精品解析：安徽省滁州市凤阳县2024-2025学年九年级上学期1月期末联考数学试题

2024~2025学年度第一学期教学质量监测 九年级数学试题卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2. 下列抛物线中，与抛物线具有相同对称轴的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知，则下列式子中不一定成立是（ ） A. B. C. D. 4. 如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点，分别为两岸上一点，且点在点正北方向，由点向正东方向走米到达点，此时测得点在点的北偏西55°方向上，则河宽的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 如图，AB与CD交于点，且．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点，在⊙O上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 五角星是我们中华人民共和国国旗元素，如图是从一个五角星中分离出来的等腰三角形，已知，，平分，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点F．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，是边的中点，与垂直，交于点，连接，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，等腰（）的直角边与正方形的边长均为，且与在同一条直线上，开始时点与点重合，让沿直线向右平移，直到点与点重合为止．设的长为，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA=，则cosA=____． 12. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB＝60°，弦AD平分∠CAB，若AD＝6，则AC＝_____． 13. 已知点A是y=（x＞0）图象上的一点，点B是x轴负半轴上一点，连接AB，交y轴于点C，若AC=BC， S△BOC=1，则k的值是___________ 14. 若，，且，的最小值为，最大值为． （1）的取值范围是______； （2）的值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图，二次函数与两坐标轴的交点坐标分别为，．根据图象回答下列问题： （1）求拋物线的对称轴； （2）写出不等式的解集． 16. 在坐标平面内，△ABC的顶点位置如图所示． （1）将△ABC作平移交换（x，y）→（x+2，y﹣3）得到△A1B1C1，画出△A1B1C1． （2）以点O为位似中心缩小△ABC得到△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC的相似比为1：2，且点A与其对应点A2位于点O的两侧，画出△A2B2C2． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，DB＝． （1）求BE的长； （2）若sin∠DAB＝，求△CAD的面积． 18. 如图，在等边三角形中，，，相交于点． （1）求证； （2）求证． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，是的直径，点E、F在上，且，连接、，过点作的切线，分别与、的延长线交于点C、D． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 20. 小明看到了天上自由飞翔的小鸟，突发奇想，准备利用自己学过的锐角三角函数知识计算出小鸟飞行的高度．他在地面的点处利用测角仪测得小鸟在点处的仰角为，后，小鸟飞到了点处（点，在同一水平线上），此时测得仰角为．已知测角仪的高度是，且查阅资料可知该种小鸟的飞行速度约为，根据以上数据计算小鸟的飞行高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，，） 六、（本题满分12分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为点，，，点的纵坐标为． （1）求点的坐标； （2）求该反比例函数和一次函数解析式； （3）连接，求四边形面积． 七、（本题满分12分） 22 已知，和中，．连接，． （1）如图，当，时，，，三点在同一条直线上，猜想和之间的关系并证明； （2）如图，，． 求证：； 如图，当，，三点在同一条直线上，，时，求的长． 八、（本题满分14分） 23. 如图，抛物线过点，，与轴交于点，拋物线的顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）是线段上的一动点（点与，不重合），过点作轴的垂线交抛物线于点．若，求点的坐标； （3）设的面积为，的面积为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期教学质量监测 九年级数学试题卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将点代入反比例函数，即可求解． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 2. 下列抛物线中，与抛物线具有相同对称轴的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的抛物线，可以求得它的对称轴，然后再求出各个选项中的二次函数的对称轴，即可解答本题． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线， A、的对称轴是直线，故该选项不符合题意； B、的对称轴是直线，故该选项不符合题意； C、的对称轴是直线，故该选项不符合题意； D、的对称轴是直线，故该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线的对称轴，解答本题的关键是熟练计算抛物线的对称轴． 3. 已知，则下列式子中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，解题的关键是熟练运用比例的基本性质对式子进行变形． 根据已知，将各选项式子进行变形，看是否能与已知条件建立联系来判断式子是否成立． 【详解】A、已知，设，则，该式子成立； B、同样设不一定等于，该式子不一定成立； C、设，则，该式子成立； D、由，可得，对进行化简：，移项可得，该式子成立， 故选：B． 4. 如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点，分别为两岸上一点，且点在点正北方向，由点向正东方向走米到达点，此时测得点在点的北偏西55°方向上，则河宽的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出∠ABC度数，再利用三角函数求解即可． 【详解】解：如图，∵点 B 在点 C 的北偏西55°方向上， ∴∠BCD=55°， ∵该河道为东西流向且与河岸平行，点 B 在点 A 正北方向， ∴AB⊥AC， ∴AB∥CD， ∴∠ABC=55°， ∵点 A 向正东方向走 a 米到达点 C ， ∴AC=a， ∴ 故选D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及到三角函数值的问题，解决本题的关键是读懂题意，能在图形中找出相应的角或线段，牢记三角函数公式等，考查了学生应用数学的意识与能力． 5. 如图，AB与CD交于点，且．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用平行线得到相似三角形，并根据相似三角形的性质求解． 先根据平行线证明与相似，再由已知条件得出相似比，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出的值． 【详解】， ， ， 已知，设，则， ， 与的相似比为， 根据相似三角形面积比等于相似比的平方， ． 故选：C． 6. 如图，点，在⊙O上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据为的中点，三角形内角和可求出，再根据切线的性质即可求解． 【详解】解：∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵直线与相切， ∴， ∴， 故选：A． 7. 五角星是我们中华人民共和国国旗的元素，如图是从一个五角星中分离出来的等腰三角形，已知，，平分，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意，得出，，证明，然后即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， 则， 解得：， ∵， ∴， ∴； 故选：C； 8. 如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点F．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求解x、y的关系式是解答的关键．过D作，交延长线于H，则，根据菱形的性质和平行线的性质得到，，，进而利用含30度角的直角三角形的性质，证明得到，然后代值整理即可求解． 【详解】解：如图，过D作，交延长线于H，则， ∵在菱形中，，， ∴，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． （法二：同理，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C．） 9. 如图，在矩形中，是边的中点，与垂直，交于点，连接，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过证明，可得，可证；过点作交于点，连接，可证四边形是平行四边形，可得，由直角三角形性质和等腰三角形的性质可得，通过证明，可得，可求得，即可得；由平行线的性质可得，可证，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∴． ∵是边的中点， ∴ ∴ ∴，故A正确； 如图，过点作交于点，交于点，连接． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴，且， ∴是的垂直平分线， ∴，故B正确； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，故D正确； ∵， ∴，且， ∴，且， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴，故C错误． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理、矩形的性质、平行四边形的性质以及判定定理、线段垂直平分线的性质以及判定定理是解题的关键． 10. 如图，等腰（）的直角边与正方形的边长均为，且与在同一条直线上，开始时点与点重合，让沿直线向右平移，直到点与点重合为止．设的长为，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点的位置对分类讨论，分别画出对应的图形，根据等腰直角三角形的性质、梯形面积公式和三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知：当点到点时，；当点到点时，； 当时，如下图所示，此时阴影部分为梯形，设与交于点 ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵，，是等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形 ∴ ∴； 当，如下图所示，此时阴影部分为三角形，设与交于点 ∵四边形是正方形， ∴， ∵，，是等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形 ∴ ∴． 综上所述： 结合图像可得只有项符合题意， 故选：． 【点睛】此题考查的是求实际问题中的函数关系式，二次函数的图像及性质，掌握正方形的性质、等腰直角三角形的性质、梯形面积公式、三角形的面积公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA=，则cosA=____． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】由，可设，则，由勾股定理得，求出的值，根据可求结果． 【详解】解：由题意知，， 设，则 由勾股定理得 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，正切、余弦值．解题的关键在于求出三边的数量关系． 12. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB＝60°，弦AD平分∠CAB，若AD＝6，则AC＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接BD．在Rt△ADB中，求出AB，再在Rt△ACB中求出AC即可解决问题． 【详解】解：连接BD． ∵AB是直径， ∴∠C＝∠D＝90°， ∵∠CAB＝60°，AD平分∠CAB， ∴∠DAB＝30°， ∴AB＝AD÷cos30°＝4， ∴AC＝AB•cos60°＝2， 故答案为2． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 13. 已知点A是y=（x＞0）图象上的一点，点B是x轴负半轴上一点，连接AB，交y轴于点C，若AC=BC， S△BOC=1，则k的值是___________ 【答案】4 【解析】 【分析】连接OA，作AD⊥y轴于D，则AD∥OB，根据题意得出△BOC≌△ADC，然后根据三角形面积公式以及反比例函数系数k的几何意义求得即可． 【详解】过点A作AD⊥y轴，垂足为D， ∴∠ADC=∠BOC=90°， 又∵∠ACD=∠BCO，AC=BC， ∴△BOC≌△ADC， ∴S△BOC=S△ADC 连接OA，则S△ACO= S△BOC =1， ∴S△ADO=2， ∴k=2×2=4 故答案为：4 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，理解反比例函数系数k的几何意义，求得△AOD的面积是解题的关键． 14. 若，，且，的最小值为，最大值为． （1）的取值范围是______； （2）的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，解一元一次不等式，解答本题的关键是能够根据自变量的取值范围确定函数的最值． （1）根据，可得，再根据，即可求得的取值范围； （2）根据，可得，根据的取值范围和二次函数的性质即可求得和的值，从而求得的值． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 又， ， 故答案为：； （2）， ， ， 当时，有最小值， 当时，有最大值， ，， ， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图，二次函数与两坐标轴的交点坐标分别为，．根据图象回答下列问题： （1）求拋物线的对称轴； （2）写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与不等式等知识，解题的关键是： （1）根据对称轴公式求解即可； （2）根据对称轴可求出当时，；当时，，然后数形结合求解即可． 【小问1详解】 解： 抛物线对称轴为直线； 小问2详解】 解：对称轴为直线 ， 当时，；当时， 的解集为或 16. 在坐标平面内，△ABC的顶点位置如图所示． （1）将△ABC作平移交换（x，y）→（x+2，y﹣3）得到△A1B1C1，画出△A1B1C1． （2）以点O为位似中心缩小△ABC得到△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC的相似比为1：2，且点A与其对应点A2位于点O的两侧，画出△A2B2C2． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据横坐标右移加，纵坐标下移减解答即可； （2）利用关于点O为位似中心的对应点的坐标关系，把A、B、C的横纵坐标分别乘以﹣得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作； （2）如图，△A2B2C2所作． 【点睛】本题考查了作图-平移变换和位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，DB＝． （1）求BE的长； （2）若sin∠DAB＝，求△CAD的面积． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）在直角△BED中，利用∠B的余弦函数求出BE； （2）利用等腰直角三角形的性质先求出DE，再在直角△AED中利用∠DAB的正弦函数和勾股定理求出AD、AE，最后求出△ABD的面积．利用三角形中线的性质可得结论． 【小问1详解】 ∵DE⊥AB， ∴∠BED＝90°． ∵在Rt△BED中， ， ∴． 【小问2详解】 ∵． ∴． ∴BE＝DE＝3． ∵sin∠DAB， ∴AD＝5． ∴． ∴AB＝AE+BE＝4+3＝7． ∴． ∵AD是BC边上的中线， ∴S△ADC＝S△ABD＝． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，三角形中线的性质．利用数形结合的思想是解题关键． 18. 如图，等边三角形中，，，相交于点． （1）求证； （2）求证． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可知，结合题意即可利用“SAS”证明； （2）由全等三角形的性质可知，，再根据三角形外角性质可证明．结合等边三角形的性质易证明，得出．根据，即可证明，即得出，等量代换即得出． 【小问1详解】 证明：∵为等边三角形， ∴． 又∵， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴，． ∵，， ∴，即． ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定条件是解题关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，是的直径，点E、F在上，且，连接、，过点作的切线，分别与、的延长线交于点C、D． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）取的中点M，连接、，由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）连接，由题意易得，由（1）知，则有，然后由相似三角形的性质可得，则，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）证明：如图，取的中点M，连接、， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接， ∵是的切线， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴， ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、圆周角定理及切线的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、圆周角定理及切线的性质是解题的关键． 20. 小明看到了天上自由飞翔的小鸟，突发奇想，准备利用自己学过的锐角三角函数知识计算出小鸟飞行的高度．他在地面的点处利用测角仪测得小鸟在点处的仰角为，后，小鸟飞到了点处（点，在同一水平线上），此时测得仰角为．已知测角仪的高度是，且查阅资料可知该种小鸟的飞行速度约为，根据以上数据计算小鸟的飞行高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 过点作，过点作，设，则，在中，，得，在中，，得，因为，所以，解出的值即的长度，再求出的长度，最后根据即可求解． 【详解】解：过点作，过点作， 根据题意设，则， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ， 答：小鸟的飞行高度约为． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为点，，，点的纵坐标为． （1）求点的坐标； （2）求该反比例函数和一次函数的解析式； （3）连接，求四边形的面积． 【答案】（1）点的坐标为；（2），；（3）8 【解析】 【分析】（1）在中利用勾股定理可求得OM，BM的长，进而得出点B的坐标； （2）根据题意得出B点坐标，可得出反比例函数解析式，把点A的纵坐标代入反比例函数解析式可得出点A的横坐标，再利用待定系数法得出一次函数解析式； （3）先判定四边形MBOC为平行四边形，再利用面积公式求解即可． 【详解】解：（1）在中，，， ，解得，， 点的坐标为； （2）反比例函数的图像经过点， ，该反比例函数的解析式为； 反比例函数经过点，而点的纵坐标为， ，解得，点坐标； 将点和的坐标代入一次函数的解析式中，得 ，解得， 一次函数的解析式为； （3）一次函数与轴交于点，当时，， ∴C点的坐标为，， ，， 又轴，， 四边形为平行四边形， ． 【点睛】此题是一次函数与反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式以及平行四边形的判定与平行四边形面积的求法，正确利用数形结合分析是解题关键． 七、（本题满分12分） 22. 已知，和中，．连接，． （1）如图，当，时，，，三点在同一条直线上，猜想和之间的关系并证明； （2）如图，，． 求证：； 如图，当，，三点在同一条直线上，，时，求的长． 【答案】（1），，见解析； （2）见解析；． 【解析】 【分析】利用可证，根据全等三角形的性质可证、，根据对顶角相等可知，根据三角形内角和定理可得，所以可知且； 延长，交于点，设交于点，根据、，，可证，根据相似三角形的性质可得，从而可证结论成立； 根据、，，可证，根据相似三角形的性质可证、，利用三角形内角和定理可证，设，则，根据、，利用勾股定理可以求出，根据相似三角形对应边成比例可得：，，，所以可得，利用勾股定理可得关于的一元二次方程，解方程求出的值即可． 【小问1详解】 解：猜想：，， 证明：如下图所示，延长交于点， 在和中，， ， ，， 又， ， ； 【小问2详解】 证明：如下图所示，延长，交于点，设交于点， ，， ， ， ， ， ， ， 解：如下图所示，设与交于点， ， ， 即， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ，， ， ，， ， ， 在中，， 整理可得， 解得：或（负值，舍去）， 的长为． 【点睛】本题主要考查了平等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理、解一元二次方程．解决本题的关键是根据全等三角形的性质和相似三角形的性质找到边和角之间的关系． 八、（本题满分14分） 23. 如图，抛物线过点，，与轴交于点，拋物线的顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）是线段上的一动点（点与，不重合），过点作轴的垂线交抛物线于点．若，求点的坐标； （3）设的面积为，的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解法是解题的关键．． （1）把，代入解方程组即可得到结论； （2）设，则，则，然后依据列方程求解即可； （3）根据抛物线的解析式求得D点坐标，求出直线的解析式，得到直线BD与轴交点坐标，求出的面积为，的面积为，即可得到结论． 【小问1详解】 解：把，代入解析式， 解得 抛物线的解析式为： 【小问2详解】 解：设点坐标为，则， ， ， 解得，（舍去） 当时， 点坐标为 【小问3详解】 解：， 点坐标为， 设直线BD解析式为， 把，代入得 解得 设直线与轴交于点， 则点坐标为， ， ， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$