专题14 二次函数与一次函数、反比例函数 【七大题型】- 2025年中考数学一轮复习（全国通用版）

专题14 二次函数与一次函数、反比例函数 1一次函数 1.1 概念 一般地，形如(，是常数，)的函数，叫做一次函数. 当时，即，所以正比例函数是一种特殊的一次函数. 1.2 性质 一般地，一次函数(，是常数，)的图像是一条直线； 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小. 当时，即一次函数经过轴上的点，决定直线与轴的交点位置. 2 反比例函数 2.1 反比例函数的概念 一般地，(为常数，)叫做反比例函数，即是的反比例函数. (为自变量，为因变量，其中不能为) 2.2 反比例函数的性质 ① 当时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，随的增大而减小； ② 当时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，随的增大而增大； ③ 双曲线的两支会无限接近坐标轴，但不会与坐标轴相交. 3 二次函数的图像和性质 （1）二次函数一般式的图像与性质 图像 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小. 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大. 最值 当时，取到最小值 当时，取到最大值 系数，，的作用 （1）：决定抛物线的开口方向与大小； 当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下，越大，抛物线的开口越小. （2），同时决定抛物线的对称轴位置； （3）决定抛物线与轴的交点位置. 因为对于二次函数，当时，故抛物线必过轴上的点. （2）二次函数顶点式的图像与性质 ① 当时，开口向上；当时，抛物线开口向下； ② 对称轴； ③ 顶点坐标. 【题型1】 一次函数、反比例函数与二次函数图象综合判断 【典题1】 （2022·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据的函数图象可知，，，即可确定一次函数图象，根据时，，即可判断反比例函数图象，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，则，与轴存在2个交点，则， ∴一次函数图象经过一、二、三象限， 二次函数的图象，当时，， 反比例函数图象经过一、三象限 结合选项，一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是B选项 故选B 【点睛】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 【巩固练习】 1.（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据一次函数与反比例函数的图象可得，，再根据二次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，即， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线， 故选：D． 2.（2024·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， ∴的取值范围是， 故选：C． 【题型2】 一次函数与二次函数的图象交点问题 【典题1】（2023·广西南宁·二模）如图，二次函数与一次函数的图象交于、两点，则一元二次方程的解为（    ）    A．， B． C．， D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握方程的根是所对应两函数图象的交点横轴坐标是解题的关键．由题意原问题转化为求二次函数与一次函数 的图象交点的横坐标，结合函数图象进行分析即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程的解即为二次函数与一次函数的图象交点的横坐标， ∵二次函数：与一次函数：的图象交于A，B两点， ∴由图像可得一元二次方程的解为：，． 故选：A． 【典题2】（2024·安徽六安·模拟预测）如图，抛物线是常数，的顶点在第四象限，对称轴是直线，过第一、二、四象限的直线与抛物线交于轴上一点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C．若当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上，则 D．若为任意实数，则 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．由抛物线与直线图象关系，由抛物线的对称轴，二次函数与方程及不等式的关系，分别进行判断即可． 【详解】直线 令，得 直线与轴的交点为， ∴抛物线与直线在轴上的交点为． ∵抛物线的对称轴为直线 抛物线与轴的另一个交点为． 把代入，得． ∵抛物线的对称轴为直线 ，解得 ，解得， 故选项A错误； 抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线过点 当时，，即 直线经过第一、二、四象限， ， 故选项B正确； 抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上， ，即当时， ． 由，得， 故选项C正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线 当时，二次函数取最小值，最小值为， 即当时，， ， ， 故选项D正确． 【巩固练习】 1.（2024·天津河北·模拟预测）函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据函数轴无交点即可判断①，根据当时，，即可判断②，当时，，即可判断③，当时，二次函数值小于一次函数值，则，即可判断④. 【详解】∵函数轴无交点，∴；故①错误． 当时，，故②正确． ∵当时，， ∴．故③错误． ∵当时，二次函数值小于一次函数值， ∴， ∴．故④正确． 综上所述，正确的结论有②④两个， 故选：B． 2.如图，已知开口向下的抛物线对称轴为直线，与x轴交于点，与一次函数的图象交于，下列结论正确的有（    ） ①； ②； ③使不等式成立的x的取值范围是或； ④若关于x的一元二次方程有实数根，则； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质和一元二次方程的根与系数，根据图像可知，结合对称轴得，即可判定①和②错误；进一步结合交点和图像位置关系可知其取值范围，判定③正确；结合一元二次方程的根与系数即可求得④正确． 【详解】解：由图像知， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，则， ∴，则①错误； ，则②错误； ∵一次函数的图象与抛物线交于，， ∴不等式成立的x的取值范围是或，则③正确； ∵一元二次方程有实数根， ∴，解得，则④正确； 故选：B． 3.如图，抛物线与直线相交于点A和点B．点M是直线上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段与抛物线只有一个公共点，求点M的横坐标的取值范围 ． 如图， 【答案】或 【分析】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质、坐标与图形变化平移．分类求解确定的位置，进而求解． 【详解】解：联立两个函数表达式得， 解得或， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴A，B的水平距离为3， 当点M在线段上（不与点A重合）时， ∵M，N的距离为3，而A，B的水平距离是3， ∴此时只有一个交点，即； 当点M在点B的左侧时，线段与抛物线没有公共点； 当点M在点A的右侧时，当时，抛物线和交于抛物线的顶点，即时，线段与抛物线只有一个公共点． 综上所述，或时，线段与抛物线只有一个公共点． 故答案为：或． 【题型3】 一次函数与二次函数相结合的铅锤法 【典题1】 （2023·山东泰安·一模）如图，对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线顶点为D，直线交y轴于E点； 设点P为线段上一点（点P不与B、D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求面积的最大值； 【答案】(1)(2)1 【分析】（1）应用对称轴方程，求，再根据，得点坐标为，代入抛物线解析式，可求； （2）设出点坐标，用含的代数式表示面积，利用二次函数求最值的方法，求最大值； 【详解】（1）抛物线对称轴为直线， 由对称轴公式得， ， 抛物线解析式为， 点坐标为． ， 点坐标为，代入得， ， 或（舍去）， 抛物线解析式为； （2）抛物线解析式， 当时，有最小值， 顶点坐标为． 在中，令得，， 解得，， ，， ，， 直线解析式为，． 轴， 设点坐标为，则， ， 的面积， ， 当时，； 【巩固练习】 1.在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数的图象和函数的图象交于A、B两点（A、B在第一象限），与x轴交于点C，设点C的坐标为，若，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出点的坐标，根据题意列出关于m的方程是解题的关键．根据C的坐标，根据题意表示出A、B的坐标，由即可得到关于m的方程，解得即可． 【详解】解：∵点C的坐标为， ∴点，点； 当时，， 解得，，， 即的图象与x轴交于点和， 则， ∵， ∴， 解得或（不合题意，舍去）； 即 故答案为：． 2.（2024·山西·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式； (2)点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点M，交于点N求线段长的最大值． 【答案】(1)；线段所在直线的函数表达式 (2)3 【分析】（1）分别令，解方程即可得到A，B，C 三点的坐标，再利用待定系数法即可求出线段所在直线的函数表达式； （2）根据题意，结合（1）线段所在直线的函数表达式，设点P的坐标为，点N的坐标为，由，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：在中， 令，则， 点C的坐标为， 令，则， 即， 解得：或， 点A在点B的左侧， 点A的坐标为，点B的坐标为， 设线段所在直线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得：， 线段所在直线的函数表达式为； （2）解：点P在抛物线上， 设点P的坐标为， 轴交于点N， 点N的坐标为， 点P在线段上方的抛物线上， 且， ，且， 当时，有最大值，线段长的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和一次函数的性质进行解题． 3.（2023·山东济南·模拟预测）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线 (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，； (3)存在， 【分析】（1）先求得，，三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，进一步求得结果； （3）根据菱形性质可得，进而求得点的坐标，根据菱形性质，进一步求得点坐标． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴设抛物线的表达式：， ∴把代入得， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，作于，交于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当 时， ， 当 时， ， ∴； （3）存在，设， ∵以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴， 即：， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ∵以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数，二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质． 【题型4】 一次函数与二次函数相结合的综合问题 【典题1】 （2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知抛物线（、为常数，且）与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，．抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有得合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或 【分析】本题考查待定系数法求函数表达式、坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、一次函数图象的平移、直角三角形的性质等知识，正确求得抛物线的函数表达式是解答的关键． （1）先求点A坐标，再利用待定系数法求函数表达式即可； （2）先根据二次函数的性质求得，点的坐标为，进而可得；当时，则，可得，设点的坐标为，然后解方程求得t值即可；求直线的函数表达式，然后平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，，可得，再利用待定系数法求得直线的函数表达式，然后联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，，点在点左侧， ∴点的坐标为， 将，代入． ，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形． 理由如下：由得抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线的对称轴与经过点的直线交于点， ∴当时，， ∴点的坐标为，则， ∴ 当时，则，过点作于点，如图． 则是等腰直角三角形， ∴， 设点的坐标为， ∴， 解得：，（舍）， 当时，， 点的坐标为； 设直线的函数表达式为， 将点，代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为． 将直线平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，， 则，可设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为． ∴，解得：或． ∴点的坐标为或． 综上可得，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或． 【巩固练习】 1.（2024·全国·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于两点．过点的直线交抛物线于点．点在抛物线上，横坐标为，连接，将线段绕点旋转，得到线段，当点恰好落在直线上时，点的坐标 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，分和两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：设抛物线与轴的交点为， 把代入得，， 解得，， ∴，， 把代入得，， ∴， ∴， ∵将线段绕点旋转，得到线段，点在抛物线上，横坐标， ∴当点与点重合时，点与点重合， 此时，点的坐标为； 当时，过点作轴于，过点作轴于，则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵点恰好落在直线上， ∴， 解得（不合舍去），， ∴； 综上，点的坐标为或 ， 故答案为：或 ． 2.（2023·辽宁沈阳·三模）已知：如图，抛物线经过点，，与x轴交于另一点B，连接，． (1)求出抛物线的函数表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，连接且，求点的坐标； (3)点为直线上方的抛物线上的一点，过点作于点，连接，若的一个锐角等于的2倍，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2)点D的坐标为 (3)点P的横坐标为或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）在中，，，，用解直角三角形的方法求出，再运用待定系数法求出的表达式为：，即可求解； （3）运用待定系数法求出的表达式为：，作点关于轴的对称点，连接，过点作于点，设点，则点，则，由或，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）解：设交轴于点，过点作于点， 在中，，，， 设，则， 则，则， 则，， 由勾股定理得：，即点， 由点、的坐标得， 设直线的表达式为 把和分别代入 得 解得 直线的表达式为：， 当时，， 即点的坐标为：； （3）解：依题意， ∴ 设直线的表达式为 把和分别代入 得 解得 ∴的表达式为：， 作点关于轴的对称点，连接，过点作于点， 则， 则， 即，则， 则， 的一个锐角等于的2倍， 即或， 过点作轴交于点， 则， 则， 则， 设点， 则点，则， 则或， 解得：或， 即点的横坐标为：或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、勾股定理、解直角三角形、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 3.（江苏南京·自主招生）已知抛物线交x轴于，，且． （1）m的值为 ； （2）已知点，，P，Q均在抛物线上，且，时，均有，则a的取值范围是 （写成区间的形式）； （3）有点，抛物线交y轴于点C，过B，D作直线BD交y轴于E．M为线段BD上一点，当时，则M的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与二元一次方程的关系、二次函数与不等式、二次函数与三角形的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）根据二次函数的性质可得函数的对称轴为：，再与联立可得、，再根据根与系数的关系可得求解即可； （2）先求得函数的对称轴为，根据二次函数的对称性可得和关于对称轴对称，故其函数值相等，从而得到时，均有；然后根据函数图像列不等式组求解即可； （3）如图，连接，过点D作于点G，易得，即均为等腰直角三角形；再根据正切函数的定义可得，然后求出直线的表达式为，即，设点，过点M作于点F，再根据正切的定义列方程求解即可． 【详解】解：（1）函数的对称轴为：，而且， 将上述两式联立并解得：，， 抛物线交x轴于，， ∴， ∴，解得：； 故答案为： （2）由（1）知，抛物线的表达式为：， ∴函数的对称轴为：， ∴和关于对称轴对称，故其函数值相等， 又∵， ∴时，均有， 结合函数图象可得：，解得：； 故答案为：； （3）如图，连接，过点D作于点G， ∵， ∴, ∴，即 ∵, ∴ ∴ ∴ ∵， ∴均为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴， 将点B、D坐标代入一次函数表达式： 则有：，解得：， ∴直线的表达式为：，即：点， 设点，过点M作于点F，则 ， ∴，解得：， ∴点，即M的横坐标为． 故答案为：． 【题型5】 反比例函数与二次函数相结合的综合问题 【典题1】如图，已知抛物线与反比例函数的图象相交于B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0，6），A是抛物线的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后求出点B的坐标，从而可以求得二次函数解析式，然后求出点A的坐标，进而求得A′的坐标，从而可以求得直线A′B的函数解析式，进而求得与x轴的交点，从而可以解答本题． 【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，则A′B与x轴的交点即为所求， ∵抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与反比例函数的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0，6）， ∴点B（3，3）， ∴， 解得： ∴y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2， ∴点A的坐标为（2，2）， ∴点A′的坐标为（2，﹣2）， 设过点A′（2，﹣2）和点B（3，3）的直线解析式为y＝mx+n， 解得：， ∴直线A′B的函数解析式为y＝5x﹣12， 令y＝0，则0＝5x﹣12得x＝， 故答案为（，0）． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【典题2】如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A ( 3 , 3) ，把直线 OA 向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6,m)，与x轴、y轴分别交于C、D两点. (1）求 m的值； ( 2 ）求过 A、B、D 三点的抛物线的解析式； ( 3 ）若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点 E，使四边形 OECD 的面积S1，是四边形OACD 面积S的?若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）抛物线的解析式为；（3）， 【分析】（1）由于反比例函数的图象都经过点A（3，3），由此可以确定函数的解析式，又把直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），把B的坐标代入反比例函数的解析式即可确定m的值； （2）由于直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m），与x轴、y轴分别交于C、D两点，由此首先确定直线BD的解析式，接着可以确定C，D的坐标，最后利用待定系数法即可确定过A、B、D三点的抛物线的解析式； （3）如图，利用（1）（2）知道四边形OACD是梯形，利用已知条件可以求出其面积，设E的横坐标为x，那么利用x可以表示其纵坐标，也可以表示△OEC的面积，而△OCD的面积可以求出，所以根据四边形OECD的面积S1，是四边形OACD面积S的即可列出关于x的方程，利用方程即可解决问题． 【详解】（1）∵反比例函数的图象都经过点A（3，3）， ∴经过点A的反比例函数解析式为：y=， 而直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，m）， ∴m=； （2）∵直线OA向下平移后，与反比例函数的图象交于点B（6，）， 与x轴、y轴分别交于C、D两点， 而这些OA的解析式为y=x， 设直线CD的解析式为y=x+b， 代入B的坐标得：=6+b， ∴b=-4.5， ∴直线OC的解析式为y=x-4.5， ∴C、D的坐标分别为（4.5，0），（0，-4.5）， 设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c， 分别把A、B、D的坐标代入其中得： ， 解之得：a=-0.5，b=4，c=-4.5 ∴y=-x2+4x-； （3）如图，设E的横坐标为x， ∴其纵坐标为-0.5x2+4x-4.5， ∴S1=（-0.5x2+4x-4.5+OD）×OC， =（-0.5x2+4x-4.5+4.5）×4.5， =（-0.5x2+4x）×4.5， 而S=（3+OD）×OC=（3+4.5）×4.5=， ∴（-0.5x2+4x）×4.5=×， 解之得x=4±， ∴这样的E点存在，坐标为（4-，），（4+，）． 【点睛】本题考查点的坐标的求法及利用待定系数法确定二次函数解析式．此题也为数学建模题，借助一元二次方程解决探究问题． 【巩固练习】 1.（2024·湖北武汉·一模）如图，二次函数和反比例函数的图象交于点，则关于x的方程的解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，先利用待定系数法求出，则原方程可化为，进而得到方程解的个数就是函数与交点的个数，据此结合函数图象求解即可． 【详解】解：将分别代入和得，， ∴原方程可化为， ∴方程解的个数就是函数与交点的个数． 二次函数顶点坐标为， 令反比例函数中，，则 故时，反比例函数在二次函数上方． 根据图象．二次函数与反比例函数有三个交点，原方程有三个解． 故选：C 2.如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则不等式的解是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数和二次函数的综合判断，将不等式 转化为不等式，再结合函数图像即可得出答案． 【详解】解：不等式 可以转化为不等式， 根据函数图像可知不等式的解集为：或， 故答案为：或． 3.（2024·江苏常州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点的坐标为，端点的坐标为．点是线段上的点，将点绕点逆时针旋转得到点，若函数 的图象过点，则满足的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变换—旋转，二次函数的性质，表示出点的坐标是解题的关键． 由题意设，则，代入得，根据二次函数的性质即可求出的取值． 【详解】由题意设， ， ，即， 函数 的图象过点， ， 当时，有最大值为， 时，时，， 当时，． 4.（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标，点在轴正半轴上，点在第三象限的双曲线上，则正方形的边长为 ；过点作轴交双曲线于点，若抛物线（）经过，，三点，则的值为 ．    【答案】 【分析】 本题考查反比例函数与几何的综合应用，求二次函数的解析式，过作轴的平行线交轴于点，过作轴的平行线，两平行线交于点，过作轴的平行线，交于点，易得：，求出点坐标，勾股定理求出正方形的边长，求出点坐标，待定系数法求出的值即可． 【详解】 解：如图，过作轴的平行线交轴于点，过作轴的平行线，两平行线交于点，过作轴的平行线，交于点，则：，    ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴点横坐标为， ∵点在第三象限的双曲线上， ∴． ∴，， ∴正方形的边长． ∵， ∴点的纵坐标为， ∴， ∵点，抛物线（）经过，，三点， ∴，解得：； 故答案为：，． 5.如图，点A（2，6）和点B（点B在点A的右侧）在反比例函数的图象上，点C在y轴上，纵坐标为2，BCx轴，BC＝3OC，二次函数的图象经过A、B、C三点． （1）求反比例函数和二次函数的解析式； （2）如果点D在x轴的正半轴上，点E在反比例函数的图象上，四边形ACDE是平行四边形，求边CD的长． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）设反比例函数的解析式为y＝，由A的坐标可求出k的值，再设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+2，把A和B的坐标代入求出a和b的值即可求出二次函数的解析式； （2）当AC为边时，延长AC交x轴于G，作EH⊥x轴，垂足为H，利用已知条件可证明△ACM≌△EDH，由全等三角形的性质可得：EH＝AM＝4，DH＝CM＝2，进而求出点E（3，4），所以OH＝3，OD＝OE﹣DH＝1，利用勾股定理即可求出CD的长；当AC为对角线时，可设D（t，0），由A、C坐标可求得线段AC的中点，则可用t表示出E点坐标，代入反比例函数解析式可求得t的值，则可求得点D的坐标，利用勾股定理可求得CD的长． 【详解】解：（1）设反比例函数的解析式为y＝， ∵点A（2，6）在反比例函数的图象上， ∴6＝， ∴k＝12， ∴反比例函数的解析式为y＝， 根据题意得点C的坐标（0，2）． ∵BC∥x轴，BC＝3OC， ∴点B的坐标（6，2） 设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+2， 则，解得， 故二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+2． （2）①当AC为边时，延长AC交x轴于G，作EH⊥x轴，垂足为H，作AM⊥BC，垂足为M，交x轴于N， 如图所示： ∵在平行四边形ACDE中，AC∥DE， ∴∠AGO＝∠EDH， ∵BC∥x轴， ∴∠ACM＝∠AGO， ∴∠ACM＝∠EDH． 在△ACM和△EDH中， ， ∴△ACM≌△EDH（AAS）， ∴EH＝AM＝4，DH＝CM＝2． ∵E点纵坐标为4，点E在反比例函数y＝图象上， ∴x＝3， ∴点E（3，4）， ∴OH＝3，OD＝OH﹣DH＝1， ∴CD2＝OC2+OD2＝22+12＝5， ∴CD＝． ②当AC为对角线时，设点， ∵四边形ACDE是平行四边形， ∴AC与DE互相平分， 由（1）得：， 由中点坐标公式可得：点， ∴把点代入反比例函数解析式得：， 解得：， ∴， ∴在Rt△COD中，， 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查二次函数与反比例函数的综合及平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的性质、反比例函数及平行四边形的性质是解题的关键． 【题型6】 与三种函数有关的综合性问题 【典题1】 （2024·山东青岛·三模）如图，已知抛物线与轴交于点A，点A位于点的左侧，为顶点，直线经过点A，与轴交于点． (1)求线段的长； (2)沿直线方向平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为，若点在反比例函数的图象上．求新抛物线对应的函数表达式． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据二次函数解析式求出点A的坐标，然后求出直线AD的解析式，进而得到点D的坐标，最后根据勾股定理计算即可； （2）设新抛物线对应的函数表达式为：可得，根据题意求出直线的解析式，然后把点分别代入直线的解析式和反比例函数 的解析式中计算即可． 【详解】（1）解：由得，，， 点A位于点的左侧， ， 直线经过点， ，解得， ∴直线的解析式为 点的坐标为， ； （2）解：设新抛物线对应的函数表达式为：， ， 平行于直线，且经过， 直线的解析式为：， 点在反比例函数的图象上， ， ，解得，或， 新抛物线对应的函数表达式为或， 新抛物线对应的函数表达式为：或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象的平移、待定系数法求函数解析式、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握方程思想的应用是解题的关键． 【巩固练习】 1.（2024·江苏扬州·一模）如图，抛物线与直线有两个交点，这两个交点的纵坐标分别为m、n．双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】先根据题意得，然后让抛物线与直线相等化简得到，，再将m，n代入，从而得到m，n关于，的关系式，再进行计算即可． 【详解】解：∵双曲线y=的两个分支分别位于第二、四象限， ∴， 设抛物线与直线的两个交点坐标为（， 则 化简得， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴ 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，双曲线的性质，一元二次方程根与系数的关系，求不等式组的解集，解题关键是得到和的值． 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与双曲线有交点A、B，已知点，    (1)求k的值以及抛物线的解析式； (2)过抛物线上点A作直线轴，交抛物线于另一点C，求所有满足的点E的坐标（注：这里E，O，C与A，O，B分别为对应点）． (3)点P为抛物线上一动点，从O点出发（含O点）沿着抛物线向左运动，已知在此过程中，的面积恰好有两次取到值m，请直接写出m的取值范围　 　（P与B重合时规定）． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据B点坐标可以确定K，根据，求出A点坐标，再由A，B两点坐标，用待定系数法确定a，b． （2）根据得到：，根据得到，可以求出的坐标，再根据对称性求出点的坐标． （3）首先画出满足条件的点P所在的位置，再确定m的范围． 【详解】（1）解：∵在双曲线上， ∴， ∵， ∴可设， ∵A在双曲线上 ∴， ∴（舍去）， ∴， ∵抛物线过点A、B， ∴，解得． ∴． （2）解：如图，设抛物线与x轴负半轴的交点为D． 由（1）知，抛物线的解析式是， ∵轴 ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， 要使得，必须，则点E在直线的两旁． ①将绕点O顺时针转，得到，此时，点是的中点，点， 延长至点，使得， 连接，此时． ②取点关于直线的对称点． 综上，点E的坐标为．    （3）解：过点O作直线的平行线交抛物线于N，是点O关于直线的对称点， 过作直线的平行线交抛物线于M，点K是直线下方上的点，且面积最大， ∵,, ∴由待定系数法可得：直线：， ∴点L的坐标为，即 ∴， 设， ∵直线：，过点K作y轴的平行线交直线AB于H， ∴， ∴， 当点P在点N时，,即，解得：或（舍去） ∴ 设,则点M和点N关于直线对称，即的中点在直线上 则有 ∴，解得：或（舍去）, ∵从O点出发（含O点）沿着抛物线向左运动 ∴ 当点P在抛物线BN（不包括端点）段运动时，在抛物线BM段上总能找到一个点，使得时，m的值为， ∴， ∴在抛物线段上方总能找到一个点，使得，此时． 综上所述：或．    【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式、二次函数图像上点的坐标特征、旋转与坐标变化、平行线的性质、面积最值问题等重要知识点．正确作出辅助线是解答本题的关键． 【题型7】 开放性问题 【典题1】 在平面直角坐标系中，设直线的解析式为： (为常数且．)，当直线与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”． (1)求直线：与双曲线的切点坐标； (2)已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点，使得直线 与都相切于同一点? 若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由； (3)已知直线，直线是抛物线 的两条切线，当与的交点的纵坐标为4时，试判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)切点坐标为 (2) (3)是定值， 【分析】（1）联立直线和双曲线解析式得到关于的一元二次方程，由相切的定义得出的值，解之可得； （2）联立可得切点为，从而得出经过点，，利用待定系数法得出，联立，得：，利用得出，，，即可得解； （3）由与的交点的纵坐标为4，可令，则直线，直线 ，联立，得：，由直线是抛物线的切线，可得，同理可得：，从而得出为的两根，最后由一元二次方程根与系数的关系即可得出答案． 【详解】（1）解：联立，得：， 解得：， 切点坐标为； （2）解：直线与二次函数相切， 联立，得：， 解得：， 切点为， 与都相切于同一点， 经过点，， 解得：， ， 联立，得：， ， 解得：， ，， 的解析式为：； （3）解：是定值，， 理由如下： 与的交点的纵坐标为4， 令， 直线，直线 ， ，， 直线，直线 ， 联立，得：， 直线是抛物线的切线， ， 同理可得：， 为的两根， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了新定义、二次函数的性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程组解决问题，属于中考压轴题． 【巩固练习】 1.（2021·重庆永川·一模）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线，画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请探究下面函数的性质． 已知函数，其中与成反比例，，且当=2时，=4． (1)关于的函数解析式为___________________． (2)列表，写出表中，的值：= ，= ． 描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象． -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 0 4 2 0 (3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接求出方程=的近似解(结果保留一位小数)． 【答案】(1) (2)，4，图见解析 (3)=-4.7(-5~-4.5均可)，=-2.6(-3~-2.5均可)，=1.3(1~1.5均可) 【分析】(1)设，得到，然后代入求出k即可； (2)分别将和代入(1)中表达式中即可求出a和b的值； (3)根据函数图像的交点横坐标即为联立函数解析式形成的方程的解即可作答． 【详解】（1）解：设，且， ∴，代入， ∴， 解得：， ∴关于的函数解析式为； （2）解：将代入， ∴， 将代入， ∴， 平面直角坐标系中该函数图像如下所示： （3）解：由题意可知：方程=的解可以看成是函数与函数的交点的横坐标， 由(2)中图像可知，其交点有3个，从左至右横坐标依次标记为x1、x2、x3， 观察图像可知，方程的解为：x1=-4.7(-5~-4.5均可)，x2=-2.6(-3~-2.5均可)，x3=1.3(1~1.5均可) ． 【点睛】本题主要考查一次函数及反比例函数的图象和性质，函数与方程的关系，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质，进而求解高次方程是解题的关键． 2.（2024·江西宜春·模拟预测）如图，若b是正数，直线与y轴交于点A；直线与y轴交于点B；抛物线的顶点为C，且L与x轴右交点为D． (1)若，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标； (2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值； (3)设，点分别在l，a和L上，且是的平均数，求点与点D间的距离； (4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出和时“美点”的个数． 【答案】(1)，L的对称轴与的交点 (2)最大值为1 (3) (4)时“美点”的个数为4040个，时“美点”的个数为1010个 【分析】（1）算出，把代入L求解即可； （2）由，得到L的顶点，由于点C点l下方，于是得到结论； （3）由题意得到，即，得解得或．但，取，得到右交点．于是得到结论； （4）①当时，抛物线解析式直线解析式，“美点”总计4040个点，②当时，抛物线解析式，直线解析式，“美点”共有1010个． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∵，而， ∴， ∴． ∴， ∴L的对称轴， 当时，， ∴L的对称轴与a的交点为； （2）解：∵， ∴L的顶点， ∵点C在l下方， ∴C与l的距离为， ∴点C与l距离的最大值为1； （3）解：由题意得，即， 得， 解得或． 但，取， 对于L，当时，，即，解得， ∵， ∴右交点． ∴点与点D间的距离为． （4）解：①当时，抛物线解析式为， 直线解析式， 联立上述两个解析式可得：， ∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且和2021之间(包括和)，共有2023个整数； ∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线， ∴线段和抛物线上各有2023个整数点，∴总计4042个点， ∵这两段图象交点有2个点重复重复， ∴“美点”的个数：(个)； ②当时， 抛物线解析式， 直线解析式， 联立上述两个解析式可得：， ∴当x取整数时，在一次函数上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0， 在二次函数图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数， 可知到之间有1009个偶数，并且在和之间还有整数0，验证后可知0也符合条件，因此“美点”共有1010个． 故时“美点”的个数为4040个，时“美点”的个数为1010个． 【点睛】本题考查了二次函数几何综合，熟练运用二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式是解题的关键． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 二次函数与一次函数、反比例函数 1一次函数 1.1 概念 一般地，形如(，是常数，)的函数，叫做一次函数. 当时，即，所以正比例函数是一种特殊的一次函数. 1.2 性质 一般地，一次函数(，是常数，)的图像是一条直线； 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小. 当时，即一次函数经过轴上的点，决定直线与轴的交点位置. 2 反比例函数 2.1 反比例函数的概念 一般地，(为常数，)叫做反比例函数，即是的反比例函数. (为自变量，为因变量，其中不能为) 2.2 反比例函数的性质 ① 当时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，随的增大而减小； ② 当时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，随的增大而增大； ③ 双曲线的两支会无限接近坐标轴，但不会与坐标轴相交. 3 二次函数的图像和性质 （1）二次函数一般式的图像与性质 图像 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小. 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大. 最值 当时，取到最小值 当时，取到最大值 系数，，的作用 （1）：决定抛物线的开口方向与大小； 当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下，越大，抛物线的开口越小. （2），同时决定抛物线的对称轴位置； （3）决定抛物线与轴的交点位置. 因为对于二次函数，当时，故抛物线必过轴上的点. （2）二次函数顶点式的图像与性质 ① 当时，开口向上；当时，抛物线开口向下； ② 对称轴； ③ 顶点坐标. 【题型1】 一次函数、反比例函数与二次函数图象综合判断 【典题1】 （2022·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【巩固练习】 1.（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A．B．C．D． 2.（2024·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型2】 一次函数与二次函数的图象交点问题 【典题1】（2023·广西南宁·二模）如图，二次函数与一次函数的图象交于、两点，则一元二次方程的解为（    ）    A．， B． C．， D． 【典题2】（2024·安徽六安·模拟预测）如图，抛物线是常数，的顶点在第四象限，对称轴是直线，过第一、二、四象限的直线与抛物线交于轴上一点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C．若当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上，则 D．若为任意实数，则 【巩固练习】 1.（2024·天津河北·模拟预测）函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.如图，已知开口向下的抛物线对称轴为直线，与x轴交于点，与一次函数的图象交于，下列结论正确的有（    ） ①； ②； ③使不等式成立的x的取值范围是或； ④若关于x的一元二次方程有实数根，则； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.如图，抛物线与直线相交于点A和点B．点M是直线上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段与抛物线只有一个公共点，求点M的横坐标的取值范围 ． 【题型3】 一次函数与二次函数相结合的铅锤法 【典题1】 （2023·山东泰安·一模）如图，对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线顶点为D，直线交y轴于E点； 设点P为线段上一点（点P不与B、D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求面积的最大值； 【巩固练习】 1.在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数的图象和函数的图象交于A、B两点（A、B在第一象限），与x轴交于点C，设点C的坐标为，若，则m的值为 ． 2.（2024·山西·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式； (2)点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点M，交于点N求线段长的最大值． 3.（2023·山东济南·模拟预测）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线 (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型4】 一次函数与二次函数相结合的综合问题 【典题1】 （2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知抛物线（、为常数，且）与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，．抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有得合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【巩固练习】 1.（2024·全国·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于两点．过点的直线交抛物线于点．点在抛物线上，横坐标为，连接，将线段绕点旋转，得到线段，当点恰好落在直线上时，点的坐标 ． 2.（2023·辽宁沈阳·三模）已知：如图，抛物线经过点，，与x轴交于另一点B，连接，． (1)求出抛物线的函数表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，连接且，求点的坐标； (3)点为直线上方的抛物线上的一点，过点作于点，连接，若的一个锐角等于的2倍，请直接写出点的横坐标． 3.（江苏南京·自主招生）已知抛物线交x轴于，，且． （1）m的值为 ； （2）已知点，，P，Q均在抛物线上，且，时，均有，则a的取值范围是 （写成区间的形式）； （3）有点，抛物线交y轴于点C，过B，D作直线BD交y轴于E．M为线段BD上一点，当时，则M的横坐标为 ． 【题型5】 反比例函数与二次函数相结合的综合问题 【典题1】如图，已知抛物线与反比例函数的图象相交于B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0，6），A是抛物线的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为 ． 【典题2】如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A ( 3 , 3) ，把直线 OA 向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6,m)，与x轴、y轴分别交于C、D两点. (1）求 m的值； ( 2 ）求过 A、B、D 三点的抛物线的解析式； ( 3 ）若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点 E，使四边形 OECD 的面积S1，是四边形OACD 面积S的?若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由． 【巩固练习】 1.（2024·湖北武汉·一模）如图，二次函数和反比例函数的图象交于点，则关于x的方程的解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则不等式的解是 ． 3.（2024·江苏常州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点的坐标为，端点的坐标为．点是线段上的点，将点绕点逆时针旋转得到点，若函数 的图象过点，则满足的取值范围是 ． 4.（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标，点在轴正半轴上，点在第三象限的双曲线上，则正方形的边长为 ；过点作轴交双曲线于点，若抛物线（）经过，，三点，则的值为 ．    5.如图，点A（2，6）和点B（点B在点A的右侧）在反比例函数的图象上，点C在y轴上，纵坐标为2，BCx轴，BC＝3OC，二次函数的图象经过A、B、C三点． （1）求反比例函数和二次函数的解析式； （2）如果点D在x轴的正半轴上，点E在反比例函数的图象上，四边形ACDE是平行四边形，求边CD的长． 【题型6】 与三种函数有关的综合性问题 【典题1】 （2024·山东青岛·三模）如图，已知抛物线与轴交于点A，点A位于点的左侧，为顶点，直线经过点A，与轴交于点． (1)求线段的长； (2)沿直线方向平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为，若点在反比例函数的图象上．求新抛物线对应的函数表达式． 【巩固练习】 1.（2024·江苏扬州·一模）如图，抛物线与直线有两个交点，这两个交点的纵坐标分别为m、n．双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与双曲线有交点A、B，已知点，    (1)求k的值以及抛物线的解析式； (2)过抛物线上点A作直线轴，交抛物线于另一点C，求所有满足的点E的坐标（注：这里E，O，C与A，O，B分别为对应点）． (3)点P为抛物线上一动点，从O点出发（含O点）沿着抛物线向左运动，已知在此过程中，的面积恰好有两次取到值m，请直接写出m的取值范围　 　（P与B重合时规定）． 【题型7】 开放性问题 【典题1】 在平面直角坐标系中，设直线的解析式为： (为常数且．)，当直线与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”． (1)求直线：与双曲线的切点坐标； (2)已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点，使得直线 与都相切于同一点? 若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由； (3)已知直线，直线是抛物线 的两条切线，当与的交点的纵坐标为4时，试判断是否为定值，并说明理由． 【巩固练习】 1.（2021·重庆永川·一模）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线，画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请探究下面函数的性质． 已知函数，其中与成反比例，，且当=2时，=4． (1)关于的函数解析式为___________________． (2)列表，写出表中，的值：= ，= ． 描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象． -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 0 4 2 0 (3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接求出方程=的近似解(结果保留一位小数)． 2.（2024·江西宜春·模拟预测）如图，若b是正数，直线与y轴交于点A；直线与y轴交于点B；抛物线的顶点为C，且L与x轴右交点为D． (1)若，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标； (2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值； (3)设，点分别在l，a和L上，且是的平均数，求点与点D间的距离； (4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出和时“美点”的个数． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$