专题02 一元一次不等式组重难点题型专训（12大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题02 一元一次不等式组重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 一元一次不等式组的定义 题型二 求不等式组的解集 题型三 解特殊不等式组 题型四 求一元一次不等式组的整数解 题型五 由一元一次不等式组的解集求参数 题型六 由不等式组解集的情况求参数 题型七 不等式组与方程组相结合问题 题型八 列一元一次不等式组 题型九 一元一次不等式组的应用之利润问题 题型十 一元一次不等式组的应用之函数问题 题型十一 一元一次不等式组的应用之几何问题 题型十二 一元一次不等式组的新定义问题 知识点1: 一元一次不等式组定义 由几个含有同一个 未知数的 一元一次不等式 组成的不等式组 知识点2: 一元一次不等式组的解集 几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集． 当任何未知数都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解． 一元一次不等式组的解法及解集表示 不等式组（a＞b) 解集 在数轴上表示 口诀 x＞a 同大取大 x＜b 同小取小 b＜x＜a 大小、小大中间找 无解 大大、小小取不小 知识点3:一元一次不等式组的解法 1．分别求出不等式组中各个不等式的解集； 2．利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集 知识点4: 一元一次不等式(组）之含参问题 【经典例题一 一元一次不等式组的定义】 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）现有下列不等式组：①，②，③，④，⑤，其中是一元一次不等式组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式组中，一元一次不等式组的个数是（   ） ①，②，③④，⑤ A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 【经典例题二 求不等式组的解集】 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组，并将解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 1．（24-25七年级下·全国·周测）解下列不等式组，并将解集在数轴上表示出来． (1) (2) 2．（2025七年级下·全国·专题练习）解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并求出该不等式组所有整数解的和． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组 (1)当时，这个不等式组的解集为_______； (2)若这个不等式组恰有两个整数解，求实数a的取值范围． 【经典例题三 解特殊不等式组】 【例3】（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）设，是正整数，且满足，，则 ． 1．（24-25七年级下·北京大兴·期末）我们定义，例如．若，是整数，且满足，则的最小值是 ． 2．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）已知关于x，y的方程组的解满足不等式组．求：满足条件的m的整数值． 3．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式， 解：因为，所以原不等式可化为 由有理数乘法法则“两数相乘，异号得负”，得：①，或②，解不等式组①得，解不等式组②无解，所以原不等式的解集为． (1)用例题的方法解不等式的解集为 　　； (2)解不等式． 【经典例题四 求一元一次不等式组的整数解】 【例4】（23-24七年级下·安徽六安·期中）不等式组的所有整数解的和为7，则整数的值有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 1．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）若关于的不等式组有且仅有2个偶数解，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，则关于的不等式组的整数解有 个． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知为整数，关于，的方程组的解满足不等式组． (1)解关于，的方程组，并用的代数式表示出来； (2)求整数的值． 【经典例题五 由一元一次不等式组的解集求参数】 【例5】（24-25七年级下·全国·期末）已知不等式组的解集是，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·四川眉山·期末）关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（23-24七年级下·重庆·期末）若为正整数，关于，的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式的解集是，则满足条件的与的和为 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知不等式． (1)求不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来； (2)求不等式的所有负整数解； (3)若不等式的解集与不等式的解集相同，求a的值； (4)若不等式的最小整数解也是关于不等式的解，求m的取值范围． 【经典例题六 由不等式组解集的情况求参数】 【例6】（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于的不等式组的解集为，求的值． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）对于两个关于x的不等式，若有且仅有一个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“互联”的．例如，不等式和不等式是“互联”的． (1)请判断不等式和是否是“互联”的，并说明理由； (2)若和是“互联”的，求a的最大值． 2．（24-25七年级下·全国·周测）（1）如果关于x的方程的解是不等式组的一个解，求m的取值范围； （2）若关于的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数a的取值范围． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）已知关于的不等式组恰好只有4个整数解． (1)若，求的取值范围； (2)若，则的取值范围为___________． 【经典例题七 不等式组与方程组相结合问题】 【例7】（23-24七年级下·吉林长春·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式，求正整数k的值． 1．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知x，y满足关系式． (1)若x，y满足，求y的取值范围； (2)若x，y满足，且，求a的取值范围． 2．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知关于x、y的方程组． (1)若此方程组的解满足，求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，若关于的不等式的解集为，求满足条件的a的整数值． 3．（23-24七年级下·四川内江·期中）已知关于的方程组的解均为非负数， (1)用的代数式表示方程组的解； (2)求的取值范围； (3)化简：． 【经典例题八 列一元一次不等式组】 【例8】（24-25七年级下·全国·课后作业）应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 1．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动，现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表，设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写x的取值范围）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有哪几种租车方案？ 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）某市为鼓励居民节约用水，对每户用水按如下标准收费：若每户每月用水不超过立方米，则每立方米按元收费；若每户每月用水超过立方米，则超过的部分每立方米按元收费．某用户月份用水立方米，缴纳水费元． (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)此用户要想每月水费不超过元，那么每月的用水量不超过多少立方米？ 3．（24-25七年级下·山西晋城·期末）阅读下面材料，完成任务． 我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解． 例：由得（为正整数），   ∴    则有   又为正整数， ∴为正整数． 由2与3互质可知，为3的倍数，从而， ∴， ∴的正整数解为 任务： (1)请你写出方程的正整数解____________； (2)若为自然数，则满足条件的有______ 个； (3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本3元的笔记本与单价为每支5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？ 【经典例题九 一元一次不等式组的应用之利润问题】 【例9】（24-25八年级上·重庆·开学考试）凯瑞商都某数码专营店销售甲、乙两种品牌智能手机，这两种手机的进价和售价如表所示： 甲 乙 进价（元/部） 4300 3600 售价（元/部） 4800 4200 (1)该店销售记录显示，三月份销售甲、乙两种手机共17部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2倍，求该店三月份售出甲种手机和乙种手机各多少部？ (2)根据市场调研，该店四月份计划购进这两种手机共20部，要求购进乙种手机数不超过甲种手机数的而用于购买这两种手机的资金低于81500元，清通过计算设计所有可能的进货方案． 1、（23-24七年级下·全国·单元测试）“食博会”期间，某零食店计划购进两种网红零食共包，其中种零食的进价为每包元，种零食的进价为每包元．已知在出售时，包种零食和包种零食的价格一共为元，包种零食和包种零食的价格一共为元． (1)两种零食每包的售价分别是多少元？ (2)该零食店为了限制进货投入，计划种零食的进货不超过包，且销售完后总利润不低于元，则进货方案有多少种？哪种进货方案可获最大利润？ 2．（23-24七年级下·云南大理·期末）某商店计划采购甲乙两种不同型号的平板电脑20台，已知每台甲型号平板电脑的进价是1000元，售价是1500元；每台乙型号平板电脑的进价是1500元，售价是2100元． (1)若该商店购进这20台平板电脑恰好用去23000元，求购进甲乙两种型号的平板电脑各多少台？ (2)若要使该商店全部售出甲乙两种型号的平板电脑20台后，所获的利润不低于11200元，乙种型号的平板电脑数量不多于甲种型号的平板电脑数量的3倍，则采购甲乙两种不同型号的平板电脑有多少种方案？ 3．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）某商店出售普通练习本和精装练习本，3本普通练习本和2本精装练习本销售总额为29元；4本普通练习本和1本精装练习本销售总额为22元． (1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？ (2)该商店计划再次购进50本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本m个，获得的利润为w元； ①求w关于m的函数关系式； ②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【经典例题十 一元一次不等式组的应用之函数问题】 【例10】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）为落实“五育并举”，我市某学校积极开展“阳光体育运动”．引导学生走向操场、积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体育运动”的开展，学校计划购进，两种品牌的足球共50个，其中品牌足球的价格为100元/个，购买品牌足球所需费用（单位：元）与购买数量（单位：个）之间的关系如图所示． (1)购买数量个时，品牌足球的价格_____元/个； (2)求出当时，与的函数表达式： (3)若购买种品牌足球的数量不超过30个，但不少于种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总费用（单位：元）最低，并求出最低费用． 1．（2024·云南德宏·一模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）； (2)要使租车总费用不超过10200元，怎样租车最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）甲、乙两车从地出发，沿同一路线驶向地．甲车先出发匀速驶向地，后乙出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达地，甲乙两车距地的路程与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示． (1)的值是 ，甲的速度是 ． (2)求线段所表示的与的函数关系式； (3)若甲乙两车距离不超过时，车载通话机可以进行通话，则两车在行驶过程中可以通话的总时长为多少小时？ 3．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，每套A户型的建房成本25万元，售价30万元，每套B户型的建房成本28万元，售价34万元． (1)若该公司打算建A型房x套，所建房出售后获得的总利润为W万元，请写出W关于x的函数解析式： ．（写化简后的结果） (2)该公司共有哪几种建房方案？哪种方案获得利润最大？（写出过程） (3)根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A型住房的售价将会提高a万元（a＞0），且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大？（注：利润＝售价一成本） 【经典例题十一 一元一次不等式组的应用之几何问题】 【例11】（24-25七年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，对于任意图形及直线，，给出如下定义：将图形先沿直线翻折得到图形，再将图形沿直线翻折得到图形，则称图形是图形的，伴随图形． 例如：点的轴，轴伴随图形是点． (1)点的轴，轴伴随图形点的坐标为______； (2)已知，，，直线经过点． ①当，且直线与轴平行时，点的轴，伴随图形点的坐标为______； ②当直线经过原点时，若的轴，伴随图形上只存在两个与轴的距离为的点，直接写出的取值范围． 1（24-25八年级上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，过点作直线轴，图形W关于直线l的对称图形为，图形上任一点到x轴，y轴的距离的最大值是d，称d是图形W关于直线l的m倍镜像“接收距离”． 已知点，． (1)①线段关于直线l的1倍镜像“接收距离”是______； ②线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”是2，m的取值范围是______； (2)点，关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值是______． (3)点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”小于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”，求m的取值范围（直接写出结果即可）． 2．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）用长为的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度，要使靠墙的一边长不小于，那么与墙垂直的一边长的取值范围为 3．（24-25九年级上·北京西城·开学考试）在平面直角坐标系中，点和图形的中间点的定义如下：是图形上一点，若为线段的中点，则称为点和图形的中间点．，，，． （1）点， ①点和原点的中间点的坐标为________； ②求点和线段的中间点的横坐标的取值范围； （2）点为直线上一点，在四边形的边上存在点和四边形的中间点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【经典例题十二 一元一次不等式组的新定义问题】 【例12】（2024·宁夏银川·一模）对于实数，定义一种运算“”为：，则不等式组的解集为 ． 1．（23-24七年级下·江西宜春·期末）对于实数x，y定义一种新运算“”：（其中m，n均为非零常数），这里等式的右边是通常的四则运算．例如：．已知，． (1)求m，n的值． (2)若关于a的不等式组恰好有2个整数解，求实数b的取值范围． 2．（23-24七年级下·河北保定·期末）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组 的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组 的“关联方程”． (1)在方程①；②；③ 中，关于的不等式组 的“关联方程”是 ；(填序号) (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； 3．（2025七年级下·全国·专题练习）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组的“友好方程”． (1)下列方程是不等式组的“友好方程”的是______（填序号）． ①；②；③． (2)若关于的方程是不等式组的“友好方程”，求的取值范围． (3)若方程都是关于的不等式组的“友好方程”，其中，求的取值范围． 1．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）已知实数满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）某单位对某村庄提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户只；若每户发放母羊只，则多出只母羊；若每户发放母羊只，则有一户可分得母羊但不足只．这批种羊共（   ） A．只 B．只 C．只 D．只 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）关于的方程的解是非负整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．8 B．12 C．15 D．18 5．（24-25八年级下·重庆·开学考试）若整数使得关于的方程的解为非负数，且使得关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数的和为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2025七年级下·全国·专题练习）若不等式组恰好有4个整数解，则a的取值范围是 ． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是 ，小朋友的人数是 ． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面积分别为． （1）若，则m的取值范围为 ； （2）满足不等式组的整数n有且只有4个，则 ． 9．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，动点P的坐标为．若动点P在的内部（不包括边上），则a的取值范围为 ． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式组 （1）当时，不等式组的解集为 ； （2）当的解集为时，a的取值范围为 ． 11．（24-25七年级下·全国·期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）关于的不等式组有且只有三个整数解，求的最大值． 13．（24-25八年级上·山西朔州·期末）向阳实践小组成员每人分发一根塑料管，塑料管的长度相同，通过裁剪拼接的方式制作三角形．三位成员制作的三角形三条边的数据（单位：cm）如下． 第一条边 第二条边 第三条边 莉莉 4 4 4 牛牛 a _____ 晨晨 4 m n (1)莉莉制作的三角形每个内角的度数为_________； (2)试判断牛牛制作的三角形a的值能否为3，并说明理由； (3)晨晨制作的三角形中各边均为整数，请直接写出所有符合条件的m的值． 14．（24-25八年级上·安徽池州·期末）元旦前夕，某礼品超市要到批发市场采购A，B两种礼品共300件，已知A礼品的件数不少于B礼品的件数，采购总费用不超过4320元，两种礼品的批发价和零售价如下表．设该超市采购x件A礼品． 品名 批发价：元/件 零售价：元/件 A礼品 15 25 B礼品 12 20 (1)求该超市采购总费用y（单位；元）与x（单位；件）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)若该超市将这300件礼品全部以零售价售出，请运用你所学习的一次函数性质求出超市能获得的最大利润； (3)鉴于本次销售市场反馈良好，超市决定春节前再次采购相同数量礼品，受市场行情等因素影响，再次采购时，A礼品的批发价每件上涨了元，同时B礼品批发价每件下降了m元．该超市决定不调整礼品的零售价，通过测算将所有礼品全部卖出获得的最低利润是2040元，求m的值． 15．（24-25七年级下·全国·期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值； (3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元一次不等式组重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 一元一次不等式组的定义 题型二 求不等式组的解集 题型三 解特殊不等式组 题型四 求一元一次不等式组的整数解 题型五 由一元一次不等式组的解集求参数 题型六 由不等式组解集的情况求参数 题型七 不等式组与方程组相结合问题 题型八 列一元一次不等式组 题型九 一元一次不等式组的应用之利润问题 题型十 一元一次不等式组的应用之函数问题 题型十一 一元一次不等式组的应用之几何问题 题型十二 一元一次不等式组的新定义问题 知识点1: 一元一次不等式组定义 由几个含有同一个 未知数的 一元一次不等式 组成的不等式组 知识点2: 一元一次不等式组的解集 几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集． 当任何未知数都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解． 一元一次不等式组的解法及解集表示 不等式组（a＞b) 解集 在数轴上表示 口诀 x＞a 同大取大 x＜b 同小取小 b＜x＜a 大小、小大中间找 无解 大大、小小取不小 知识点3:一元一次不等式组的解法 1．分别求出不等式组中各个不等式的解集； 2．利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集 知识点4: 一元一次不等式(组）之含参问题 【经典例题一 一元一次不等式组的定义】 【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）现有下列不等式组：①，②，③，④，⑤，其中是一元一次不等式组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断即可．本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式组中，一元一次不等式组的个数是（   ） ①，②，③④，⑤ A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的定义，熟练掌握定义并灵活运用是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次，对各选项判断后再计算个数即可． 【详解】解：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组； ③含有一个未知数，但未知数的最高次数是2，⑤含有两个未知数，所以②⑤都不是一元一次不等式组． 故有①②④三个一元一次不等式组． 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，主要考查学生的理解能力和判断能力．一元一次不等式组中只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：① 该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ②该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组；    ③该不等式组是一元一次不等式组； ④该不等式组是一元一次不等式组； ⑤该不等式组是一元一次不等式组； ⑥该不等式组中第2个不等式左边不是整式，不是一元一次不等式组； 则是一元一次不等式组的是③④⑤， 故选答案为：③④⑤． 【经典例题二 求不等式组的解集】 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组，并将解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集． （1）分别求出每个不等式的解集，把解集在数轴上表示出来即可，再取解集的公共部分即可得到不等式组的解集； （2）分别求出每个不等式的解集，把解集在数轴上表示出来即可，再取解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】（1）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集在数轴上表示如图所示， 所以不等式组的解集为； （2）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集在数轴上表示如图所示， 所以不等式组的解集为． 1．（24-25七年级下·全国·周测）解下列不等式组，并将解集在数轴上表示出来． (1) (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、再数轴上表示解集等知识点，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分为不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示即可； （2）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分为不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示即可； 【详解】（1）解：（1）解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为． 解集在数轴上表示如下： （2）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为． 解集在数轴上表示如下： 2．（2025七年级下·全国·专题练习）解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并求出该不等式组所有整数解的和． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解的和为3，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，将不等式组的解集在数轴上表示出来，求不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，在数轴上表示出来后，求出整数解再求和即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以该不等式组的解集为． 解集表示在数轴上如图： 故所有整数解的和为． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组 (1)当时，这个不等式组的解集为_______； (2)若这个不等式组恰有两个整数解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）将代入不等式组，求出结果即可 （2）先解不等式组求得，根据不等式组恰有两个整数解知不等式组的整数解为、0，据此得，解之即可． 【详解】（1）解：当时，不等式组为， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 这个不等式组的解集为； （2）解：解不等式，得：， 解不等式得：， 则不等式组的解集为， ∵不等式组恰有两个整数解， ∴不等式组的整数解为、0， 则， 解得． 【经典例题三 解特殊不等式组】 【例3】（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）设，是正整数，且满足，，则 ． 【答案】 【分析】本题可先根据两个不等式解出，的取值范围，根据，是正整数得出，的可能取值，然后将，的值代入中计算即可． 【详解】解：∵，，是正整数， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ，， ∴， ∵，是正整数， ∴或， ①当时，由，得：，这样的正整数不存在， ②当时，由，得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了不等式的解法，根据，的取值范围，得出，的整数解，然后代入计算．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 1．（24-25七年级下·北京大兴·期末）我们定义，例如．若，是整数，且满足，则的最小值是 ． 【答案】-5 【分析】首先把所求的式子转化成一般的不等式的形式，然后根据x，y是整数即可确定x，y的值，从而求解． 【详解】解：根据题意得：1＜6-xy＜3， 则3＜xy＜5， 又∵x、y均为整数， ∴x=1，y=4；此时，x+y=5； x=2，y=2；此时，x+y=4； x=-1，y=-4；此时，x+y=-5； x=-2，y=-2；此时，x+y=-4； 故x+y的最小值是-5， 故答案为-5． 【点睛】本题考查了不等式的整数解，正确确定x，y的值是关键． 2．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）已知关于x，y的方程组的解满足不等式组．求：满足条件的m的整数值． 【答案】1和2 【分析】方法一：得，，得，，根据不等式组即可求出；方法二：求解二元一次方程组，把方程组的解代入得到关于m的不等式组，即可求解． 【详解】方法一： 解：， 得，， ∵， ∴， 解得：， 得，， ∵， ∴， 解得：， ∴，则满足条件的m的整数值为1和2； 方法二： ， 解得：， 把代入得：， 解得： ∴满足条件的m的整数值为1和2． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤，以及解一元一次不等式组的方法和写出不等式组解集的方法． 3．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式， 解：因为，所以原不等式可化为 由有理数乘法法则“两数相乘，异号得负”，得：①，或②，解不等式组①得，解不等式组②无解，所以原不等式的解集为． (1)用例题的方法解不等式的解集为 　　； (2)解不等式． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）仿照例题的思路，即可解答； （2）由有理数除法法则“两数相除，异号得负”，得：①或②，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）因为， 所以原不等式可化为， 由有理数乘法法则“两数相乘，同号得正”，得： ①或， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 所以原不等式的解集为或， 故答案为：或； （2）由有理数除法法则“两数相除，异号得负”，得： ①或②， 解不等式组①得无解， 解不等式组②得， 所以原不等式的解集为 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，理解例题的思路是解题的关键 【经典例题四 求一元一次不等式组的整数解】 【例4】（23-24七年级下·安徽六安·期中）不等式组的所有整数解的和为7，则整数的值有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】本题考查不等式组的解法．根据题意，先解出不等式组，再根据其整数解的和为7进行解答即可，具体见详解． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 所有整数解的和为7 整数解为4，3或4，3，2，1，0， 或 或 则整数的值为，共6个． 故选：C． 1．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）若关于的不等式组有且仅有2个偶数解，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解一元一次方程，理解一元一次不等式组的解集以及方程的根的定义是正确解答的前提，确定的取值范围是得出正确答案的关键． 根据不等式组的解集以及偶数解的个数，确定的取值范围，再根据一元一次方程的根进一步确定的取值范围，再求出符合条件的整数的和即可． 【详解】解：， 由，解得， 由，解得， ， 根据解集有且仅有2个偶数解， ∴这两个偶数解为2和4， ， ， 又关于的方程的解为， 根据解为非负整数， ， 解得：， 综上可得： ∴整数的值为， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 符合条件的所有整数的和为， 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，则关于的不等式组的整数解有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，先解二元一次方程组，根据解是正整数列出一元一次不等式组，解关于m的不等式，进而根据是正整数的条件求得的范围，解一元一次不等式组，根据不等式组的解集可得出整数解． 【详解】解：解方程组，得． 二元一次方程组解是正整数， ， 解得 或6， 当时，， 当时，不符合题意，舍去； ． 由不等式组得 ， 关于的不等式组有5和6一共2个整数解． 故答案为：2． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知为整数，关于，的方程组的解满足不等式组． (1)解关于，的方程组，并用的代数式表示出来； (2)求整数的值． 【答案】(1)方程组的解为 (2)的整数值为 【分析】本题考查解一元一次不等式组，二元一次方程组等知识，解题的关键是理解题意，用转化的思想思考问题． （1）利用加减消元法解关于，的方程组即可； （2）将（1）中关于，的方程组的解代入不等式组，得到关于的不等式组，解得的取值范围，再求出的整数值即可． 【详解】（1）解：， ，得：， 解得：， 把代入①，得：， ∴方程组的解为； （2）解：将代入不等式组， 得：，即， 解不等式得：； 解不等式得：； 则不等式组的解集为：， ∴的整数值为． 【经典例题五 由一元一次不等式组的解集求参数】 【例5】（24-25七年级下·全国·期末）已知不等式组的解集是，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查解一元一次方程，解一元一次不等式组．解题关键在于掌握其方法步骤． 解不等式组，根据其解集得出关于a、b的方程，解之求得a、b的值，再还原方程，解方程即可． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得． ∵不等式组的解集是， ∴． ∴，． ∴． ∴方程为． 解得． 故选：D． 1．（24-25七年级上·四川眉山·期末）关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了不等式组的解集，先求解不等式组的解集，再根据不等式组的解集结合题意，可得答案．利用不等式的解集不在的范围中得出或是解题关键． 【详解】解：由， 由①得； 由②得； 解得． 关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中， 得或， 解得或， 故选：B． 2．（23-24七年级下·重庆·期末）若为正整数，关于，的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式的解集是，则满足条件的与的和为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组等知识．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组是解题的关键． 加减消元法解二元一次方程组得，由方程组的解为整数可求，解一元一次不等式组可求，然后求和即可． 【详解】解：， 得，， 解得，， 将代入②可得，， ∴， ∵关于，的二元一次方程组的解为整数， ∴， ， 解得，； 解得，； ∵关于的不等式的解集是， ∴当时，，（舍去）， 当时，，，符合题意， ∴， 故答案为：5． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知不等式． (1)求不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来； (2)求不等式的所有负整数解； (3)若不等式的解集与不等式的解集相同，求a的值； (4)若不等式的最小整数解也是关于不等式的解，求m的取值范围． 【答案】(1)，数轴见解析 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式以及一元一次不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键． （1）解不等式将解集在数轴上表示出来即可； （2）根据解集写出所有负整数即可； （3）解不等式，得，由题意，得，即可得到答案； （4）解不等式，得，根据题意得到，即可得到答案； 【详解】（1）解：解不等式，得，解集在数轴上如图所示； （2）解：不等式的所有负整数解为； （3）解：解不等式，得， 由题意，得， 解得； （4）解：解不等式，得， 不等式的最小整数解为， 解不等式， 得， 根据题意，得， 解得． 【经典例题六 由不等式组解集的情况求参数】 【例6】（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于的不等式组的解集为，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式组、解二元一次方程组、代数式求值等知识点，根据解集得到关于a、b的方程组是解题的关键． 先解不等式组并结合可得，然后得到关于a、b的方程组求解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得． 该不等式组的解集为， 该不等式组的解集为， ，解得：， ． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）对于两个关于x的不等式，若有且仅有一个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“互联”的．例如，不等式和不等式是“互联”的． (1)请判断不等式和是否是“互联”的，并说明理由； (2)若和是“互联”的，求a的最大值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)最大值为4 【分析】本题考查了解不等式组问题，解题的关键是理解“互联”不等式的概念； （1）利用“互联”不等式的定义进行判断即可； （2）解得，根据和是“互联”的得出进行计算即可． 【详解】（1）是．理由如下： ． ． ∵有且仅有时，这两个不等式同时成立， ∴不等式和是“互联”的． （2）， ． 和是“互联”的， ，且， ，且， 的最大值为4． 2．（24-25七年级下·全国·周测）（1）如果关于x的方程的解是不等式组的一个解，求m的取值范围； （2）若关于的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、解二元一次方程组、解不等式组等知识点，掌握相关计算方法是解题的关键． （1）先分别求出方程和不等式组的解集，然后得到关于m的不等式组求解即可； （2）先分别求出方程组、不等式组的解集，然后根据题意得到关于a的不等式组求解即可． 【详解】（1）解：解关于x的方程得：， 解不等式组得：， 所以，解得：． （2）解：解关于的方程组得：， 解不等式组得：， 所以，解得：． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）已知关于的不等式组恰好只有4个整数解． (1)若，求的取值范围； (2)若，则的取值范围为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数： （1）先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据只有4个整数解列出不等式组求解即可； （2）先求出不等式组的解集为 ，再根据只有4个整数解得到，解得，则，再讨论的范围并建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解；当时，原不等式组为， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组恰好只有4个整数解， ∴， ∴； （2）解：当时，原不等式组为 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组恰好只有4个整数解 ∴不等式组的解集为 ， ， 解得， 当，即时， 必须满足， 解得； 当，即时， 必须满足， 解得． 综上所述，． 【经典例题七 不等式组与方程组相结合问题】 【例7】（23-24七年级下·吉林长春·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式，求正整数k的值． 【答案】1或2 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求一元一次不等式组的整数解，先利用加减消元法解方程组得到，再由得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为， ∵， ∴， 解得， ∴正整数k的值为1或2． 1．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知x，y满足关系式． (1)若x，y满足，求y的取值范围； (2)若x，y满足，且，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程和不等式的性质； （1）由得，根据求解即可； （2）联立和，求解出的值，根据，求解关于a的不等式即可． 【详解】（1）由得， ∵， ∴． ∴， 即y的取值范围是； （2）联立和，得：， 解得， ∵， ∴， 解得， ∴的取值范围是． 2．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知关于x、y的方程组． (1)若此方程组的解满足，求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，若关于的不等式的解集为，求满足条件的a的整数值． 【答案】(1) (2)、0 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式； （1）根据列出关于的不等式，可解得的范围； （2）结合（1），由为整数，可得的值． 【详解】（1）， ①②得：， ， ， ， 解得； （2）关于的不等式的解集为， ， ， ， ， 满足条件的的整数值是、0． 3．（23-24七年级下·四川内江·期中）已知关于的方程组的解均为非负数， (1)用的代数式表示方程组的解； (2)求的取值范围； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，化简绝对值，正确求出方程组的解是解题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）根据（1）所求结合题意可得，解不等式组即可得到答案； （3）根据（2）所求得到，据此化简绝对值求解即可． 【详解】（1）解： 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴方程组的解为； （2）解：∵关于的方程组的解均为非负数， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ． 【经典例题八 列一元一次不等式组】 【例8】（24-25七年级下·全国·课后作业）应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 【答案】(1) (2)且且． 【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键． （1）先求出所需乙种原料的质量为，再根据要求含有4200单位以上的维生素列出不等式即可得； （2）先求出所需乙种原料的质量为，再根据含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，列出不等式即可得． 【详解】（1）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素， ∴． （2）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元， ∴且且． 1．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动，现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表，设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写x的取值范围）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有哪几种租车方案？ 【答案】(1) (2)共有3种租车方案， ①甲车4辆，乙车3辆； ②甲车5辆，乙车2辆； ③甲车6辆，乙车1辆． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组和一次函数的应用．熟练掌握总价与单价和数量的关系，总人数与每辆车载客数和客车辆数的关系，是解决问题的关键． （1）根据租用甲种型号的客车x辆，乙种型号的客车辆，甲、乙两种型号的客车租金分别为1500元和1200元，列总费用解析式； （2）根据甲种型号的客车x辆，则租用乙种型号的客车辆，总费用不超过10200元，载师生总共275名，列不等式组，求出不等式组解集，求出不等式组的整数解，即得． 【详解】（1）租用甲种型号的客车x辆，则租用乙种型号的客车辆， ∴； （2）∵租车总费用不超过10200元，师生共有275人， ∴， 解①得，， 解②得，， ∴所列不等式组的解集为：， ∵x为整数， ∴x可取4，5，6， ∴一共有3种租车方案： ①甲车4辆，乙车3辆； ②甲车5辆，乙车2辆； ③甲车6辆，乙车1辆． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）某市为鼓励居民节约用水，对每户用水按如下标准收费：若每户每月用水不超过立方米，则每立方米按元收费；若每户每月用水超过立方米，则超过的部分每立方米按元收费．某用户月份用水立方米，缴纳水费元． (1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (2)此用户要想每月水费不超过元，那么每月的用水量不超过多少立方米？ 【答案】(1) (2)每月的用水量不超过立方米 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）分情况讨论：当时，当时，分别根据题意列出等量关系即可； （2）根据用户每月水费不超过元，且要求每月的用水量不超过多少立方米，可得，求出的范围即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 关于的函数解析式为； （2）由题意得：， 解得：， 每月的用水量不超过立方米． 3．（24-25七年级下·山西晋城·期末）阅读下面材料，完成任务． 我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解． 例：由得（为正整数），   ∴    则有   又为正整数， ∴为正整数． 由2与3互质可知，为3的倍数，从而， ∴， ∴的正整数解为 任务： (1)请你写出方程的正整数解____________； (2)若为自然数，则满足条件的有______ 个； (3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本3元的笔记本与单价为每支5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？ 【答案】(1) (2)4 (3)有两种方案：①买10本笔记本，1支钢笔，②买5本笔记本，4支钢笔 【分析】（1）根据题意可知，求方程的正整数解，先把方程做适当的变形，再列举正整数代入求解． （2）参照例题的解题思路进行解答； （3）设单价为每本3元的笔记本买了本，单价为每支5元的钢笔买了支，根据题意得，其中x、y均为自然数．参照例题的解题思路解该二元一次方程即可． 【详解】（1）解：由，得（x、y为正整数）． 所以，即， ∴当时，， 即方程的正整数解是； 故答案为：； （2）解：若为自然数， 则有：，即． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 即满足条件x的值有4个， 故答案为：4； （3）设单价为每本3元的笔记本买了本，单价为每支5元的钢笔买了支， 根据题意得， 解得，（为正整数）， ∴，解得， 又∵是3的倍数， ∴的取值为1或4． ∴的正整数解为或者， 即有两种方案：①买10本笔记本，1支钢笔，②买5本笔记本，4支钢笔． 【点睛】本题考查二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题关键是要读懂题目给出的已知条件，根据条件求解．注意笔记本和钢笔是整体，所有解均不可能出现小数和负数，这也就说要求的是正整数． 【经典例题九 一元一次不等式组的应用之利润问题】 【例9】（24-25八年级上·重庆·开学考试）凯瑞商都某数码专营店销售甲、乙两种品牌智能手机，这两种手机的进价和售价如表所示： 甲 乙 进价（元/部） 4300 3600 售价（元/部） 4800 4200 (1)该店销售记录显示，三月份销售甲、乙两种手机共17部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2倍，求该店三月份售出甲种手机和乙种手机各多少部？ (2)根据市场调研，该店四月份计划购进这两种手机共20部，要求购进乙种手机数不超过甲种手机数的而用于购买这两种手机的资金低于81500元，清通过计算设计所有可能的进货方案． 【答案】(1)甲手机12部，乙手机5部 (2)2种方案：①购进甲手机12部，乙手机8部；②购进甲手机13部，乙手机7部． 【分析】本题考查了一元一次不等式组解实际问题的运用，二元一次方程组解实际问题的运用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设售出甲手机x部，乙手机y部，由“三月份销售甲、乙两种手机共17部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2倍”列出方程组，可求解； （2）设购进甲手机x部，乙手机部，由“购进乙种手机数不超过甲种手机数的，而用于购买这两种手机的资金低于81500元”列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设售出甲手机x部，乙手机y部， 由题意得，， 解得：． 答：售出甲手机12部，乙手机5部； （2）解：设购进甲手机x部，乙手机部， 由题意得，， 解得：， 取整数， 可取12，13， 则可能的方案为： ①购进甲手机12部，乙手机8部； ②购进甲手机13部，乙手机7部． 1、（23-24七年级下·全国·单元测试）“食博会”期间，某零食店计划购进两种网红零食共包，其中种零食的进价为每包元，种零食的进价为每包元．已知在出售时，包种零食和包种零食的价格一共为元，包种零食和包种零食的价格一共为元． (1)两种零食每包的售价分别是多少元？ (2)该零食店为了限制进货投入，计划种零食的进货不超过包，且销售完后总利润不低于元，则进货方案有多少种？哪种进货方案可获最大利润？ 【答案】(1)种零食每包的售价是元，种零食每包的售价是元； (2)购进种零食包，购进种零食包，获利最大，最大利润为元． 【分析】（）设种零食每包的售价是元，种零食每包的售价是元，根据题意列出方程组即可求解； （）设购进种零食包，则购进种零食包，根据题意列出不等式组求出的值，再求出每一种方案的获利即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】（1）解：设种零食每包的售价是元，种零食每包的售价是元， 根据题意得，， 解得， 答：种零食每包的售价是元，种零食每包的售价是元； （2）解：设购进种零食包，则购进种零食包， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴或或， ∴进货方案有种： 方案一：购进种零食包，种零食包，获利元； 方案二：购进种零食包，种零食包，获利元； 方案三：购进种零食包，种零食包，获利元； ∵， ∴购进种零食包，购进种零食包，获利最大，最大利润为元． 2．（23-24七年级下·云南大理·期末）某商店计划采购甲乙两种不同型号的平板电脑20台，已知每台甲型号平板电脑的进价是1000元，售价是1500元；每台乙型号平板电脑的进价是1500元，售价是2100元． (1)若该商店购进这20台平板电脑恰好用去23000元，求购进甲乙两种型号的平板电脑各多少台？ (2)若要使该商店全部售出甲乙两种型号的平板电脑20台后，所获的利润不低于11200元，乙种型号的平板电脑数量不多于甲种型号的平板电脑数量的3倍，则采购甲乙两种不同型号的平板电脑有多少种方案？ 【答案】(1)该商店购进14台甲种型号平板电脑，6台乙种型号平板电脑 (2)采购甲乙两种不同型号的平板电脑共有4种方案 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用． （1）设该商店购进x台甲种型号平板电脑，y台乙种型号平板电脑，根据题意列出方程组即可求解； （2）设采购m台甲种型号平板电脑，则采购台乙种型号平板电脑，列出不等式组并求出整数解即可． 【详解】（1）解：设该商店购进x台甲种型号平板电脑，y台乙种型号平板电脑，根据题意得：， 解得：． 答：该商店购进14台甲种型号平板电脑，6台乙种型号平板电脑； （2）设采购m台甲种型号平板电脑，则采购台乙种型号平板电脑， 根据题意得：， 解得：． 又∵m为正整数， ∴m可以为5，6，7，8． ∴共有4种采购方案． 答：采购甲乙两种不同型号的平板电脑共有4种方案． 3．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）某商店出售普通练习本和精装练习本，3本普通练习本和2本精装练习本销售总额为29元；4本普通练习本和1本精装练习本销售总额为22元． (1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？ (2)该商店计划再次购进50本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本m个，获得的利润为w元； ①求w关于m的函数关系式； ②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)普通练习本和精装练习本的销售单价分别是3元和10元； (2)①（且m为整数）；②该商店应购进38本普通练习本和12本精装练习本才能使销售总利润最大，最大利润是74元． 【分析】本题主要考查了一次函数及二元一次方程组的应用，正确求出一次函数关系式和二元一次方程组是解题的关键． （1）分别设普通练习本和精装练习本的销售单价为未知数，根据题意列二元一次方程并求解即可； （2）①根据“获得的利润=普通练习本每本的利润普通练习本的数量+精装练习本每本的利润精装练习本的数量”求解即可，并根据题目的条件求出x的取值范围； ②根据w随m的增减情况及x的取值范围，确定当x为何值时w取最大值，并将m的值代入函数关系式求出W的最大值即可． 【详解】（1）解：设普通练习本和精装练习本的销售单价分别是x元和y元． 根据题意，得，解得， 答：普通练习本和精装练习本的销售单价分别是3元和10元． （2）解：①根据题意，得购买精装练习本本， ， ， ， 关于x的函数关系式为（且m为整数）； ②，， 随m的减小而增大， ∴当时，w取最大值，此时， （本）， ∴该商店应购进38本普通练习本和12本精装练习本才能使销售总利润最大，最大利润是74元． 【经典例题十 一元一次不等式组的应用之函数问题】 【例10】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）为落实“五育并举”，我市某学校积极开展“阳光体育运动”．引导学生走向操场、积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体育运动”的开展，学校计划购进，两种品牌的足球共50个，其中品牌足球的价格为100元/个，购买品牌足球所需费用（单位：元）与购买数量（单位：个）之间的关系如图所示． (1)购买数量个时，品牌足球的价格_____元/个； (2)求出当时，与的函数表达式： (3)若购买种品牌足球的数量不超过30个，但不少于种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总费用（单位：元）最低，并求出最低费用． 【答案】(1)120 (2) (3)当购买A种品牌的足球个，B种品牌的足球个时，总费用最少，最低费用是元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式、一次函数的增减性及一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）根据“所需费用÷购买数量”列式计算即可; （2）利用待定系数法解答即可； （3）设购买B种品牌的足球m个，则购买A种品牌的足球个，列关于m的一元一次不等式组并求其解集，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时W的值最小，求出其最小值及的值即可． 【详解】（1）解：购买数量个时，B品牌足球的价格 (元/个)， 故答案为：120； （2）解：设当时，y与x的函数关系式为， 得，解得 即当时，y与x的函数关系式为； （3）解：设购买B种品牌的足球m个，则购买A种品牌的足球个， ∵， 解得， ∵， ∵， ∴W随着m的增大而减小， ∴当时，W取得最小值，此时， ∴， 答：当购买A种品牌的足球个，B种品牌的足球个时，总费用最少，最低费用是元． 1．（2024·云南德宏·一模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）； (2)要使租车总费用不超过10200元，怎样租车最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 【答案】(1) (2)租用甲种型号客车辆，乙种型号客车辆最省钱，此时总费用是元 【分析】本题考查一元一次不等式组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆；根据题意列函数关系式即可； （2）根据租车总费用不超过元，师生共有人可得列出不等式组，解不等式组即可得到的取值范围，再根据一次函数的增减性， 且为整数，即可得到的取值，代入计算即可解题． 【详解】（1）解：租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆， ； （2）∵租车总费用不超过元，师生共有人， ， 解得 ，                       在中， ， 随的增大而增大， 又，且为整数， 当时，取最小值，最小值为(元)， 租用甲种型号客车辆，乙种型号客车辆最省钱，此时总费用是元． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）甲、乙两车从地出发，沿同一路线驶向地．甲车先出发匀速驶向地，后乙出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达地，甲乙两车距地的路程与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示． (1)的值是 ，甲的速度是 ． (2)求线段所表示的与的函数关系式； (3)若甲乙两车距离不超过时，车载通话机可以进行通话，则两车在行驶过程中可以通话的总时长为多少小时？ 【答案】(1)； (2) (3)小时 【分析】（1）由乙在途中的货站装货耗时半小时易得，甲从到共用了小时，然后利用速度公式计算甲的速度； （2）设乙开始的速度为千米/小时，利用乙两段时间内的路程和为,列方程，解得，计算出，则可得到，然后利用待定系数法求出线段所表示的与的函数关系式; （3）求出线段的解析式，再根据题意列不等式组解答即可． 【详解】（1）∵线段代表乙车在途中的货站装货耗时半小时， ∴（小时）， 甲车的速度==60（千米/小时）； 故答案为：；； （2）设乙开始的速度为千米/小时， 则，解得（千米/小时）， ， 则，， ∴线段的函数关系式为（）， 设直线的解析式为， ， 解得， 所以线段所表示的与的函数关系式为（）； ∴ （3）∵甲车先出发匀速驶向地， ， ∴， 设线段的解析式为，根据题意得， ，解得， ∴线段的解析式为， ∵甲乙两车距离不超过时，车载通话机可以进行通话， ∴， 解得， ， 解得， 则两车在行驶过程中可以通话的总时长为：（小时）． 【点睛】本题考查了一次函数的应用以及一元一次不等式组的应用，学会从函数图象中获取信息，特别注意自变量取值范围的变化． 3．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，每套A户型的建房成本25万元，售价30万元，每套B户型的建房成本28万元，售价34万元． (1)若该公司打算建A型房x套，所建房出售后获得的总利润为W万元，请写出W关于x的函数解析式： ．（写化简后的结果） (2)该公司共有哪几种建房方案？哪种方案获得利润最大？（写出过程） (3)根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A型住房的售价将会提高a万元（a＞0），且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大？（注：利润＝售价一成本） 【答案】(1)W=-x+480 (2)该公司一共有三种建房方案，分别是：建A型房48套，建B型房32套；建A型房49套，建B型房31套；建A型房50套，建B型房30套．建A型房48套，建B型房32套时利润最大． (3)当0<a<1时x=48时，利润最大；当a=1时，三种方案利润一样；当a>1时， x=50时，利润最大． 【分析】（1）根据“总利润=A型房利润+B型房利润”列出函数解析式即可； （2）根据“该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元”列出不等式组求出解集即可； （3）根据题意，写出A型房售价提高后的利润的表达式，再进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：若该公司打算建A型房x套，则该公司打算建B型房(80-x)套， W=x（30-25）+（80-x）（34-28）=-x+480， 故答案为：W=-x+480． （2）， 由①得：x≤50， 由②得：x≥48， ∴原不等式组的解集是：48≤x≤50， ∴该公司一共有三种建房方案，分别是：建A型房48套，建B型房32套；建A型房49套，建B型房31套；建A型房50套，建B型房30套； ∵W=-x+480， ∴当x=48时，利润最大． （3）当A型房售价提升后，利润为：W==x（30+a-25）+（80-x）（34-28）=（a-1）x+480， 当0<a<1时，W随x的增大而减小，x=48时，利润最大； 当a=1时，W=480，三种方案利润一样； 当a>1时，W随x的增大而增大，x=50时，利润最大； 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练掌握相关内容，根据题意列出函数解析式和不等式组是解题的关键． 【经典例题十一 一元一次不等式组的应用之几何问题】 【例11】（24-25七年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，对于任意图形及直线，，给出如下定义：将图形先沿直线翻折得到图形，再将图形沿直线翻折得到图形，则称图形是图形的，伴随图形． 例如：点的轴，轴伴随图形是点． (1)点的轴，轴伴随图形点的坐标为______； (2)已知，，，直线经过点． ①当，且直线与轴平行时，点的轴，伴随图形点的坐标为______； ②当直线经过原点时，若的轴，伴随图形上只存在两个与轴的距离为的点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）点Q关于x轴对称的点坐标为，再关于y轴对称的点坐标为，故可得点坐标； （2）①时，A点坐标为，直线m为，此时点A先关于x轴对称的点坐标为，再关于m轴对称的点坐标为，进而得到点坐标； ②由题意得，直线为，、、三点的轴，伴随图形点坐标依次表示为：、、，由题意可得或，解出的取值范围即可 【详解】（1）解：由题意知沿x轴翻折得点坐标为； 沿y轴翻折得点坐标为， 故答案为：； （2）解：①时，A点坐标为，直线m为， 沿轴翻折得点坐标为 沿直线翻折得点坐标为 故答案为：； ②直线经过原点，且经过点， 直线为， 、、三点沿轴翻折点坐标依次表示为：、、， 、、三点沿直线m翻折点坐标依次表示为：、、， ∵的轴，伴随图形上只存在两个与轴的距离为的点， ∴或， 解得：或． 【点睛】本题考查了直角坐标系中的点对称，几何图形翻折．解题的关键在于正确的将翻折后的点坐标表示出来． 1（24-25八年级上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，过点作直线轴，图形W关于直线l的对称图形为，图形上任一点到x轴，y轴的距离的最大值是d，称d是图形W关于直线l的m倍镜像“接收距离”． 已知点，． (1)①线段关于直线l的1倍镜像“接收距离”是______； ②线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”是2，m的取值范围是______； (2)点，关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值是______． (3)点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”小于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”，求m的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】本题在新定义的基础上，考查了轴对称的性质，解一元一次不等式等知识，解决问题的关键是数形结合． （1）①求出A、B关于直线l的1倍镜像的对应点坐标，进而根据定义判断； ②表示出A、B关于直线l的m倍镜像的对应点坐标，根据定义列出不等式组，进一步得出结果； （2）可推出B、C关于直线l的m倍镜像、的距离之差也是8，从而得出关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值； （3）表示出A、B、C、D于直线l的m倍镜像的对应点坐标，关于直线l的m倍镜像的线段是，根据当点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”等于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”时，得出，从而求得临界m的值，进而得出结果． 【详解】（1）解：①设线段关于直线l的1倍镜像的线段为， ，， 点距离y轴距离最大为：3， 故答案为：3； ②点A和B关于直线的对称点为：，， 线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”是2， ， ， 故答案为：； （2）解：如图1， ，，， 、C距离y轴的距离之差是8， 、C关于直线l的m倍镜像、的距离之差也是8， ，关于直线l的m倍镜像“接收距离”的最小值是 4， 故答案为：4； （3）解：如图2， 点A和B关于直线的对称点为：，， 线段关于直线l的m倍镜像的线段是，则，， 当点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”等于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”时， ， ， 当点，，线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”小于线段关于直线l的m倍镜像“接收距离”时，． 2．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）用长为的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度，要使靠墙的一边长不小于，那么与墙垂直的一边长的取值范围为 【答案】 【分析】用含有x的代数式表示靠墙边的长，后建立不等式组求解即可． 【详解】∵与墙垂直的一边长x， ∴靠墙一边的长为（40-3x）m，根据题意，得 40-3x≤30，40-3x≥25， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式，不等式组的解法，熟练列代数式，并根据题意建立起不等式组是解题的关键． 3．（24-25九年级上·北京西城·开学考试）在平面直角坐标系中，点和图形的中间点的定义如下：是图形上一点，若为线段的中点，则称为点和图形的中间点．，，，． （1）点， ①点和原点的中间点的坐标为________； ②求点和线段的中间点的横坐标的取值范围； （2）点为直线上一点，在四边形的边上存在点和四边形的中间点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1）①（1，0）；②0≤m≤；（2）≤n≤0或1≤n≤3． 【分析】（1）①由题意根据点A，O的坐标，利用中点坐标公式即可求出结论； ②根据题意先依据题意画出图形，观察图形可知点A和线段CD的中间点所组成的图形是线段C′D′，根据点A，C，D的坐标，利用中点坐标公式可求出点C′，D′的坐标，进而可得出m的取值范围； （2）根据题意利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点B的坐标为（n，2n），进而依据题意画出图形，观察图形可知：点B和四边形CDEF的中间点只能在边EF和DE上，当点B和四边形CDEF的中间点在边EF上时，利用四边形CDEF的纵坐标的范围，可得出关于n的一元一次不等式组，解之即可得出n的取值范围；当点B和四边形CDEF的中间点在边DE上时，由四边形CDEF的横、纵坐标的范围，可得出关于n的一元一次不等式组，解之即可得出n的取值范围． 【详解】解：（1）①∵点A的坐标为（2，0）， ∴点A和原点的中间点的坐标为，即（1，0）． 故答案为：（1，0）； ②如图1，点A和线段CD的中间点所组成的图形是线段C′D′． 由题意可知：点C′为线段AC的中点，点D′为线段AD的中点． ∵点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（-2，3），点D的坐标为（1，3）， ∴点C′的坐标为（0，），点D′的坐标为（，）， ∴点A和线段CD的中间点的横坐标m的取值范围为0≤m≤． （2）∵点B的横坐标为n， ∴点B的坐标为（n，2n）， 当点B和四边形CDEF的中间点在边EF上时，有， 解得：≤n≤0； 当点B和四边形CDEF的中间点在边DE上时，有， 解得：1≤n≤3． 综上所述，点B的横坐标n的取值范围为≤n≤0或1≤n≤3． 【点睛】本题考查中点坐标公式和一次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式组，解题的关键是（1）①利用中点坐标公式求出结论；②通过画图找出点A和线段CD的中间点所组成的图形是线段C′D′；（2）分点B和四边形CDEF的中间点在边EF上及点B和四边形CDEF的中间点在边DE上两种情况，找出关于n的一元一次不等式组． 【经典例题十二 一元一次不等式组的新定义问题】 【例12】（2024·宁夏银川·一模）对于实数，定义一种运算“”为：，则不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元一次不等式组，关键是掌握求不等式组的运算． 先运算，，化简关于的一元一次不等式组，再求不等式组可得的解集． 【详解】解：∵， ∵， ∴解时， 即为解：， 解得：， 故答案为：． 1．（23-24七年级下·江西宜春·期末）对于实数x，y定义一种新运算“”：（其中m，n均为非零常数），这里等式的右边是通常的四则运算．例如：．已知，． (1)求m，n的值． (2)若关于a的不等式组恰好有2个整数解，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】考查了解二元一次方程组以及解一元一次不等式组，理解题中的新定义，并熟练掌握一元一次不等式组的解法是解本题的关键． （1）根据题意列出方程组求解即可； （2）利用题中的新定义化简已知不等式组，求出解集，根据关于a的不等式组恰好有2个整数解，确定b的范围即可． 【详解】（1）根据题意得： ， 解得； （2）根据题意得： 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有2个整数解，即，1， ∴， 解得 即实数P的取值范围是． 2．（23-24七年级下·河北保定·期末）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组 的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组 的“关联方程”． (1)在方程①；②；③ 中，关于的不等式组 的“关联方程”是 ；(填序号) (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式组，理解材料中的不等式组的“关联方程”是解题的关键． （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于的不等式组并求解即可． 【详解】（1）解：①， 解得：， ②， 解得：， ③， 解得：， ， 解不等式④得：， 解不等式⑤得：， 该不等式组的解集为：，和在的范围内，不等式组的“关联方程”是①②， 故答案为：①②． （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：， ， 解得：， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， ， 解得：， 的取值范围是． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组的“友好方程”． (1)下列方程是不等式组的“友好方程”的是______（填序号）． ①；②；③． (2)若关于的方程是不等式组的“友好方程”，求的取值范围． (3)若方程都是关于的不等式组的“友好方程”，其中，求的取值范围． 【答案】(1)① (2) (3) 【详解】解：（1）① （2）解不等式组得．解方程，得．因为关于的方程是不等式组的“友好方程”，所以，解得，即的取值范围是． （3）解方程，得；解方程，得．因为方程，都是关于的不等式组的“友好方程”，所以分为两种情况：①当时，不等式组为此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去；②当时，不等式组的解集是根据题意，得解得．综上所述，的取值范围是． 1．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）已知实数满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解不等式，先由得，代入求解不等式组，再逐个选项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A选项错误，不符合题意； ∴， ∴， ∴， 故B选项正确，符合题意； ∵，， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∵，， ∴，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）某单位对某村庄提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户只；若每户发放母羊只，则多出只母羊；若每户发放母羊只，则有一户可分得母羊但不足只．这批种羊共（   ） A．只 B．只 C．只 D．只 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是理解题意，正确列出一元一次不等式组． 设公羊共只，则母羊共只，根据“若每户发放母羊只，则有一户可分得母羊但不足只”列出一元一次不等式组，解答即可． 【详解】解：设公羊共只，则母羊共只， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， ， ， 这批种羊共只， 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由一元一次不等式组解集的情况求参数，先分别求出两个不等式的解集，根据不等式组无解可得，据此即可求解，理解不等式组无解即两个不等式的解集无公共部分是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵该不等式组无解， ， 解得， 故选：． 4．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）关于的方程的解是非负整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．8 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及一元一次方程的解，熟知解一元一次不等式组及解一元一次方程的步骤是解题的关键． 先根据所给方程的解为非负整数，得出的取值范围，再结合所给不等式组的整数解只有3个即可解决问题． 【详解】解：由方程得：， ∵关于的方程的解是非负整数， ∴， 解得， 解不等式组得：， ∵此不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得：， ∴， ∵关于的方程的解是非负整数，， ∴符合条件的所有整数的和是：， 故选：A． 5．（24-25八年级下·重庆·开学考试）若整数使得关于的方程的解为非负数，且使得关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数的和为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出a的取值范围．解出关于x的方程，根据解为非负数的条件，求出a的取值范围，解出关于y的一元一次不等式组，根据至少有3个整数解的条件，求出a的取值范围，找出所有符合条件的整数a的和． 【详解】解：由，可得． 关于的方程的解为非负数， ，解得． 解不等式组， 解得：． 一元一次不等式组至少有3个整数解， ． 综上可得． 可取的整数为：． 所有符合条件的整数的和为． 故选∶ D． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）若不等式组恰好有4个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 先解不等式组用a表示出解集，然后根据不等式组恰有3个整数解，得到关于a的不等式组求解即可． 【详解】 解： 解不等式①，得 解不等式②，得 由题意可知原不等式组有解 ∴原不等式组的解集为 ∵不等式有4个整数解 ∴整数解为：9，10，11，12 ∴，解得：． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是 ，小朋友的人数是 ． 【答案】 42 6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确建立不等式组是解题关键．设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个，根据若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到，但不足5个苹果建立不等式组，求出不等式组的解集，再根据为正整数求解即可得． 【详解】解：设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴， 即这一箱苹果的个数是42，小朋友的人数是6． 故答案为：42，6． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面积分别为． （1）若，则m的取值范围为 ； （2）满足不等式组的整数n有且只有4个，则 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查整式的混合运算、一元一次不等式的应用，解题的关键是掌握多项式乘多项式运算法则． （1）根据长方形的面积公式计算出和，再求出差即可列出不等式，解不等式即可； （2）根据有4个整数解，得出有4个整数解，得出，解不等式，得出m的取值范围，即可得到结论． 【详解】解：（1）， ， ， ∵， 解得：； 故答案为：． （2）由（1）得：， ∵m为正整数， ∴ ∴， ∵有4个整数解， ∴有4个整数解， 这4个整数为5，6，7，8， 为正整数， ， 故答案为：2． 9．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，动点P的坐标为．若动点P在的内部（不包括边上），则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，求出两点坐标，直线上时的函数值，根据动点P在的内部列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，，当时，， ∴， ∵动点P在的内部， ∴且， ∴； 故答案为： 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式组 （1）当时，不等式组的解集为 ； （2）当的解集为时，a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集； （2）分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组的解集为，即可确定a的范围． 【详解】解：（1）当时， 不等式组为， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为； 故答案为：． （2）解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴； 故答案为：． 11．（24-25七年级下·全国·期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题考查求不等式组解集，并在数轴上表示出不等式组的解集．正确的解出每一个不等式，确定不等式组的解集，是解题的关键．分别解两个一元一次不等式，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，在数轴上将解集表示出来即可． 【详解】解： 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 12．（2025七年级下·全国·专题练习）关于的不等式组有且只有三个整数解，求的最大值． 【答案】5 【分析】本题考查了由一元一次不等式组解集的情况求参数，正确理解不等式组有且只有三个整数解的含义是解题的关键．先解不等式组得，再根据不等式组有且只有三个整数解，可知整数解只能是2，3，4，所以，即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 依题意，得不等式组的解集为， 又因为该不等式组有且只有三个整数解， 所以整数解只能是2，3，4， 所以， 所以的最大值为5． 13．（24-25八年级上·山西朔州·期末）向阳实践小组成员每人分发一根塑料管，塑料管的长度相同，通过裁剪拼接的方式制作三角形．三位成员制作的三角形三条边的数据（单位：cm）如下． 第一条边 第二条边 第三条边 莉莉 4 4 4 牛牛 a _____ 晨晨 4 m n (1)莉莉制作的三角形每个内角的度数为_________； (2)试判断牛牛制作的三角形a的值能否为3，并说明理由； (3)晨晨制作的三角形中各边均为整数，请直接写出所有符合条件的m的值． 【答案】(1) (2)牛牛制作的三角形a的值不能为3；见解析 (3)符合条件的m的值为3，4，5． 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形三边关系，求不等式组的解集． （1）先判断莉莉制作的三角形是等边三角形，据此求解即可； （2）当a的值为3时，求得三边的长，利用三角形三边关系即可判断； （3）先求得三边的长4，m，，利用三角形三边关系列出不等式组，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得三边长都是4， 莉莉制作的三角形是等边三角形， 则每个内角的度数为， 故答案为：； （2）解：由题意得塑料管的长度为， 当a的值为3时，第一条边为3，第二条边为， 则第二条边为， ∵， ∴3，2，7不能构成三角形， ∴牛牛制作的三角形a的值不能为3； （3）解：由题意，第一条边为4，第二条边为m，则第二条边为， 由题意，得，，， 解得，， ∴， ∴符合条件的m的值为3，4，5． 14．（24-25八年级上·安徽池州·期末）元旦前夕，某礼品超市要到批发市场采购A，B两种礼品共300件，已知A礼品的件数不少于B礼品的件数，采购总费用不超过4320元，两种礼品的批发价和零售价如下表．设该超市采购x件A礼品． 品名 批发价：元/件 零售价：元/件 A礼品 15 25 B礼品 12 20 (1)求该超市采购总费用y（单位；元）与x（单位；件）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)若该超市将这300件礼品全部以零售价售出，请运用你所学习的一次函数性质求出超市能获得的最大利润； (3)鉴于本次销售市场反馈良好，超市决定春节前再次采购相同数量礼品，受市场行情等因素影响，再次采购时，A礼品的批发价每件上涨了元，同时B礼品批发价每件下降了m元．该超市决定不调整礼品的零售价，通过测算将所有礼品全部卖出获得的最低利润是2040元，求m的值． 【答案】(1)该超市的采购总费用y与x的函数关系式为 (2)商场能获得的最大利润为2880元 (3) 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的应用，一次函数的应用； （1）该超市采购x件A礼品，则采购件B礼品，根据总费用等于两种礼品的费用之和建立函数关系，再建立不等式组求解自变量的范围即可； （2）设总利润为W元，再利用总利润等于两种礼品的利润之和建立函数关系，再利用一次函数的性质可得答案； （3）设再次销售时总利润为T元，再利用总利润等于两种礼品的利润之和建立函数关系，再利用一次函数的性质分情况可得答案； 【详解】（1）解：该超市采购x件A礼品，则采购件B礼品， 根据题意得：， 由题意得：， 解得：， 答：该超市的采购总费用y与x的函数关系式为：； （2）解：设总利润为W元，根据题意得： ， ， 随x的增大而增大，又， 当时，W最大，最大值为2880， 答：商场能获得的最大利润为2880元； （3）解：设再次销售时总利润为T元，根据题意得： ①当即时，T随x的增大而增大， 又， 当时，T有最小值为， 解得，舍去： ②当即时，T随x的增大而减小， 又， 当时，T有最小值为， 解得：，符合题意． ③当即时，，舍去 综上所述，． 15．（24-25七年级下·全国·期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值； (3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)③ (2)2 (3)①，；②不存在，见解析 【分析】本题考查一元一次方程、一元一次不等式组的解． （1）分别求出方程①②③的解，再求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义进行判断即可； （2）先求出不等式组的解集，再根据不等式组的一个关联方程的解是整数，进而求出m的值即可； （3）①根据一元一次方程的解法解这两个方程即可； ②求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】（1）解：方程①的解为； 方程②的解为； 方程③的解为； 不等式组的解集为， ∵， ∴不等式组的关联方程是方程③， 故答案为：③； （2）解：解不等式组，得， 因此不等式组的整数解为． 将代入关联方程0， 得； （3）解：①， 解得； ， 解得； ②不存在．理由如下： 解不等式组， 得， 假如方程和都是关于的不等式组的关联方程， 则且． 解得：且 ∴不等式组无解， 不存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$