专题01 一元一次不等式重难点题型专训（14大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题01 一元一次不等式重难点题型专训（14大题型+15道提优训练） 题型一 不等式的定义 题型二 不等式的基本性质 题型三 不等式的解集 题型四 一元一次不等式的定义 题型五 求一元一次不等式的解集 题型六 求一元一次不等式的整数解 题型七 求一元一次不等式解的最值 题型八 解|x|≥a型的不等式 题型九 列一元一次不等式 题型十 用一元一次不等式解决实际问题 题型十一 用一元一次不等式解决几何问题 题型十二 在数轴上表示不等式的解集 题型十三 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型十四 根据两条直线的交点求不等式的解集 知识点1 一元一次不等式定义 只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式． 注：其标准形式：ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)． 知识点2 解一元一次不等式 解一元一次不等式步骤： （1）去分母；去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项去括号； （2）去括号：移项时不要忘记变号； （2）移项； 移项时不要忘记变号； （3）合并同类项； （4）化系数为1． 说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方． 知识点3 一次函数与一元一次不等式的关系 任何一元一次不等式都可以转化为 ax+b>0 或 ax+b<0 (a、b 为常数，a≠0）的形式，所 以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于 0 时，求自变量相应的取值范围。 【经典例题一 不等式的定义】 【例1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列数学表达式，是不等式的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）下列式子属于不等式的有（　　） ①；②；③；④；⑤． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有 个． 3．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）对于下列结论：①x为自然数，则；②x为负数，则；③x不大于10，则；④m为非负数，则，正确的有 ． 【经典例题二 不等式的基本性质】 【例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·全国·期末）设、为实数，则下列说法正确的是（   ） A．，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 2．（2025七年级下·全国·专题练习）用“>”“<”或“=”填空： （1）如果，那么a b； （2）试比较与的大小． ①当时， ； ②当时， ； ③当时， ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）我们知道：不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．两个不等式结合是否也具有一些特殊的性质？请解答下列问题： (1)完成下列填空（填“”或“”）； 已知，可得________； 已知，可得________； 已知，可得________． (2)一般地，如果，那么________（用“”或“”填空），请你利用不等式的性质说明上述不等式的正确性． 【经典例题三 不等式的解集】 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 1．（24-25七年级下·北京昌平·期中）定义新运算“”，规定：．若关于的不等式的解集为，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（24-25九年级上·河北保定·期中）已知关于的不等式无解，则实数的取值范围是 ． 3．（24-25七年级下·河南驻马店·期中）阅读以下结论： （1）若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． （2）若|x|＞a（a＞0），则x＞a或x＜﹣a； 若|x|＜a（a＞0），则﹣a＜x＜a． （3）若（x﹣a）（x﹣b）＞0（0＜a＜b），则x＞b或x＜a； 若（x﹣a）（x﹣b）＜0（0＜a＜b），则a＜x＜b． 根据上述结论，解答下面问题： （1）解方程：|3x﹣2|﹣4＝0． （2）解不等式：|3x﹣2|﹣4＞0． （3）解不等式：|3x﹣2|﹣4＜0． （4）解不等式：（x﹣2）（x﹣5）＞0． （5）解不等式：（2x﹣3）（2x﹣5）＜0． 【经典例题四 一元一次不等式的定义】 【例4】（24-25七年级下·全国·单元测试）若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 1．（2023七年级下·全国·专题练习）下列式子： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ，不等式的解集为 ． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若关于的不等式是一元一次不等式，关于的不等式的解集是＞，求a和b的值 【经典例题五 求一元一次不等式的解集】 【例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： （1）； （2）． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)； 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于的二元一次方程组 (1)用含的式子表示此方程组的解为________； (2)若方程组的解满足．求实数的取值范围． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足． (1)若m为非负整数，求m的值； (2)在m的取值范围内，m为何整数时，关于x的不等式的解集为？ 【经典例题六 求一元一次不等式的整数解】 【例6】（2025七年级下·全国·专题练习）不等式的非负整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24八年级上·四川泸州·开学考试）若关于，的方程组的解满足，则的所有非负整数之和为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为 ． 3．（24-25七年级下·全国·周测）（1）已知关于的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围； （2）若关于x的不等式的最小整数解为2，求a的取值范围． 【经典例题七 求一元一次不等式解的最值】 【例7】（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）已知的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是 ． （2）已知的解集中最小整数为-2，则a的取值范围是 ． 1．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知是关于x，y的二元一次方程的的解．    (1)求a的值． (2)若y的取值范围如图所示，求x的最小值． 2．（24-25七年级下·河南信阳·期末）已知、满足和，求的最小值． 3．（24-25七年级下·四川遂宁·期末）已知关于x、y的方程组的解满足． （1）求的取值范围； （2）已知，且，求的最大值． 【经典例题八 解|x|≥a型的不等式】 【例8】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 1．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式和的解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求和的解集．确定的解集过程如图1： 先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： (1)请将小明的探究过程补充完整； 所以，的解集是或______①___________． 再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的数，请你在图2的数轴上确定范围②； 所以，的解集为：_______③________． 经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式的解集为___________④___________，的解集为___________⑤___________． 请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题： (2)求绝对值不等式的解集． 2．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 3．（23-24七年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．      参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 【经典例题九 列一元一次不等式】 【例9】（24-25七年级下·全国·课后作业）教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并正式施行．某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）为庆祝伟大的中国共产党成立 100 周年，某校德育处举行了以“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”为主题的党史知识竞赛．知识竞赛共 20 道题，每一题答对得 10 分，不答得0分，答错扣 5 分，小聪有 3 道题没答，竞赛成绩超过 90 分．设他答对了 x 道题，则根据题意可列出不等式为（　　　） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）一次环保知识竟赛共有25道题．评委会决定：答对1道题得4分，答错或不答1道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上）．设小明答对了道题，则可列出的不等式为 ． 3．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）阅读下列材料： 解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法： ∵，∴， 又∵，∴ ∴， 又∵，∴① 同理得：②， 由得， ∴的取值范围是 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，试确定的取值范围； (2)已知，若成立，试确定的取值范围（结果用含的式子表示）． 【经典例题十 用一元一次不等式解决实际问题】 【例10】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）旭东中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买副围棋和副中国象棋需用元；若购买副围棋和副中国象棋需用元． (1)求每副围棋和每副中国象棋各多少元 (2)旭东中学决定购买围棋和中国象棋共副，总费用不超过元，那么旭东中学最多可以购买多少副围棋？ 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了解决雨季时城市内涝的难题，某市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了．按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务． (1)实际施工时，每天改造地下管网的长度是多少？ (2)施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么之后每天至少需要改造地下管网多少米？ 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）甲，乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．五一劳动节假期期间两家商场都让利酬宾．甲商场按累计购物金额的收费，乙商场累计购物金额超过200元后，超出200元的部分按收费．设小红在一个商场累计购物金额为元，其中． (1)根据题意，填写表格（单位：元）： 累计购物金额 500 700 甲商场实际花费 400 乙商场实际花费 550 (2)当取何值时，小红在甲，乙两商场的实际花费相同？ (3)五一劳动节假期期间小红应如何选择这两家商场购物更省钱？ 3．（2025七年级下·全国·专题练习）甲、乙两个工程队参与修建一小段长的高速公路，甲、乙两队一起修建12天可以完工．若甲队单独修建5天后乙队加入，两队再一起修建4天，刚好能够完成该工程的一半． (1)甲、乙两队每天各能修建多少米？ (2)若乙队参与修建该工程的时间不超过10天，则甲队至少需要修建多少天才能完成该工程？ 【经典例题十一 用一元一次不等式解决几何问题】 【例11】（24-25七年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且． (1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________； (2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？ 1．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． (1)初步尝试：如图1，已知中，，，，P为AC上一点，当______时，与为积等三角形； (2)理解运用：如图2，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 2．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在靠墙（墙长为）的地方围建一个长方形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为， （1）鸡场的长（对着墙的边长）与宽（与墙相邻的边长）的函数关系式为 ． （2）养鸡场的长大于宽，并求自变量的取值范围为 ． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，．射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中． (1)若，则的取值范围是 ； (2)当为何值时，； (3)是否存在某一时刻，使．若存在，请求出的值；若不存在请说明理由． 【经典例题十二 在数轴上表示不等式的解集】 【例12】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)； (3)． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 2．（2021·山东潍坊·二模）在实数范围内规定新运算“”，规则是：，若不等式的解集在数轴上如图表示，则的值是 ． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）定义运算：，例如：，若关于的不等式的解集在数轴上如图所示，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【经典例题十三 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【例13】（2024八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，则关于x满足的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 1．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）一次函数与的图象如图所示，下列结论错误的是（    ） A．当时， B．当时， C．关于x，y的方程组的解为 D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数（为常数，且），在的范围内，至少有一个的值使得，则的取值范围为 ． 3．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）先画图再填空： 作出函数的图象，并根据图象回答下列问题： (1)y的值随x的增大而______； (2)图象与x轴的交点坐标是______；与y轴的交点坐标是______； (3)当x______时，； (4)求函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积． 【经典例题十四 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【例14】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点，，与直线交于点． (1)求直线的函数表达式． (2)求点的坐标，并结合函数图象直接写出当时的取值范围． 1．（2025·河北沧州·模拟预测）问题：探究函数的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： （1）在函数中，自变量x可以是任意实数； （2）下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 4 … y … 1 0 0 m … ①求m的值； ②若，为该函数图象上不同的两点，求的值． （3）在如图所示的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；根据函数图象可得： ①求该函数的最小值； ②已知直线与函数的图象交于，点，直接写出当时x的取值范围． 2．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数的图像与坐标轴交于、两点，且，与正比例函数的图像交于点，若． (1)求一次函数和正比例函数的表达式； (2)结合图象直接写出不等式的解集． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）已知：如图所示，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与y轴交于点M． (1)求直线的表达式． (2)求的面积． (3)点是x轴上一个动点，过点P垂直于x轴的直线分别与直线和交于C、D两点，当点C位于点D上方时，直接写出n的取值范围． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．不等式的整数解有无数个 B．不等式的非负整数解有有限个 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）有若干名学生星期天去公园游玩，公园售票窗口标明票价：每人10元，团体票25人以上（含25人）可享八折优惠．若选择购买单人票比选择购买团体票更划算，则学生最多有（   ） A．23名 B．25名 C．19名 D．20名 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）若不等式的解都能使关于x的一元一次不等式成立，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）如图，是一角度为的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：、、…，且…，在、足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为（    ） A．15根 B．16根 C．17根 D．无数根 5．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下面说法中正确的有（   ） ①是方程的一组解；②若，则；③是的解集；④若，那么的取值范围是；⑤二元一次方程只有两组正整数解． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25八年级上·四川德阳·期中）已知的三边长分别为，，10．则的取值范围 ． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）采石场工人爆破时，为了确保安全，点燃炸药导火线后要在爆破前转移到离点火点以外的安全区域．已知导火线燃烧的速度是，人离开的速度是，则需要导火线的长至少是 ． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围为 ． 9．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）购物车是我们在超市购物经常用到的工具．如图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加．若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输 辆购物车． 10．（24-25九年级上·北京·阶段练习）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元盒、65元盒、80元盒、90元盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客手机支付成功后，李明会得到支付款的． ①当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元； ② 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 ． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1)； (2)； (3)． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于的二元一次方程组 (1)用含的式子表示此方程组的解为________； (2)若方程组的解满足．求实数的取值范围． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足． (1)若m为非负整数，求m的值； (2)在m的取值范围内，m为何整数时，关于x的不等式的解集为？ 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式： (1)； (2)． 15．（24-25七年级上·山东临沂·期末）在“生命，幸“盔”，有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高，某电动自行车店计划分别购进30个安全头盔和若干副电动自行车手套，店经理联系了批发商，他们之间的对话如下： (1)电行动自车店计划购买30个安全头盔和100副手套，若选择方案二共需花费 元． (2)电动自行车店计划购买30个安全头盔和副手套． 若选择方案一购买，需要花费 元（用含的代数式表示）； 若选择方案二购买，需要花费 元（用含的代数式表示）． (3)经理想购买30个安全头盔和副手套，应该如何选择购买方案能更省钱？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元一次不等式重难点题型专训（14大题型+15道提优训练） 题型一 不等式的定义 题型二 不等式的基本性质 题型三 不等式的解集 题型四 一元一次不等式的定义 题型五 求一元一次不等式的解集 题型六 求一元一次不等式的整数解 题型七 求一元一次不等式解的最值 题型八 解|x|≥a型的不等式 题型九 列一元一次不等式 题型十 用一元一次不等式解决实际问题 题型十一 用一元一次不等式解决几何问题 题型十二 在数轴上表示不等式的解集 题型十三 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型十四 根据两条直线的交点求不等式的解集 知识点1 一元一次不等式定义 只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式． 注：其标准形式：ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)． 知识点2 解一元一次不等式 解一元一次不等式步骤： （1）去分母；去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项去括号； （2）去括号：移项时不要忘记变号； （2）移项； 移项时不要忘记变号； （3）合并同类项； （4）化系数为1． 说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方． 知识点3 一次函数与一元一次不等式的关系 任何一元一次不等式都可以转化为 ax+b>0 或 ax+b<0 (a、b 为常数，a≠0）的形式，所 以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于 0 时，求自变量相应的取值范围。 【经典例题一 不等式的定义】 【例1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列数学表达式，是不等式的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的辩别．熟练掌握不等式的特征，是解答此题的关键．不等式的定义：用符号“<”或“>”表示大小关系的式子，叫做不等式，用符号“”表示不相等关系的式子也是不等式． 根据上述定义分别对各个式子进行分析判断即可得出结论． 【详解】在①；②；③；④；⑤；⑥中， 不等式有②；③；⑤；⑥，共4个； 是等式； ④是代数式． 故选：C． 1．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）下列式子属于不等式的有（　　） ①；②；③；④；⑤． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据不等式的定义，用不等号连接的式子是不等式，对各式进行判断即可． 【详解】解：根据不等式定义判断，①②⑤为不等式， 故选：． 【点睛】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解答本题的关键． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了不等式，用符号“”（或“”），“”（或“”），“”连接的式子叫做不等式．根据不等式的定义逐个分析即可． 【详解】解：①是等式，②是不等式，③是不等式，④是不等式，⑤是代数式，不是不等式，⑥是不等式， 故不等式有4个， 故答案为：4． 3．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）对于下列结论：①x为自然数，则；②x为负数，则；③x不大于10，则；④m为非负数，则，正确的有 ． 【答案】②④/④② 【分析】根据自然数定义即可判断①，根据负数定义即可判断②，不大于10，即小于或等于可判断③，根据非负数定义即可判断④． 【详解】解：x为自然数，则，错误，不合题意； ②x为负数，则，正确，符合题意； ③x不大于10，则，错误，不合题意； ④m为非负数，则，正确，符合题意； 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了列不等式的知识，正确理解负数定义，非负数定义，自然数定义，不大于即小于或等于． 【经典例题二 不等式的基本性质】 【例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变可知，即可得到的取值范围． 【详解】解：， ，即． 故选：C． 1．（24-25七年级上·全国·期末）设、为实数，则下列说法正确的是（   ） A．，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、若，则，不能确定，所以此项说法错误，不符合题意； B、若，，则，所以，此项说法正确，符合题意； C、若，，则，所以此项说法错误，不符合题意； D、若，则或，所以不一定大于0，此项说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）用“>”“<”或“=”填空： （1）如果，那么a b； （2）试比较与的大小． ①当时， ； ②当时， ； ③当时， ． 【答案】 【分析】此题考查不等式的性质， （1）根据不等式的性质判断即可； （2）根据不等式的性质解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，故， 故答案为：； （2）①∵，， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， 故答案为：； ③∵，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）我们知道：不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．两个不等式结合是否也具有一些特殊的性质？请解答下列问题： (1)完成下列填空（填“”或“”）； 已知，可得________； 已知，可得________； 已知，可得________． (2)一般地，如果，那么________（用“”或“”填空），请你利用不等式的性质说明上述不等式的正确性． 【答案】(1)，， (2)，证明见解析 【分析】（1）计算比较大小，解答即可． （2）设，仿照前面的计算解答即可． 本题考查了有理数的加减混合运算，不等式的性质，熟练掌握计算和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； 故答案为：，，． （2）证明：可设． ． 又，即， ， ． 故答案为：． 【经典例题三 不等式的解集】 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解“使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解”、解集“一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集”，熟练掌握不等式的解和解集的定义是解题关键．根据不等式的解和解集的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、因为，所以是不等式的一个解，则此项正确，符合题意； B、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； C、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； D、因为，所以不是不等式的解集，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 1．（24-25七年级下·北京昌平·期中）定义新运算“”，规定：．若关于的不等式的解集为，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据定义的新运算得到，得，由不等式的解集得，即可求得的值． 【详解】解：， ， 得：， 不等式的解集为， ， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查对新定义运算的理解、不等式的解集、一元一次方程的解等，解题的关键是将新定义运算转化为所熟悉的不等式． 2．（24-25九年级上·河北保定·期中）已知关于的不等式无解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的计算法则是解题的关键； 根据不等式的计算法则即可求解； 【详解】解：关于的不等式无解， 当时， 无解， 即，无解，满足题意； 当时， 无解， 即恒成立， ， 解得：， 综上，实数的取值范围； 故答案为： 3．（24-25七年级下·河南驻马店·期中）阅读以下结论： （1）若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． （2）若|x|＞a（a＞0），则x＞a或x＜﹣a； 若|x|＜a（a＞0），则﹣a＜x＜a． （3）若（x﹣a）（x﹣b）＞0（0＜a＜b），则x＞b或x＜a； 若（x﹣a）（x﹣b）＜0（0＜a＜b），则a＜x＜b． 根据上述结论，解答下面问题： （1）解方程：|3x﹣2|﹣4＝0． （2）解不等式：|3x﹣2|﹣4＞0． （3）解不等式：|3x﹣2|﹣4＜0． （4）解不等式：（x﹣2）（x﹣5）＞0． （5）解不等式：（2x﹣3）（2x﹣5）＜0． 【答案】（1）x＝2或x＝﹣；（2）x＞2或x＜﹣；（3）﹣＜x＜2；（4）x＞5或x＜2；（5）＜x＜． 【分析】根据题目中的结论列式计算即可． 【详解】（1）解：|3x﹣2|﹣4＝0， 3x﹣2＝4或3x﹣2＝﹣4， 解得x＝2或x＝； （2）解：|3x﹣2|﹣4＞0， 3x﹣2＞4或3x﹣2＜﹣4， 解得x＞2或x＜； （3）解：|3x﹣2|﹣4＜0， ﹣4＜3x﹣2＜4， 解得＜x＜2； （4）解：（x﹣2）（x﹣5）＞0， x﹣5＞0或x﹣2＜0， 解得x＞5或x＜2； （5）解不等式：（2x﹣3）（2x﹣5）＜0， 3＜2x＜5， 解得＜x＜． 【点睛】本题考查绝对值的性质，解方程，解不等式，解题的关键是根据题目给出的结论进行计算． 【经典例题四 一元一次不等式的定义】 【例4】（24-25七年级下·全国·单元测试）若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义及解一元一次不等式，先根据一元一次不定式的定义求出k的值，再代入解不等式即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， 解得， ∴原不等式为， 解得． 故选：D． 1．（2023七年级下·全国·专题练习）下列式子： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义分析判断即可． 【详解】解：①，属于不等式，但不是一元一次不等式，不合题意； ②，属于一元一次不等式，符合题意； ③，属于一元一次不等式，符合题意； ④，属于一元二次不等式，不合题意； ⑤属于方程，不合题意； ⑥，属于一元一次不等式，符合题意． 综上所述，一元一次不等式有3个． 故本题选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的判别，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题关键． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ，不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，解一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义可求出的值，再代入不等式即可求出不等式的解集，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， 解得， ∴不等式为， 解得， 故答案为：，． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若关于的不等式是一元一次不等式，关于的不等式的解集是＞，求a和b的值 【答案】a=-1，b=-． 【分析】根据一元一次不等式定义可得a的值，将a的值代入9ax+3a-4b＜0，解不等式后根据其解集可得关于b的方程，解方程可得b． 【详解】∵x的不等式（a-2）xa+2-1＜5是一元一次不等式， ∴a+2=1，解得：a=-1， 当a=-1时，不等式9ax+3a-4b＜0可化为-9x-3-4b＜0， 解得：x＞， ∵不等式解集为x＞， ∴=， 解得：b=-． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式定义、解一元一次不等式、解一元一次方程的能力，熟练掌握不等式定义和解不等式是关键． 【经典例题五 求一元一次不等式的解集】 【例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： （1）； （2）． 【答案】（1），在数轴上表示其解集见解析；（2），在数轴上表示其解集见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解了”的原则是解答此题的关键． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得解； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得解； 【详解】解：（1）去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 在数轴上表示其解集如图所示． （2）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，． 在数轴上表示其解集如图所示． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)； 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先解出一元一次不等式，得到，在数轴上表示出来即可； （2）先解出一元一次不等式，得到，在数轴上表示出来即可； 【详解】（1）解：去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得， 两边都除以，得． 用数轴表示为： （2）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以2，得． 用数轴表示为： 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于的二元一次方程组 (1)用含的式子表示此方程组的解为________； (2)若方程组的解满足．求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组、解一元一次不等式等知识，熟练掌握解二元一次方程组、解一元一次不等式的方法步骤是解决问题的关键． （1）利用加减消元法先求出，再将只代入二元一次方程组中的其中一个方程求解即可得到答案； （2）由（1）知，将的值代入解一元一次不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：， 由①②得， 解得； 将代入②得； 原方程组的解为， 故答案为：； （2）解：由（1）知， ， ， 解得． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足． (1)若m为非负整数，求m的值； (2)在m的取值范围内，m为何整数时，关于x的不等式的解集为？ 【答案】(1)1或0； (2)符合条件的m的整数值为1． 【分析】本题主要考查解二元一次方程组以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先解二元一次方程组，得到，由题意得到，求出，即可得到非负整数； （2）不等式的解集为，得到，即可得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：，得， ． 又， ，解得． 为非负整数， 的值为1或0． （2）解：不等式的解集为， ． 又 符合条件的m的整数值为1． 【经典例题六 求一元一次不等式的整数解】 【例6】（2025七年级下·全国·专题练习）不等式的非负整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．先根据一元一次不等式的解法求得，再求出其非负整数解即可． 【详解】解：原式去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以3，得， 不等式的非负整数解是0，1，2，共有3个． 故选：C． 1．（23-24八年级上·四川泸州·开学考试）若关于，的方程组的解满足，则的所有非负整数之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两式相加可得，代入已知不等式求出的范围，再确定的所有非负整数解即可求出结果． 【详解】解： ①+②，得 的非负整数为3，2，1，0， 的所有非负整数之和为 故选D． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，解题的关键是根据题意列出关于的不等式． 2．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）若是关于x的不等式的一个整数解，而不是其整数解，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解．先解一元一次不等式可得，再根据不是不等式的整数解，可得，然后根据是关于x的不等式的一个整数解，可得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∵不是不等式的整数解， ∴， 解得． ∵是关于x的不等式的一个整数解， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·周测）（1）已知关于的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围； （2）若关于x的不等式的最小整数解为2，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、一元一次不等式等知识点，熟练掌握方程组和不等式的解法是解题的关键． （1）先将两个方程相加可得，再结合建立关于m的不等式求解即可； （2）先解一元一次不等式求出，再根据最小整数解为2列关于a的不等式求解即可得． 【详解】解：（1）， 得， ∴． ∵， ∴， 解得． （2）解不等式，得． ∵不等式有最小整数解2， ∴， 解得：． 【经典例题七 求一元一次不等式解的最值】 【例7】（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）已知的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是 ． （2）已知的解集中最小整数为-2，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】（1）根据不等式的解集中最大的整数是3，可得答案． （2）根据不等式的解集中最小整数为-2，可得答案． 【详解】解：（1）∵的解集中的最大整数为3， ∴， 故答案为：. （2）∵的解集中最小整数为-2， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的解集是解题关键． 1．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知是关于x，y的二元一次方程的的解．    (1)求a的值． (2)若y的取值范围如图所示，求x的最小值． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）将代入二元一次方程的可得一个关于的方程，解方程即可得； （2）先求出，再根据数轴可得，从而可得，解一元一次不等式即可得． 【详解】（1）解：将代入二元一次方程的得：， 解得． （2）解：由（1）得：， 则， 由数轴得：， 则， 解得， 所以的最小值是0． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解、解一元一次不等式等知识点，熟练掌握不等式的解法是解题关键． 2．（24-25七年级下·河南信阳·期末）已知、满足和，求的最小值． 【答案】3 【分析】解方程组得出，再根据知，解之即可． 【详解】解方程组，得， ∵， ∴，即， 解得：， ∴的最小值为3． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，正确解方程组和不等式是解题的关键． 3．（24-25七年级下·四川遂宁·期末）已知关于x、y的方程组的解满足． （1）求的取值范围； （2）已知，且，求的最大值． 【答案】（1）;（2）-7 【分析】（1）先利用加减消元法解二元一次方程组,用a表示的x、y,根据方程组的解满足不等式可得关于a的不等式,解不等式即可． （2）根据,得,即可用a表示, ,由（1）问a的范围,利用等式的基本性质求出5a-12的范围,即可求出z的范围． 【详解】解：（1）由题, 由有得． （2）由题,则,   由有．   所以的最大值为． 【点睛】本题考查二元一次方程组,解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法以及不等式组的解法． 【经典例题八 解|x|≥a型的不等式】 【例8】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 【答案】(1)；或 (2) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、二元一次方程组的特殊解法，求一元一次不等式组的整理数解等知识点，理解绝对值的几何意义是解答本题的关键． （1）根据阅读材料的结论即可解答； （2）先将二元一次的方程组的两方程求和可得，再代入得到关于的绝对值方程，然后求解，最后确定满足题意的的值即可． 【详解】（1）解：由阅读材料提供方法可得：的解集为； 的解集为或． 故答案为；或． （2）解：二元一次方程组 可得：，即 ， 是正整数 ． 1．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式和的解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求和的解集．确定的解集过程如图1： 先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： (1)请将小明的探究过程补充完整； 所以，的解集是或______①___________． 再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的数，请你在图2的数轴上确定范围②； 所以，的解集为：_______③________． 经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式的解集为___________④___________，的解集为___________⑤___________． 请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题： (2)求绝对值不等式的解集． 【答案】(1)①；②见解析；③；④或；⑤； (2)． 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法、绝对值的性质；熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键． （1）根据题意即可求得； （2）将的数字因数2化为1后，根据以上结论即可得． 【详解】（1）解：①∵， ∴或 故答案为：． 如下图： ∵， ∴ 故答案为：； ∵ ∴或； 故答案为：或 ∵ ∴； 故答案为： （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，或 (2)或 (3) 【分析】此题是一个阅读题目，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意． （1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定和的解集； （2）把当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出的取值范围，然后就可以求出的取值范围； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）根据题干规律可得，不等式（）的解集为； 不等式（）的解集为或； （2）由（1）得：由于， 所以或， 所以或， 所以的解集为或； （3）由绝对值的意义得方程的解就是求在数轴上到1和对应点的距离之和等于5的点对应的x的值， 因为数轴上1和对应点的距离为3， 所以满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得； 所以方程的解为或， 所以不等式的解集为． 3．（23-24七年级下·福建泉州·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离； 例1．解方程．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式．在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    例3．解方程．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．因为在数轴上1和对应的点的距离为3（如图），满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，因此方程的解是或．      参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________________； (2)解不等式：； (3)解不等式：． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了绝对值及不等式的知识： （1）利用在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或求解即可； （2）先求出的解，再求的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 【详解】（1）解：∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点对应的数为1或， ∴方程的解为或， 故答案为：或． （2）在数轴上找出的解， ∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点对应的数为或8， ∴方程的解为或， ∴不等式的解集为． （3）在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值， ∵在数轴上3和对应的点的距离为7， ∴满足方程的x对应的点在3的右边或的左边． 若x对应的点在3的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为或． 【经典例题九 列一元一次不等式】 【例9】（24-25七年级下·全国·课后作业）教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并正式施行．某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了 实际问题抽象出一元一次不等式，设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据“某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时”即可列出一元一次不等式． 【详解】解：由题意得：， 故选：A． 1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）为庆祝伟大的中国共产党成立 100 周年，某校德育处举行了以“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”为主题的党史知识竞赛．知识竞赛共 20 道题，每一题答对得 10 分，不答得0分，答错扣 5 分，小聪有 3 道题没答，竞赛成绩超过 90 分．设他答对了 x 道题，则根据题意可列出不等式为（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】小聪答对题的得分：10x；小聪答错的得分：-5（17-x），不等关系：小聪得分超过90分． 【详解】解：设他答对了x道题，根据题意，得 10x-5（17-x）>90． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住关键词语，找到不等关系是解题的关键． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）一次环保知识竟赛共有25道题．评委会决定：答对1道题得4分，答错或不答1道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上）．设小明答对了道题，则可列出的不等式为 ． 【答案】 3．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）阅读下列材料： 解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法： ∵，∴， 又∵，∴ ∴， 又∵，∴① 同理得：②， 由得， ∴的取值范围是 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，试确定的取值范围； (2)已知，若成立，试确定的取值范围（结果用含的式子表示）． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的运用、一元一次不等式的解法，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的解法，并能进行推理论证． （1）仿照材料方法，先求出的取值范围，同理得出的取值范围，即可求解； （2）仿照材料方法，先求出的取值范围，同理得出的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理得：②， 由得：， ∴的取值范围是； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理得：②， 由得：， ∴的取值范围是. 【经典例题十 用一元一次不等式解决实际问题】 【例10】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）旭东中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买副围棋和副中国象棋需用元；若购买副围棋和副中国象棋需用元． (1)求每副围棋和每副中国象棋各多少元 (2)旭东中学决定购买围棋和中国象棋共副，总费用不超过元，那么旭东中学最多可以购买多少副围棋？ 【答案】(1)每副围棋元，每副中国象棋元 (2)最多可以购买副围棋 【分析】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的实际应用，理解题意，找准题中等量关系是解题的关键． （1）设每副围棋为元，每副中国象棋元，根据题意列方程组即可求解； （2）设可以购买副围棋，根据题意列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设每副围棋为元，每副中国象棋元， ， 解得：， 答：每副围棋元，每副中国象棋元； （2）设可以购买副围棋， ， 解得：， 答：最多可以购买副围棋． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了解决雨季时城市内涝的难题，某市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了．按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务． (1)实际施工时，每天改造地下管网的长度是多少？ (2)施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么之后每天至少需要改造地下管网多少米？ 【答案】(1)实际施工时，每天改造地下管网的长度是 (2)之后每天至少需要改造地下管网 【分析】本题主要考查一元一次方程和一元一次不等式解实际应用，理解题意是解题的关键． （1）设原计划每天改造地下管网，则实际施工时每天改造地下管网，根据题意列出方程进行计算即可得到答案； （2）设之后每天改造地下管网．根据题意列出不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设原计划每天改造地下管网，则实际施工时每天改造地下管网． 由题意，得， 解得． ． 故实际施工时，每天改造地下管网的长度是； （2）解：设之后每天改造地下管网． 由题意，得， 解得． 故之后每天至少需要改造地下管网． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）甲，乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．五一劳动节假期期间两家商场都让利酬宾．甲商场按累计购物金额的收费，乙商场累计购物金额超过200元后，超出200元的部分按收费．设小红在一个商场累计购物金额为元，其中． (1)根据题意，填写表格（单位：元）： 累计购物金额 500 700 甲商场实际花费 400 乙商场实际花费 550 (2)当取何值时，小红在甲，乙两商场的实际花费相同？ (3)五一劳动节假期期间小红应如何选择这两家商场购物更省钱？ 【答案】(1)见解析 (2)当时，小红在甲，乙两商场的实际花费相同 (3)当小红累计购物金额超过600元时，在乙商场购物更省钱；当小红累计购物金额不足600元时，在甲商场购物更省钱；当小红累计购物金额为600元时，在两商场花费相同 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，关键是将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，列出不等式，进行求解． （1）根据两种购买方案即可求解； （2）小红在甲、乙两商场的实际花费相同即可列方程求解； （3）利用（1）所得代数式，分两种情况列不等式求解． 【详解】（1）解：， 在甲商场购买x元的金额时，实际花费是（元）； （元）， 在乙商场购买x元的金额时，实际花费是． 故填表为： 累计购物金额 500 700 甲商场实际花费 400 560 乙商场实际花费 410 550 （2）解：根据题意，得， 解得， 当时，小红在甲，乙两商场的实际花费相同． （3）解：由，得． 由，得， 当小红累计购物金额超过600元时，在乙商场购物更省钱；当小红累计购物金额不足600元时，在甲商场购物更省钱；当小红累计购物金额为600元时，在两商场花费相同． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）甲、乙两个工程队参与修建一小段长的高速公路，甲、乙两队一起修建12天可以完工．若甲队单独修建5天后乙队加入，两队再一起修建4天，刚好能够完成该工程的一半． (1)甲、乙两队每天各能修建多少米？ (2)若乙队参与修建该工程的时间不超过10天，则甲队至少需要修建多少天才能完成该工程？ 【答案】(1)， (2)15天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用． （1）根据题意列出二元一次方程组，解方程即可； （2）设甲队需要修建m天才能完成该工程，根据乙队参与修建该工程时间不超过10天列出不等式，可求解． 【详解】（1）解：设甲队每天修建，乙队每天修建． 依题意，得， 解得， 故甲队每天能修建，乙队每天能修建； （2）解：设甲队需要修建天才能完成该工程． 依题意，得， 解得． 故甲队至少需要修建15天才能完成该工程． 【经典例题十一 用一元一次不等式解决几何问题】 【例11】（24-25七年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且． (1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________； (2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)，， (2)当或时， (3)当为何值时，有最小值，最小值为 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负数，求出，，再根据中点的性质，即可； （2）根据题意，得到，，，分类讨论：当点在点的左侧时，当点在点的左侧时，解出，即可； （3）综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴线段的中点对应的数为：， 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴， ∵点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒， ∴，，， 当点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，当或时，． （3）解：由（2）得，点表示数是，点表示数是，点表示的数为，点表示数为； ∵为线段的中点，为线段的中点 ∴点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， ∴ 当点在点的右侧时，， ∴， ∴； ∴； 当点不在点的右侧，且点在点的右侧时， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点不在点的右侧，且点不在点的右侧时 ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为． 【点睛】本题考查一元一次方程，一元一次不等式，数轴，绝对值等知识，解题的关键是掌握一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，绝对值的非负性的应用，根据题意，列出方程，进行解答，即可． 1．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． (1)初步尝试：如图1，已知中，，，，P为AC上一点，当______时，与为积等三角形； (2)理解运用：如图2，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【答案】(1)3 (2)2或3 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，利用倍长中线的模型构造全等三角形是解题关键． （1）利用三角形中线的平分三角形面积即可解决问题 （2）由与为积等三角形，可得，过点C作，交的延长线于点E，证明，推出，，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，在中，， ∵，， ∴， ∴，， ∵与为积等三角形， ∴．，即， ∴． 当时，与为积等三角形． （2）解：如图，过点C作，交的延长线于点E， ∵与为积等三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴． ∴的长为2或3． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形中位线、全等三角形的判定与性质．理解并掌握积等三角形的定义，是解题的关键． 2．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在靠墙（墙长为）的地方围建一个长方形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为， （1）鸡场的长（对着墙的边长）与宽（与墙相邻的边长）的函数关系式为 ． （2）养鸡场的长大于宽，并求自变量的取值范围为 ． 【答案】 【分析】主要考查了求函数的解析式，一元一次不等式的应用，首先审清题意，发现变量间的关系；再列出关系式或通过计算得到关系式，需注意结合实际意义，关注自变量的取值范围． （1）根据长方形的周长公式和围成的长方形仅有三边，找到函数关系解答即可 （2）根据题意列不等式，求出自变量的取值范围即可． 【详解】解：（1）根据题意得：鸡场的长与宽有，即； （2）墙长为 ， ， ， 养鸡场的长大于宽， ，解得， 则自变量的取值范围为； 故答案为：；． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，．射线，点从点出发沿射线以的速度运动，当点出发后，点也从点出发沿射线以的速度运动，分别连接，．设点运动时间为，其中． (1)若，则的取值范围是 ； (2)当为何值时，； (3)是否存在某一时刻，使．若存在，请求出的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）由可得出，然后根据点的速度和运动时间列出不等式，解之即可得出结论； （2）分别表示出和的长度，由即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由结合可得出 点在线段上，根据平行线的性质可得出和的高相等，进而可得出，即，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 解得：， 当时，， 故答案为：； （2）由题意得：，， 或， ， 或， 解得：或， 即或时，； （3）， 点在线段上， ， 和的高相等， ， 即， 解得：， 即当秒时，． 【经典例题十二 在数轴上表示不等式的解集】 【例12】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，解集在数轴上表示见解析 (2)，解集在数轴上表示见解析 (3)，解集在数轴上表示见解析 【分析】本题考查了不等式的解法，熟练运用法则计算是解题的关键． （1）利用去括号、移项、合并同类项解不等式，并把解集在数轴上表示； （2）利用去分母、去括号、移项、合并同类项解不等式，并把解集在数轴上表示； （3）利用去括号、移项、合并同类项，系数化为1解不等式，并把解集在数轴上表示； 【详解】（1）解：去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得， 该不等式的解集在数轴上表示如图所示： （2）解：去分母，得， 去括号，得2． 移项，得． 合并同类项，得， 该不等式的解集在数轴上表示如图所示： （3）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得19． 系数化为1，得， 该不等式的解集在数轴上表示如图所示． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析； (2)；见解析． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项和系数化为1来解答． （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项和系数化为1来解答． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 将不等式的解集表示在数轴上如图． （2）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 将不等式的解集表示在数轴上如图． 2．（2021·山东潍坊·二模）在实数范围内规定新运算“”，规则是：，若不等式的解集在数轴上如图表示，则的值是 ． 【答案】-5 【分析】先根据运算法则变形不等式，然后再进行计算即可． 【详解】解： 2x-k≥3 x≥ ∵x≥-1 ∴=-1，解得k=-5． 故填-5． 【点睛】本题考查了在教轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式等知识点，区分在表示解集时 “空心”和“实心”是解答本题的关键． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）定义运算：，例如：，若关于的不等式的解集在数轴上如图所示，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，理解新定义的运算是正确解答的关键． 由新定义的运算可得，进而求出关于的不等式的解集，结合数轴上得到等式为，即，然后求解即可． 【详解】解：由新运算的定义可得可化为 ∴， ∵由数轴上表示的解集可知， ∴，解得． 故选：B． 【经典例题十三 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 【例13】（2024八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，则关于x满足的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】 本题主要考查了一次函数的图象，解题时要熟练掌握并能灵活运用图象分析是关键． 依据题意，根据图象可得，当时，，符合题意；当时，，符合题意，从而可以判断得解． 【详解】 解：由题意，根据图象可得，当时，，符合题意； 当时，，符合题意， ∴满足的取值范围是或． 故选：D． 1．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）一次函数与的图象如图所示，下列结论错误的是（    ） A．当时， B．当时， C．关于x，y的方程组的解为 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与方程、不等式的关系．根据一次函数与方程、不等式的关系，借助数形结合思想逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、观察图象知，当时，直线在直线的上方，则，故结论错误； B、观察图象知，当时，，故结论正确； C、关于x，y的方程组的解是一次函数与的图象的交点坐标，由图象知，两直线交于点，则方程组的解为，故结论正确； D、由图象知，两直线与y轴交点在x轴正半轴上，即，所以，故结论正确； 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数（为常数，且），在的范围内，至少有一个的值使得，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．因为一次函数当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，所以可以得到关于的不等式或，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：是一次函数， 当时，随的增大而减小， 至少有一个的值使得， 当时，有， 解得：； 当时，随的增大而增大， 至少有一个的值使得， 当时，有， 解得：； 的取值范围为或． 故答案为： 或． 3．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）先画图再填空： 作出函数的图象，并根据图象回答下列问题： (1)y的值随x的增大而______； (2)图象与x轴的交点坐标是______；与y轴的交点坐标是______； (3)当x______时，； (4)求函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】(1)作图见解析，减小 (2)， (3) (4) 【分析】（1）分别求时x的值、时y的值即可画出函数图象，根据一次项的图象判断增减性即可； （2）由（1）即可解答； （3）根据图象在x轴上方的部分对应的x的值解答即可； （4）根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：令，则，故函数图象与x轴的交点坐标为， 令，则，故函数图象与y轴的交点坐标为， 画图如下： 从图象可以看出随的增大而减小； 故答案为：减小； （2）解：图象与轴的交点坐标是，与轴的交点坐标是； 故答案为：，； （3）解：由图象可知：当时，； 故答案为：； （4）解：函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积是． 【点睛】此题考查了一次函数中的综合知识，涉及作图、增减性、交点坐标、与不等式的关系及与坐标轴围成的图形的面积，熟练掌握和运用一次函数的图象和性质是解决本题的关键． 【经典例题十四 根据两条直线的交点求不等式的解集】 【例14】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点，，与直线交于点． (1)求直线的函数表达式． (2)求点的坐标，并结合函数图象直接写出当时的取值范围． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题主要考查一次函数的相关知识，掌握待定系数法求一次函数解析式，两直线交点坐标的计算方法，根据图像的性质确定函数值大小等知识是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）联立直线与直线，解方程组即可求出点的坐标，再根据图象，当直线在直线上方时x的取值范围即为时的取值范围． 【详解】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于点，， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为； （2）解：联立， 解得：， ∴； 根据图象，当时，直线在直线上方， ∴时的取值范围为． 1．（2025·河北沧州·模拟预测）问题：探究函数的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： （1）在函数中，自变量x可以是任意实数； （2）下表是y与x的几组对应值． x … 0 1 2 4 … y … 1 0 0 m … ①求m的值； ②若，为该函数图象上不同的两点，求的值． （3）在如图所示的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；根据函数图象可得： ①求该函数的最小值； ②已知直线与函数的图象交于，点，直接写出当时x的取值范围． 【答案】（2）    （3）图见解析       【分析】（2）①把代入，得，由此即可求出的值；②把代入，得，解方程即可求出与的值，进而可求出的值； （3）在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象即可；①由函数图象即可直接得出该函数的最小值；②在同一平面直角坐标系中画出直线，由函数图象即可直接得出时的取值范围． 【详解】解：（2）①把代入，得： ； ②把代入，得： ， 解得：或， ； （3）画出该函数的图象如下： ①由函数图象可知：该函数的最小值为； ②在同一平面直角坐标系中画出直线， 由函数图象可知：时的取值范围是：． 【点睛】本题主要考查了用描点法画函数图象，从函数的图象获取信息，根据两条直线的交点求不等式的解集，代数式求值，求函数值，用表格表示变量间的关系，绝对值方程等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． 2．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数的图像与坐标轴交于、两点，且，与正比例函数的图像交于点，若． (1)求一次函数和正比例函数的表达式； (2)结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，求一次函数解析式； （1）先求出两点坐标，即可求出解析式，再设点坐标根据列方程求出点坐标代入计算即可； （2）观察函数图象发现满足不等式的点都在点左边，即可解不等式． 【详解】（1）解：， ，代入， 得：， 解得， 一次函数的表达式为：， 将代入：，中得， 代入中得 ； （2）解：由图可得不等式：的解集为． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）已知：如图所示，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与y轴交于点M． (1)求直线的表达式． (2)求的面积． (3)点是x轴上一个动点，过点P垂直于x轴的直线分别与直线和交于C、D两点，当点C位于点D上方时，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题考查两条直线平行、相交问题，解题的关键是灵活应用待定系数法，学会利用图象，根据条件确定自变量取值范围． （1）先求出点B坐标，再利用待定系数法即可解决问题． （2）把代入解析式，求出M坐标，利用三角形面积公式解答即可； （3）由图象可知直线在直线上方即可，由此即可写出n的范围． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴点， 设直线的表达式为， 将，代入得：， 解得， ∴直线的表达式为； （2）将代入，得：， ∴， ∴， ∴的面积； （3）当点C位于点D上方时，即是直线在直线上方，如图： 由图象可知． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．不等式的整数解有无数个 B．不等式的非负整数解有有限个 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的解和解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的方法和一元一次不等式解的定义是解题的关键．根据不等式的解和解一元一次不等式的相关概念求解并判断，即可解题． 【详解】解：A、不等式的整数解有无数个，正确，不符合题意； B、不等式的非负整数解有无限个，选项说法错误，符合题意； C、不等式的解集是，正确，不符合题意； D、， ，即是不等式的一个解，正确，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）有若干名学生星期天去公园游玩，公园售票窗口标明票价：每人10元，团体票25人以上（含25人）可享八折优惠．若选择购买单人票比选择购买团体票更划算，则学生最多有（   ） A．23名 B．25名 C．19名 D．20名 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意正确列出不等式是解题的关键． 设有x人．则买团体票需要的钱数是，买单人票需要的钱数是购买单人票比选择购买团体票更划算列出不等式求解即可． 【详解】解：设有x人．则，解得：， 所以他们至少有19名． 故选C． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）若不等式的解都能使关于x的一元一次不等式成立，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别求出不等式的解集，根据题意得到，即可得到答案． 【详解】解：不等式的解集为， 不等式的解集为， 由题意，得， 解得． 故选A． 4．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）如图，是一角度为的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：、、…，且…，在、足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为（    ） A．15根 B．16根 C．17根 D．无数根 【答案】C 【分析】本题考查了图形类规律探索，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，正确理解题意是解题关键．根据题意发现一般规律，添加根钢管，有个等腰三角形，且第个等腰三角形的底角为，再由等腰三角形的底角小于，得出，即可得到答案． 【详解】解：添加一根钢管时，，即， 添加两根钢管时，； ，即， 添加三根钢管时，； ，即， ； …… 观察发现，添加根钢管，有个等腰三角形，且第个等腰三角形的底角为， 等腰三角形的底角小于， ， ， 即最多能添加这样的钢管的根数为根， 故选：． 5．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下面说法中正确的有（   ） ①是方程的一组解；②若，则；③是的解集；④若，那么的取值范围是；⑤二元一次方程只有两组正整数解． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的解，不等式的性质，一元一次不等式的解集，绝对值的意义逐个分析即可． 【详解】解：①当时，，∴不是方程的一组解，故不正确； ②若，则当时，，故不正确； ③是的一个解，而不是解集，故不正确； ④若，那么的取值范围是，即，正确； ⑤∵，∴，∴，，∴二元一次方程只有两组正整数解，正确． 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，不等式的性质，一元一次不等式的解集，绝对值的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 6．（24-25八年级上·四川德阳·期中）已知的三边长分别为，，10．则的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，由此得到关于的不等式组，即可求出的取值范围．关键是掌握三角形三边关系定理． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， 解①得， 解②得， 解③得， 不等式组的解集为． 故答案为：． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）采石场工人爆破时，为了确保安全，点燃炸药导火线后要在爆破前转移到离点火点以外的安全区域．已知导火线燃烧的速度是，人离开的速度是，则需要导火线的长至少是 ． 【答案】80 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设导火线的长度至少需要，根据导火线燃烧速度是，人离开的速度是，到以外的安全区域可列不等式求解． 【详解】解：设导火线的长度需要， ， 解得． 故导火线的长度至少需要， 故答案为：80． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，两方程相减整理得，结合知，解之即可． 【详解】解：， ①②，得， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）购物车是我们在超市购物经常用到的工具．如图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加．若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输 辆购物车． 【答案】 【分析】本题考查了求函数表达式，一元一次不等式的应用．根据一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加，设采购了n辆购物车，车身总长为L，结合“已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车”，得出，再解不等式，即可作答． 【详解】解：设采购了n辆购物车，车身总长为L， ∵一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加 ∴ ∵已知该商场的直立电梯长为， 令， 解得： ∵一次可以运输两列购物车， ∴一次性最多可以运输18辆购物车； 故答案为：． 10．（24-25九年级上·北京·阶段练习）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元盒、65元盒、80元盒、90元盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客手机支付成功后，李明会得到支付款的． ①当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元； ② 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出算式和不等式是解题的关键． ①先求出该笔订单的总金额，然后求出优惠后的金额即可； ②在促销活动中，设订单总金额为元，若，则没有优惠，可得到支付款为（），符合题意；若，依题意可得，解得，由即可得出的最大值． 【详解】解：①当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，总金额为： （元）， 一次购买水果的总价已达到120元， 需要支付：（元）； ②在促销活动中，设订单总金额为元， 若，则没有优惠，可得到支付款为（），符合题意， 若，依题意可得：， 解得：， ， ， ， 即：的最大值为； 故答案为：，． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并在数轴上表示解集： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，解集表示见解析 (2)，解集表示见解析 (3)，解集表示见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，并在数轴上表示解集； （1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，并在数轴上表示解集，即可求解； （2）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，并在数轴上表示解集，即可求解； （3）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，并在数轴上表示解集，即可求解； 掌握解一元一次不等式的步骤，并会在数轴上表示解集是解题的关键． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集在数轴上表示如图： （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集在数轴上表示如图： （3）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集在数轴上表示如图： 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于的二元一次方程组 (1)用含的式子表示此方程组的解为________； (2)若方程组的解满足．求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组、解一元一次不等式等知识，熟练掌握解二元一次方程组、解一元一次不等式的方法步骤是解决问题的关键． （1）利用加减消元法先求出，再将只代入二元一次方程组中的其中一个方程求解即可得到答案； （2）由（1）知，将的值代入解一元一次不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：， 由①②得， 解得； 将代入②得； 原方程组的解为， 故答案为：； （2）解：由（1）知， ， ， 解得． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足． (1)若m为非负整数，求m的值； (2)在m的取值范围内，m为何整数时，关于x的不等式的解集为？ 【答案】(1)1或0； (2)符合条件的m的整数值为1． 【分析】本题主要考查解二元一次方程组以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先解二元一次方程组，得到，由题意得到，求出，即可得到非负整数； （2）不等式的解集为，得到，即可得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：，得， ． 又， ，解得． 为非负整数， 的值为1或0． （2）解：不等式的解集为， ． 又 符合条件的m的整数值为1． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键． （1）去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可． （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【详解】（1）解： 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 15．（24-25七年级上·山东临沂·期末）在“生命，幸“盔”，有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高，某电动自行车店计划分别购进30个安全头盔和若干副电动自行车手套，店经理联系了批发商，他们之间的对话如下： (1)电行动自车店计划购买30个安全头盔和100副手套，若选择方案二共需花费 元． (2)电动自行车店计划购买30个安全头盔和副手套． 若选择方案一购买，需要花费 元（用含的代数式表示）； 若选择方案二购买，需要花费 元（用含的代数式表示）． (3)经理想购买30个安全头盔和副手套，应该如何选择购买方案能更省钱？ 【答案】(1)5550 (2)， (3)当时，方案一和方案二花费一样；当时，方案一省钱；当时，方案二省钱 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、列代数式、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据方案二的购买方式列式计算即可得解； （2）根据方案一、方案二的购买方式列出代数式即可； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：（元）； （2）解：由题意可得：若选择方案一购买，需要花费元； 若选择方案二购买，需要花费元； （3）解：当时，解得，故当时，方案一和方案二花费一样， 当时，且，解得，方案二省钱， 当时，且，解得，方案一省钱． 学科网（北京）股份有限公司 $$