专题02 分式的基本性质重难点题型专训（10大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题02 分式的基本性质重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 判断分式变形是否正确 题型二 求使分式变形成立的条件 题型三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型四 将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型五 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型六 最简分式 题型七 约分 题型八 最简公分母 题型九 通分 题型十 分式基本性质的新定义问题 知识点一、分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：或，其中A，B，C是整式且B•C≠0. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 知识点二、分式的约分 分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 【补充说明】约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 知识点三、分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．在确定几个分式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数. 确定最简公分母的方法： 1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 【经典例题一 判断分式变形是否正确】 【例1】（24-25八年级上·福建福州·期末）下列式子从左到右的变形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：C． 1．（24-25八年级上·北京西城·期末）下列各式从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可，正确掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、不一定等于，即A项不合题意， B、无法再约分，不一定等于，即B项不合题意， C、分式的分子和分母同时加上一个数，与原分式不相等，即C项不合题意， D、，即D项符合题意， 故选：D． 2、（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）下列分式的变形中：①（c≠0）②＝，③     ④，错误的是 ．（填序号） 【答案】③④ 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：③原式= ，故③错误； ④原式= ，故④错误； 故答案为③④． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 3．（2024七年级上·上海·专题练习）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式， 解：，可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）或（2） 解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． (1)一元二次不等式的解集为______． (2)求分式不等式的解集． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】本题考查了因式分解、分式的基本性质、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程. （1）仿照例题进行解答即可； （2）先利用分式的基本性质将分式转换成整式，然后仿照例题解答即可． 【详解】（1）解：， 可化为， 根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可得 ①或②， 解不等式组①，得，解不等式组②，得， 故的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或； 故答案为：或． （2）解：， ， 根据有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，可得： ①或②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，无解， 故的解集为， 即分式不等式的解集． 【经典例题二 求使分式变形成立的条件】 【例2】（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）下列分式与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，正确利用分式的基本性质求出是解题关键．根据分式的性质，可化简变形． 【详解】解：A. ，故此选项不符合题意； B. ，故此选项不符合题意； C. ，故此选项不符合题意； D. ，故此选项符合题意； 故选：D． 1．（23-24八年级下·河南南阳·期中）当时，代表的代数式是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的性质，分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 2．（2023七年级下·浙江·专题练习）已知，则分式的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】先根据等式的性质，等式两边同除以，可得，再把等式两边平方可得，然后把原式分子分母同时除以，整体代入即可得出结果． 【详解】解：∵且， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 故选：A． 【点睛】此题考查了等式的性质，分式的性质，完全平方公式，整体代入思想方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）当取何值时，等式成立？ 【答案】1 【分析】此题考查了分式的性质，根据分式的性质得到，且，进而求解即可． 【详解】解：因为， 所以，且， 所以， 所以当时，等式成立． 【经典例题三 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 【例3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如果使分式有意义的a和b的值都扩大为原来的2倍，则分式的值扩大为原来的4倍，那么整式A可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：若整式A是，将原分式中a和b的值都扩大为原来的2倍可得，分式的值不变，则A不符合题意； 若整式A是，将原分式中a和b的值都扩大为原来的2倍可得，分式的值不变，则B不符合题意； 若整式A是将原分式中a和b的值都扩大为原来的2倍可得，分式的值扩大为原来的2倍，则C不符合题意； 若整式A是，将原分式中a和b的值都扩大为原来的2倍可得，分式的值扩大为原来的4倍，则D符合题意； 故选：D． 1．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不改变 【答案】D 【分析】本题考查了分式的性质，解题的关键是掌握分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变．根据分式的性质进行判断即可． 【详解】解：将分式中的x，y都扩大10倍，得 ∴分式中的x，y都扩大10倍，则这个分式的值不变， 故选：D． 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）运用分式的知识，解决以下问题： （1）当时，随着的增大，的值 （填“增大”或“减小”）； （2）当时，若无限增大，则的值无限接近一个数，这个数为 ． 【答案】 减小 3 【分析】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题关键． （1）根据分式的性质作答即可； （2）将化为，再根据分式的性质求解即可． 【详解】解：（1）当时，随着的增大，的值减小， 故答案为：减小； （2）， 当时，若无限增大，的值无限接近于0， 则的值无限接近于3， 故答案为：3． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）在括号中填上恰当的式子： （1）；     （2）； （3）；     （4）（且）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解； （2）利用分式的基本性质解答，即可求解； （3）利用分式的基本性质解答，即可求解； （4）利用分式的基本性质解答，即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为：    （2）； 故答案为： （3）； 故答案为：     （4）． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【经典例题四 将分式的分子分母的最高次项化为正数】 【例4】（23-24八年级上·山东·课后作业）不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】让分子，分母同时改变符号即可让分子和分母中x的最高次项的系数都是正数． 【详解】分子的最高次项为﹣3x2，分母的最高次项为﹣5x3，系数均为负数，所以应同时改变分子，分母的符号可得原式==． 故选D． 【点睛】用到的知识点为：分子，分母，分式本身的符号，改变其中的2个，分式的大小不变；分子，分母的最高次项的系数均为负数，应同时改变分子，分母的符号． 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号． ①= ；   ②= ； ③= ；④= ． 【答案】 【详解】①= ; ②=; ③= ④=.故答案为  (1).     (2).     (3).     (4). 2．（2025七年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． （1）将分式的分子分母同乘以即可得； （2）将分式的分子分母同乘以即可得． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 【答案】（1）；（2）；（3）①，② 【分析】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变；分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变． （1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案； （2）根据分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变，可得答案； （3）根据解分式方程，可得答案；根据解不等式，可得答案． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）①∵， ∴由得， 解得：； ②，得， 解得：． 【经典例题五 将分式的分子分母各项系数化为整数】 【例5】（23-24七年级下·浙江湖州·期末）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 1．（23-24八年级上·山东泰安·期中）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变，即可求出答案． 【详解】解：原式＝． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是分式的基本性质，熟记性质内容是解此题的关键． 2．（23-24八年级上·湖北·阶段练习）将分式的分子、分母各项系数化为整数，其结果为 ． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，分子分母都乘以最小公倍数6，分式的值不变，并且其分子、分母各项系数化为整数． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘 (或除以) 一个不等于0的整式，分式的值不变； （1）分子分母都乘以60即可； （2）分子分母同时乘以12即可； 【详解】（1）根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘60， 得． （2）解：根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘12， 得． 【经典例题六 最简分式】 【例6】（23-24八年级上·河北承德·期中）若表示的是一个最简分式，则☆可以是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义，即可求解．最简分式定义，分子与分母没有公因式的分式，叫最简分式． 【详解】解：A、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； B、当☆为x时，，是最简分式，故该选项符合题意； C、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； D、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； 故选：B． 1．（23-24八年级下·山西太原·期末）要将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简分式、公因式，解题的关键是掌握最简分式的概念（分子和分母除以外没有其它的公因式的分式叫最简分式）及公因式的概念（各项都含有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式）．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去的公因式为． 故选：D． 2．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）在分式，，，中，最简分式有 个． 【答案】2 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】其中的是整式， ∵， ∴不是最简分式， ∴最简分式有2个； 故答案为：2. 【点睛】此题考查了最简分式的定义，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意 3．（2020七年级上·全国·专题练习）把下列分式化为最简分式． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）分子分母同除以即可得； （2）先分别利用平方差公式和十字相乘法对分子分母进行因式分解，再分子分母同除以即可得； （3）分子分母同除以即可得． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【点睛】本题考查了分式的基本性质、因式分解，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． 【经典例题七 约分】 【例7】（2025·四川泸州·三模）化简：． 【答案】． 【分析】本题考查方式的化简及因式分解，熟练掌握平方差公式及十字相乘法分解因式是解题关键．先把分子展开，再利用平方差公式及十字相乘法分解因式，最后约分即可得答案． 【详解】解： ． 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了约分，正确将原式分解因式找出公因式是解题关键． （1）直接将分子与分母上的公因式约掉得出答案； （2）直接将分子与分母上的公因式约掉得出答案； （3）直接将分子与分母上的公因式约掉得出答案； （4）首先将分式的分子与分母分解因式，进而约分得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了约分，正确将原式分解因式找出公因式是解题关键． （1）直接将分子与分母上的公因式约掉得出答案； （2）直接将分子与分母上的公因式约掉得出答案； （3）首先将分式的分子与分母分解因式，进而约分得出答案； （4）首先将分式的分子与分母分解因式，进而约分得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题： (1)下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)是，见解析 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 【经典例题八 最简公分母】 【例8】（23-24八年级上·湖北恩施·阶段练习）下列三个分式、、的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确实最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母； 【详解】分式 、 、 的分母分别是 、 、 ， 故最简公分母是， 故选：D． 【点睛】本题考查了最简公分母的定义及求法，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母；正确掌握求最简公分母的方法是解题的关键． 1．（23-24八年级上·广西来宾·期中）分式与的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】根据确定最简公分母的步骤找出最简公分母即可． 【详解】解：2、1的最小公倍数为2， 的最高次幂为2，的最高次幂为3， 所以最简公分母为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是关键． 2．（2024·辽宁盘锦·三模）在解分式方程：的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母 ． 【答案】 【分析】本题考查最简公分母的知识，先把分母和因式分解，即可求得分式的最简公分母，熟练解分式方程是解题的关键． 【详解】解：，， 分式和的最简公分母为， 去分母时，需方程两边都乘以最简公分母． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为 ， ， ． 【答案】 【分析】求出分式，，的最简公分母为，即可求解． 【详解】解：分式，，的最简公分母为， ，， 故答案为：；；． 【点睛】本题考查了通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分，通分的关键是确定最简公分母． 【经典例题九 通分】 【例9】（2025七年级下·全国·专题练习）分式的分母经过通分后变成，那么分子应变为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，是基础知识，需熟练掌握． 分式的分母，经过通分后变成，那么分母乘以了，根据分式的基本性质，将分子乘以，计算即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 1．（2023·辽宁朝阳·二模）对于任意的值都有，则值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的加法运算，涉及异分母分式加法运算、通分、多形式相等的条件等知识，由题中给的等式，将右边异分母分式通分后相加，再由等式左右两边分子相等列方程组求解即可得到答案，熟记分式的加法运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ， ，解得， 故答案为：． 2．（23-24七年级上·上海黄浦·期末）如果，那么的值是 ． 【答案】0 【分析】先将分式方程每一部分的分母通分，然后观察方程的左边和右边，使方程两边的分子部分相同即可解决. 【详解】解： 所以， 故答案是：0 【点睛】本题考查了分式通分，将方程两边变为同分母，然后比较分子得出结论是解决本题的关键. 3．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）通分： (1)与； (2)与． 【答案】(1)，； (2)，； 【分析】（1）本题考查分式的通分，根据最简公分母确定分母，再根据分式的性质分子分母同时乘以同一个不为0的式子即可得到答案； （2）本题考查分式的通分，根据最简公分母确定分母，再根据分式的性质分子分母同时乘以同一个不为0的式子即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得，，最简公分母是， ∴， ， ∴答案为：，； （2）解：由题意可得，，的最简公分母是， ∴， ， ∴答案为：，． 【经典例题十 分式基本性质的新定义问题】 【例10】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 【答案】(1)真分式 (2)；或或或； (3) 【分析】本题主要考查了分式的约分： （1）根据当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式化为带分式的方法，即可求解； （2）仿照题意可得，则是整数，据此可得或，解之即可得到答案； （3）把原式先变形为，再仿照题意进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，分式是真分式； （2）解：； ∵的值是整数， ∴是整数， ∴是整数， ∴或， ∴或或或； （3）解： ． 1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③； (2)，； (3)是，理由见解析． 【分析】题考查了分式的化简、因式分解．二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的恒等式，求解即可； （3）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式（m，为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ∴， 解得：； （3）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）“探究比例的性质” 【描述定义】如果两个数与的比等于另外两个数与的比，则称这四个数，，，成比例．记作，或．其中与称为比例的外项，与称为比例的内项． 【活动目的】通过具体数的计算到式的计算，让学生体会两者之间的联系；由特殊到一般得出比例的性质的猜想，再进行有关的验证．培养学生的逻辑思维能力和转化能力： 【理论支撑】等式的性质，分式的运算． 【进程跟踪】在小学，学生已学过比例的基本性质，此性质是在具体的数的基础上得出的．提出问题如何进行证明? （1）已知：．求证：． 【证明】， 等式两边同乘得，． （2）由等比式得出等积式，由等积式能得出等比式吗?你能得出几种式子? 除了外还有 ①反比性质：在比例式中，把比的前项和后项交换后的比例式仍然成立．若，则． ②更比性质：在比例式中，更换两个内项和外项，比例式仍然成立．若，则，． （3）除了上述结论还有哪些结论? ③合比性质：已知：．求证：． 【证明】设，则，， ，， ． 请用上面的证明方法证明下面三个结论： ①分比性质：． ②和分比性质：． ③等比性质：若， 则． 实践应用 已知，则___________． 【答案】（3）见解析；【实践应用】 【分析】根据等式的性质及材料提供的方法即可． 【详解】（3）④设，则，， ，， ． ⑤设，则，， ，，． （6）设， 则，，…，， ， ． 【实践应用】解：， 设， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等式的性质，分式的运算，熟练运用等式的性质是本题的关键． 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)当x取什么整数时，“和谐分式”的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)或或或或或 【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算， （1）根据同分母分式加法将各分式变形，即可判断； （2）根据同分母分式加法将各分式变形； （3）根据（2）所求可得当x为整数时，的值为整数，据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：①，②；③，④， ∴①③④的分式是“和谐分式”， 故答案为：①③④； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵的值为整数， ∴当x为整数时，的值为整数 当或或时，分式的值为整数， ∴或或或或或． 1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）将分式中的和都扩大为原来的倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．缩小到原来的一半 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，即可确定答案． 【详解】解：； 分式的值不变； 故选：A 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）分式中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的化简，平方差公式，熟悉掌握等式的性质是解题的关键． 直接利用分式的性质性质分别化简，再结合最简分式的定义得出答案． 【详解】解：∵，∴不是最简分式； ∵，∴是最简分式； ∵，∴不是最简分式； ∵，∴不是最简分式． ∴最简分式有1个． 故选：Ａ． 3．（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）下列分式变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，则该选项不符合题意； B、，则该选项不符合题意； C、无法约分，则该选项不符合题意； D、，则该选项符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，因式分解，先将分子分母进行因式分解，再约分是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·海南海口·阶段练习）约分： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了约分，约分的关键是找出分式分子分母的公因式． （1）找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可； （2）分子分母分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可． 【详解】解：（1）； （2）； 故答案为：；． 6．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“友好分式”．例如分式是友好分式．若为整数，且关于的分式是“友好分式”，则的值为 ． 【答案】6或 【分析】本题主要考查了分式的约分，因式分解，读懂题意是关键．根据题意对分母分解因式，从而可以求出相对应的a的值． 【详解】解：由题意可得可以分解因式，且a为整数， ∴，或， ∴ 当时，，符合题意； 当时，，可以约分，不符合题意； 当时，，不可以约分，符合题意； 当时，，不可以约分，符合题意； 由以上可得：的值是6或． 故答案为：6或． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）写出公因式： （1）中分子、分母的公因式是 ； （2）中分子、分母的公因式是 ； （3）中分子、分母的公因式是 ． 【答案】 / / / 【分析】本题主要考查了求公因式，掌握公因式的定义是解答本题的关键． 公因式是指：数字的最大公约数，相同字母的最低次幂组成的式子，据此求解即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：． 8．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知三张卡片上面分别写有6，，，若从中任选两张卡片，并将上面的整式分别作为分子、分母，则能组成的最简分式为 ．（写出一个即可） 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题考查分式的基本性质以及最简分式的定义，解题的关键是掌握分式的基本性质以及最简分式的定义．直接利用分式的基本性质以及最简分式的定义形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式分析得出答案． 【详解】解：6为分母时不是分式， 不是分式， 不是最简分式， 和 是最简分式， 故答案为：或． 9．（24-25八年级上·重庆·期中）若，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 已知等式整理得到关系式，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：等式整理得：，即， 则． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】此题考查的是分式的约分，掌握分式的基本性质是解决此题的关键． （1）根据分式的基本性质约分即可； （2）根据分式的基本性质约分即可； （3）先利用平方差公式和提公因式进行因式分解，再根据分式的基本性质约分即可； （4）先根据，对分子进行变形，再根据分式的基本性质约分即可． （5）先利用平方差公式和完全平方差公式进行提公因式分解，再根据分式的基本性质约分即可； 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】本题考查分式的基本性质，因式分解，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据分式的基本性质约分求解即可． （2）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质约分求解即可． （3）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质约分求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 12．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”的是________（填写序号即可）； (2)若a为整数，且为“和谐分式”，请写出a的值________； (3)在下列三个整式中，任意选择2个式子构造分式，分别作为分子分母，要求构造的分式是“和谐分式”，直接写出所有的结果________． ；；． 【答案】(1)② (2)4，， (3)或 【分析】本题考查因式分解，分式约分，“和谐分式”概念，解题的关键在于正确理解“和谐分式”概念． （1）根据“和谐分式”概念，逐个进行分析判断，即可解题； （2）根据“和谐分式”得到可以因式分解，进而得到的取值，再结合“和谐分式”不可约分进行分析，即可解题； （3）先将与因式分解，再结合“和谐分式”概念进行求解，即可解题． 【详解】（1）解：①，分子分母不可因式分解，不是“和谐分式”； ②分母可以因式分解，且这个分式不可约分，是“和谐分式”；③分母可以因式分解，且这个分式可约分，不是“和谐分式”； ④分子与分母可以因式分解，且这个分式可约分，不是“和谐分式”． 综上所述，是“和谐分式”的是②， 故答案为：②． （2）解：a为整数，且为“和谐分式”， 可因式分解， 则可以为： ，但其作为分母时，分式可约分，不是“和谐分式”， ， ， ， 当或或时，分解后，分式不可约分，是“和谐分式”， 故答案为：4，，； （3）解：由题知；； “和谐分式”不可约分， 构造的分式是“和谐分式”的有或， 故答案为：或． 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）我们知道，分式和分数有很多相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，我们把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)请写出分式的基本性质______________________； (2)下列分式中，属于真分式的是___________； A．    B．    C．    D． (3)将假分式化成整式和真分式的和的形式． 【答案】(1)分式的分子和分母都柔以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 (2)C (3) 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，类比分数性质得到分式性质，理解真分式、假分式定义，掌握将假分式化为整式与真分式的和的形式的方法是解决问题的关键． （1）由分数的性质类比即可得到分式的性质； （2）由由真分式定义：把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，逐项分析即可得到答案； （3）由题中所给的方法，类比求解即可得到答案． 【详解】（1）解：类比分数的性质可得：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变， 故答案为：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变； （2）解：由真分式定义：把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式， A、中，分子的次数是2次、分母的次数是1次，是假分式，不符合题意； B、中，分子的次数是1次、分母的次数是1次，是假分式，不符合题意； C、中，分子的次数是0次、分母的次数是1次，是真分式，符合题意； D、中，分子的次数是2次、分母的次数是2次，是假分式，不符合题意； 故选：C； （3）解：． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）小强昨天做了一道分式题：“对下列分式通分：”．他的解答过程如下．请你指出他的错误，并改正． ，…① ．…② 【答案】见解析 【分析】此题考查了通分，解答此题的关键是熟知找公分母的方法：（1）系数取各系数的最小公倍数；（2）凡出现的因式都要取；（3）相同因式的次数取最高次幂． 将两式系数取各系数的最小公倍数，相同因式的次数取最高次幂，找出最简公分母，再通分即可． 【详解】解：错误：①的最后结果不能进行去分母，②的通分过程中符号出现问题，并且不能进行去分母． 改正：， 15．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)应用：已知方程组有正整数解，求整数的值． 【答案】(1)①③④ (2) (3)或 【分析】（）根据“和谐分式”的定义判断即可； （）根据题例解答即可； （）解方程组，并把解表示成“和谐分式”，再根据方程组有正整数解解答即可； 本题考查了分式的运算，解二元一次方程组，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①，故是和谐分式； ②，故不是和谐分式； ③，故是和谐分式； ④，故是和谐分式； 故答案为：①③④； （2）解：， 故答案为：； （3）解：解方程组，得， ∵方程组有正整数解， ∴且能被整除， 解得或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 分式的基本性质重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 判断分式变形是否正确 题型二 求使分式变形成立的条件 题型三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型四 将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型五 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型六 最简分式 题型七 约分 题型八 最简公分母 题型九 通分 题型十 分式基本性质的新定义问题 知识点一、分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：或，其中A，B，C是整式且B•C≠0. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 知识点二、分式的约分 分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 【补充说明】约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 知识点三、分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．在确定几个分式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数. 确定最简公分母的方法： 1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 【经典例题一 判断分式变形是否正确】 【例1】（24-25八年级上·福建福州·期末）下列式子从左到右的变形，正确的是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·北京西城·期末）下列各式从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2、（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）下列分式的变形中：①（c≠0）②＝，③     ④，错误的是 ．（填序号） 3．（2024七年级上·上海·专题练习）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式， 解：，可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）或（2） 解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． (1)一元二次不等式的解集为______． (2)求分式不等式的解集． 【经典例题二 求使分式变形成立的条件】 【例2】（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）下列分式与相等的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·河南南阳·期中）当时，代表的代数式是(    ) A． B． C． D． 2．（2023七年级下·浙江·专题练习）已知，则分式的值为（    ） A． B． C． D．1 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）当取何值时，等式成立？ 【经典例题三 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 【例3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如果使分式有意义的a和b的值都扩大为原来的2倍，则分式的值扩大为原来的4倍，那么整式A可以是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不改变 2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）运用分式的知识，解决以下问题： （1）当时，随着的增大，的值 （填“增大”或“减小”）； （2）当时，若无限增大，则的值无限接近一个数，这个数为 ． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）在括号中填上恰当的式子： （1）；     （2）； （3）；     （4）（且）． 【经典例题四 将分式的分子分母的最高次项化为正数】 【例4】（23-24八年级上·山东·课后作业）不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号． ①= ；   ②= ； ③= ；④= ． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 【经典例题五 将分式的分子分母各项系数化为整数】 【例5】（23-24七年级下·浙江湖州·期末）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·山东泰安·期中）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖北·阶段练习）将分式的分子、分母各项系数化为整数，其结果为 ． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【经典例题六 最简分式】 【例6】（23-24八年级上·河北承德·期中）若表示的是一个最简分式，则☆可以是（） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·山西太原·期末）要将化成最简分式，应将分式的分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）在分式，，，中，最简分式有 个． 3．（2020七年级上·全国·专题练习）把下列分式化为最简分式． （1）； （2）； （3）． 【经典例题七 约分】 【例7】（2025·四川泸州·三模）化简：． 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题： (1)下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【经典例题八 最简公分母】 【例8】（23-24八年级上·湖北恩施·阶段练习）下列三个分式、、的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·广西来宾·期中）分式与的最简公分母是 ． 2．（2024·辽宁盘锦·三模）在解分式方程：的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母 ． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为 ， ， ． 【经典例题九 通分】 【例9】（2025七年级下·全国·专题练习）分式的分母经过通分后变成，那么分子应变为 ． 1．（2023·辽宁朝阳·二模）对于任意的值都有，则值为 ． 2．（23-24七年级上·上海黄浦·期末）如果，那么的值是 ． 3．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）通分： (1)与； (2)与． 【经典例题十 分式基本性质的新定义问题】 【例10】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）“探究比例的性质” 【描述定义】如果两个数与的比等于另外两个数与的比，则称这四个数，，，成比例．记作，或．其中与称为比例的外项，与称为比例的内项． 【活动目的】通过具体数的计算到式的计算，让学生体会两者之间的联系；由特殊到一般得出比例的性质的猜想，再进行有关的验证．培养学生的逻辑思维能力和转化能力： 【理论支撑】等式的性质，分式的运算． 【进程跟踪】在小学，学生已学过比例的基本性质，此性质是在具体的数的基础上得出的．提出问题如何进行证明? （1）已知：．求证：． 【证明】， 等式两边同乘得，． （2）由等比式得出等积式，由等积式能得出等比式吗?你能得出几种式子? 除了外还有 ①反比性质：在比例式中，把比的前项和后项交换后的比例式仍然成立．若，则． ②更比性质：在比例式中，更换两个内项和外项，比例式仍然成立．若，则，． （3）除了上述结论还有哪些结论? ③合比性质：已知：．求证：． 【证明】设，则，， ，， ． 请用上面的证明方法证明下面三个结论： ①分比性质：． ②和分比性质：． ③等比性质：若， 则． 实践应用 已知，则___________． 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)当x取什么整数时，“和谐分式”的值为整数． 1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）将分式中的和都扩大为原来的倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．缩小到原来的一半 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）分式中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）下列分式变形正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）化简： ． 5．（24-25八年级下·海南海口·阶段练习）约分： （1） ； （2） ． 6．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“友好分式”．例如分式是友好分式．若为整数，且关于的分式是“友好分式”，则的值为 ． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）写出公因式： （1）中分子、分母的公因式是 ； （2）中分子、分母的公因式是 ； （3）中分子、分母的公因式是 ． 8．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知三张卡片上面分别写有6，，，若从中任选两张卡片，并将上面的整式分别作为分子、分母，则能组成的最简分式为 ．（写出一个即可） 9．（24-25八年级上·重庆·期中）若，则分式的值为 ． 10．（24-25八年级下·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)． 12．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”的是________（填写序号即可）； (2)若a为整数，且为“和谐分式”，请写出a的值________； (3)在下列三个整式中，任意选择2个式子构造分式，分别作为分子分母，要求构造的分式是“和谐分式”，直接写出所有的结果________． ；；． 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）我们知道，分式和分数有很多相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，我们把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)请写出分式的基本性质______________________； (2)下列分式中，属于真分式的是___________； A．    B．    C．    D． (3)将假分式化成整式和真分式的和的形式． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）小强昨天做了一道分式题：“对下列分式通分：”．他的解答过程如下．请你指出他的错误，并改正． ，…① ．…② 15．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)应用：已知方程组有正整数解，求整数的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$