热点01 中考计算考点相关（10大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（浙江专用）

热点01 中考计算考点相关 中考数学中计算相关部分主要考向分为三类： 一、数与式（每年4~6道，12~19分） 二、方程（组）与不等式（组）（每年2~3道，6~12分） 三、统计与概率（每年3~4题，12~20分） 虽然中考在改革，但是不管怎么改，计算永远是数学中考的基础，是必须完全拿到的分数；又因为中考的改革，计算相关考点在试卷中的呈现也有所变化。其中，数与式部分不要考察三个方面：①实数基本概念及其计算、②因式分解、③整式与分式结合的代数式求值和分式有意义的条件、④二次根式的定义与化简计算；方程（组）与不等式（组）的考察不仅仅局限于单独出题，而是更多的融入大题中，特别是一元二次方程，很少单独出题，却是辅助解决综合题的重要一步；统计与概率依然每年必考，但是小题部分基本只有1~2题，简答题必出1~2题。以上考点其实都有“考点易懂”、“难度不大”、“总分值占比较高”、“有效辅助简答题”的特点，这也告诉我们，中考的改革，必须把计算的基础打牢，这样才能不仅不丢计算分值，简答题还能不因计算失分。 考向一：数与式 【题型1 实数基本概念及其计算】 实数内的基本概念包括：数轴、相反数、绝对值、倒数、有理数、无理数、科学记数法； 做这种概念类题目时记牢以下4点：①熟悉各概念的基本定义，特别注意各概念中0的特殊存在；②必须读对题意，问的是什么就想对应的考点；③如果是选择题，确保4个选项都要全看完，再说选哪个选项；④做到数轴、绝对值相关的问题，注意需不需要分类讨论。 实数比较大小的常见方法：①法则法：正数＞0＞负数；②数轴法：数轴上的数，右边的总比左边的大；③绝对值法：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；④平方法：两个正数比较大小，谁的平方大，谁本身就大，两个负数比较大小，谁的平方大，谁本身反而小； 注意：个别实数的比较大小会结合其他基本概念或计算，这类问题要同时兼顾结合考点的性质再做比较 实数的运算是实数内各种概念法则运算的结合，一般以简答题为主，个别会出填空题，这也就决定了实数的运算需要我们注意的三个方面： ①实数的运算必须熟悉的几个法则：零指数幂运算、负指数幂运算、绝对值的化简、根式的化简计算、特殊角的三角函数值计算等； ②实数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的； ③实数的运算，先确定化简的正负，再进行合并计算。 1．（2024•浙江）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（　　） 北京 济南 太原 郑州 0℃ ﹣1℃ ﹣2℃ 3℃ A．北京 B．济南 C．太原 D．郑州 【分析】有理数大小比较的法则：（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【解答】解：|﹣1|＝1，|﹣2|＝2， ∵1＜2， ∴﹣1＞﹣2； ∵3℃＞0℃＞﹣1℃＞﹣2℃， ∴所给的四个城市中某天中午12时气温最低的城市是太原． 故选：C． 2．（2024•浙江）2024年浙江经济一季度GDP为201370000万元，其中201370000用科学记数法表示为（　　） A．20.137×109 B．0.20137×108 C．2.0137×109 D．2.0137×108 【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【解答】解：201370000＝2.0137×108， 故选：D． 3．（2024•温州模拟）给出四个实数，1，0，﹣1，其中最大的是（　　） A． B．1 C．0 D．﹣1 【分析】由于正数大于0，0大于负数，因此只需要比较出与1的大小关系即可得到答案． 【解答】解：∵2＞1， ∴， ∴， ∴四个实数中，最大的数为， 故选：A． 4．（2024•拱墅区校级模拟）实数，0，，1.5中无理数是（　　） A． B．0 C． D．1.5 【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【解答】解：是无限不循环小数，它是无理数， 故选：A． 5．（2024•桐乡市校级一模）2024年春运嘉兴南站旅客发送量约121万人次．数据121万用科学记数法表示为（　　） A．1.21×106 B．12.1×106 C．1.21×105 D．1.21×102 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：121万＝1210000＝1.21×106． 故选：A． 6．（2025•浙江一模）计算：|﹣2|﹣2tan60°＝　3　． 【分析】明确熟记sin60°，tan60°，再回归题目逐步计算即可． 【解答】解：原式＝41+2﹣2 ＝21+2﹣2 ＝3， 故答案为：3． 7．（2024•浙江）计算：． 【分析】利用负整数指数幂，立方根的定义，绝对值的性质计算即可． 【解答】解：原式＝4﹣2+5 ＝7． 8．（2024•滨江区校级三模）计算：． 【分析】先化简二次根式、绝对值，负整数指数幂、特殊角三角函数，再进行计算即可． 【解答】解：原式 ＝2． 【题型2 因式分解】 因式分解的步骤：一提（公因式），二套（乘法公式），三十字（十字相乘法）；注意：第一步就要提彻底。 1．（2024•浙江）因式分解：a2﹣7a＝　a（a﹣7）　． 【分析】用提取公因式法分解因式即可． 【解答】解：a2﹣7a＝a（a﹣7）． 故答案为：a（a﹣7）． 2．（2024•宁波模拟）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+4y2 B．﹣x2+4y2 C．x2﹣2y+1 D．﹣x2﹣4y2 【分析】能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差． 【解答】解：A．x2+4y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式； B．﹣x2+4y2是2y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式； C．x2﹣2y+1是三项不能用平方差公式分解因式； D．﹣x2﹣4y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式． 故选：B． 3．（2024•钱塘区一模）下列因式分解正确的是（　　） A．4a2﹣1＝（4a+1）（4a﹣1） B．﹣a2+25＝（5+a）（5﹣a） C．a2﹣6ab﹣9b2＝（a﹣3b）2 D．a2﹣8a+16＝（a﹣8）2 【分析】根据平方差公式和完全平方公式逐个判断即可． 【解答】解：A．4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1），故本选项不符合题意； B．﹣a2+25＝（5+a）（5﹣a），故本选项符合题意； C．a2﹣6ab+9b2＝（a﹣3b）2，故本选项不符合题意； D．a2﹣8a+16＝（a﹣4）2，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．（2024•浙江模拟）因式分解：2m2﹣32＝　2（m+4）（m﹣4）　． 【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【解答】解：2m2﹣32 ＝2（m2﹣16） ＝2（m+4）（m﹣4）， 故答案为：2（m+4）（m﹣4）． 5．（2024•西湖区校级二模）小璐在研究数学题的时候发现：任意两个连续偶数的平方和是4的奇数倍． （1）计算22+42的结果是4的几倍？ （2）设两个连续偶数较小的一个为2n（n为整数），请论证“发现”中的结论正确； （3）任意三个连续偶数的平方和一定是4的奇数倍吗？　否　（填“是”或“否”）． 【分析】（1）根据平方运算法则计算出结果，再除以4即可； （2）根据平方运算法则计算出结果，然后再提取公因式即可； （3）根据（2）的计算方法计算出结果，然后判断倍数关系即可． 【解答】解：（1）∵22+42 ＝4+16 ＝20， 20÷4＝5， ∴22+42的结果是4的5倍． （2）设两个连续偶数较小的一个为2n（n为整数），则较大的偶数为2n+2， 则它们的平方和： （2n）2+（2n+2）2 ＝4n2+4n2+8n+4 ＝8n2+8n+4， （8n2+8n+4）÷4＝2（n2+n）+1， ∵n为整数， ∴2（n2+n）为偶数， ∴2（n2+n）+1为奇数， 即任意两个连续偶数的平方和是4的奇数倍． （3）设三个连续偶数较小的一个为2n（n为整数），则中间的偶数为2n+2，最大的偶数为2n+4， 则它们的平方和： （2n）2+（2n+2）2+（2n+4）2 ＝4n2+4n2+8n+4+4n2+16n+16 ＝12n2+24n+20 ＝4（3n2+6n+5）， ∴任意三个连续偶数的平方和是4的倍数，但不是奇数倍． 故答案为：否． 【题型3 整式的计算与代数式化简求值】 完全拿下这部分分数，首先需要我们完全熟悉整式中的所有计算公式，特别是完全平方公式与平方差公式，变形也得掌握；其次要掌握整式的混合运算的顺序；最后，整式的化简求值，必须先化简，再带入数据求值。 1、常见必会计算公式：①am•an＝a m+n（m，n是正整数） ②（am）n＝amn（m，n是正整数） ③（ab）n＝anbn（n是正整数） ④am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ⑤（a±b）2＝a2±2ab+b2⑥（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 2、完全平方公式的常见变形： 3、其他技巧：代数式的化简计算，其实就是分式通分、约分、去括号法则与合并同类项法则的联合应用，所以两个法则的注意事项也是代数式化简的注意事项。 技巧总结：分式的化简求值问题中，加减通分，乘除约分，结果最简，喜欢的数适当的大，适合的数排除分母。 1．（2024•浙江）下列式子运算正确的是（　　） A．x3+x2＝x5 B．x3•x2＝x6 C．（x3）2＝x9 D．x6÷x2＝x4 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法及幂的乘方与积的乘方进行计算，逐一判断即可． 【解答】解：A．x3+x2不能合并同类项，故本选项不符合题意； B．x3•x2＝x5，故本选项不符合题意； C．（x3）2＝x6，故本选项不符合题意； D．x6÷x2＝x4，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（2024•浙江一模）设x是用字母表示的有理数，则下面各式中必大于零的是（　　） A．x+2 B．2x C．|x| D．x2+2 【分析】含绝对值、平方的数都是非负数，它们的值都大于等于0，由此可解此题． 【解答】解：当x＜0时，x+2与2x都小于0， 当x＝0时，|x|＝0， 而不论x取何值，x2≥0，x2+2必大于0． 故选：D． 3．（2024•瓯海区校级三模）将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片（a＞b），用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（　　） A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．（a+b）2 D．（a﹣b）2 【分析】由图1得，一个小长方形的长为a，宽为b，由图2得：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，代入计算． 【解答】解：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积， ＝（a+b）2﹣4ab， ＝a2+2ab+b2﹣4ab， ＝（a﹣b）2； 故选：D． 4．（2024•浙江模拟）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑩个图案用的木棍根数是（　　） A．39 B．44 C．49 D．54 【分析】根据前几个图形，得出后一个图形比前一个的木棍数多5根，据此规律求解即可． 【解答】解：由图可知：第1个图案用了4+5＝9根木棍， 第2个图案用了4+5×2＝14根木棍， 第3个图案用了4+5×3＝19根木棍， 第4个图案用了4+5×4＝24根木棍， ⋯ ∴第n个图案用的木棍根数是4+5n； 当n＝10时，4+5×10＝54， 故选：D． 5．（2024•鹿城区一模）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．﹣3 B．0 C．﹣2 D．2 【分析】根据分母不为零且分子为零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， 3x+6＝0且x﹣2≠0， 解答x＝﹣2． 故答案为：C． 6．（2024•镇海区校级三模）若分式有意义，则x的取值范围是 　x≠2　． 【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零得出x﹣2≠0，求解即可． 【解答】解：∵分式有意义， ∴x﹣2≠0， ∴x≠2， 故答案为：x≠2． 7．（2024•西湖区三模）已知ab≠0，若5ab＝a+b，则　5　． 【分析】先根据分式的加减法则把原式进行化简，再把5ab＝a+b代入进行计算即可． 【解答】解：， ∵ab≠0，5ab＝a+b， ∴原式5． 故答案为：5． 8．（2024•温州模拟）（1）计算：； （2）化简：． 【分析】（1）先计算零指数幂和算术平方根，再去绝对值，最后计算加减法即可； （2）先利用完全平方公式去括号，然后合并同类项即可． 【解答】解：（1） ＝3+1﹣2+2 ＝4； （2） ＝a2+6a+9﹣6a﹣9 ＝a2． 9．（2024•仙居县三模）计算： （1）（﹣2）2|﹣3|； （2）先化简，再求值：，其中a3． 【分析】（1）先根据数的乘方及开方法则，绝对值的性质，分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可； （2）先根据分式的加减法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【解答】解：（1）原式； （2）原式 ， 当 时，原式． 10．（2024•温岭市一模）先化简，再求值：（5a2﹣3b2）+2（2b2﹣3a2），其中a＝﹣1，b＝2． 【分析】将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可． 【解答】解：原式＝5a2﹣3b2+4b2﹣6a2 ＝b2﹣a2； 当a＝﹣1，b＝2时， 原式＝22﹣（﹣1）2＝4﹣1＝3． 【题型4 二次根式的定义及其化简计算】 1、二次根式有意义的条件：被开方数整体≥0 注意：和分式结合的二次根式，不仅要满足被开方数整体≥0，还要同时满足分母≠0 2、二次根式化简计算相关技巧： ①二次根式的加减，先根据二次根式的性质公式化简，再合并同类二次根式； ②二次根式的乘除，按照二次根式的运算公式直接计算； ③二次根式混合运算顺序同实数混合运算顺序一样； ④二次根式的运算结果必须化简成最简二次根式。 1．（2024•余姚市一模）下列计算正确的是（　　） A．3 B．3 C．±3 D．±3 【分析】根据二次根式的性质进行化简，从而作出判断． 【解答】解：A、原式＝3，故此选项不符合题意； B、原式＝3，故此选项符合题意； C、原式＝3，故此选项不符合题意； D、原式＝3，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．（2024•拱墅区校级二模）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　x≥2　． 【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣2≥0，解之即可求出x的取值范围． 【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 3．（2024•临安区一模）将二次根式化简，正确的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】把二次根式化为的形式，进而可得出结论． 【解答】解：10． 故选：C． 4．（2024•滨江区二模）计算：（　　） A． B． C． D． 【分析】先把算式中的二次根式化为最简二次根式，然后进行计算即可． 【解答】解：原式 ， 故选：B． 5．（2024•钱塘区一模）已知x＝1，y＝1，则x2+3xy+y2的值为 　3　． 【分析】根据二次根式的加法法则、乘法法则分别求出x+y、xy，根据完全平方公式把所求的式子变形，代入计算即可． 【解答】解：∵x＝1，y＝1， ∴x+y＝（1）+（1）＝2，xy＝（1）（1）＝1﹣2＝﹣1， 则x2+3xy+y2 ＝x2+2xy+y2+xy ＝（x+y）2+xy ＝22﹣1 ＝3， 故答案为：3． 6．（2024•浙江模拟）问题：先化简，再求值：2a，其中a＝3． 小宇和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下． 小宇的解答过程如下： 解：2a ＝2a（第一步） ＝2a+a﹣5……（第二步） ＝3a﹣5．……（第三步） 当a＝3时， 原式＝3×3﹣5＝4．……（第四步） 小颖为验证小宇的做法是否正确，她将a＝3直接代入原式中： 2a ＝6 ＝6+2 ＝8． 由此，小颖认为小宇的解答有错误，你认为小宇的解答错在哪一步？并给出完整正确的解答过程． 【分析】根据二次根式的性质将二次根式进行化简后，再代入求值即可． 【解答】解：错在第二步， 原式＝2a2a+|a﹣5|， ∵a＝3＜5， ∴a﹣5＜0， ∴原式＝2a+（5﹣a） ＝a+5， 当a＝3时， 原式＝3+5 ＝8． 考向二：方程（组）与不等式（组） 【题型5 一次方程（组）与分式方程】 1、解一次方程应用题，遵循5个步骤，其各个步骤的注意事项如下： 步骤 要点 “审”（即审题） “审”题目中的已知量、未知量、基本关系； “设”（即设未知数） 一般原则是：问什么就设什么；或未知量较多时，设较小的量，表示较大的量 “列”【即列方程】 找准题目中的等量关系，根据等量关系列出方程 “解”【即解方程】 根据一次方程（组）的解法解出方程，注意解方程的过程不需要在解答中体现 “验”（即检验） 非题目要求，此步可以不写 检验分两步，一是检验方程是否解正确；二是检验方程的解是否符合题意 “答”（即写出答案） 最后的综上所述 2、中考中对于一次方程的应用题并不会考这么多，多以选择、填空题出题，也就意味着只考到列方程这步就可以了。 3、解分式方程基本步骤：①去分母；②解整式方程；③验根（分式方程的应用题也要有“验根”这一步！） 4、分式方程的增根：使分式方程分母=0的未知数的值； 5、分式方程会无解的几种情况 ①解出的x的值是增根，须舍去，无解 ②解出的x的表达式中含参数，而表达式无意义，无解 ③同时满足①和②，无解 6、求有增根分式方程中参数字母的值的一般步骤： ①让最简公分母为 0 确定增根； ②去分母，将分式方程转化为整式方程； ③将增根带入（当有多个增根时，注意分类，不要漏解）； ④解含参数字母的方程的解。 1．（2024•西湖区校级二模）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载：绳索量竿问题，“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子去量竿，却比竿子短一托”．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿长x尺，绳索长y尺，则符合题意的方程组是（　　） A． B． C． D． 【分析】设，竿子长为x尺，索长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组． 【解答】解：设索长为x尺，竿子长为y尺， 根据题意得：． 故选：B． 2．（2024•台州模拟）学校要制作一块广告牌，请来两名工人，已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，若先由乙做1天，再两人合作，完成任务后共得到报酬900元，若按各人的工作量计算报酬，则分配方案为（　　） A．甲360元，乙540元 B．甲450元，乙450元 C．甲300元，乙600元 D．甲540元，乙360元 【分析】乙先做一天，很容易可以求出第一天乙做了总工作量的，剩下了由甲乙共同完成，可设甲乙两人还需y天完成剩余的，则可以列出一元一次方程，进而求出y的值，然后按工作量比例分配报酬． 【解答】解：设乙做1天后，两人一起还要y天能完成剩余工作量， 由题意，得yy＝1， 解得y＝2， 所以乙共完成总工作量的（2+1），报酬为900＝450（元）， 甲完成总工作量的2，报酬为900＝450（元）， 故选：B． 3．（2024•拱墅区模拟）随着快递业务量的增加，某快递公司为快递员更换快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每天300件提高到420件，平均每人每天比原来多投递8件．若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每天投递快件多少件？设原来平均每人每天投递快件x件，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】设原来平均每人每天投递快件x件，则更换快捷的交通工具后平均每人每天投递快件（x+8）件，根据该快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：设原来平均每人每天投递快件x件，则更换快捷的交通工具后平均每人每天投递快件（x+8）件， 依题意得：． 故选：D． 4．（2024•钱塘区三模）已知二元一次方程组，则2m﹣n的值为 　7　． 【分析】把两个方程相加，从而可求解． 【解答】解：， ①+②得：2m﹣n＝7． 故答案为：7． 5．（2025•镇海区校级模拟）已知关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2 【分析】先求解方程的增根，再将分式方程化为整式方程，将方程的增根代入整式方程计算可求解． 【解答】解：∵关于x的分式方程有增根， ∴x﹣1＝0， 解得：x＝1， ∴， 方程的两边同乘（x﹣1）得：2x＝m+5（x﹣1）， 解得：m＝﹣3x+5， ∴m＝﹣3×1+5＝2， 故选：D． 6．（2024•婺城区校级模拟）关于x的方程：的解为正数，则m的取值范围　m＜﹣6且m≠﹣12　． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为正数，确定出m的范围即可． 【解答】解：去分母得：4x＝﹣m+2（x﹣3）， 解得：， ∵分式方程的解为正数， 且， 解得：m＜﹣6且m≠﹣12． 故答案为：m＜﹣6且m≠﹣12． 7．（2024•瑞安市校级模拟）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得（x﹣1）﹣（x﹣4）＝2﹣x 去括号，得x﹣1﹣x+4＝2﹣x 合并同类项，得3＝2﹣x 解得x＝﹣1 ∴原方程的解是x＝﹣1 小迪 解：去分母，得（x﹣1）+（x﹣4）＝﹣1 去括号得x﹣1+x﹣4＝﹣1 合并同类项得2x﹣5＝﹣1 解得x＝2 经检验，x＝2是方程的增根，原方程无解 老师批改时说小丁和小迪的解题过程有错误，请你把小丁和小迪开始错误的步骤划上横线，然后写出正确的解答过程． 【分析】根据解分式方程的步骤进行计算并判断和解答即可． 【解答】解：小丁和小迪的解法都是第一步错误（划线略）； 正确解法如下： 去分母得：x﹣1+x﹣4＝2﹣x， 移项，合并同类项得：3x＝7， 解得x， 检验：将x代入（x﹣2）中可得：20， 故原分式方程的解是x． 8．（2024•黄岩区一模）（1）计算：|﹣5|22． （2）解方程组：． 【分析】（1）先根据绝对值，算术平方根和有理数的乘方进行计算，再算加减即可； （2）先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可． 【解答】解：（1）|﹣5|22 ＝5+3﹣4 ＝4； （2）， ①+②，得5x＝15， 解得：x＝3， 把x＝3代入①，得9+y＝10， 解得：y＝1， 所以方程组的解是． 9．（2024•仙居县二模）解方程：． 【分析】先在方程两边同时乘（x+2）（x﹣2）得整式方程，然后通过去括号，移项，合并同类项，系数化成1，求出x，再把x的值代入（x+2）（x﹣2）进行检验即可． 【解答】解：， 方程两边同时乘（x+2）（x﹣2）得： 3x（x﹣2）+x+2＝3（x+2）（x﹣2）， 3x2﹣6x+x+2＝3x2﹣12， 3x2﹣5x+2＝3x2﹣12， 3x2﹣3x2﹣5x＝﹣12﹣2， ﹣5x＝﹣14， ， 检验：把代入（x+2）（x﹣2）≠0， ∴是原分式方程的解． 【题型6 一元二次方程】 1、对于一元二次方程的一般形式：， (1) 方程有两个不相等的实数根 (2) 方程有两个相等的实数根 (3) 方程没有实数根 注意：在应用根的判别式时，若二次项系数中含有字母，注意二次项系数不为0这一条件； 当时，可得方程有两个实数根，相等不相等未知 2、一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根为，则有， 当问题中出现“方程的两个根是……”时，通常就要想其根与系数的关系了，若不能直接利用原公式，则结合完全公式，想其常用变形： 3、一元二次方程的解法有4种，重点记忆配方法、因式分解法、公式法。 其中注意事项： 配方法——需要加上的数字是一次项系数一半的平方（的系数为1），并且先移项，再配方； 因式分解法——重点掌握十字相乘法（常用公式：）； 公式法——使用这种解法，必须先分析a、b、c的值，求出的值，再带入公式 1．（2024•鄞州区模拟）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（　　） A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1 【分析】先移项得到（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，再利用因式分解法把方程转化为x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣2﹣2x）＝0， x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0， 所以x1＝2，x2＝﹣2． 故选：B． 2．（2024•鹿城区校级三模）关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实数根，则k的值可以是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围，再对照四个选项即可得出结论． 【解答】解：∵方程x2﹣4x+k＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4k≥0， 解得：k≤4． 故选：A． 3．（2024•鹿城区校级三模）某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可销售200件．值此父亲节来临之际，该店实行降价促销．经调查发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件．当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x元，可列出方程为（　　） A．（80﹣x）（200﹣20x）＝8000 B．（80﹣x）（200+20x）＝8000 C．（80﹣50﹣x）（200﹣20x）＝8000 D．（80﹣50﹣x）（200+20x）＝8000 【分析】根据（售价﹣进价）×销售量＝利润，可以列出相应的方程． 【解答】解：由题意可得， （80﹣50﹣x）（200+20x）＝8000， 故选：D． 4．（2024•富阳区一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为a※b＝3（a+b）﹣5ab，根据这个规则，方程x※（x+1）＝﹣1的解是（　　） A．x B．x＝1 C．x或x＝1 D．x或x＝1 【分析】分析题意，按新定义的运算对方程变形可得3[x+（x+1）]﹣5x（x+1）＝﹣1；对以上方程整理，先化为一般形式，再因式分解，可得（5x+4）（x﹣1）＝0；接下来用一元一次方程的解法求出方程的两个解即可． 【解答】解：∵a※b＝3（a+b）﹣5ab， ∴方程x※（x+1）＝﹣1变形为3[x+（x+1）]﹣5x（x+1）＝﹣1， ∴5x2﹣x﹣4＝0， ∴（5x+4）（x﹣1）＝0， ∴5x+4＝0，x﹣1＝0， ∴x或x＝1． 故选：C． 5．（2024•镇海区校级二模）已知a是方程x2﹣2024x+1＝0的一个根，则（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【分析】根据方程的解的定义得出a2﹣2024a+1＝0，然后变形为a2+1＝2024a，a2＝2024a﹣1，，代入要求的式子计算即可． 【解答】解：∵a是方程x2﹣2024x+1＝0的一个根， ∴a2﹣2024a+1＝0， ∴a2+1＝2024a，a2＝2024a﹣1，a≠0， ∴， 即， ∴ ＝2024a﹣1﹣2023a ＝a﹣1 ＝2024﹣1 ＝2023， 故选：B． 6．（2024•拱墅区校级模拟）已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则　6　． 【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣1， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝4+2＝6． 故答案为：6． 7．（2024•钱塘区二模）解下列方程： （1）（x﹣2）2+2x﹣4＝0； （2）． 【分析】（1）利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得； （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：（1）（x﹣2）2+2x﹣4＝0， （x﹣2）2+2（x﹣2）＝0； （x﹣2）（x﹣2+2）＝0， x（x﹣2）＝0， 则x＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝0，x2＝2； （2）原方程去分母得：x+1＝2（x﹣1）， 解得：x＝3， 检验：当x＝3时，x﹣1≠0， 则x＝3是分式方程的根． 8．（2024•江北区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0． （1）从1，2，3三个数中，选择一个合适的数作为a的值，要使这个方程有实数根，并解此方程． （2）若这个方程无实数根，求a的取值范围． 【分析】（1）根据一元二次方程有实数根得到判别式大于等于0，从而列出关于a的不等式，求出a的取值范围，然后再从已知的三个数中选择符合条件的数，最后解方程即可； （2））根据一元二次方程无实数根得到判别式小于0，从而列出关于a的不等式，求出a的取值范围 【解答】解：（1）∵若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0有实数根， 则Δ＝b2﹣4ac≥0， （﹣3）2﹣4×1×a≥0， 9﹣4a≥0， ﹣4a≥﹣9， ， ∴当a＝2或1时，这个方程有实数根， 当x＝2时，原方程为：x2﹣3x+2＝0， （x﹣2）（x﹣1）＝0， x﹣2＝0或x﹣1＝0， x1＝2，x2＝1； （2）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0无实数根， 则Δ＝b2﹣4ac＜0， （﹣3）2﹣4a＜0， 9﹣4a＜0， ﹣4a＜﹣9， ． 9．（2024•浙江一模）某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】如何设计纸盒？ 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题． 素材1 利用一边长为40cm的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒． 素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒． 【尝试解决问题】 任务1 初步探究：折一个底面积为484cm2无盖纸盒． （1）求剪掉的小正方形的边长为多少？ 任务2 折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？ （2）如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由． 【分析】（1）设剪掉的小正方形的边长为x cm，则折成的无盖纸盒的底面是边长为（40﹣2x）cm的正方形，根据折成的无盖纸盒的底面积为484cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）折成的无盖纸盒的侧面积有最大值，设剪掉的小正方形的边长为a cm，折成的无盖纸盒的侧面积为S cm2，利用长方体的侧面积公式，可得出S关于a的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设剪掉的小正方形的边长为x cm，则折成的无盖纸盒的底面是边长为（40﹣2x）cm的正方形， 根据题意得：（40﹣2x）2＝484， 解得：x1＝9，x2＝31（不符合题意，舍去）． 答：剪掉的小正方形的边长为9cm； （2）折成的无盖纸盒的侧面积有最大值，设剪掉的小正方形的边长为a cm，折成的无盖纸盒的侧面积为S cm2， 根据题意得：S＝4（40﹣2a）a， 即S＝﹣8a2+160a＝﹣8（a﹣10）2+800， ∵﹣8＜0， ∴当a＝10时，S取得最大值，最大值为800． 答：折成的无盖纸盒的侧面积有最大值，最大值为800cm2，此时剪掉的小正方形的边长为10cm． 【题型7 不等式（组）】 1、不等式的基本性质中，注意不等式两边同乘（或除以）一个负数时，不等号方向要改变方向； 2、一元一次不等式组的解法中，同除以一个负数时，不要忘记改变不等号的方向，同除一个分数时，不要除反了。 3、含参数类不等式组整数解问题方法步骤总结： ① 解出不等式（组）的解集——用含参数的表达式表示； ② 根据题目要求，借助数轴，确定参数表达式的范围，必在两个相邻整数之间； ③ 由空心、实心判断参数两边边界哪边可以取“=”，哪边不能取“=”。（不等式组则由解集的判断口诀来决定哪边界可以取“=”）； ④ 解出参数所在不等式（组）的解集，得参数字母的值或范围。 4、一元一次不等式（组）应用题的解法步骤：审，设，列，解，答。 审题过程中，找不等量关系时，多注意“不超过”、“低于”、“不少于”等不等量关系的词语；不等式组的应用题也常和方程结合，不等式的解作为方案类问题选择的范围，取整后得到对应方案。 1．（2024•拱墅区一模）已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（　　） A．x+5＜y+1 B．2x+2＜2y+2 C． D．﹣2x+5＜﹣2y+5 【分析】根据不等式的基本性质解答即可． 【解答】解：A、∵x＜y， ∴x+5＜y+5，原变形错误，不符合题意； B、∵x＜y， ∴2x＜2y， ∴2x+2＜2y+2，正确，符合题意； C、∵x＜y， ∴，原变形错误，不符合题意； D、∵x＜y， ∴﹣2x＞﹣2y， ∴﹣2x+5＞﹣2y+5，原变形错误，不符合题意． 故选：B． 2．（2025•鹿城区校级一模）不等式组的解集在数轴上的表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：由1﹣2x＜3，得：x＞﹣1， 由3（x﹣1）≤2x﹣1，得：x≤2， 则不等式组的解集为﹣1＜x≤2， 将解集表示在数轴上如下： 故选：B． 3．（2024•瓯海区模拟）已知关于x的不等式x﹣m≥0的负整数解只有﹣1，﹣2，则m的取值范围是（　　） A．﹣3＜m＜﹣2 B．﹣3＜m≤﹣2 C．﹣3≤m≤﹣2 D．﹣3≤m＜﹣2 【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据关于x的不等式x﹣m≥0的负整数解只有﹣1，﹣2得出答案即可． 【解答】解：x﹣m≥0， x≥m， ∵关于x的不等式x﹣m≥0的负整数解只有﹣1，﹣2， ∴m的取值范围是﹣3＜m≤﹣2． 故选：B． 4．（2024•瑞安市校级模拟）关于x的不等式组的解集是 　﹣2≤x＜7　． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式3x+8≥2，得：x≥﹣2， 解不等式4，得：x＜7， 则不等式组的解集为﹣2≤x＜7， 故答案为：﹣2≤x＜7． 5．（2024•杭州四模）一次生活常识竞赛，一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题扣1分，小明有2题没答，竞赛成绩要不低于83分，则小明至少要答对 　22　道题． 【分析】设小明答对x道，根据“一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题扣1分，有2题没答，竞赛成绩要不低于83分”可得相应的一元一次不等式． 【解答】解：设小明答对x道， 根据题意得：4x﹣1×（25﹣2﹣x）≥83， 解得x≥21.2， 即小明至少要答对22道题． 故答案为：22． 6．（2024•钱塘区二模）解不等式组，并把解在数轴上表示出来． 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【解答】解：， 解不等式①得：x＜4， 解不等式②得：x≥﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1≤x＜4， 在数轴上表示为：． 考向三：统计与概率 【题型8 常见统计量的计算与作用】 四大统计量：平均数、中位数、众数、方差； 其中：平均数反应一组数据的平均水平，容易受极端值的影响；中位数反应一组数学的中等水平；众数反应数据的集中水平；方差反应一组数据的波动性，方差越大，数据的波动性越大。 1．（2024•浙江）某班有5位学生参加志愿服务次数为：7，7，8，10，13．则这5位学生志愿服务次数的中位数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】根据中位数的定义求解即可．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【解答】解：某班有5位学生参加志愿服务次数为：7，7，8，10，13，从小到大排列排在中间的数是8， 所以这5位学生志愿服务次数的中位数为8． 故选：B． 2．（2024•婺城区校级模拟）南苑中学42个班每个班分别选出一位同学参加校园十佳歌手比赛，如表是各班选手得分的情况，则该校选手得分的众数和中位数分别为（　　） 选手得分 91 92 93 94 96 97 得分人数 5 7 10 12 6 2 A．11，13 B．92，93 C．94，93 D．93，94 【分析】根据众数和平均数概念求解，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数． 【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数据， 故众数是94， 把数据按从小到大顺序排列，可得中位数． 故选：C． 3．（2025•浙江一模）老师在黑板上写出一个计算方差的算式：，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（　　） A．n＝5 B．平均数为8 C．添加一个数8后方差不变 D．这组数据的众数是6 【分析】根据方差的公式可得该组数据为11，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，再根据方差，众数的定义，即可求解． 【解答】解：根据题意得：该组数据为11，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，故A、B不符合题意； 添加一个数8后方差为：[（11﹣8）2+（9﹣8）2+2×（8﹣8）2+2×（6﹣8）2]， 即添加一个数8后方差改变，故C选项符合题意； 这组数据，6出现的次数最多， 即这组数据的众数是6，故D选项不符合题意； 故选：C． 4．（2024•杭州模拟）我国古代科举制度始于隋成于唐，兴盛于明．明代会试分南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比例录取，若某年会试录取人数为100，则中卷录取人数为（　　） A．10 B．35 C．55 D．75 【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【解答】解：根据题意得： 10010（人）， 答：中卷录取人数为10人． 故选：A． 5．（2024•金华一模）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9.2环，方差分别为s甲2＝0.56，s乙2＝0.60，s丙2＝0.50，s丁2＝0.45，则成绩最稳定的是　丁　． 【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【解答】解：因为s甲2＝0.56，s乙2＝0.60，s丙2＝0.50，s丁2＝0.45 所以s丁2＜s丙2＜s甲2＜s乙2，由此可得成绩最稳定的为丁． 故填丁． 6．（2024•临安区二模）某中学开展“好书伴我成长”读书活动，为了解3月份九年级学生读书情况，随机调查了九年级50名学生读书的册数，统计数据如表所示： 册数 2 3 4 5 6 人数 4 12 13 17 4 则这组数据的众数是 　5　． 【分析】根据众数的概念求解即可． 【解答】解：这组数据出现次数最多的数是：5， 故众数是5． 故答案为：5． 7．（2024•浙江模拟）端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如表： 八年级10名学生活动成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 1 2 a b 2 已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是 　1　，七年级活动成绩的众数为 　8　分； （2）a＝　2　，b＝　3　； （3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 【分析】（1）根据扇形统计图得出七年级活动成绩为7分的学生数的占比为10%，即可得出七年级活动成绩为7分的学生数，根据扇形统计图结合众数的定义，即可求解； （2）根据中位数的定义，得出第5名学生为8分，第6名学生为9分，进而求得a，b的值，即可求解； （3）分别求得七年级与八年级的优秀率与平均成绩，即可求解． 【解答】解：（1）根据扇形统计图，七年级活动成绩为（7分）的学生数的占比为1﹣50%﹣20%﹣20%＝10% ∴样本中，七年级活动成绩为（7分）的学生数是10×10%＝1， 根据扇形统计图，七年级活动成绩的众数为（8分）， 故答案为：1，8． （2）∵八年级10名学生活动成绩的中位数为8．（5分）， ∴第5名学生为（8分），第6名学生为（9分）， ∴a＝5﹣1﹣2＝2， b＝10﹣1﹣2﹣2﹣2＝3， 故答案为：2，3． （3）优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由如下， 七年级优秀率为20%+20%＝40%，平均成绩为：7×10%+8×50%+9×20%+10×20%＝8.5， 八年级优秀率为40%，平均成绩为：8.5， ∴优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级更高， ∴优秀率高的年级不是平均成绩也高． 【题型9 概率与频率】 1、概率定义及公式： 某事件根据会不会发生，分为：必然事件、随机事件、不可能事件；三种事件的发生概率分别为：； 概率公式：某事件的各种不同结果的总数为n，事件A的结果为m，则A事件发生的概率为： 2、概率计算方式：列表法和树状图法是求解事件概率的两种方法，其中，树状图较为直接简单，必须会，列表法了解即可 3、频数分布直方图和频数分布折线图可以更直观、更方便的表示出各数据的多少和变化 4、各组数量之和=样本容量；各组频率之和=1；数据总数×相应的频率=相应的频数； 1．（2024•浙江）有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8．从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是 　　． 【分析】直接由概率公式求解即可． 【解答】解：∵有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8，其中该卡片上的数是4的整数倍的数是4，8， ∴该卡片上的数是4的整数倍的概率是， 故答案为：． 2．（2025•镇海区校级模拟）有4根细木棒，它们的长度分别是3cm、5cm、7cm、9cm．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是（　　） A． B． C． D．1 【分析】利用列举法得到所有4种等可能的结果，再根据三角形的三边关系得到能够组成三角形的结果有3种，然后根据概率公式求解即可． 【解答】解：从4根细木棒中随机抽出3根木棒，共有4种等可能的结果，分别为3、5、7，3、5、9，3、7、9，5、7、9，其中能够组成三角形的结果有3种， ∴从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是， 故选：C． 3．（2024•金华一模）一个不透明的袋子里装有3个红球和4个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】用红球的个数除以总球的个数即可得出答案． 【解答】解：∵透明的袋子里装有3个红球和4个黄球，共有7个球， ∴从袋中任意摸出一个球是红球的概率为． 故选：C． 4．（2024•浙江模拟）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为 　　． 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及能使小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中能使小灯泡发光的结果有：AB，BA，CD，DC，共4种， ∴随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为． 故答案为：． 5．（2025•鹿城区校级一模）某校为了解学生的劳动教育情况，对九年级学生寒假期间“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（A：x＜60；B：60≤x＜80；C：80≤x＜100；D：x≥100，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求出本次抽样的学生人数并补全条形统计图； （2）已知该校九年级有600名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在60到100分钟（含60分钟）的学生有多少人？ （3）若D组中有3名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率． 【分析】（1）用条形统计图中D的人数除以扇形统计图中D的百分比可得本次抽样的学生人数；求出C组的人数，补全条形统计图即可． （2）根据用样本估计总体，用600乘以样本中B组和C组人数所占的百分比之和，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）本次抽样的学生人数为5÷10%＝50（人）． C组的人数为50﹣10﹣15﹣5＝20（人）． 补全条形统计图如图所示． （2）600420（人）． ∴估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在60到100分钟（含60分钟）的学生约420人． （3）由题意得，有3名女生，2名男生． 列表如下： 男 男 女 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女） 共有20种等可能的结果，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果有12种， ∴抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率为． 【题型10 统计与概率简答题】 1．（2024•浙江）某校开展科学活动．为了解学生对活动项目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查．调查问卷和统计结果描述如下： 科学活动喜爱项目调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写． 问题1：在以下四类科学“嘉年华”项目中，你最喜爱的是 　A　 （A）科普讲座 （B）科幻电影 （C）AI应用 （D）科学魔术 如果问题1选择C．请继续回答问题2． 问题2：你更关注的AI应用是 　E　 （E）辅助学习 （F）虚拟体验 （G）智能生活 （H）其他 根据以上信息．解答下列问题： （1）本次调查中最喜爱“AI应用”的学生中更关注“辅助学习”有多少人？ （2）若该学校共有1200名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱“科普讲座”的学生人数． 【分析】（1）用本次调查中最喜爱“AI应用”的学生人数乘E所占百分比即可； （2）用1200乘该校最喜爱“科普讲座”项目的百分比即可． 【解答】解：（1）80×40%＝32（人）， 答：本次调查中最喜爱“AI应用”的学生中更关注“辅助学习”有32人； （2）1200324（人）， 答：估计该校最喜爱“科普讲座”的学生人数大约有324人． 2．（2024•婺城区校级模拟）某中学开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球五项球类活动，为了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了m名学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一项），并根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）m＝ 　100　，n＝ 　5　，并补全条形统计图； （2）若全校共有1800名学生，求该校约有多少名学生爱踢足球； （3）在抽查的m名学生中，学校打算从喜欢羽毛球运动的甲、乙、丙、丁四人中选取2名参加区中学生羽毛球比赛，请用列表法或画树状图法求同时选中甲、丙的概率． 【分析】（1）篮球30人占30%，可得总人数m，由此可以计算出n，再求出足球人数为35人，即可解决问题； （2）用样本估计总体的思想即可解决问题； （3）画出树状图，共有12种可能出现的结果，同时选中甲、丙的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）由题意m＝30÷30%＝100， 选择排球的人数所占的百分比为：5÷100×100%＝5%， ∴n＝5， 选择足球的人数为：100﹣30﹣20﹣10﹣5＝35人， 补全条形统计图如下： 故答案为：100，5； （2）（人）， 即该校约有630名学生爱踢足球； （3）画树状图得： 共有12种可能出现的结果，同时选中甲、丙的结果有2种， ∴同时选中甲、丙的概率为． 3．（2024•鹿城区校级一模）为了了解九年级学生体育训练情况，随机抽取男生、女生各40名进行1分钟跳绳测试，并对测试结果进行整理，1分钟跳绳的个数用x表示，分成了四个等级，其中A：x≥180，B：160≤x＜180，C：140≤x＜160，D：x＜140，下面给出了部分统计信息： 信息一：女生1分钟跳绳个数等级扇形统计图 信息二：男生1分钟跳绳个数等级频数统计表 等级 A B C D 频数 16 a 8 3 信息三：男生和女生1分钟跳绳个数的平均数，众数，中位数，A等级所占百分比如表： 平均数 众数 中位数 A等级所占百分比 男生 168 187 173 40% 女生 168 188 170 30% 根据以上信息，解答下列问题： （1）m＝　20　，a＝　13　． （2）根据以上数据分析，你认为九年级1分钟跳绳男生成绩更优异，还是女生成绩更优异？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在跳绳个数达到A等级的同学中有两名男生和一名女生跳绳的个数超过了230个，体育老师随机从这三位同学中选择两位同学做经验分享，请利用画树状图或列表的方法，求选到这名女生的概率是多少？ 【分析】（1）根据扇形统计图求出B等级所占的百分比，再用1分别减去A，B，D等级所占的百分比可得m%，即可得m的值；用40分别减去A，C，D等级的频数，可得a的值． （2）比较男生和女生1分钟跳绳个数的平均数、众数、中位数、A等级所占百分比，可得结论． （3）列表可出所有等可能的结果数以及选到这名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由扇形统计图可知，B等级所占的百分比为100%＝40%， ∴m%＝1﹣30%﹣40%﹣10%＝20%， ∴m＝20． a＝40﹣16﹣8﹣3＝13． 故答案为：20；13． （2）九年级1分钟跳绳男生成绩更优异，理由如下： ∵男生和女生1分钟跳绳个数的平均数相同，但男生的中位数和A等级所占百分比都高于女生， ∴九年级1分钟跳绳男生成绩更优异（答案不唯一，言之有理即可）． （3）将两名男生分别记为A，B，一名女生记为C， 列表如下： A B C A （A，B） （A，C） B （B，A） （B，C） C （C，A） （C，B） 共有6种等可能的结果，其中选到这名女生的结果有：（A，C），（B，C），（C，A），（C，B），共4种， ∴选到这名女生的概率为． （建议用时：25分钟） 1．（2024•婺城区校级模拟）下面哪个数的绝对值最小（　　） A．0 B．﹣2 C．+3 D．﹣2024 【分析】先求出每个数的绝对值，再比较即可． 【解答】解：∵|0|＝0，|﹣2|＝2，|+3|＝3，|﹣2024|＝2024， ∵0＜2＜3＜2024， ∴绝对值最小的数是0． 故选：A． 2．（2024•浙江模拟）2024年春节期间国内旅游出行合计约474000000人次，比2023年大幅增加．数据474000000用科学记数法表示为（　　） A．0.474×109 B．47.4×107 C．4.74×109 D．4.74×108 【分析】学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【解答】解：474000000＝4.74×108． 故选：D． 3．（2024•鹿城区校级三模）分解因式：2x2﹣8＝　2（x+2）（x﹣2）　． 【分析】先提取公因数2，然后再运用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：2x2﹣8 ＝2（x2﹣4） ＝2（x+2）（x﹣2）； 故答案为：2（x+2）（x﹣2）． 4．（2024•义乌市模拟）已知排球队6名场上队员的身高（单位：cm）分别是：181，185，188，190，194，196．现用两名身高分别是186，193的队员换下场上身高为181，194的队员，与换人前相比，现在计算结果不受影响的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 【分析】利用平均数、中位数、方差、标准差一一计算判断即可． 【解答】解：A选项：原来平均数：（181+185+188+190+194+196）÷6＝189， 替换后平均数：（186+185+188+190+193+196）÷6＝190， 平均数变大了； B选项：原来的：181，185，188，190，194，196， 中位数：（188+190）÷2＝189， 替换后的：185，186，188，190，194，194， 中位数：（188+190）÷2＝189， 中位数不变； C选项：原来的方差：[（﹣8）2+（﹣4）2+（﹣1）2+12+52+72]÷6＝26， 替换后的方差：[（﹣4）2+（﹣5）2+（﹣2）2+0+32+62]÷6＝15， 方差变小； D选项：由C可知标准差也会变小； 故选：B． 5．（2024•镇海区校级四模）有如下数列：a1，a2，a3，a4，a5，a6，…，an﹣2，an﹣1，an，…，满足an﹣2•an＝2an﹣1，已知a1＝1，a3＝4，则a2024＝（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【分析】根据题中所给条件，依次求出a1，a2，a3，…，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为an﹣2•an＝2an﹣1， 所以2a2＝a1•a3． 又因为a1＝1，a3＝4， 所以a2＝2． 依次类推，a4＝4，a5＝2，a6＝1，a7＝1，a8＝2，…， 由此可见，这列数按1，2，4，4，2，1循环出现， 又因为2024÷6＝337余2， 所以a2024＝2． 故选：D． 6．（2024•文成县二模）无理数的大小在（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【分析】根据估算无理数大小的法则进行解答即可． 【解答】解：∵9＜12＜16， ∴34． 故选：B． 7．（2024•舟山一模）小红带着数学兴趣小组研究分式，下列说法正确的是（　　） A．当x＝2时， B．当时，x＝6 C．当x＞3时， D．当x越来越大时，的值越来越接近于1 【分析】根据分式的运算法则逐项分析判断即可． 【解答】解：A、当x＝2时，，原计算错误，不符合题意； B、当时，x＝5，原计算错误，不符合题意； C、当x＞3时，，原计算错误，不符合题意； D、当x越来越大时，的值越来越接近于1，正确； 故选：D． 8．（2024•萧山区一模）下列计算或变形正确的是（　　） A．2a+3b＝6ab B． C． D．a2•b2＝（ab）2 【分析】根据合并同类项法则、分式的加减、二次根式的加减、单项式乘单项式的运算法则分别计算判断即可． 【解答】解：2a与3b不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、a2•b2＝（ab）2，故此选项符合题意； 故选：D． 9．（2024•拱墅区一模）我国古代数学专著《九章算术》中记载了一个“盈不足”的问题：“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．”大概意思是说：现有几个人共同买猪，若每人出100钱，则多出100钱；若每人出90钱，则钱刚刚好．设人数为x人，则（　　） A．100x﹣100＝90x B．100x+100＝90x C． D． 【分析】先根据每人出90钱，恰好合适，用x表示出猪价，再根据“每人出100钱，则会多出100钱”，即可得出关于x的一元一次方程，即可得出结论． 【解答】解：∵每人出90钱，恰好合适， ∴猪价为90x钱， 根据题意，可列方程为100x﹣100＝90x． 故选：A． 10．（2024•丽水一模）已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac＝0时，方程的解为（　　） A．， B．， C． D． 【分析】利用判别式的意义得到方程有两个相等的实数解，然后根据一元二次方程的求根公式得到方程的解． 【解答】解：∵b2﹣4ac＝0， ∴方程有两个相等的实数解， ∵x， ∴方程的解为x1＝x2． 故选：D． 11．（2024•西湖区一模）一个仅装有球的不透明布袋里共有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n＝ 　2　． 【分析】根据概率公式列出分式方程求解，即可解题． 【解答】解：由题意得， ， 解得n＝2， 经检验n＝2是所列分式方程的根， ∴n＝2， 故答案为：2． 12．（2024•鹿城区校级三模）不等式组的解为 　﹣5≤x＜3　． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式x+8≥3，得：x≥﹣5， 解不等式1，得：x＜3， 则不等式组的解集为﹣5≤x＜3， 故答案为：﹣5≤x＜3． 13．（2024•钱塘区三模）关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0的两个实数根分别为x1，x2，若（x1﹣1）（x2﹣1）＝5，则k的值为 　﹣1　． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，用k表示出x1+x2和x1x2，再根据（x1﹣1）（x2﹣1）＝5建立关于k的方程即可解决问题． 【解答】解：因为x1和x2是关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0的两个实数根， 所以x1+x2＝2k﹣1，，Δ＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4k2≥0， 解得k． 因为（x1﹣1）（x2﹣1）＝5， 所以x1x2﹣（x1+x2）+1＝5， 则k2﹣（2k﹣1）+1＝5， 解得k1＝﹣1，k2＝3． 因为k， 所以k＝﹣1． 故答案为：﹣1． 14．（2024•浙江模拟）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶各几何？意思是：今有好田1亩价值300钱，坏田7亩价值500钱．今用10000钱购入好、坏田共1顷（1顷＝100亩），问好田、坏田各有多少亩？如果设好田为x亩，坏田为y，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用总价＝单价×数量，结合用10000钱购入好、坏田共1顷（1顷＝100亩），即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵购入好、坏田共1顷（1顷＝100亩）， ∴x+y＝100； ∵好田1亩价值300钱，坏田7亩价值500钱，购入好、坏田共花费10000钱， ∴300xy＝10000． ∴根据题意可列方程组． 故选：D． 15．（2024•江北区一模）小明用图1所示的一副七巧板在一个矩形中拼了一条龙的形状（图2）．若A，B，C三点共线且点D，A，E，F在矩形的边上，则矩形的长与宽之比为 　　． 【分析】设AB＝a，通过作辅助线可得到各边的关系，从而求得长和宽的比值． 【解答】解：如图，线段MN的长度即为矩形的长，DP的长度即为矩形的宽． 设AB＝a，可得 ， ∵， ∴DP＝DB+BK+KP＝a+（2）a+2a＝（5）a， ∴矩形的长与宽之比为 ． 故答案为：． 16．（2024•义乌市模拟）解方程（组）： （1）； （2）． 【分析】（1）方程去分母，去括号，移项合并同类项，把x的系数化为1，即可求出解； （2）方程组利用代入消元法求解即可． 【解答】解：（1）， 去分母，得：9x﹣12＝12x﹣（8x﹣3）， 去括号得：9x﹣12＝12x﹣8x+3， 移项合并同类项得：5x＝15， 系数化为1得：x＝3； （2）， 解：将①代入②中，得12y﹣y＝11， 解得y＝1， 将y＝1代入①，得x+1＝6， 解得x＝5， ∴原方程组的解为． 17．（2024•嘉善县一模）（1）计算：a（a+2）+（a﹣1）2； （2）解不等式：4x+2≤x﹣1． 【分析】（1）根据单项式乘多项式以及完全平方公式进行计算即可； （2）根据一元一次不等式的解法，经过移项、合并同类项、系数化为1即可． 【解答】解：（1）原式＝a2+2a+a2﹣2a+1 ＝2a2+1； （2）移项，得 4x﹣x≤﹣1﹣2， 合并同类项，得 3x≤﹣3， 两边都除以3，得 x≤﹣1． 18．（2024•西湖区校级二模）（1）计算：4cos30°+（π+1）0； （2）解方程：． 【分析】（1）利用特殊锐角三角函数值，零指数幂，二次根式的运算法则计算即可； （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x得知后进行检验即可． 【解答】解：（1）原式＝41﹣2 ＝21﹣2 ＝1； （2）原方程去分母得：﹣3+2（x﹣4）＝1﹣x， 整理得：2x﹣11＝1﹣x， 解得：x＝4， 检验：当x＝4时，x﹣4＝0， 则x＝4是分式方程的增根， 故原方程无解． 19．（2024•西湖区校级二模）某公司准备从A、B两款语音识别软件中择优购买一款．为了解两款软件的性能，测试员小敏随机选取了20个句子，其中每句都含10个字．他用标准普通话以相同的语速朗读每个句子来测试这两款软件，并将语音识别结果进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： A款软件每个句子中识别正确的字数记录为： 5，5，6，6，6 6，6，6，7，7 8，9，9，9，9 10，10，10，10，10 B款软件每个句子中识别正确的字数折线统计图为： A、B两款软件每个句子中识别正确的字数的统计表 软件 平均数 众数 中位数 识别正确达到10个字的句子所占百分比 A款 7.7 a 7.5 25% B款 7.7 8 b c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述中的a＝ 　10　，b＝ 　8　，c＝ 　10%　； （2）若会议记录员用A、B两款软件各识别了500个句子，每个句子有10个文字，请估计两款软件一字不差地识别正确的句子共有多少个？ （3）该公司现派采购小组前去购买一批同款语音识别输入软件，请你根据学过的统计量，从A、B两款软件中推荐一款进行采购，并简单说明你推荐的理由． 【分析】（1）根据中位数、众数以及频率的定义进行计算即可； （2）利用样本估计总体即可； （3）比较两款软件的平均数、中位数可得答案． 【解答】解：（1）在A款软件每个句子中识别正确的字数记录中10出现的次数最多，故众数a＝10； 把B款软件每个句子中识别正确的字数记录从小到大排列，排在中间的两个数是8，8，故中位数b8， B款软件识别正确达到10个字的句子所占百分比c10%， 故答案为：10，8，20%； （2）500×25%+500×20%＝225（个）， 答：估计两款软件一字不差地识别正确的句子大约共有225个； （3）推荐采购B款语音识别输入软件，理由如下： 因为两款软件每个句子中识别正确的字数的平均数相同，当B款软件的中位数比A款软件高，所以推荐采购B款语音识别输入软件（答案不唯一）． 20．（2024•浙江模拟）对于实数a，b，定义新运算“⊕”，规定如下：a⊕b＝（a+b﹣1）2﹣2ab，如1⊕2＝（1+2﹣1）2﹣2×1×2＝0． （1）求3⊕5的值； （2）若x为某一个实数，记x⊕3的值为m，1⊕（2﹣x）的值为n，请你判断m﹣n的值是否与x的取值有关？并给出证明． 【分析】（1）按照题目运算定义进行代入、求解； （2）先运用运算定义表示出m，n的值，再通过计算m﹣n进行辨别． 【解答】解：（1）由题意得， 3⊕5＝（3+5﹣1）2﹣2×3×5 ＝72﹣30 ＝49﹣30 ＝19， 即3⊕5的值是19； （2）m﹣n的值是否与x的取值无关， 证明：由题意得， m＝x⊕3 ＝（x+3﹣1）2﹣2×x×3 ＝（x+2）2﹣6x ＝x2+4x+4﹣6x ＝x2﹣2x+4； n＝1⊕（2﹣x） ＝（1+2﹣x﹣1）2﹣2×1×（2﹣x） ＝（2﹣x）2﹣（4﹣2x） ＝x2﹣4x+4+2x﹣4 ＝x2﹣2x， ∴m﹣n＝（x2﹣2x+4）﹣（x2﹣2x） ＝x2﹣2x+4﹣x2+2x ＝4， ∴m﹣n的值是否与x的取值无关． 21．（2024•鹿城区一模）观察以下二元一次方程组与对应的解： 二元一次方程组 … 解 … （1）通过归纳未知数系数与解的关系，直接写出的解． （2）已知关于x，y的二元一次方程组（a≠b，a+b≠0）． ①猜想该方程组的解； ②将你猜想的解代入方程组检验并写出过程． 【分析】（1）根据表中数据总结规律即可求得答案； （2）①根据所得规律即可求得答案； ②将①中所得的解分别代入方程中计算即可． 【解答】解：（1）由表格数据可得方程中两个未知数的解是相同的，它们的分子是等号右边的常数，分母是各方程中两个未知数系数的和， 则x＝y2024， 即原方程组的解为； （2）①由（1）中规律可得该方程组的解为； ②将代入ax+by＝m， 左边＝abm＝右边； 将代入bx+ay＝m， 左边＝bam＝右边； 则是原方程组的解． 22．（2024•玉环市三模）A，B两个工程队分别接到36千米的道路施工任务．以下是两个工程队的施工规划． A工程队 前两天施工速度为x千米/天，第三天开始每天都按第一天施工速度的2倍施工（预计比全程只按x千米/天的速度完成施工的时间提前3天） B工程队 甲方案：计划18千米按每天施工a米完成，剩下的18千米按每天施工b米完成，预计完成生产任务所需的时间为t1天； 乙方案：设完成施工任务所需的时间为t2天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米； 特别说明：两种方案中的a，b均为正整数，且1≤a<b≤9． （1）问A工程队完成施工任务需要多少天？ （2）若要尽快完成施工任务，B工程队应采取哪种方案？说明你的理由． （3）若B工程队采用甲方案完成施工时间与A工程队完成时间相同，直接写出a的值． 【分析】（1）利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合提前3天完成施工任务，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值，再将其代入2中，即可求出结论； （2）利用工作时间＝工作总量÷工作效率，可用含a，b的代数式表示出t1，t2，作差后，可得出t1﹣t2，结合1≤a<b≤9，可得出0，可得出t1﹣t2＞0，即t1＞t2，进而可得出B工程队应采取乙方案； （3）根据B工程队采用甲方案完成施工时间与A工程队完成时间相同，可列出关于a，b的方程，结合a，b均为正整数且1≤a<b≤9，求出a，b的值，检验后即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：3， 解得：x， 经检验，x是所列方程的解，且符合题意， ∴225． 答：A工程队完成施工任务需要5天； （2）B工程队应采取乙方案，理由如下： 根据题意得：t1； t2． ∴t1﹣t2 ． ∵1≤a<b≤9， ∴ab（a+b）＞0，（a﹣b）2＞0， ∴0， 即t1﹣t2＞0， ∴t1＞t2， ∴B工程队应采取乙方案； （3）根据题意得：t1＝5， 即5， ∴a， 又∵a，b均为正整数，且1≤a<b≤9， ∴， 经检验，a＝6，b＝9是所列方程的解，且符合题意． 答：a的值为6． （建议用时：25分钟） 1．（2024•桐乡市一模）已知a＜b，c＜0，则（　　） A．a＜b+c B．a＜b﹣c C．ac＜bc D． 【分析】根据a＜b，c＜0，应用不等式的性质，逐项判断即可． 【解答】解：∵a＜b，c＜0， ∴a＜b+c不一定成立，有可能a＝b+c或a＞b+c， ∴选项A不符合题意； ∵a＜b，c＜0， ∴﹣c＞0， ∴a＜b﹣c， ∴选项B符合题意； ∵a＜b，c＜0， ∴ac＞bc， ∴选项C不符合题意； ∵a＜b，c＜0， ∴， ∴选项D不符合题意． 故选：B． 2．（2024•钱塘区一模）某中学开展“好书伴我成长”读书活动，为了解2月份九年级学生读书情况，随机调查了九年级50名学生读书的册数，统计数据如表所示： 册数 1 2 3 4 5 人数 4 12 16 17 1 关于这组数据，下列说法正确的是（　　） A．平均数是3 B．方差是3 C．中位数是3 D．众数是17 【分析】先根据表格提示的数据得出50名学生读书的册数，然后除以50即可求出平均数；在这组样本数据中，3出现的次数最多，所以求出了众数；将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，从而求出中位数是2，根据方差公式即可得出答案． 【解答】解：观察表格，可知这组样本数据的平均数为： （1×4+2×12+3×16+4×17+5×1）÷50＝2.98； ∵这组样本数据中，4出现了17次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是4； ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是3， ∴这组数据的中位数为3， ∵这组样本数据的平均数为2.98， ∴这组样本数据的方差不是整数． 故选：C． 3．（2024•浙江一模）小明所在的班级有20人去体育场观看演出，20张票分别为A区第10排1号到20号．采用随机抽取的办法分票，小明第一个抽取得到10号座位，接着小亮从其余的票中任意抽取一张，取得的一张恰与小明邻座的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用概率公式求解． 【解答】解：因为与10号座位相邻得有2个座位， 所以小亮从其余的票中任意抽取一张，取得的一张恰与小明邻座的概率为． 4．（2024•钱塘区三模）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧．若点A，B对应的实数分别为a，b，则下列结论一定成立的是（　　） A．a+b＜0 B．b﹣a＜0 C．2a+2b＞0 D．2a﹣2b＞0 【分析】如图所示，a＜0＜b，|a|＜|b|，由此判断a+b＞0，b﹣a＞0，a﹣b＜0，可判断选项是否符合题意． 【解答】解：如图所示，a＜0＜b，|a|＜|b|， ∴a+b＞0，即2a+2b＞0，故A不符合题意，C符合题意， b﹣a＞0，故B不符合题意， a﹣b＜0，即2a﹣2b＜0，故D不符合题意， 故选：C． 5．（2024•普陀区二模）下列计算正确的是（　　） A．x3×x2＝x6 B．（﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2 C． D．（2a﹣b）2＝4a2﹣b2 【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：x3•x2＝x5，故选项A错误，不符合题意； （﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2，故选项B正确，符合题意； 3x3÷（x2）＝6x，故选项C错误，不符合题意； （2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 6．（2024•杭州模拟）《庄子•天下》云：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”．若设捶长为1，天数为n，则（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 【分析】由题意可知，设捶长为1，天数为n，按照天数排列为：，而11，即可得出答案． 【解答】解：由题意可知，根据一尺之捶，日取其半，万世不竭的理论，可知： 设捶长为1，天数为n，按照天数排列为：， 而它们的加和是永远都不会超过原来的捶长， 即为：11， 故选：A． 7．（2024•浙江模拟）已知代数式，下列说法不正确的是（　　） A．代数式有最大值 B．代数式有最小值 C．代数式值随a的增大而增大 D．代数式值不可能为0 【分析】根据二次根式有意义的条件确定a的范围，判断即可． 【解答】解：由题意得：a﹣2023≥0，2024﹣a≥0， 解得：2023≤a≤2024， A、当a＝2024时，代数式有最大值1，本选项说法正确，不符合题意； B、当a＝2023时，代数式有最小值﹣1，本选项说法正确，不符合题意； C、当a增大时，增大，减小，则代数式值随a的增大而增大，本选项说法正确，不符合题意； D、当，即a时，代数式值为0，故本选项说法错误，符合题意； 故选：D． 8．（2024•杭州模拟）若实数a，b满足，则（　　） A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．a+b2＞0 D．a﹣b2＜0 【分析】根据分式的性质得出a﹣12＝0，进而解答即可． 【解答】解：因为实数a，b满足， ∴a﹣12＝0，b≠0， ∴a＝12， ∴a+b2＞0， 故选：C． 9．（2025•镇海区校级模拟）已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（　　） A．5 B．9 C．13 D．17 【分析】观察题干相关条件，采用整体代换的思想，即可求解． 【解答】解：令t＝x﹣2023，则原式可化简为（t﹣2）2+（t+2）2＝34，则t2﹣4t+4+t2+4t+4＝34， 解得：t2＝13，即（x﹣2023）2＝13． 故选：C． 10．（2024•下城区校级模拟）已知，，．那么a，b，c的大小关系是（　　） A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．a＞b＞c 【分析】首先求出a，b，c的倒数，比较出它们的倒数的大小关系，然后根据大于0的实数，倒数越越大，这个数就越小，判断出a，b，c的大小关系即可． 【解答】解：∵，，， ∴1，，2， ∵， ∴a＞b＞c． 故选：D． 11．（2024•镇海区校级二模）已知，则（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】设a，b，则a2＝15+x2，b2＝19﹣x2，所以求出a2+b2＝34，2ab＝30，然后先计算（）2＝（a+b）2＝64，即可得出答案． 【解答】解：设a，b， ∴a2＝15+x2，b2＝19﹣x2， ∴a2+b2＝15+x2+19﹣x2＝34， ∵， ∴a﹣b＝2， ∴（a﹣b）2＝4， 即a2﹣2ab+b2＝4， ∴2ab＝34﹣4＝30， ∴（）2 ＝（a+b）2 ＝a2+2ab+b2 ＝30+34 ＝64， ∵a≥0，b≥0， ∴8． 故选：B． 12．（2024•西湖区校级三模）若一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为4，则2x1+2，2x2+2，2x3+2，2x4+2，2x5+2的平均数为 　10　． 【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．先求数据x1，x2，x3，x4，x5的和，然后再用平均数的定义求新数据的平均数． 【解答】解：一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是4， ∴4， ∴x1+x2+x3+x4+x5＝20， 那么2x1+2，2x2+2，2x3+2，2x4+2，2x5+2的平均数为： ）． 故答案为：10． 13．（2024•湖州一模）对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述： ①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根； ②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根； ③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根； ④当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【分析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的判别式为Δ＝b2﹣4ac，若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根；Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根；Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程无实数根，据此逐一判断即可． 【解答】解：①当a＝﹣1，b＝3，c＝﹣2时，满足a＜0，b+c＞0，a+c＜0， 此时Δ＝32﹣4×（﹣1）×（﹣2）＝1＞0，即方程有两个不相等的实数根， 故①错误； ②∵b+c＞0，b﹣c＜0， ∴c＞0， ∵a＜0， ∴﹣4ac＞0， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即方程有两个不相等的实数根， 故②正确； ③当a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1时，满足a＞0，a+b+c＜0， 此时Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根， 故③错误； ④∵a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0， ∴b＝﹣4a，c＝4a， ∴Δ＝（﹣4a）2﹣4×a×4a＝0，即方程有两个相等的实数根， 故④错误； 综上，正确的是②， 故选：B． 14．（2025•镇海区校级模拟）若关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是 　　． 【分析】根据二元一次方程组的解的意义进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：把代入方程组中得： ， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 15．（2024•金华模拟）已知a，b，显然ab＝1，观察下列等式： ， ， ， （1）猜想：①　1　． ②Pn＝　　＝　1　． （2）请证明猜想②成立． 【分析】（1）①根据分式的加法法则计算即可； ②利用（1）得出的规律猜想即可得出结果； （2）根据分式的加法法则计算即可． 【解答】解：（1）猜想：①∵ab＝1， ∴ ＝1； ②Pn1； 故答案为：①1；②，1； （2）证明：． 16．（2024•诸暨市模拟）已知点Pn为线段AB上一点．如果APn：AB的比值为关于x的方程x2+21﹣nx﹣1＝0的解，那么点Pn为AB的n阶黄金分割点． 已知n阶黄金分割点作法如下： 步骤一：如图，过点B作AB的垂线BC，在垂线BC上取BD＝kAB，连接AD； 步骤二：以点D为圆心，DB为半径作弧交AD于点E； 步骤三：以点A为圆心，AE为半径作弧交AB于点Pn； 结论：点Pn为线段AB的n阶黄金分割点． （1）作法步骤一中，当时，点Pn为线段AB的 　1　阶黄金分割点； （2）作法步骤一中，当k＝　　（结果用n的代数式表示）时，点Pn为线段AB的n阶黄金分割点． 【分析】（1）根据所给作图步骤求出的值，再将这个结果代入原方程求出n即可解决问题． （2）方法同（1）． 【解答】解：（1）由题知， 令AB＝2m，则BD＝m， 在Rt△ABD中， AD， 因为DE＝DB＝m， 所以APn＝AE＝（）m， 所以． 将x代入关于x的方程得， ， 解得n＝1， 所以点Pn为线段AB的1阶黄金分割点． 故答案为：1． （2）解方程x2+21﹣nx﹣1＝0得， x． 因为， 所以． 令AB＝a，则DB＝ka， 由勾股定理得， AD， 所以DE＝DB＝ka，， 所以， 对比可知， k， 即当k时，点Pn为线段AB的n阶黄金分割点． 故答案为：． 17．（2024•镇海区校级三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+5+2k＝0． （1）求证：此方程总有两个不相等的实数根． （2）若此方程恰有一个根为1，求方程的另一个根． 【分析】（1）判断Δ＞0即可证明； （2）设方程的另一个根为x，根据根与系数关系即可得出，解方程组求出另一根． 【解答】解：（1）∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+5）]2﹣4×1×（5+2k）＝k2+2k+5＝（k+1）2+4＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为x，则 ， 解得， 故该方程的另一个根为3． 18．（2024•下城区校级模拟）已知分式方程，请在下列三个条件中任选其中一个，求m的值． ①若方程有增根； ②若方程无解； ③若方程的解为1． 【分析】①分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到x+2＝0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可； ②解分式方程可得3＝mx﹣3﹣2x﹣4，由于方程无解，所以﹣2或m﹣2＝0，求出m即可； ③将x＝1代入原方程，可求出m的值即可． 【解答】解：①去分母得：3＝mx﹣3﹣2x﹣4， 由分式方程有增根，得到x+2＝0，即x＝﹣2， 把x＝﹣2代入整式方程得：3＝﹣2m﹣3+4﹣4， 解得：m＝﹣3； ②方程两边同时乘以x+2，得3＝mx﹣3﹣2x﹣4， ∴x， ∵方程无解， ∴x＝﹣2或m﹣2＝0， ∴﹣2或m﹣2＝0， ∴m＝﹣3或2； ③将x＝1代入原方程得2， 解得：m＝12， ∴m的值为12． 19．（2024•平湖市模拟）已知关于x的不等式组： ①当a＝1时，求该不等式组的解集； ②若该不等式组有且只有三个整数解，求a的最大值． 【分析】①将a＝1代入关于x的不等式组，求出不等式组的解集即可． ②根据所给不等式组有且只有3个整数解，得出关于a的不等式组即可解决问题． 【解答】解：①将a＝1带不等式组得， ， 解不等式①得， x＜1， 解不等式②得， x＞﹣1， 所以不等式组的解集为：﹣1＜x＜1． ②因为该不等式组有且只有三个整数解， 所以2＜a≤3， 则a的最大值为3． 20．（2024•镇海区校级二模）某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商场用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒． （1）分别求出甲、乙坚果每盒的进价； （2）若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值； （3）因甲坚果市场反应良好，超市第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量比为1：3，为回馈消费者，超市计划将甲坚果每盒售价降低a元（a为正整数），但甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率，已知第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，求a的值． 【分析】（1）设乙坚果每盒的进价是x元，则甲坚果每盒的进价是（x+8）元，利用数量＝总价÷单价，结合用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙坚果每盒的进价，再将其代入（x+8）中，即可求出甲坚果每盒的进价； （2）设该超市购进y盒甲坚果，则购进（150﹣1.2y）盒乙坚果，根据购进乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，可列出关于y的一元一次不等式，解之可得出y的取值范围，设两种坚果全部售完后获得的总利润为w元，利用总利润＝每盒的销售利润×销售数量（购进数量），可找出w关于y的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题； （3）根据甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的值，设该超市第二次购进m盒甲坚果，则购进3m盒乙坚果，根据第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，可列出关于m的一元一次方程（a看成常数），结合a，m均为正整数且a＜8，即可求出a的值． 【解答】解：（1）设乙坚果每盒的进价是x元，则甲坚果每盒的进价是（x+8）元， 根据题意得：8， 整理得：x2+8x﹣1920＝0， 解得：x1＝40，x2＝﹣48， 经检验，x1＝40，x2＝﹣48均为所列方程的解，x1＝40符合题意，x2＝﹣48不符合题意，舍去， ∴x+8＝40+8＝48（元）． 答：甲坚果每盒的进价是48元，乙坚果每盒的进价是40元； （2）设该超市购进y盒甲坚果，则购进（150﹣1.2y）盒乙坚果， 根据题意得：150﹣1.2y≥3y， 解得：y， 设两种坚果全部售完后获得的总利润为w元，则w＝（68﹣48）y+（50﹣40）（150﹣1.2y）， 即w＝8y+1500， ∵8＞0， ∴w随y的增大而增大， 又∵y，且y，（150﹣1.2y）均为正整数， ∴当y＝35时，w取得最大值，最大值为8×35+1500＝1780（元）． 答：总利润的最大值是1780元； （3）根据题意得：100%100%， 解得：a＜8． 设该超市第二次购进m盒甲坚果，则购进3m盒乙坚果， 根据题意得：（68﹣a﹣48）m+（50﹣40）×3m＝3600， ∴（50﹣a）m＝3600． 又∵a＜8，且a，m均为正整数， ∴或， ∴a的值为2或5． 21．（2024•下城区校级模拟）芳芳和亮亮玩一个数字游戏，游戏规则：任选一个三位数，其中a＞c+1，然后交换这个数的个位和百位上的数字，得到一个新的数，再作这两个数的差．只要知道a和c，就能立马得到这个差．爱钻研的芳芳和亮亮马上就分析其中蕴含的数学规律． （1）用“从特殊到一般”的数学思想方法分析该问题； ①计算下列各式，并观察每个算式的结果，有什么规律吗？你能再写出一个这样的式子吗？ 753﹣357＝396；431﹣134＝297；614﹣416＝　198　；592﹣295＝　297　；…… 写出你的式子：　451﹣154＝297　． ②亮亮说：若这个三位数是，根据游戏规则运算结果一定是9的倍数．请你判断亮亮的说法是否正确，若不正确请举例说明，若正确请说明理由． （2）芳芳还发现，差的百位数字不仅与它的个位数字有关，并且与a，c也有关，由此她写了以下这个算式，请你在空格上填上一个数字，使算式成立：82 　4　﹣　4　28＝39 　6　． 【分析】（1）①根据已知等式，找出一般性规律，写出即可：②设原来的三位数是100a+10b+c，交换位置后的三位数是100c+10b+a，求出两个数的差为99（a﹣c）即可得出结论：（2）由被减数的百位数可以确定减数的个位数，减数的个位数确定被减数的百位数，相减即可 【解答】解：（1）①753﹣357＝396；431﹣134＝297；614﹣416＝198；592﹣295＝297；451﹣154＝297； ②正确，理由如下：设原来的三位数是100a+10b+c，交换位置后的三位数是100c+10b+a，所以（100a+10b+c）﹣（100c+10b+a）＝99a﹣99c＝99（a﹣c），所以结果一定是9的倍数； （2）824﹣428＝396； 故答案为：（1）①198，297，451﹣154＝297；②正确；（2）4，4，6． 22．（2024•定海区三模）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝200米，BC＝300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米. 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元. 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响. （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800m2，则路面设置的宽度是否符合要求. 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润＝销售利润﹣承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ 【分析】（1）根据“道路宽度x不超过12米，且不小于5米”，即可得出纵向道路宽度x的取值范围； （2）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为（300﹣2x）米、宽为（200﹣2×2x）米的长方形，根据中间种植的面积是44800m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，取其符合题意的值，再对照（1）中x的取值范围，即可得出结论； （3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为（100﹣y）元，每月可售出（5000+100y）平方米草莓，利用总利润＝销售利润﹣承包费，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【解答】解：（1）根据题意得：5≤x≤12； （2）根据题意得：（300﹣2x）（200﹣2×2x）＝44800， 整理得：x2﹣200x+1900＝0， 解得：x1＝10，x2＝190（不符合题意，舍去）， ∵5≤10≤12， ∴路面设置的宽度符合要求； （3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为（100﹣y）元，每月可售出5000500＝（5000+100y）平方米草莓， 根据题意得：（100﹣y）（5000+100y）﹣20000＝520000， 整理得：y2﹣50y+400＝0， 解得：y1＝10，y2＝40， 又∵要让利于顾客， ∴y＝40． 答：每平方米草莓平均利润下调40元． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点01 中考计算考点相关 中考数学中计算相关部分主要考向分为三类： 一、数与式（每年4~6道，12~19分） 二、方程（组）与不等式（组）（每年2~3道，6~12分） 三、统计与概率（每年3~4题，14~20分） 虽然中考在改革，但是不管怎么改，计算永远是数学中考的基础，是必须完全拿到的分数；又因为中考的改革，计算相关考点在试卷中的呈现也有所变化。其中，数与式部分不要考察三个方面：①实数基本概念及其计算、②因式分解、③整式与分式结合的代数式求值和分式有意义的条件、④二次根式的定义与化简计算；方程（组）与不等式（组）的考察不仅仅局限于单独出题，而是更多的融入大题中，特别是一元二次方程，很少单独出题，却是辅助解决综合题的重要一步；统计与概率依然每年必考，但是小题部分基本只有1~2题，简答题必出1~2题。以上考点其实都有“考点易懂”、“难度不大”、“总分值占比较高”、“有效辅助简答题”的特点，这也告诉我们，中考的改革，必须把计算的基础打牢，这样才能不仅不丢计算分值，简答题还能不因计算失分。 考向一：数与式 【题型1 实数基本概念及其计算】 实数内的基本概念包括：数轴、相反数、绝对值、倒数、有理数、无理数、科学记数法； 做这种概念类题目时记牢以下4点：①熟悉各概念的基本定义，特别注意各概念中0的特殊存在；②必须读对题意，问的是什么就想对应的考点；③如果是选择题，确保4个选项都要全看完，再说选哪个选项；④做到数轴、绝对值相关的问题，注意需不需要分类讨论。 实数比较大小的常见方法：①法则法：正数＞0＞负数；②数轴法：数轴上的数，右边的总比左边的大；③绝对值法：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；④平方法：两个正数比较大小，谁的平方大，谁本身就大，两个负数比较大小，谁的平方大，谁本身反而小； 注意：个别实数的比较大小会结合其他基本概念或计算，这类问题要同时兼顾结合考点的性质再做比较 实数的运算是实数内各种概念法则运算的结合，一般以简答题为主，个别会出填空题，这也就决定了实数的运算需要我们注意的三个方面： ①实数的运算必须熟悉的几个法则：零指数幂运算、负指数幂运算、绝对值的化简、根式的化简计算、特殊角的三角函数值计算等； ②实数的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的； ③实数的运算，先确定化简的正负，再进行合并计算。 1．（2024•浙江）以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（　　） 北京 济南 太原 郑州 0℃ ﹣1℃ ﹣2℃ 3℃ A．北京 B．济南 C．太原 D．郑州 2．（2024•浙江）2024年浙江经济一季度GDP为201370000万元，其中201370000用科学记数法表示为（　　） A．20.137×109 B．0.20137×108 C．2.0137×109 D．2.0137×108 3．（2024•温州模拟）给出四个实数，1，0，﹣1，其中最大的是（　　） A． B．1 C．0 D．﹣1 4．（2024•拱墅区校级模拟）实数，0，，1.5中无理数是（　　） A． B．0 C． D．1.5 5．（2024•桐乡市校级一模）2024年春运嘉兴南站旅客发送量约121万人次．数据121万用科学记数法表示为（　　） A．1.21×106 B．12.1×106 C．1.21×105 D．1.21×102 6．（2025•浙江一模）计算：|﹣2|﹣2tan60°＝　 　． 7．（2024•浙江）计算：． 8．（2024•滨江区校级三模）计算：． 【题型2 因式分解】 因式分解的步骤：一提（公因式），二套（乘法公式），三十字（十字相乘法）；注意：第一步就要提彻底。 1．（2024•浙江）因式分解：a2﹣7a＝　 　． 2．（2024•宁波模拟）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+4y2 B．﹣x2+4y2 C．x2﹣2y+1 D．﹣x2﹣4y2 3．（2024•钱塘区一模）下列因式分解正确的是（　　） A．4a2﹣1＝（4a+1）（4a﹣1） B．﹣a2+25＝（5+a）（5﹣a） C．a2﹣6ab﹣9b2＝（a﹣3b）2 D．a2﹣8a+16＝（a﹣8）2 4．（2024•浙江模拟）因式分解：2m2﹣32＝　 　． 5．（2024•西湖区校级二模）小璐在研究数学题的时候发现：任意两个连续偶数的平方和是4的奇数倍． （1）计算22+42的结果是4的几倍？ （2）设两个连续偶数较小的一个为2n（n为整数），请论证“发现”中的结论正确； （3）任意三个连续偶数的平方和一定是4的奇数倍吗？　 　（填“是”或“否”）． 【题型3 整式的计算与代数式化简求值】 完全拿下这部分分数，首先需要我们完全熟悉整式中的所有计算公式，特别是完全平方公式与平方差公式，变形也得掌握；其次要掌握整式的混合运算的顺序；最后，整式的化简求值，必须先化简，再带入数据求值。 1、常见必会计算公式：①am•an＝a m+n（m，n是正整数） ②（am）n＝amn（m，n是正整数） ③（ab）n＝anbn（n是正整数） ④am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） ⑤（a±b）2＝a2±2ab+b2⑥（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 2、完全平方公式的常见变形： 3、其他技巧：代数式的化简计算，其实就是分式通分、约分、去括号法则与合并同类项法则的联合应用，所以两个法则的注意事项也是代数式化简的注意事项。 技巧总结：分式的化简求值问题中，加减通分，乘除约分，结果最简，喜欢的数适当的大，适合的数排除分母。 1．（2024•浙江）下列式子运算正确的是（　　） A．x3+x2＝x5 B．x3•x2＝x6 C．（x3）2＝x9 D．x6÷x2＝x4 2．（2024•浙江一模）设x是用字母表示的有理数，则下面各式中必大于零的是（　　） A．x+2 B．2x C．|x| D．x2+2 3．（2024•瓯海区校级三模）将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片（a＞b），用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（　　） A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．（a+b）2 D．（a﹣b）2 4．（2024•浙江模拟）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑩个图案用的木棍根数是（　　） A．39 B．44 C．49 D．54 5．（2024•鹿城区一模）若分式的值为0，则x的值为（　　） A．﹣3 B．0 C．﹣2 D．2 6．（2024•镇海区校级三模）若分式有意义，则x的取值范围是 　 　． 7．（2024•西湖区三模）已知ab≠0，若5ab＝a+b，则　 　． 8．（2024•温州模拟）（1）计算：； （2）化简：． 9．（2024•仙居县三模）计算： （1）（﹣2）2|﹣3|； （2）先化简，再求值：，其中a3． 10．（2024•温岭市一模）先化简，再求值：（5a2﹣3b2）+2（2b2﹣3a2），其中a＝﹣1，b＝2． 【题型4 二次根式的定义及其化简计算】 1、二次根式有意义的条件：被开方数整体≥0 注意：和分式结合的二次根式，不仅要满足被开方数整体≥0，还要同时满足分母≠0 2、二次根式化简计算相关技巧： ①二次根式的加减，先根据二次根式的性质公式化简，再合并同类二次根式； ②二次根式的乘除，按照二次根式的运算公式直接计算； ③二次根式混合运算顺序同实数混合运算顺序一样； ④二次根式的运算结果必须化简成最简二次根式。 1．（2024•余姚市一模）下列计算正确的是（　　） A．3 B．3 C．±3 D．±3 2．（2024•拱墅区校级二模）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　 　． 3．（2024•临安区一模）将二次根式化简，正确的结果是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•滨江区二模）计算：（　　） A． B． C． D． 5．（2024•钱塘区一模）已知x＝1，y＝1，则x2+3xy+y2的值为 　 　． 6．（2024•浙江模拟）问题：先化简，再求值：2a，其中a＝3． 小宇和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下． 小宇的解答过程如下： 解：2a ＝2a（第一步） ＝2a+a﹣5……（第二步） ＝3a﹣5．……（第三步） 当a＝3时， 原式＝3×3﹣5＝4．……（第四步） 小颖为验证小宇的做法是否正确，她将a＝3直接代入原式中： 2a ＝6 ＝6+2 ＝8． 由此，小颖认为小宇的解答有错误，你认为小宇的解答错在哪一步？并给出完整正确的解答过程． 考向二：方程（组）与不等式（组） 【题型5 一次方程（组）与分式方程】 1、解一次方程应用题，遵循5个步骤，其各个步骤的注意事项如下： 步骤 要点 “审”（即审题） “审”题目中的已知量、未知量、基本关系； “设”（即设未知数） 一般原则是：问什么就设什么；或未知量较多时，设较小的量，表示较大的量 “列”【即列方程】 找准题目中的等量关系，根据等量关系列出方程 “解”【即解方程】 根据一次方程（组）的解法解出方程，注意解方程的过程不需要在解答中体现 “验”（即检验） 非题目要求，此步可以不写 检验分两步，一是检验方程是否解正确；二是检验方程的解是否符合题意 “答”（即写出答案） 最后的综上所述 2、中考中对于一次方程的应用题并不会考这么多，多以选择、填空题出题，也就意味着只考到列方程这步就可以了。 3、解分式方程基本步骤：①去分母；②解整式方程；③验根（分式方程的应用题也要有“验根”这一步！） 4、分式方程的增根：使分式方程分母=0的未知数的值； 5、分式方程会无解的几种情况 ①解出的x的值是增根，须舍去，无解 ②解出的x的表达式中含参数，而表达式无意义，无解 ③同时满足①和②，无解 6、求有增根分式方程中参数字母的值的一般步骤： ①让最简公分母为 0 确定增根； ②去分母，将分式方程转化为整式方程； ③将增根带入（当有多个增根时，注意分类，不要漏解）； ④解含参数字母的方程的解。 1．（2024•西湖区校级二模）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载：绳索量竿问题，“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子去量竿，却比竿子短一托”．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿长x尺，绳索长y尺，则符合题意的方程组是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•台州模拟）学校要制作一块广告牌，请来两名工人，已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，若先由乙做1天，再两人合作，完成任务后共得到报酬900元，若按各人的工作量计算报酬，则分配方案为（　　） A．甲360元，乙540元 B．甲450元，乙450元 C．甲300元，乙600元 D．甲540元，乙360元 3．（2024•拱墅区模拟）随着快递业务量的增加，某快递公司为快递员更换快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每天300件提高到420件，平均每人每天比原来多投递8件．若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每天投递快件多少件？设原来平均每人每天投递快件x件，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．（2024•钱塘区三模）已知二元一次方程组，则2m﹣n的值为 　 　． 5．（2025•镇海区校级模拟）已知关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2 6．（2024•婺城区校级模拟）关于x的方程：的解为正数，则m的取值范围　 　． 7．（2024•瑞安市校级模拟）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得（x﹣1）﹣（x﹣4）＝2﹣x 去括号，得x﹣1﹣x+4＝2﹣x 合并同类项，得3＝2﹣x 解得x＝﹣1 ∴原方程的解是x＝﹣1 小迪 解：去分母，得（x﹣1）+（x﹣4）＝﹣1 去括号得x﹣1+x﹣4＝﹣1 合并同类项得2x﹣5＝﹣1 解得x＝2 经检验，x＝2是方程的增根，原方程无解 老师批改时说小丁和小迪的解题过程有错误，请你把小丁和小迪开始错误的步骤划上横线，然后写出正确的解答过程． 8．（2024•黄岩区一模）（1）计算：|﹣5|22． （2）解方程组：． 9．（2024•仙居县二模）解方程：． 【题型6 一元二次方程】 1、对于一元二次方程的一般形式：， (1) 方程有两个不相等的实数根 (2) 方程有两个相等的实数根 (3) 方程没有实数根 注意：在应用根的判别式时，若二次项系数中含有字母，注意二次项系数不为0这一条件； 当时，可得方程有两个实数根，相等不相等未知 2、一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根为，则有， 当问题中出现“方程的两个根是……”时，通常就要想其根与系数的关系了，若不能直接利用原公式，则结合完全公式，想其常用变形： 3、一元二次方程的解法有4种，重点记忆配方法、因式分解法、公式法。 其中注意事项： 配方法——需要加上的数字是一次项系数一半的平方（的系数为1），并且先移项，再配方； 因式分解法——重点掌握十字相乘法（常用公式：）； 公式法——使用这种解法，必须先分析a、b、c的值，求出的值，再带入公式 1．（2024•鄞州区模拟）方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（　　） A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1 2．（2024•鹿城区校级三模）关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实数根，则k的值可以是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（2024•鹿城区校级三模）某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可销售200件．值此父亲节来临之际，该店实行降价促销．经调查发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件．当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x元，可列出方程为（　　） A．（80﹣x）（200﹣20x）＝8000 B．（80﹣x）（200+20x）＝8000 C．（80﹣50﹣x）（200﹣20x）＝8000 D．（80﹣50﹣x）（200+20x）＝8000 4．（2024•富阳区一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为a※b＝3（a+b）﹣5ab，根据这个规则，方程x※（x+1）＝﹣1的解是（　　） A．x B．x＝1 C．x或x＝1 D．x或x＝1 5．（2024•镇海区校级二模）已知a是方程x2﹣2024x+1＝0的一个根，则（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 6．（2024•拱墅区校级模拟）已知x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则　 　． 7．（2024•钱塘区二模）解下列方程： （1）（x﹣2）2+2x﹣4＝0； （2）． 8．（2024•江北区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0． （1）从1，2，3三个数中，选择一个合适的数作为a的值，要使这个方程有实数根，并解此方程． （2）若这个方程无实数根，求a的取值范围． 9．（2024•浙江一模）某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】如何设计纸盒？ 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题． 素材1 利用一边长为40cm的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒． 素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒． 【尝试解决问题】 任务1 初步探究：折一个底面积为484cm2无盖纸盒． （1）求剪掉的小正方形的边长为多少？ 任务2 折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？ （2）如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由． 【题型7 不等式（组）】 1、不等式的基本性质中，注意不等式两边同乘（或除以）一个负数时，不等号方向要改变方向； 2、一元一次不等式组的解法中，同除以一个负数时，不要忘记改变不等号的方向，同除一个分数时，不要除反了。 3、含参数类不等式组整数解问题方法步骤总结： ① 解出不等式（组）的解集——用含参数的表达式表示； ② 根据题目要求，借助数轴，确定参数表达式的范围，必在两个相邻整数之间； ③ 由空心、实心判断参数两边边界哪边可以取“=”，哪边不能取“=”。（不等式组则由解集的判断口诀来决定哪边界可以取“=”）； ④ 解出参数所在不等式（组）的解集，得参数字母的值或范围。 4、一元一次不等式（组）应用题的解法步骤：审，设，列，解，答。 审题过程中，找不等量关系时，多注意“不超过”、“低于”、“不少于”等不等量关系的词语；不等式组的应用题也常和方程结合，不等式的解作为方案类问题选择的范围，取整后得到对应方案。 1．（2024•拱墅区一模）已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（　　） A．x+5＜y+1 B．2x+2＜2y+2 C． D．﹣2x+5＜﹣2y+5 2．（2025•鹿城区校级一模）不等式组的解集在数轴上的表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•瓯海区模拟）已知关于x的不等式x﹣m≥0的负整数解只有﹣1，﹣2，则m的取值范围是（　　） A．﹣3＜m＜﹣2 B．﹣3＜m≤﹣2 C．﹣3≤m≤﹣2 D．﹣3≤m＜﹣2 4．（2024•瑞安市校级模拟）关于x的不等式组的解集是 　 　． 5．（2024•杭州四模）一次生活常识竞赛，一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题扣1分，小明有2题没答，竞赛成绩要不低于83分，则小明至少要答对 　 　道题． 6．（2024•钱塘区二模）解不等式组，并把解在数轴上表示出来． 考向三：统计与概率 【题型8 常见统计量的计算与作用】 四大统计量：平均数、中位数、众数、方差； 其中：平均数反应一组数据的平均水平，容易受极端值的影响；中位数反应一组数学的中等水平；众数反应数据的集中水平；方差反应一组数据的波动性，方差越大，数据的波动性越大。 1．（2024•浙江）某班有5位学生参加志愿服务次数为：7，7，8，10，13．则这5位学生志愿服务次数的中位数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2024•婺城区校级模拟）南苑中学42个班每个班分别选出一位同学参加校园十佳歌手比赛，如表是各班选手得分的情况，则该校选手得分的众数和中位数分别为（　　） 选手得分 91 92 93 94 96 97 得分人数 5 7 10 12 6 2 A．11，13 B．92，93 C．94，93 D．93，94 3．（2025•浙江一模）老师在黑板上写出一个计算方差的算式：，根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（　　） A．n＝5 B．平均数为8 C．添加一个数8后方差不变 D．这组数据的众数是6 4．（2024•杭州模拟）我国古代科举制度始于隋成于唐，兴盛于明．明代会试分南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比例录取，若某年会试录取人数为100，则中卷录取人数为（　　） A．10 B．35 C．55 D．75 5．（2024•金华一模）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9.2环，方差分别为s甲2＝0.56，s乙2＝0.60，s丙2＝0.50，s丁2＝0.45，则成绩最稳定的是　 　． 6．（2024•临安区二模）某中学开展“好书伴我成长”读书活动，为了解3月份九年级学生读书情况，随机调查了九年级50名学生读书的册数，统计数据如表所示： 册数 2 3 4 5 6 人数 4 12 13 17 4 则这组数据的众数是 　 　． 7．（2024•浙江模拟）端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如表： 八年级10名学生活动成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 1 2 a b 2 已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是 　 　，七年级活动成绩的众数为 　 　分； （2）a＝　 　，b＝　 　； （3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 【题型9 概率与频率】 1、概率定义及公式： 某事件根据会不会发生，分为：必然事件、随机事件、不可能事件；三种事件的发生概率分别为：； 概率公式：某事件的各种不同结果的总数为n，事件A的结果为m，则A事件发生的概率为： 2、概率计算方式：列表法和树状图法是求解事件概率的两种方法，其中，树状图较为直接简单，必须会，列表法了解即可 3、频数分布直方图和频数分布折线图可以更直观、更方便的表示出各数据的多少和变化 4、各组数量之和=样本容量；各组频率之和=1；数据总数×相应的频率=相应的频数； 1．（2024•浙江）有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8．从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是 　 　． 2．（2025•镇海区校级模拟）有4根细木棒，它们的长度分别是3cm、5cm、7cm、9cm．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是（　　） A． B． C． D．1 3．（2024•金华一模）一个不透明的袋子里装有3个红球和4个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（　　） A． B． C． D． 4．（2024•浙江模拟）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为 　 　． 5．（2025•鹿城区校级一模）某校为了解学生的劳动教育情况，对九年级学生寒假期间“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（A：x＜60；B：60≤x＜80；C：80≤x＜100；D：x≥100，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求出本次抽样的学生人数并补全条形统计图； （2）已知该校九年级有600名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在60到100分钟（含60分钟）的学生有多少人？ （3）若D组中有3名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率． 【题型10 统计与概率简答题】 1．（2024•浙江）某校开展科学活动．为了解学生对活动项目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查．调查问卷和统计结果描述如下： 科学活动喜爱项目调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写． 问题1：在以下四类科学“嘉年华”项目中，你最喜爱的是 　 　 （A）科普讲座 （B）科幻电影 （C）AI应用 （D）科学魔术 如果问题1选择C．请继续回答问题2． 问题2：你更关注的AI应用是 　 　 （E）辅助学习 （F）虚拟体验 （G）智能生活 （H）其他 根据以上信息．解答下列问题： （1）本次调查中最喜爱“AI应用”的学生中更关注“辅助学习”有多少人？ （2）若该学校共有1200名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱“科普讲座”的学生人数． 2．（2024•婺城区校级模拟）某中学开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球五项球类活动，为了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了m名学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一项），并根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）m＝ 　 　，n＝ 　 　，并补全条形统计图； （2）若全校共有1800名学生，求该校约有多少名学生爱踢足球； （3）在抽查的m名学生中，学校打算从喜欢羽毛球运动的甲、乙、丙、丁四人中选取2名参加区中学生羽毛球比赛，请用列表法或画树状图法求同时选中甲、丙的概率． 3．（2024•鹿城区校级一模）为了了解九年级学生体育训练情况，随机抽取男生、女生各40名进行1分钟跳绳测试，并对测试结果进行整理，1分钟跳绳的个数用x表示，分成了四个等级，其中A：x≥180，B：160≤x＜180，C：140≤x＜160，D：x＜140，下面给出了部分统计信息： 信息一：女生1分钟跳绳个数等级扇形统计图 信息二：男生1分钟跳绳个数等级频数统计表 等级 A B C D 频数 16 a 8 3 信息三：男生和女生1分钟跳绳个数的平均数，众数，中位数，A等级所占百分比如表： 平均数 众数 中位数 A等级所占百分比 男生 168 187 173 40% 女生 168 188 170 30% 根据以上信息，解答下列问题： （1）m＝　 　，a＝　 　． （2）根据以上数据分析，你认为九年级1分钟跳绳男生成绩更优异，还是女生成绩更优异？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在跳绳个数达到A等级的同学中有两名男生和一名女生跳绳的个数超过了230个，体育老师随机从这三位同学中选择两位同学做经验分享，请利用画树状图或列表的方法，求选到这名女生的概率是多少？ （建议用时：25分钟） 1．（2024•婺城区校级模拟）下面哪个数的绝对值最小（　　） A．0 B．﹣2 C．+3 D．﹣2024 2．（2024•浙江模拟）2024年春节期间国内旅游出行合计约474000000人次，比2023年大幅增加．数据474000000用科学记数法表示为（　　） A．0.474×109 B．47.4×107 C．4.74×109 D．4.74×108 3．（2024•鹿城区校级三模）分解因式：2x2﹣8＝　 　． 4．（2024•义乌市模拟）已知排球队6名场上队员的身高（单位：cm）分别是：181，185，188，190，194，196．现用两名身高分别是186，193的队员换下场上身高为181，194的队员，与换人前相比，现在计算结果不受影响的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 5．（2024•镇海区校级四模）有如下数列：a1，a2，a3，a4，a5，a6，…，an﹣2，an﹣1，an，…，满足an﹣2•an＝2an﹣1，已知a1＝1，a3＝4，则a2024＝（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 6．（2024•文成县二模）无理数的大小在（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 7．（2024•舟山一模）小红带着数学兴趣小组研究分式，下列说法正确的是（　　） A．当x＝2时， B．当时，x＝6 C．当x＞3时， D．当x越来越大时，的值越来越接近于1 8．（2024•萧山区一模）下列计算或变形正确的是（　　） A．2a+3b＝6ab B． C． D．a2•b2＝（ab）2 9．（2024•拱墅区一模）我国古代数学专著《九章算术》中记载了一个“盈不足”的问题：“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．”大概意思是说：现有几个人共同买猪，若每人出100钱，则多出100钱；若每人出90钱，则钱刚刚好．设人数为x人，则（　　） A．100x﹣100＝90x B．100x+100＝90x C． D． 10．（2024•丽水一模）已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当b2﹣4ac＝0时，方程的解为（　　） A．， B．， C． D． 11．（2024•西湖区一模）一个仅装有球的不透明布袋里共有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n＝ 　 　． 12．（2024•鹿城区校级三模）不等式组的解为 　 　． 13．（2024•钱塘区三模）关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0的两个实数根分别为x1，x2，若（x1﹣1）（x2﹣1）＝5，则k的值为 　 　． 14．（2024•浙江模拟）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶各几何？意思是：今有好田1亩价值300钱，坏田7亩价值500钱．今用10000钱购入好、坏田共1顷（1顷＝100亩），问好田、坏田各有多少亩？如果设好田为x亩，坏田为y，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 15．（2024•江北区一模）小明用图1所示的一副七巧板在一个矩形中拼了一条龙的形状（图2）．若A，B，C三点共线且点D，A，E，F在矩形的边上，则矩形的长与宽之比为 　 　． 16．（2024•义乌市模拟）解方程（组）： （1）； （2）． 17．（2024•嘉善县一模）（1）计算：a（a+2）+（a﹣1）2； （2）解不等式：4x+2≤x﹣1． 18．（2024•西湖区校级二模）（1）计算：4cos30°+（π+1）0； （2）解方程：． 19．（2024•西湖区校级二模）某公司准备从A、B两款语音识别软件中择优购买一款．为了解两款软件的性能，测试员小敏随机选取了20个句子，其中每句都含10个字．他用标准普通话以相同的语速朗读每个句子来测试这两款软件，并将语音识别结果进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： A款软件每个句子中识别正确的字数记录为： 5，5，6，6，6 6，6，6，7，7 8，9，9，9，9 10，10，10，10，10 B款软件每个句子中识别正确的字数折线统计图为： A、B两款软件每个句子中识别正确的字数的统计表 软件 平均数 众数 中位数 识别正确达到10个字的句子所占百分比 A款 7.7 a 7.5 25% B款 7.7 8 b c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述中的a＝ 　 　，b＝ 　 　，c＝ 　 　； （2）若会议记录员用A、B两款软件各识别了500个句子，每个句子有10个文字，请估计两款软件一字不差地识别正确的句子共有多少个？ （3）该公司现派采购小组前去购买一批同款语音识别输入软件，请你根据学过的统计量，从A、B两款软件中推荐一款进行采购，并简单说明你推荐的理由． 20．（2024•浙江模拟）对于实数a，b，定义新运算“⊕”，规定如下：a⊕b＝（a+b﹣1）2﹣2ab，如1⊕2＝（1+2﹣1）2﹣2×1×2＝0． （1）求3⊕5的值； （2）若x为某一个实数，记x⊕3的值为m，1⊕（2﹣x）的值为n，请你判断m﹣n的值是否与x的取值有关？并给出证明． 21．（2024•鹿城区一模）观察以下二元一次方程组与对应的解： 二元一次方程组 … 解 … （1）通过归纳未知数系数与解的关系，直接写出的解． （2）已知关于x，y的二元一次方程组（a≠b，a+b≠0）． ①猜想该方程组的解； ②将你猜想的解代入方程组检验并写出过程． 22．（2024•玉环市三模）A，B两个工程队分别接到36千米的道路施工任务．以下是两个工程队的施工规划． A工程队 前两天施工速度为x千米/天，第三天开始每天都按第一天施工速度的2倍施工（预计比全程只按x千米/天的速度完成施工的时间提前3天） B工程队 甲方案：计划18千米按每天施工a米完成，剩下的18千米按每天施工b米完成，预计完成生产任务所需的时间为t1天； 乙方案：设完成施工任务所需的时间为t2天，其中一半时间每天完成施工a千米，另一半时间每天完成施工b千米； 特别说明：两种方案中的a，b均为正整数，且1≤a<b≤9． （1）问A工程队完成施工任务需要多少天？ （2）若要尽快完成施工任务，B工程队应采取哪种方案？说明你的理由． （3）若B工程队采用甲方案完成施工时间与A工程队完成时间相同，直接写出a的值． （建议用时：25分钟） 1．（2024•桐乡市一模）已知a＜b，c＜0，则（　　） A．a＜b+c B．a＜b﹣c C．ac＜bc D． 2．（2024•钱塘区一模）某中学开展“好书伴我成长”读书活动，为了解2月份九年级学生读书情况，随机调查了九年级50名学生读书的册数，统计数据如表所示： 册数 1 2 3 4 5 人数 4 12 16 17 1 关于这组数据，下列说法正确的是（　　） A．平均数是3 B．方差是3 C．中位数是3 D．众数是17 3．（2024•浙江一模）小明所在的班级有20人去体育场观看演出，20张票分别为A区第10排1号到20号．采用随机抽取的办法分票，小明第一个抽取得到10号座位，接着小亮从其余的票中任意抽取一张，取得的一张恰与小明邻座的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（2024•钱塘区三模）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧．若点A，B对应的实数分别为a，b，则下列结论一定成立的是（　　） A．a+b＜0 B．b﹣a＜0 C．2a+2b＞0 D．2a﹣2b＞0 5．（2024•普陀区二模）下列计算正确的是（　　） A．x3×x2＝x6 B．（﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2 C． D．（2a﹣b）2＝4a2﹣b2 6．（2024•杭州模拟）《庄子•天下》云：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”．若设捶长为1，天数为n，则（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 7．（2024•浙江模拟）已知代数式，下列说法不正确的是（　　） A．代数式有最大值 B．代数式有最小值 C．代数式值随a的增大而增大 D．代数式值不可能为0 8．（2024•杭州模拟）若实数a，b满足，则（　　） A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．a+b2＞0 D．a﹣b2＜0 9．（2025•镇海区校级模拟）已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（　　） A．5 B．9 C．13 D．17 10．（2024•下城区校级模拟）已知，，．那么a，b，c的大小关系是（　　） A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．a＞b＞c 11．（2024•镇海区校级二模）已知，则（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 12．（2024•西湖区校级三模）若一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数为4，则2x1+2，2x2+2，2x3+2，2x4+2，2x5+2的平均数为 　 　． 13．（2024•湖州一模）对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述： ①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根； ②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根； ③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根； ④当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 14．（2025•镇海区校级模拟）若关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是 　 　． 15．（2024•金华模拟）已知a，b，显然ab＝1，观察下列等式： ， ， ， （1）猜想：①　 　． ②Pn＝　 　＝　 　． （2）请证明猜想②成立． 16．（2024•诸暨市模拟）已知点Pn为线段AB上一点．如果APn：AB的比值为关于x的方程x2+21﹣nx﹣1＝0的解，那么点Pn为AB的n阶黄金分割点． 已知n阶黄金分割点作法如下： 步骤一：如图，过点B作AB的垂线BC，在垂线BC上取BD＝kAB，连接AD； 步骤二：以点D为圆心，DB为半径作弧交AD于点E； 步骤三：以点A为圆心，AE为半径作弧交AB于点Pn； 结论：点Pn为线段AB的n阶黄金分割点． （1）作法步骤一中，当时，点Pn为线段AB的 　 　阶黄金分割点； （2）作法步骤一中，当k＝　 　（结果用n的代数式表示）时，点Pn为线段AB的n阶黄金分割点． 17．（2024•镇海区校级三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+5+2k＝0． （1）求证：此方程总有两个不相等的实数根． （2）若此方程恰有一个根为1，求方程的另一个根． 18．（2024•下城区校级模拟）已知分式方程，请在下列三个条件中任选其中一个，求m的值． ①若方程有增根； ②若方程无解； ③若方程的解为1． 19．（2024•平湖市模拟）已知关于x的不等式组： ①当a＝1时，求该不等式组的解集； ②若该不等式组有且只有三个整数解，求a的最大值． 20．（2024•镇海区校级二模）某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商场用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒． （1）分别求出甲、乙坚果每盒的进价； （2）若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值； （3）因甲坚果市场反应良好，超市第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量比为1：3，为回馈消费者，超市计划将甲坚果每盒售价降低a元（a为正整数），但甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率，已知第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，求a的值． 21．（2024•下城区校级模拟）芳芳和亮亮玩一个数字游戏，游戏规则：任选一个三位数，其中a＞c+1，然后交换这个数的个位和百位上的数字，得到一个新的数，再作这两个数的差．只要知道a和c，就能立马得到这个差．爱钻研的芳芳和亮亮马上就分析其中蕴含的数学规律． （1）用“从特殊到一般”的数学思想方法分析该问题； ①计算下列各式，并观察每个算式的结果，有什么规律吗？你能再写出一个这样的式子吗？ 753﹣357＝396；431﹣134＝297；614﹣416＝　 　；592﹣295＝　 　；…… 写出你的式子：　 　． ②亮亮说：若这个三位数是，根据游戏规则运算结果一定是9的倍数．请你判断亮亮的说法是否正确，若不正确请举例说明，若正确请说明理由． （2）芳芳还发现，差的百位数字不仅与它的个位数字有关，并且与a，c也有关，由此她写了以下这个算式，请你在空格上填上一个数字，使算式成立：82 　 　﹣　 　28＝39 　 　． 22．（2024•定海区三模）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝200米，BC＝300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米. 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元. 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响. （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800m2，则路面设置的宽度是否符合要求. 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润＝销售利润﹣承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$