30吨）为______元/吨，30吨及以上为______元/吨． (2)随着气温的降低，小青家的用水量也在逐步下降，已知2024年2月份小青家所缴的水费为55.20元，请你计算小青家该月份的用水量为多少吨？ (3)为了提倡节约用水，小青家打算将水费控制在不少于48元，不超过74元，那么用水量应该如何控制？ 1．（23-24·浙江杭州·一模）甲市居民生活用水收费按阶梯式水价计量：20立方米及以下，按基本水价计收，20﹣30立方米（包括30立方米）的部分，按基本水价的1.5倍计收，30立方米以上的部分，按基本水价的2倍计收．从2018年7月1日起，该市居民生活用水基本水价将进行调整，收费方式仍按原来阶梯式水价计量．小明读到有关新闻后立刻对他家两个月的水费进行计算，得到下表： 请根据以上信息，回答以下问题： 月份 用水量（立方米） 按调整前水价计费（元） 若按调整后水价计费（元0 2 16 45.6 52.8 3 22 65.55 75.9 （1）求本次基本水价调整提幅的百分率？（保留3个有效数字） （2）小明家07年7月的水费是128.25元，该月用水量若按调整后水价计费需缴多少元？ （3）小明又上网查了有关资料发现：甲市取水点分散，引水管线合计350千米，而同类城市乙市只有一座水库供水，引水管线合计70千米．若两市每年每千米引水管线的运行成本都为150万元，乙市的现行基本水价为2.35元，甲市共有200万户家庭，乙市共有180万户家庭．若甲乙两市都按平均每户每月用水量为11.21立方米计算，请你确定出甲市的基本水价至少调整为多少时甲市自来水公司的年收入（全市居民总水费﹣引水管线运行成本）不低于乙市？（保留3个有效数字） 2．（23-24七年级下·河南南阳·期中）为实现自然资源的可持续利用，建设“节约型社会”，某省出台阶梯电价计费方案，具体实施方案如下： 档次 月用电量x（度） 电价（元/度） 1档 2档 … … … (1)小李家2024年3月份共缴电费元，求该月小李家的用电量； (2)小李家计划6月份用电量不超过度，且使平均费用不超过元/度．设小李家月份的用电量为度，求的最大值． 3．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）为鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费），规定．用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费，用电度数均取整数． 下表是刘先生家2022年4月和5月所交电费的清单． 户名 电表号 月份 用电量（度） 金额（元） 刘×× 1205 4 220 112 刘×× 1205 5 265 139 (1)该市规定的第一阶梯电费和第二阶梯电费单价分别为多少元/度? (2)刘先生家6月份家庭支出计划中电费不超过160元，他家最大用电量为多少度？ 【经典例题八 不等式与一次函数结合的应用】 【例8】（24-25九年级上·广东惠州·开学考试）“琅琅书声浸校园，悠悠书韵满人生”，为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，某校启动校园“读书季”，并计划购进两种图书作为年级竞诵活动的奖品．经调查，购进种图书的总费用元与购进种图书本数之间的函数关系如图所示： (1)当时，求与之间的函数关系式； (2)现学校准备购进，两种图书共300本，已知种图书每本22元．若购进种图书不少于60本，且不超过种图书本数的2倍，购进两种图书的总费用为元，请求出符合条件的与之间的函数表达式，并说明怎样购买，两种图书才能使总费用最少？总费用少为多少元？ 1．（24-25八年级上·安徽六安·期中）太湖山景区有三处景点，三处景点门票价格如下： 票种 类型一 类型二 类型三 景点 月亮湖 动物园 真人CS游戏 单价（元） 20 30 60 某地方企业家支持地方经济和教育事业的发展，购买以上三处景点的门票90张用来奖励某校优秀学生，其中购买类型一票数x张，类型二票数是类型一票数的3倍少20张票，类型三票数y张． (1)求y与x之间的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围） (2)设购买90张票总费用为w元，求w（元）与x（张）之间的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围） (3)若计划每种票至少购买20张，请你列出所有购票方案，并求购买总费用最少是多少元． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，直线的函数表达式为，交轴于点．直线的函数表达式为，经过点，且分别交轴、直线于点、，已知点坐标为． (1)求、、的值； (2)的面积为 ． (3)结合函数图象，直接写出不等式的解集． 3．（23-24七年级下·山东烟台·期末）从荣获“四家级旅游度假区”到荣登“中国避暑休闲百佳县榜”榜首，海阳这座滨海小城展示出其独特的韵味和魅力．为进一步建设宜居海阳，某部门准备在海边广场种植甲、乙两种绿植．经调查，甲种绿植的种植费用y（元）与种植面积x（平方米）之间的函数关系如图所示，乙种绿植的种植费用为每平方米90元．    (1)当时，y与x之间的函数表达式为_______，当时，y与x之间的函数表达式为_______； (2)已知甲、乙两种绿植的种植面积共600平方米，若甲种绿植的种植面积不少于150平方米，且不超过乙种绿植种植面积的2倍．应怎样分配甲、乙两种绿植的种植面积，才能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 【经典例题九 新定义问题】 【例9】（23-24七年级下·辽宁大连·期末）定义：在平面直角坐标系中，点坐标为，若点的坐标为，则称点为点的“伴动点” (1)已知点，则点的“伴动点”的坐标为______； (2)已知点，当点与它的“伴动点”所在的直线与轴平行时，此时的值为______； (3)已知点，点与它的“伴动点”所在的直线与轴交于点， ①若、、三点中有一点是连接其他两点所得线段的中点时，求的值； ②点坐标为，以原点为中心作正方形，当线段与正方形的边有公共点（含端点）时，直接写出此时的取值范围． 1．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：________； (2)已知，求的取值范围； (3)化简：． 2．（23-24七年级下·湖南·期中）定义：表示不大于的最大整数，表示大于的最小整数，例如：，，；，，解决下列问题： (1)______，______． (2)若，则的取值范围是______；若，则的取值范围是______； (3)已知，满足方程组，求，的取值范围． 3．（23-24八年级下·福建宁德·期中）阅读理解： 材料一，对于任意实数a，我们规定表示不大于a的最大整数．例如：，，． 材料二：对于任意实数，我们定义一种新运算，等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中叫做线性数的一个数对． (1)_______， _______； (2)如果，求满足条件的所有整数x； (3)若线性数的值为1，求x的值． 【经典例题十 其他问题】 【例10】（24-25七年级下·全国·课后作业）某学校的编程课上，一名同学设计了一个运算程序，如图所示． 按上述程序进行运算，程序运行到“判断x是否大于23”为1次运行．若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围． 1．（24-25八年级上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，过点作直线轴，图形W关于直线l的对称图形为，图形上任一点到x轴，y轴的距离的最大值是d，称d是图形W关于直线l的m倍镜像“接收距离”． 已知点，． (1)①线段关于直线l的1倍镜像“接收距离”是______； ②线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”是2，m的取值范围是______； (2)点，关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值是______． (3)点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”小于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”，求m的取值范围（直接写出结果即可）． 2．（24-25七年级下·全国·期中）（新考法）对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如：，，根据以上材料，解决下列问题： (1)__________， __________； (2)若，则的取值范围是__________； (3)求满足的所有非负数的值． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁段滑动．已知，，根据杠杆原理，平衡时：左盘物体质量右盘物体质量（托盘与横梁的质量不计）．小慧在存钱罐里存了若干个1元硬币（只有1元硬币），她想利用这个自制天平估计存钱罐里一元硬币的数量．进行了如下操作： (1)测量一个硬币的质量：如图1，在天平左侧托盘放置一个砝码，右侧托盘放入10个相同的1元硬币，调整点P的位置，发现当时，天平平衡，则测得每个1元硬币的质量为 g； (2)估算硬币的数量：已知空的存钱罐的质量约为，将装了若干个1元硬币的存钱罐放在左侧托盘，右侧托盘放入砝码，调整点P的位置，发现当时，天平向左侧倾斜（如图2），当时，天平向右侧倾斜（如图3），请你帮小慧算一下存钱罐里大约有几个1元硬币？ 1．（2025七年级下·全国·专题练习）某班级奖励“德、智、体、美、劳”五育表现优异的学生，计划用不超过100元的资金购买A，B两种笔记本作为奖品，A种笔记本每本8元，B种笔记本每本10元．若每种笔记本至少买5本，则购买方案有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．（24-25八年级上·福建福州·期中）在中，，点为上一点，，将沿折叠得到，与相交于点，点不与点重合，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东济宁·期末）对一个实数按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数”到“判断结果是否大于？”为一次操作，如果操作恰好进行三次才停止，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）某数学社团计划将社团成员分成若干小组，开展深究活动．若每个小组8人，则还余3人；若每个小组9人，则有1个小组的人数不足7人，但多于4人．该数学社团的人数是 ． 5．（24-25七年级下·全国·期末）某医院安排护士若干名负责护理病人，若每名护士护理名病人，则有名病人没人护理，如果每名护士护理名病人，有一名护士护理的病人多于人不足人，那么这个医院安排了 名护士护理病人． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）某校志愿服务小组的学生在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人盒牛奶，那么剩下盒牛奶；如果分给每位老人盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足盒，但至少分得盒，则这个敬老院的老人最少有 位． 7．（24-25九年级下·陕西西安·期中）芷阳村组织辆汽车装运完，，三种不同品质的石榴共吨到外地销售，按计划辆汽车都要装满，且每辆汽车只能装同一种石榴，根据下表提供的信息，解答以下问题： 石榴品种 每辆汽车运载量（吨） (1)设装运种石榴的车辆数为，装运种石榴的车辆数为，求与之间的函数关系式； (2)如果装运每种石榴的车辆数都不少于辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案． 8．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价元，售价元；乙种服装每件进价元，售价元．现计划购进两种服装共件，其中甲种服装不少于件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进件服装的总费用不超过元，求最大利润为多少元 (3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少元，售价不变，且，若最大利润为元，求的值． 9．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用900元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低费用是多少？ 10．（23-24七年级下·福建泉州·期末）“今生簪花，来世漂亮”，福建省泉州市蟳埔村簪花园今年“火出圈”．小强在五一节期间，随爸爸妈妈一起前往蟳埔村，簪花、观景、休闲、品美食，体验蟑埔文化．在游玩间隙，热爱数学的小强发现许多有趣的数学问题，让我们与小强一起探究如下的数学问题． 小强陪妈妈去簪花店去簪花，簪花店老板林阿姨介绍说，簪花分为簪生花和簪熟花两种类型．妈妈想体验簪生花，挑选了颜色鲜艳的朵玫瑰花和朵石榴花，林阿姨只收取妈妈元，林阿姨又告诉小强每朵石榴花的价格比每朵玫瑰花的价格少元． (1)求石榴花与玫瑰花单价分别是多少元？ (2)小强爸爸发现簪花时如果玫瑰花多一些，整个头型更好看些，建议妈妈下次来簪花时，玫瑰花的数量比石榴花要多朵，但是两种花的数量不少于朵，小强爸爸告诉林阿姨总费用不得高于元．请你与小强一道帮帮林阿姨设计一下簪花方案． 11．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）某中学开学初到商场购买、两种品牌的足球，购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知购买一个种品牌的足球比购买一个钟品牌的足球多花元． (1)求购买一个种品牌、一个种品牌的足球各需多少元． (2)学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进、两种品牌足球共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高元，品牌足球按第一次购买时售价的折出售，如果学校此次购买、两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的%，且保证这次购买的种品牌足球不少于个，则这次学校有哪几种购买方案？ (3)请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？ 12．（2025七年级下·全国·专题练习）有一种规格为的标准板材，可按如图所示的两种裁法得到规格为的A型板材与规格为的B型板材． 项目 裁法一 裁法二 x（张） ______（张） A型板材（张） ______ B型板材（张） ______ (1)某公司装修需要A型板材140张，B型板材215张．现购得标准板材100张，将其全部裁完．设按裁法一裁剪的标准板材为x张． ①根据题意，完成以上表格： ②按以上两种裁法的张数来分，共有哪几种裁剪方案？ (2)若装修师傅购买标准板材若干张，按以上两种方法裁剪后，得到A型板材恰为140张，B型板材恰为a张，则购进的标准板材可以是______张（写出一种即可）． 13．（24-25八年级上·北京·期中）数表操作：设A是由个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”． (1)数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表； 4 1 0 2 表1 第一次操作后的数表 → 第二次操作后的数表 (2)数表A如表2所示，若该数表必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负数，则实数a的取值范围是______． 表2 1 a 1 14．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列．    如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： (1)当n辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为L米，则L与n的关系式是________； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； (3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有几种方案可供选择？请说明理由． 15．（24-25九年级上·全国·期末）我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元． (1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？ (2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于50棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有几种购买方案？ (3)某包工队承包种植任务，若种好一棵A种树苗可获工钱30元，种好一棵B种树苗可获工钱20元，在第（2）问的各种购买方案中，种好这100棵树苗，哪一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$